Une approche par point fixe

La preuve des théorèmes .1 et.2 se fait selon le schéma simplifié suivant, qui consiste à construire une applicationψdeB² dans lui-même, de sorte que(Y, Z, U)∈ B² est solution de l’EDSR (1.2.2) si et seulement si(Y, Z, U) est un point fixe de ψ. Nous esquissons ce schéma dans le cadre avec sauts :

Le générateur de cette équation étant indépendant de (Y, Z, U), une solution appartenant à B² est obtenue par une application du théorème de représentation des martingales.

(ii) En utilisant la formule d’Itô, ainsi que l’hypothèse que g est lipschitzienne, on montre que ψ est une contraction dans l’espace B² muni d’une norme à poids bien choisie, équivalente à la norme initiale. ψ admet donc un unique point fixe, fournissant ainsi une solution unique à l’EDSR (1.2.2) dansB².

Dans notre cas, où le générateur g est à croissance quadratique, nous suivrons le même type de schéma de preuve par point fixe, avec certaines différences sensibles. Nous étendons en fait le résultat de Tevzadze [117], obtenu dans le cas quadratique en filtration continue. Plus exactement, nous ferons l’hypothèse suivante sur le générateur :

Hypothèse .2 (Croissance quadratique) Il existe des constantes(α, β, γ)∈R+×R+×R^∗₊telles

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Nous autoriserons, dans le chapitre4, la constante α à être un processus aléatoire.

Cette inégalité est l’extension naturelle de l’hypothèse de croissance quadratique formulée dans le cas continu lorsquegne dépend pas deu. En effet, si l’on considère l’EDSR (1.2.2) avecgt(y, z, u) =

et nous retrouvons alors l’expression de la mesure de risque entropique conditionnelle, qui correspond dans le cas continu, à l’EDSR avec générateur ^γ₂|z|².

Pour que ceci soit cohérent, il faut bien-sûr que la fonction j_t soit bien définie, pour tout t. Re-marquons que l’inégalité de Taylor nous garantit que si la fonctionx7→u(x) est bornéedν_t-presque partout, pour tout0≤t≤T, alors nous avons

0≤e^u(x)−1−u(x)≤Cu²(x), dνt−p.p.pour tout0≤t≤T etjt est alors bien définie surL²(νt)∩L^∞(νt), pour tout 0≤t≤T.

Nous utilisons le schéma de preuve par point fixe mentionné plus haut pour montrer l’existence de solutions (Y, Z, U) avec Y borné, les espaces de martingales BMO jouent alors un rôle particulier dans ce cadre. Plus précisément, nous avons Y ∈ S^∞ où S^∞ désigne l’espace des processus Y⁰, F_t progressivement mesurables, à valeurs réelles, tels que

Y⁰

_S∞ := sup

0≤t≤T

Y_t⁰

_∞<+∞.

Introduisons également les espaces de processus suivants.

Nous noterons BMO l’espace des martingales M càdlàg, de carré intégrable, à valeurs dans R^d, telles que

J²_BMOdésigne l’espace des processusU : Ω×[0, T]×E, prévisibles et E-mesurables tels que kUk²

H²_BMO est l’espace des processusZ F_t-progressivement mesurables à valeurs dansR^d et tels que kZk²

L’utilisation de ces espaces est motivée par le fait que si(Y, Z, U)est une solution de l’EDSR (1.2.2) avec g vérifiant l’hypothèse.2de croissance quadratique, Y ∈ S^∞ et

Z _T

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alorsZ ∈H²_BMO etU ∈J²_BMO∩L^∞(ν).

Nous notons B:=S^∞×H²_BMO×J²_BMO∩L^∞(ν).

Revenons maintenant au schéma de preuve mentionné plus haut. Nous remarquons déjà que l’étape (i)nécessite l’application du théorème de représentation des martingales. Dans notre cas, puisque la filtrationFest engendrée à la fois par un mouvement brownien et une mesure aléatoire générale, nous ferons l’hypothèse que la représentation desF-martingales a lieu. Ceci sera vrai dans le cas particulier d’une mesure aléatoire de Poisson d’une part ; nous exhiberons d’autre part dans le chapitre sur les EDSR du second ordre, des exemples de compensateurν dépendant des variables(t, ω)pour lesquels la représentation a lieu.

