Applications aux mesures de risque dynamiques

Commençons par une définition générale.

Définition .8 Soient ξ ∈ L^∞(P) et g tels que l’EDSR avec condition terminale ξ et générateur g admet une solution unique et vérifie un principe de comparaison. Alors pour toutt∈[0, T], on définit la g-espérance conditionnelle de ξ comme suit

E_t^g(ξ) :=Yt

où (Y, Z, U) est solution de l’EDSR Y_t=ξ+

Z T t

g_t(Y_s, Z_s, U_s)ds− Z T

t

Z_sdB_s− Z T

t

Z

E

U_s(x)eµ(ds, dx), P−a.s.

La théorie desg-espérances insiste donc sur le point de vue des EDSR comme généralisation possible de l’espérance conditionnelle linéaire. Elle a été introduite par Peng [99] comme exemple d’espérance non linéaire. Depuis, de nombreux auteurs ont généralisé ses résultats, les étendant notamment au cas d’un générateur quadratique (Ma et Yao [84]). Une extension au cas d’une filtration discontinue

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a été obtenue par Royer [106] et par Lin [83]. En particulier, Royer [106] donne des conditions de dominations suffisantes sous lesquelles une espérance non linéaire s’écrit comme uneg-espérance.

Il est alors naturel d’utiliser ces espérances non linéaires pour définir des martingales non linéaires de la manière suivante.

Définition .9 X∈ S^∞ est appelé une g-sousmartingale (resp. surmartingale) si E_s^g[Xt]≥ (resp. ≤)X_s, P−a.s., pour tout 0≤s≤t≤T .

Xest appelé uneg-martingale si ce processus est à la fois uneg-sousmartingale et uneg-surmartingale.

Peng [100] a prouvé un théorème de structure des g-sousmartingales dans le cas continu : toute g-sous martingale se décompose comme la somme d’une g-martingale et d’un processus croissant.

Cela s’apparente donc à une décomposition de Doob-Meyer non linéaire.

Nous en donnons ici une extension dans le cadre à sauts avec générateur quadratique. SiY est une g-sousmartingale avec g soit convexe en (z, u), soit satisfaisant l’hypothèse .3, et, vérifiant de plus une hypothèse de croissance quadratique, alors il existe un processus croissantA, prévisible, nul en 0et des processus(Z, U)(vérifiant les hypothèses minimales pour que l’équation ci-dessous soit bien définie) tels que pour tout t∈[0, T]

Y_t=Y_T + Z T

t

g_s(Y_s, Z_s, U_s)ds− Z T

t

Z_sdB_s− Z T

t

Z

E

U_s(x)µ(ds, dx)e −A_T +A_t, P−a.s.

Au-delà de l’intérêt théorique que ce résultat présente en lui-même, il permet d’obtenir comme corollaire simple un principe de comparaison inverse. Ce principe stipule que s’il est possible de comparer les composantes Y1 etY2 de deux solutions (Y1, Z1, U1) et(Y2, Z2, U2) à deux EDSR avec comme générateursg₁etg₂et même condition terminale, alors nous pouvons également comparer les générateurs. Ce résultat est valide sous les hypothèses sur les fonctionsg_i qui permettent d’obtenir la décomposition de Doob-Meyer desgi-sousmartingales. Nous supposerons de plus quegi est continue à droite ent. (voir le corollaire4.3.1 pour un énoncé précis).

1.2.3.2 Représentation duale et inf-convolution

Dans cette sous-partie, insiprés par Barrieu et El Karoui [7], nous adoptons le point de vue des mesures de risque dynamiques sur les opérateurs(E_t^g)t≥0.

Certaines propriétés sont inhérentes à E_t^g, tandis que d’autres sont héritées du générateur g. Pour toute fonctiong telle que E_t^g est bien défini,E_t^g est une mesure de risque dynamique surL^∞ qui est monotone et consistante en temps. Plus spécifiquement,

• ξ₁ ≥ξ₂,P-presque sûrement impliqueE_t^g(ξ₁)≥ E_t^g(ξ₁),P-presque sûrement, pour tout0≤t≤ T.

