Approche de base NLBA

evaluons cette complexit´e par rapport `a la taille de la sortie. Il a ´et´e d´emontr´e que tout algo-rithme calculant les αMFS et αXSS en se basant sur la valeur bool´eenne (r´eussite ou ´echec) du r´esultat de leur ex´ecution doit ex´ecuter au minimum |mf s^α(Q)| + |xss^α(Q)| requˆetes [MT97].

4.6.1 Approche de base NLBA

Nous analysons d’abord la complexit´e de la m´ethode de base.

Th´eor`eme 1 Dans le pire cas, αLBA ex´ecute |xss^α(Q)| + |Q| ∗ |mf s^α(Q)| requˆetes.

Preuve 5 TrouverUneαMFS(algorithme 2) d´ecouvre une nouvelle αMFS lors de chaque ex´ ecu-tion. TrouverUneαMFS ex´ecute exactement |Q| requˆetes (lignes 2 `a 4). A chaque it´eration (ligne 4) de αLBA, cet algorithme recherche (i) une nouvelle αXSS Q^′ (ligne 7) ou (ii) une nouvelle

αMFS Q^∗∗ (ligne 9). Dans le premier cas, une requˆete unique est ex´ecut´ee (ligne 6), alors que dans le second cas, TrouverUneαMFS est appel´ee avec la requˆete Q^′ en entr´ee. Donc |Q^′| + 1 requˆetes sont ex´ecut´ees pour trouver une αMFS, avec |Q^′| < |Q|. Au total, αLBA ex´ecute donc au plus |xss^α(Q)| + |Q| ∗ |mf s^α(Q)| requˆetes.

Corolaire 1 Pour un nombre n de seuils α_i, NLBA ex´ecute au plus ∑︁n

i=1|xssαi(Q)| + |Q| ∗ |mf sαi(Q)| requˆetes.

4.6.2 Approche ascendante

Dans l’algorithme Optimized-αLBA (algorithme 5), l’ex´ecution de requˆetes est effectu´ee uni-quement lors des instructions communes avec l’algorithme initial αLBA (lignes 5 `a 13). Par cons´equent, la complexit´e de Optimized-αLBA peut ˆetre d´eduite directement du th´eor`eme 1.

Corolaire 2 Dans le pire cas, l’algorithme Optimized-αLBA ex´ecute |xssα(Q) − dxss^α(Q)| + |Q| ∗ |mf s^α(Q) − dmf s^α(Q)| requˆetes.

Nous montrons tout d’abord que, dans le pire des cas, cet algorithme n’ex´ecute pas plus de requˆetes que NLBA.

Lemme 1 D´ecouvrirαMFSXSS (algorithme 4) ex´ecute au plus |dxss^αi(Q)| + |Q| ∗ |dmf s^αi(Q)| requˆetes.

Preuve 6 La d´ecouverte d’une α_iMFS atomique (lignes 1 `a 3) ne n´ecessite aucune requˆete sur la base de connaissances. Ensuite, l’algorithme peut ˆetre d´ecompos´ee en deux parties : (i) la pre-mi`ere partie concerne les αi−1MFS pr´ec´edentes (lignes 4 `a 9) et (ii) la deuxi`eme partie concerne le test d’´echec des α_i−1XSS (lignes 15 `a 19). Pour la premi`ere partie, |α_i−1M F S| requˆetes sont

4.6. ANALYSE DE LA COMPLEXIT ´E DES ALGORITHMES PROPOS ´ES

ex´ecut´ees lors de chaque appel de l’algorithme TrouverUneαMFS (ligne 6). Chacun de ces appels aboutit `a la d´ecouverte d’une αiMFS. Pour la deuxi`eme partie, |αi−1XSS| + 1 requˆetes sont ex´ecut´ees pour d´ecouvrir si une α_i−1 XSS est en ´echec (ligne 13), dans ce cas elle fait l’objet de l’entr´ee de l’algorithme TrouverUneαMFS (ligne 16), qui ex´ecute alors |α_i−1XSS| requˆetes pour d´ecouvrir une nouvelle αiM F S ; et nous savons que |αi−1M F S| < |Q| et |αi−1XSS| + 1 ≤ |Q|.

Chaque d´ecouverte d’une α_iXSS (lignes 13 `a 14) n´ecessite l’ex´ecution d’une seule requˆete. Au total, D´ecouvrirαMFSXSS ex´ecute au plus |dxss^αi(Q)| + |Q| ∗ |dmf s^αi(Q)| requˆetes.

L’approche ascendante s’appuie sur l’algorithme D´ecouvrirαMFSXSS suivi de l’algorithme Optimized-αLBA. La synth`ese des r´esultats du lemme 1 et du corollaire 2 donne directement le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 2 Pour un nombre n de seuils αi, l’approche ascendante ex´ecute au maximum ∑︁n

i=1|xssαi(Q)| + |Q| ∗ |mf s^αi(Q)| requˆetes.

