L'appro he du parallélisme des tran hes

L'Hydrodynamique de Daniel Bernoulli (1738)

C'estàlapubli ationdel'Hydrodynamique deDanielBernoulli,en1738 34

,qu'ilnous fautremonter pour parvenirà situerle ontenu desre her hes menéespar D'Alembert danslase onde éditionduTraité des uides (1770), leMémoire51 ŸIV desOpus ules t.VI(1773) etleMémoire57 desOpus ules t.VIII(1780).

Ave la parution de et ouvrage, la dis ipline visant à l'étude du mouvement des uides,an iennement appeléehydraulique,a quiertle statutde s ien eetprendle nomd'hydrodynamique.D. Bernoulli y propose une première théoriegénérale des é oulements fondée sur un prin ipe mé anique, le prin ipe de onservation des for es vives,et surune approximation, l'hypothèse duparallélisme destran hes. Cette hypo-thèse onsisteàdiviserunuides'é oulantdansunvaseentran hesparallèlessupposées animées par des vitesses homogènes, dirigées dans le sens de l'é oulement, et inverse-ment proportionnelles à leurs se tions respe tives  ette dernière propriété assurant la onservationdudébitdanslevase omptetenudu ara tèrein ompressibleduuide étudié.Ellepermetderamenerl'étudedumouvementàuneseuledimensiond'espa e,la hauteurduuide, et,par là-même,deparvenir àdeséquationsdiérentiellesordinaires queles te hniques de al ul de l'époque permettent de résoudre. Il sera don possible, dans e adre, de omparer les valeurs théoriques tirées des équations aux nombreux résultatsexpérimentaux rapportés par D. Bernoulli à la n de ha une des treize se -tions de l'ouvrage

35

. En ayant re ours à ette hypothèse, e dernier dénit ainsi une premièreappro hepourl'étudedumouvementdesuidesdanslesvasesetles anaux : l'appro he du parallélismedestran hes, 'estainsiquenousl'appellerons par lasuite.

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D. Bernoulli, Hydrodynami a, sive De Viribus et MotibusFluidorum Commentarii, Strasbourg, 1738. Pour plusde détails surl'ouvrage, voir G.K.Mikhaïlov, Introdu tion to Daniel Bernoulli's Hydrodynami a, Die Werkevon Daniel Bernoulli, HydrodynamiqueII,vol. V,Birkhäuser Verlag, Bâle,2002;C.Truesdell,Rationaluidme hani s,1687-1765,1954,p.XXIII-XXXI;J.S.Calero, La genesis de la me ani a de uidos, 1996, p. 411-447; O. Darrigol, Worlds of ow : A history of hydrodynami sfromtheBernoullistoPrandtl,OxfordUniversityPress,2005,p.4-9.

35

Lamiseenéquationproprementditereposesurleprin ipede onservationdesfor es vives. Ceprin ipe, D.Bernoullil'emprunteàHuygens, quien donne lepremier énon é danslaquatrième partie, onsa réeà lare her he du entre d'os illation d'unpendule omposé, de son Horologium os illatorium (1673)

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. Confronté, dans e problème, à l'examen de for es exer ées par un trop grand nombre de orps pour espérer en venir àbout,Huygens ontourna ladi ulté ens'inspirantde ladé ouvertede Galiléeselon laquelleun orpsperdant de l'altitudea quiert une vitesseéquivalenteà lahauteurde hutepar ourue.Ce iluipermitdeformulerleprin ipeassurantquelorsqu'unnombre quel onque de poids ommen ent à se mouvoir par leur propre gravité, leur entre de gravité ommun ne peut s'élever à une hauteur supérieure à elle où il se trouvait au débutdu mouvement

37 .

D. Bernoulli, e faisant, passe néanmoins tout un pan d'histoire sous silen e, une histoire marquée, à la n du XVII

e

et dans la première moitié du XVIII e

siè le, par une intense et durable querelle, dite des for es vives,portant à la fois surla rédi-bilité même du prin ipe, onsidéré par beau oup ommemétaphysique etindire t, sur la dénition du on ept de for e, sur l'établissement des lois du ho des orps et sur lespropriétés onstitutivesdelamatièresolide.Enadoptant laformulationdeHuygens plutt que elledonnée par sonpère, JeanBernoulli, dansson élèbreDis ours sur les loixdela ommuni ation dumouvement (1727),ilavoued'ailleurslui-mêmeavoir her- hé à ménager  ertains Philosophes, qui ont tendan e à devenir nerveuxlorsqu'il est fait mention du termede for e vive

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.Considérant uné oulement dans unvase sou-mis àlaseule a élérationde lapesanteur, leprin ipede onservation desfor es vives, tel qu'il setrouve appliqué dans l'Hydrodynamique, onsiste ainsià égaler la montée potentielle (as ensuspotentialis), 'est-à-dire

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la hauteuràlaquellele entre degravité dusystème parviendrait sil'on onsi-dèreque les diérentes parti ules,lorsque leur mouvement est hangé en vitesse as ensionnelle,montentaussihautqu'elleslepeuvent

etlades ente a tuelle(des ensus a tualis), 'est-à-dire 40

lahauteurdontle entre degravitéserades endu aprèsquelesdiérentes par-ti ulesaienttrouvélerepos.