• Pour tous temps d’arrêt bornésR≤S≤T et toute variable aléatoireξ,F_T-mesurable, E_R^g E_S^g(ξ)

=E_R^g(ξ), P−p.s.

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E^g hérite notamment des propriétés suivantes du générateurg :

• Sig ne dépend pas de la variabley, alors E^g est invariante par translation.

• Sig est convexe en (y, z, u), alors E^g est convexe.

Ces propriétés permettent de construire de nombreux exemples de mesures de risque. Pour un générateur indépendant deyet convexe en(z, u),E^g est une mesure de risque dynamique, monétaire, convexe et consistante en temps. Entre autres exemples, le fait de choisirg(z, u) := ^γ₂|z|²+¹_γjt(γu), où la fonction j est définie plus haut, nous donne la mesure de risque entropique conditionnelle, sur la filtration engendrée par un mouvement brownien et une mesure aléatoire.

Dans la suite, nous traitons les deux points suivants : d’une part, l’analyse de la forme de la représentation duale de ces mesures de risque dynamiques obtenues via des équations rétrogrades et d’autre part, l’étude de l’inf-convolution de deux mesures de risque de ce type, obtenues via deux générateurs différents.

Sur le premier point, nous étendons la représentation de type Legendre-Fenchel obtenue par Barrieu et El Karoui dans le cas quadratique continu. Nous montrons que, pour une variable ξT, F_T -mesurable et bornée, E_T^g(ξ_T) s’écrit encore comme la "pire" espérance (conditionnelle) moins une pénalité. Cette dernière est obtenue à partir de la transformée de Legendre-Fenchel du générateur.

Plus précisément,

E_t^g(ξ_T) = ess sup

(µ,v)∈H²BMO×A

E^Q

µ,v

t

ξ_T −

Z T t

G_s(µ_s, v_s)ds

où Q^µ,v est la mesure de probabilité définie par dQ^µ,v

dP =E Z .

0

µsdBs+ Z .

0

Z

E

vs(x)˜µ(ds, dx)

,

où Adésigne l’espace des applicationsv dansJ²_{BM O}∩L^∞(ν)telles qu’il existeδ >0tel quev_t(x)≥

−1 +δ,P×dt×dνt -p.s. et où enfin,Gtest la transformée de Legendre-Fenchel de gdéfinie comme suit

G_t(µ, v) := sup

z∈Rⁿ, u∈L²(νt)

< µ, z >_Rⁿ +< v, u >_L2(νt) −g_t(z, u) , µ∈Rⁿ, v∈L²(ν).

Une fois cette représentation duale obtenue, nous nous concentrons sur le problème de l’inf-convolution des mesures E^g1 et E^g2 obtenues à partir de deux générateurs g¹ et g². Là encore, nous étendons le résultat valable dans le cas quadratique continu et qui peut se résumer de la manière suivante : l’inf-convolution deE^g1 etE^g2 est encore solution d’une EDSR quadratique dont le générateur est donné par l’inf-convolution des générateursg¹ etg². Donc, plutôt que de chercher une solution dans l’ensemble des variables dans L^∞, il est possible de se ramener au problème plus simple de l’inf-convolution des générateurs déterministes.

Ceci permet de traiter plusieurs exemples pour lesquels nous donnons une représentation explicite de l’inf-convolution. Comme dans le premier chapitre de cette thèse, cela donne une repérentation du

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partage de risque optimal, mais cette fois-ci dans un cadre dynamique en temps, entre deux agents utilisant les mesures de risque E^g1 et E^g2. Par comparaison avec les résultats du premier chapitre, nous donnons ici des exemples d’échange qui ont une forme ni linéaire ni non-proportionnelle.