Dans l’étape (ii) nous ne pouvons plus utiliser le fait que g est lipschitzienne, mais seulement l’hypothèse .2 de croissance quadratique. Nous ne pouvons alors plus directement garantir que l’applicationψest contractante. Cependant, en se restreignant à une bouleB_R⊂ B de rayonR bien choisi et à une condition terminale de norme assez petite, nous pouvons montrer que ψ(B_R) ⊂ B_R et que ψ est une contraction dans cette boule de rayon R. Ceci nous donne l’existence et l’unicité d’une solution, pour une condition terminale de norme assez petite.

Pour prouver l’existence d’une solution pour une condition terminale bornée de norme quelconque, nous nous inspirons à nouveau de Tevzadze [117]. Nous commençons par décomposer ξ comme suit : ξ = Pn

i=1ξi, où chaque variable aléatoire ξi a une norme L^∞ assez petite. Nous avons donc l’existence d’une solution de chaque EDSR avec condition terminaleξ_i. Nous procédons ensuite à un recollement des ces solutions pour obtenir une solution à l’EDSR initiale, avec condition terminale ξ. Ce procédé de recollement utilise des changements absolument continus de probabilité, dont la dérivée de Radon-Nykodim est donnée par une martingale exponentielle de Doléans-Dade faisant intervenir les dérivées enzet enudu générateur. Nous avons donc besoin, pour définir correctement ces changements de probabilité, d’imposer des hypothèses supplémentaires, en particulier queg est C² en z et deux fois différentiable au sens de Fréchet enu.

Nous parvenons donc à montrer l’existence d’une solution à l’EDSR 1.2.2, lorsque le générateurg est à croissance quadratique et vérifie certaines conditions sur sa dérivée enzet sa dérivée de Fréchet en u. Ce faisant, nous perdons le caractère unique de la solution. Pour avoir une solution unique, nous utilisons un théorème de comparaison.

Dans ce contexte avec sauts, nous devons encore imposer une hypothèse additionnelle pour montrer un théorème de comparaison. Ce théorème permet de comparer les solutionsY1 etY2 de deux EDSR, lorsque l’on sait comparer les conditions terminales et les générateurs. La preuve de théorème repose encore sur un changement de probabilité, via une exponentielle de Doléans-Dade. Or dans le cas continu, l’exponentielle de Doléans-Dade d’une martingale BMO est une vraie martingale uniformé-ment intégrable, et surtout stricteuniformé-ment positive par définition. La définition de l’exponentielle de Doléans-Dade dans le cas avec sauts n’implique pas la positivité. En effet, si M est une martingale locale nulle en 0, la formule exponentielle est définie par

E(M)_t:= exp

M_t−1

2 < M^c, M^c>_t

Y

s≤t

(1 + ∆M_s) exp(−∆M_s).

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On voit donc que si les sauts de M ne sont pas toujours supérieurs à−1,E(M) n’est pas nécessaire-ment positive. Pour garantir que le changenécessaire-ment de probabilité utile dans la preuve du théorème de comparaison est bien défini, on impose l’hypothèse suivante, introduite par Royer [106] et par Barles, Buckdahn et Pardoux [4] sous la forme d’une égalité.

Hypothèse .3 Pour tout (y, z, u, u⁰), il existe un processus (γt) prévisible et E-mesurable tel que gt(y, z, u)−gt(y, z, u⁰)≤

Z

E

γt(x)(u−u⁰)(x)νt(dx),

et tel qu’il existe des constantes C₂ > 0 et C₁ ≥ −1 +δ pour un certain δ > 0, indépendantes de (y, z, u, u⁰) telles que

C₁(1∧ |x|)≤γ_t(x)≤C₂(1∧ |x|).

Cette hypothèse n’est pas seulement artificielle et due à la méthode de démonstration puisque Barles, Buckdahn et Pardoux [4] donnent un contre exemple du principe de comparaison lorsque cette hypothèse n’est pas satisfaite. Cette hypothèse est également suffisante pour obtenir le théorème de comparaison dans notre cadre quadratique.

Ceci nous permet d’obtenir, sous cette hypothèse, l’unicité de la solution à l’EDSR1.2.2.

Cependant, cette hypothèse n’est pas nécessaire, puisque nous parvenons à montrer un théorème de comparaison dans le cas où le générateur gest convexe en(z, u). Nous prouvons donc un résultat d’unicité dans le cas où le générateur vérifie soit l’hypothèse .3, soit une hypothèse de convexité.

Cette dernière présente l’intérêt de garder le caractère quadratique en z et en u, contrairement à l’hypothèse .3qui implique que le générateur est Lipschitz enu.

1.2.3 Applications aux mesures de risque dynamiques