Lamontéepotentielleetlades entea tuelle orrespondraientrespe tivement,entermes modernes,à l'énergie inétique

E_c

etl'opposéde l'énergiepotentielle

−Ep

dela masse

36

C.Huygens,Horologiumos illatorium,sive demotu pendulorumad horologiaaptato demonstra-tiones geometri ae,Paris,1673,PartieIV.

37

C. Huygens,Ibid. note36, Partie IV,HypothèseI, p.93. La tradu tion française itéeest elle donnéeparR.DugasdanssonHistoiredelaMé anique,Neu hatel,EditionsduGrion,1950,p.178.

38

D.Bernoulli,Hydrodynamique,Se t.I,Ÿ18,p.10.Latradu tionfrançaisedonnée i-dessusestde notrefait:ilenserademêmedesautrespassagesdel'ouvrage itésdans ettethèse.

39

D.Bernoulli,Hydrodynamique,Se t.III,Ÿ1,p.29. 40

totale de uide présente dans le vase à haque instant de l'é oulement, toutes deux expriméespar unitéde masse.Leur égalitérenvoiedon à eque nousappellerions au-jourd'huila onservationdel'énergiemé anique,sommede l'énergie inétique

Ec

etde l'énergiepotentielle

Ep

.

Dans la se tion XII de l'Hydrodynamique, le savant établit également, omme l'on sait, lapremière formulation de la élèbre équation portant aujourd'hui le nom de loi deBernoulli.Le résultatapparaît néanmoinssousuneformetrès diérentedelantre. Si, en armant que la pression doit être proportionnelle à l'a élération ou à l'in- rément devitesse quere evrait l'eau sitout obsta leau mouvement s'évanouissaiten un instant

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, D. Bernoulli établit en eet pour la première fois un lien dire t entre lapression et la vitessedu uide  dans le adre d'une théorie appelée  hydrauli o-statique (hydrauli o-statti a) , il n'interprète pas ladite pression autrement qu'en terme d'eort exer é par le uide sur les parois du vase ontre lesquelles il s'é oule. Le résultat, qui ne fait par intervenir la notion de pression interne, ne reste don va-lableque globalement

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etsetrouve antonnéà des astrès parti uliers d'é oulements stationnaires.

L'Hydraulique de Jean Bernoulli (1743)

Quelquesannéesplustard, J.Bernoulli, pèrede Daniel,donne également sapropre théorie. Il publie son Hydraulique

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dans le ourant de l'année 1743, en l'antidatant de dix ans an de ontester à sonls la priorité des re her hes de l'Hydrodynamique. L'ouvrage, divisé en deux parties, présente un ertain nombre de similitudes ave la se tionXIIdu traitéde D.Bernoulli,notamment pour e qui on erne ladénitiondu on ept de pression, e qui, omme le souligne C. Truesdell, pousse à roire que le pèrea plagié lels

44 .

Plagiat ou pas, l'Hydraulique ontient de réelles avan ées. Du point de vue de la méthode de mise en équation tout d'abord, si J. Bernoulli adopte la même appro he queDanielpour e qui on erne l'hypothèse du parallélisme, il luirepro he ependant de s'être appuyé sur un fondement indire t, la onservation des for es vives, sans doutetrès vraisemblableetdémontréepar moi,maisquin'estpasa eptée partousles

41

D.Bernoulli,Hydrodynamique,Se t.XII,Ÿ5,p.257-258. 42

Pré isonsnéanmoinsquelaméthodedemiseenéquationd'uné oulementdeD.Bernoulli,fondée sur le prin ipe de onservation des for es vives, témoigne d'une appro he globale de l'é oulement, laquellenené essitepaslapriseen omptedespressions(internes)s'exerçantàl'intérieurduuide.

43

J. Bernoulli, Hydrauli a nun primum dete ta a demonstrata dire te ex fundamentia pure me hani is.Anno1732,JohannisBernoulliOperaOmnia,vol.4,1743,p.387-493.