Dans le pire des cas, NLBA et l’approche ascendante ont la mˆeme complexit´e. L’utilisation de l’approche ascendante devient utile lorsque certaines αMFS et αXSS peuvent ˆetre d´eduites entre deux seuils successifs α_i. Dans le meilleur des cas, les αMFS et les αXSS restent identiques pour chaque seuil.

Lemme 2 Dans le meilleur des cas, o`u les αMFS et les αXSS restent identiques, l’approche ascendante ex´ecute pour chaque seuil αi apr`es le premier, au plus

⎛ ⎜ ⎝ ∑︂ Q∗∈mfs^αi(Q)∧|Q∗|>1 |Q^∗| ⎞ ⎟

⎠+ |xss^αi(Q)| requˆetes.

Preuve 7 La d´ecouverte de toutes les α_iXSS n´ecessite l’ex´ecution de chacune d’entre elles, soit |xssαi(Q)| requˆetes. Pour la d´ecouverte des αiMFS ayant un seul patron de triplet (atomiques), aucune requˆete n’est requise. Pour les autres αiMFS Q^∗, TrouverUneαMFS est appel´e avec l’ex´ e-cution de |Q^∗| requˆetes, o`u |Q^∗| est la taille de la α_i−1MFS consid´er´ee, qui est ´egalement, dans ce meilleur cas, une αiMFS.

Pour un nombre de seuils n, la complexit´e de l’approche ascendante est directement d´eduite du lemme pr´ec´edent.

Proposition 2 Dans le meilleur des cas, pour un nombre n de seuils αi o`u ∀ i ∈ {2, 3, ..., n},

mf s^αi(Q) = mf s^α1(Q), l’approche ascendante ex´ecute, au plus, le nombre de requˆetes suivant :

n ∗ |xss^α1(Q)| + |Q| ∗ |mf s^α1(Q)| + (n − 1) ⎛ ⎜ ⎝ ∑︂ Q∗∈mfs^α1(Q)∧|Q∗|>1 |Q^∗| ⎞ ⎟ ⎠requˆetes. (4.1)

Par cons´equent, l’approche ascendante devient plus efficace lorsque les αMFS ont un petit nombre de patrons de triplets, dans le but de minimiser le coˆut associ´e au terme le plus `a droite de l’´equation 4.1. Intuitivement, puisqu’une αi−1MFS est la super-requˆete d’une αiMFS `

a d´ecouvrir, l’espace de recherche devient plus petit lorsque les αi−1MFS ont un petit nombre de patrons de triplets.

4.6.3 Approche descendante

Nous examinons maintenant la complexit´e de l’approche descendante. Les deux lemmes sui-vants sont adapt´es directement des r´esultats obtenus pour l’approche ascendante.

Lemme 3 L’algorithme TrouverUneαXSS ex´ecute |Q| − |Q^∗| requˆetes.

Lemme 4 Au cours de l’approche descendante, l’algorithme dual de D´ecouvrirαMFSXSS ex´ e-cute au maximum |dmf s^αi(Q)| + |Q| ∗ |dxss^αi(Q)| requˆetes.

L’approche descendante s’appuie sur l’algorithme dual de D´ecouvrirαMFSXSS, suivi de Optimized-αLBA. En utilisant les r´esultats du lemme 4 et du corollaire 2 le th´eor`eme suivant est directement d´eduit.

Th´eor`eme 3 Pour chaque seuil αi, l’approche descendante ex´ecute au plus (|Q| − 1) (|dxss^αi(Q)| − |dmf s^αi(Q)|) + |xss^αi(Q)| + |Q| ∗ |mf s^αi(Q)| requˆetes.

Notons que l’augmentation du nombre des αMFS d´ecouvertes lors de la proc´edure descen-dante (|dmf s^α(Q)|) r´eduit cette complexit´e. En particulier, si toutes les αMFS et αXSS sont d´ecouvertes (dmf s^α(Q) = mf s^α(Q) et dxss^α(Q) = xss^α(Q)), la complexit´e totale devient |Q| ∗ |xssα(Q)| + |mf s^α(Q)|, qui est le dual de l’approche ascendante. Dans le cas contraire, si les αMFS et αXSS ne sont pas d´ecouvertes (dmf s^α(Q) = ∅ et dxss^α(Q) = ∅), la complexit´e totale devient |xss^α(Q)| + |Q| ∗ |mf s^α(Q)|, c’est-`a-dire identique `a celle de l’algorithme αLBA.

