Approche convective et radiative

Annand en 1963 critique dans [16] les modèles empiriques proposés par différent auteurs avant lui, notamment sur le choix des exposants utilisés dans les coefficients d’échanges convectifs. En effet ceux-ci sont trop faibles et/ou dénués de sens physique. Après avoir testé et comparé ces modèles, Annand conclut qu’ils échouent dès lors qu’ils sont appliqués sur d’autres données expérimentales que celles ayant servi à leurs mises au point. Annand considère qu’il est nécessaire de distinguer la partie convective et la partie radiative lors du calcul des transferts thermiques aux parois, l’importance relative de chaque partie variant pour différents moteurs.

Concernant la part convective et dans l’optique d’obtenir un modèle valable quel que soit le moteur considéré, il propose une approche basée sur une analyse dimensionnelle afin de mettre en évidence les différents facteurs impliqués dans les transferts aux parois et utilise une relation de type convection forcée (3). Il considère le nombre de Prandtl égal à 0,7, une approximation souvent utilisée dans le cas des gaz du fait de la faible dépendance de celui-ci par rapport à la température [6]. Le coefficient d’échange convectif (7) peut alors être simplifié de la façon suivante (19) :

ℎ_{𝑐𝑜𝑛𝑣}= 𝐶₁^𝑘 𝐷^{. 𝑅𝑒}

𝑏 (19)

Avec D l’alésage du moteur. Bien que le calcul du nombre de Reynolds fasse intervenir un terme de vitesse de fluide, Annand considère que l’écoulement dans un cylindre de moteur est bien trop complexe pour être décrit précisément. Il propose néanmoins d’utiliser une grandeur mesurable capable a minima de capter la variation d’intensité de l’écoulement en fonction du régime moteur. Il choisit, comme d’autres auteurs avant lui, la vitesse moyenne du piston, celle-ci pouvant être calculée grâce à l’équation (20).

20

𝑉_𝑝 =^{2𝑁𝑚𝑜𝑡𝐿}

60 ⁽²⁰⁾

Avec 𝑁_𝑚𝑜𝑡 le régime de rotation du moteur en tours par minutes et 𝐿 la course. Il calcule les propriétés physiques à partir de la composition moyenne et de la température moyenne du gaz via des tables.

Selon lui, les transferts radiatifs ayant lieu durant la combustion et la course de détente sont impossibles à estimer correctement car ceux-ci dépendent directement de nombreux paramètres non triviaux. On ne peut donc qu’avoir recours à l’utilisation de facteurs empiriques moyens applicables sur l’ensemble de la combustion et la détente. Il exprime donc le coefficient d’échange radiatif de la façon suivante (21).

ℎ_𝑟𝑎𝑑 = 𝐶₂^{(𝑇𝑐𝑦𝑙}

4 − 𝑇_𝑝⁴)

𝑇_𝑐𝑦𝑙− 𝑇_𝑝 ⁽²¹⁾

Comme nous l’avons vu précédemment, les corrélations de convection forcée en conduite cylindrique (8) et (9) font intervenir la valeur 0,8 pour l’exposant du nombre de Reynolds. Malgré cela, et après comparaison avec les résultats expérimentaux publiés par Elser [14] et Overbye et al. [17] il décide de prendre la valeur 0,7. Ainsi en combinant les équations (19) et (21) on obtient l’expression du coefficient d’échange total (22) :

ℎ = 𝐶₁^𝑘 𝐷^{. 𝑅𝑒} 0,7+ 𝐶₂^{(𝑇𝑐𝑦𝑙} 4 − 𝑇_𝑝⁴) 𝑇_𝑐𝑦𝑙− 𝑇_𝑝 ⁽²²⁾ Où : ▪ 𝐶₁ = 0,25 − 0,8 ▪ 𝐶₂ = 0 pendant la compression

▪ 𝐶₂ = 1,6. 10⁻¹² pendant la combustion et la détente pour les moteurs à allumage par compression

▪ 𝐶₂ = 2,1. 10⁻¹³ pendant la combustion et la détente pour les moteurs à allumage commandé

Annand compare ensuite son modèle à celui d’Elser ainsi qu’avec les mesures que ce dernier a effectué sur un moteur quatre temps diesel à pleine charge. Comme on peut le constater sur la Figure 4, le modèle d’Annand (equation (26)) est plus précis sur la partie haute pression du cycle. Néanmoins il sous-estime les pertes lors de la première moitié de la compression et les surestime ensuite lors de la deuxième moitié.