Lemme 5 Dans le meilleur des cas, o`u les αMFS et αXSS restent les mˆemes pour chaque seuil, pour chaque seuil α_i sauf pour le premier, l’approche descendante ex´ecute au plus

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∑︂ Q∗∈xssα1_(Q) ∧|Q∗|<|Q|−1 |Q| − |Q^∗| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

+ |mf s^αi(Q)| requˆetes.

Preuve 8 La preuve est le dual du lemme 2 de l’approche ascendante.

Pour un nombre n de seuils, la complexit´e de l’approche descendante est directement d´eduite du lemme pr´ec´edent.

Proposition 3 Dans le meilleur des cas, pour n seuils αi o`u ∀ i ∈ {2, 3, ..., n},

xss^αi(Q) = xss^α1(Q), l’approche descendante ex´ecute au maximum le nombre de requˆetes sui-vant : |xss^α1(Q)| + (|Q| + n − 1) ∗ |mf s^α1(Q)| + (n − 1) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∑︂ Q^∗∈xssα1_(Q) ∧|Q∗|<|Q|−1 |Q| − |Q^∗| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (4.2)

Par cons´equent, l’approche descendante devient plus efficace lorsque les αXSS ont un grand nombre de patrons de triplets, dans le but de minimiser le coˆut associ´e au terme le plus `a droite de l’´equation 4.2. Intuitivement, puisqu’une αi−1XSS est une sous-requˆete d’une αi XSS `

a d´ecouvrir, l’espace de recherche devient plus petit lorsque les αi−1XSS ont un grand nombre de patrons de triplets.

4.7. ´EVALUATION EXP ´ERIMENTALE

4.6.4 Approche hybride

Nous consid´erons maintenant la complexit´e de l’approche hybride. ´Etant donn´e que les

αMFS et les αXSS peuvent ˆetre d´ecouvertes `a partir de seuils inf´erieurs et sup´erieurs, avec un nombre distinct de requˆetes ex´ecut´ees, le lemme suivant identifie dmf s^α_inf(Q) comme des

αMFS d´ecouvertes `a partir d’un seuil inf´erieur d’une mani`ere similaire `a l’approche ascendante.

dxss^α_inf(Q),dmf s^α_sup(Q), dxss^α_sup(Q) sont d´efinis de mani`ere similaire en fonction de leur type (αMFS, αXSS) et de leur origine (seuil inf´erieur : inf, seuil sup´erieur : sup). Le lemme suivant est issu des r´esultats des lemmes 1 et 4.

Lemme 6 Le processus de d´ecouverte des αMFS et des αXSS au cours de l’approche hybride ex´ecute au plus |Q| ∗ |dmf s^αi_inf(Q)| + |dxss^αi_inf(Q)| + |dmf s^αi_sup(Q)| + |Q| ∗ |dxss^αi_sup(Q)| requˆetes.

Notons que dmf s^αi_inf(Q) ∩ dmf s^αi_sup(Q) = ∅ et dxss^αi_inf(Q) ∩ dxss^αi_sup(Q) = ∅.

En additionnant les r´esultats du lemme 6 et du corollaire 2, nous obtenons directement le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 4 Pour chaque seuil αi, l’approche hybride ex´ecute au plus

(|Q| − 1)^(︂|dxss^αi_sup(Q)| − |dmf s^αi_sup(Q)|^)︂+ |xss^αi(Q)| + |Q| ∗ |mf s^αi(Q)| requˆetes.

Dans le cas le plus d´efavorable, cette complexit´e est la mˆeme que celle utilis´ee dans l’approche descendante (th´eor`eme 3). Intuitivement, la partie de l’approche ascendante est couverte par Optimized-LBA, comme le souligne le th´eor`eme 2. En ce qui concerne l’approche descendante, cette complexit´e devient la mˆeme que celle de αLBA, lorsque aucune αMFS ou αXSS n’est d´ecouverte.

Dans le meilleur des cas, la complexit´e de l’approche hybride est identique `a celle de l’ap-proche ascendante (th´eor`eme 2) pour ses deux premiers seuils (le seuil le plus bas est suivi du plus ´elev´e lors de cette ´evaluation). Une fois que ces mf s^α1, xss^α1, mf s^αn et xss^αn sont d´ ecou-vertes, l’algorithme n’ex´ecute plus de requˆetes pour d´eterminer les αMFS et les αXSS de tous les autres seuils (proposition 6).

Corolaire 3 Dans le meilleur cas, pour un nombre n de seuils α_i o`u ∀ i ∈ {2, 3, ..., n},

mf s^αi(Q) = mf s^α1(Q), l’approche hybride ex´ecute au plus, le nombre de requˆetes suivant :

2 ∗ |xss^α1(Q)| + |Q| ∗ |mf s^α1(Q)| + ⎛ ⎜ ⎝ ∑︂ Q∗∈mfs^α1(Q)∧|Q∗|>1 |Q^∗| ⎞ ⎟ ⎠requˆetes.

Dans le meilleur cas, l’approche hybride est la seule approche dont la complexit´e est ind´ epen-dante du nombre de seuils, ce qui peut ˆetre particuli`erement utile si de nombreux seuils doivent ˆ

etre consid´er´es.

4.7 Evaluation exp´^´ erimentale

Dans cette section, nous pr´esentons les impl´ementations des algorithmes d´efinis dans ce chapitre, que nous comparons ensuite exp´erimentalement `a la m´ethode de base NLBA. Nous ´

Algorithmes

Nous avons impl´ement´e nos algorithmes descendants, ascendants et hybrides, ainsi que la m´ethode de base NLBA, avec Oracle Java 1.8 64 bits. Ces algorithmes prennent en entr´ee une requˆete RDF d´efaillante et un ensemble de seuils. Ils renvoient les ensembles des αMFS et αXSS de cette requˆete pour chaque seuil. Dans l’impl´ementation actuelle, ces algorithmes peuvent ˆetre ex´ecut´es sur Jena TDB et Virtuoso. Notre impl´ementation est disponible sur https://forge. lias-lab.fr/projects/qars4ukb avec un tutoriel pour reproduire nos exp´erimentations.

Configuration exp´erimentale

Nos exp´erimentations ont ´et´e men´ees sur un syst`eme Ubuntu Server 16.04 LTS avec un processeur Intel XEON E5-2630 v3 @ 2,4 GHz, ´equip´e de 16 Go de RAM. Pour nos exp´ eri-mentations, nous utilisons arbitrairement la fonction d’agr´egation (aggreg) min, comme nous l’avons pr´ecis´e dans le chapitre pr´ec´edant (section 3.3.3). Les r´esultats pr´esent´es sont la moyenne de cinq ex´ecutions cons´ecutives des algorithmes. Pour ´eviter un effet de d´emarrage `a froid, une ex´ecution pr´eliminaire est effectu´ee mais n’est pas incluse dans les r´esultats.

Jeu de donn´ees et requˆetes

Nous avons utilis´e six jeux de donn´ees RDF incertains avec un nombre de triplets de 20K, 100K, 20M, 40M, 60M et 80M g´en´er´es avec le banc d’essai Waterloo SPARQL Diversity (WatDiv) [AH ¨OD14] (le jeu de donn´ees 20K est un sous-ensemble du 100K, etc.). Le degr´e de confiance de chaque triplet RDF a ´et´e g´en´er´e al´eatoirement avec une distribution uniforme sur [0, 1]. Nous consid´erons les mˆemes 7 requˆetes du banc d’essais WatDiv utilis´ees dans le chapitre pr´ec´edent (voir chapitre 3, tableau 3.1).

Impl´ementation Quadstore

Le stockage et l’interrogation des triplets RDF sont g´en´eralement d´el´egu´es `a un TriplesStore tel que Jena TDB ou Virtuoso. Dans ce chapitre nous avons envisag´e diff´erentes impl´ementations, au-del`a du simple choix du TriplesStore sous-jacent, pour g´erer des triplets RDF incertains et des requˆetes avec seuil de confiance :

— impl´ementation avec Quad Filter. Cette impl´ementation est sp´ecifique `a Jena TDB. Nous utilisons la technique du graphe nomm´e [GC14] (´egalement appel´ee technique des N-quads) pour repr´esenter les triplets avec leur degr´e de confiance (Quads), ainsi Jena TDB fournit un filtre de bas niveau que nous utilisons, pour ne consid´erer que les r´esultats satisfaisant le seuil fourni¹;

— impl´ementation avec les graphes nomm´es. Comme dans l’impl´ementation pr´ec´edente, nous utilisons la technique des graphes nomm´es, pour g´erer les triplets RDF incertains, mais nous r´ecup´erons les r´esultats satisfaisants le seuil fourni en interrogeant un ensemble de graphes nomm´es (l’impl´ementation de cette technique est d´etaill´ee dans la section 4.7.4); — impl´ementation avec la r´eification. La r´eification est une m´ethode standard pour inclure la confiance, en d´ecomposant le quadruple obtenu en quatre triplets RDF. Les requˆetes de seuil doivent ensuite ˆetre r´e´ecrites pour permettre la r´eification. L’impl´ementation de cette technique est d´etaill´ee dans la section 4.7.5.

4.7. ´EVALUATION EXP ´ERIMENTALE Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 NLBA 1,36 7,07 13,08 6,17 2,22 5,27 16,63 Ascendant 0,5 0,24 11,08 6,12 0,8 4,46 13,11 Descendant 1,35 1,27 8,78 0,35 2,16 2,59 13,79 Hybride 0,5 0,24 11,76 2,5 0,8 3,75 14,98 0 2