21

Figure 4 : Comparaison entre le modèle d'Annand, le modèle d'Elser et la mesure directe du flux de chaleur [16].

En 1970, Annand et Ma [18] modifient l’équation (22) à la suite de mesures directes de flux de chaleur effectuées sur un moteur diesel monocylindre atmosphérique. Ils ajoutent un terme de dérivée de la température du gaz par rapport au temps afin de mieux prendre en compte le caractère instationnaire du transfert. En effet un déphasage entre le flux de chaleur mesuré expérimentalement et la différence de température gaz parois est observé. De plus, le calcul du nombre de Reynolds diffère du modèle initial d’Annand [16]. La vitesse de gaz est calculée par un modèle d’énergie cinétique moyenne par unité de masse calculée par bilan sur l’énergie cinétique entrant et sortant par les soupapes. L’expression du modèle d’Annand et Ma est donné par l’équation (23).

ℎ = ^𝑘 𝐷^{. 𝑅𝑒} 0,7(𝐶₁−^𝐶2 𝜔 𝑑𝑇 𝑑𝑡 1 𝑇_𝑐𝑦𝑙− 𝑇_𝑝^{) + 𝐶3𝜎} (𝑇_𝑐𝑦𝑙4 − 𝑇_𝑝⁴) 𝑇_𝑐𝑦𝑙− 𝑇_𝑝 ⁽²³⁾

Où ω représente la vitesse de rotation angulaire du vilebrequin. Après avoir comparé les mesures directes de flux de chaleur avec les prédictions pour différents régimes et excès d’air,

22

il apparaît qu’en dépit des modifications apportées au modèle les coefficients 𝐶₁, 𝐶₂ et 𝐶₃ varient considérablement selon le point de fonctionnement. Les valeurs moyennes de 𝐶₁, 𝐶₂ et 𝐶₃ sont respectivement 0,12, 0,2 et 1,5. Borman et Nishiwaki [8] notent une amélioration du modèle relativement au déphasage entre le flux de chaleur et la différence de température, mais cette amélioration reste minime.

Sitkei et Ramanaiah [19] présentent en 1972 leurs travaux expérimentaux sur un moteur diesel monocylindre. Ils réalisent des mesures de flux de chaleur par rayonnement et proposent un modèle similaire à celui d’Annand. Leur modèle possède donc une part convective et une part radiative mais remplace l’alésage en tant que longueur caractéristique par un diamètre équivalent 𝑑_𝑒𝑞 variant au cours du cycle moteur et fonction de la surface 𝑆_𝑝 du piston et du volume instantané 𝑉_𝑐𝑦𝑙 de la chambre de combustion, comme on peut le voir dans l’équation (24).

𝑑_𝑒𝑞= ^{4𝑉𝑐𝑦𝑙}

𝑆_𝑝 ⁽²⁴⁾

Par ailleurs, l’expression de la part convective du coefficient d’échange est modifiée de façon à remplacer le nombre de Reynolds et la conductivité thermique du gaz par une fonction de la pression et de la température, ainsi que de la vitesse moyenne du piston, approche généralisée par Woschni [20] comme nous le verrons par la suite. L’équation (25) fournit l’expression du modèle de Sitkei et Ramanaiah.

ℎ = 𝐶₁𝑑_𝑒𝑞^−0,3𝑃_𝑐𝑦𝑙^0,7𝑇_𝑐𝑦𝑙^−0,2𝑉_𝑝^0,7+ 𝐶₂𝜀𝜎^{(𝑇𝑐𝑦𝑙}

4 − 𝑇_𝑝4)

𝑇_𝑐𝑦𝑙− 𝑇_𝑝 ⁽²⁵⁾

Où la valeur de 𝐶₁ varie entre 46 et 62 selon le type de moteur et celle de 𝐶₂ est 10⁻⁸.