44

C.Truesdell,Rational uidme hani s, 1687-1765,1954, p.XXXII.Pourplus dedétails sur l'ouvrage,voirC.Truesdell,Rationaluidme hani s,1687-1765,1954,p.XXXI-XXXVII,G. Mal-tese,Lastoriadi"

F = ma

".Lase ondaleggedelmotonelXVIIIse olo,Firenze,1992,p.166-179,et

philosophes 45

.Il emploie don unautre prin ipe, e quenousappellerionslase onde loide Newton,qu'ilapplique aumouvement de haquetran heinnitésimale deuide. C'est là une démar he fort diérente de elle, globale, de son ls, qui inspirera dire -tement lafuturethéorie desé oulements d'Euler. J.Bernoullia,outre ela,re oursau prin ipe de l'hydrostatique aujourd'hui onnu sous le nom de théorème de Pas al, e dernierluipermettant de translaterl'expression del'ensembledesfor es s'exerçant auseinduuideauniveaudelasurfa esupérieuredel'é oulement. Saméthode repose enn sur le onstat d'un phénomène négligéet onsidéré jusqu'alors omme de nulle importan e , la formation d'une gorge, 'est-à-dire d'une variation de la se tion réellede l'é oulement onsé utive àl'apparitiond'unezonedeuidetourbillonnaire ou stagnante, danstousles asoùleuidepassed'unendroit pluslargeàunplusétroit, ou au ontraired'un plusétroitvers unplus large

46 .

Pour e quiestdelapression,J.Bernoullimetledoigtsurlestatutinternede ette notion en faisant, omme en témoigne le passage suivant, expli itement la distin tion entreunefor eimmatérielle[qui℄agitenavantetenarrière

47

auseindel'é oulement etlapressionexterneà laquellesebornesonlsdansl'Hydrodynamique, 'est-à-direla for es'exerçant sur lesparois de la onduite

48 :

Pour omprendrejustementet lairement,enquoi onsiste ettefor equis'exer e surlesparoisd'un anallorsqu'un liquides'yé oule,nousdevonssavoirque ette for en'estriend'autreque ellequitiresonoriginedelafor ede ompression,par laquellelesparties duuiderestentvéritablementsu essivement ontiguës;[...℄ àleur onta t[...℄,para tionetréa tion,estproduiteunefor eintermédiaire,que j'ai outumed'appelerimmatérielle[...℄.Leproprede ettefor eestderepousser lapartieduliquidequipré èdeversl'avant,ouàl'opposéd'oùelleva,etdepousser lasuivanteversl'arrière, 'est-à-direàl'opposéd'oùellevient;etdefaireensorte quelapartieduliquidesuivante,muepardesfor esdetranslation,etlapartiede liquidepré édente,àlaquelleelledoitimprimerunesorted'a élération,assurent enleur onta tl'égalitédesfor esa élératri es.

Quoiqu'il se restreigne, dans sa théorie, au al ul de la pression s'appliquant sur les parois du anal, il parvient ependant à établir son expression dans le as non stationnaire, un progrès vis-à-vis de l'Hydrodynamique qui ne manquera pas d'attirer l'attention d'Euler, ainsi qu'en atteste sa lettre à J. Bernoulli du 18 o tobre 1740, partiellement impriméeen en-têtede l'ouvrage

49 :

45

J.Bernoulli,Hydraulique,1743,préfa e,p.392.Latradu tionfrançaisede epassage et elledes autresextraitsdel'Hydraulique itésdans ettethèsesontissuesdelatradu tionintégraledel'édition latined'originequenousavonsréaliséeen ollaborationave B.Bruen2006et2007.

46

J.Bernoulli,Hydraulique,1743,préfa e,p.392-393. 47

J.Bernoulli,Hydraulique,1743,PartieII,ŸX,p.443. 48

J.Bernoulli,Hydraulique,1743,PartieII,ŸIX,p.442. 49

Quantàlaquestiontrèsobs ure ettrès a héedelapressionquelesparoisdes vases subissentdufait deseaux qui s'yé oulent,tu l'asdémêlée si distin tement et si nettement, qu'ilne reste plusrien à désirersur e point si déli at. En eet personne n'a abordé ettequestion, ex epté Ton très élèbre Fils, qui n'a déni lapressionquedefaçonassezindire te, ommesilatotalitédumouvementavait atteintsonétatpermanent. AlorsqueToi,parune méthodetrès naturelle,Tu as déterminé de façon très pré ise la pression de l'eau en tout état, invention très digne deToidontje Teféli itede tout oeur,Homme très ex ellent, et jeTesais innimentgrédemel'avoir ommuniquée.

L'Hydraulique, ommenousauronsl'o asiondeledémontrer,exer eégalementune grande inuen e sur D'Alembert, dont la première théorie des é oulements paraît en 1744sousletitreTraitédel'Equilibre etduMouvementdesFluides,pourservirdesuite auTraité deDynamique.

Le Traité des uides de D'Alembert (1744)

Le Traité des uides s'ins rit dans la droite lignée de es deux premiers ouvrages, en e qu'il reposesurlamême approximation, leparallélisme destran hes.

Dupointdevuedesprin ipesemployés,sonappro hesedémarquetoutefoisde elle de ses deux illustres prédé esseurs. L'année pré édente, le savant publiait en eet son TraitédeDynamique,dontl'art.50 ontientlepremierénon édu élèbreprin ipe,ditde D'Alembert, permettant de ramener lamise en équation d'un problème de dynamique à elle d'un problème auxiliaire de statique. D'Alembert dispose, grâ e à lui, d'une méthodegénéralepourabordertouslestypesdequestionsmé aniques,notamment elle de l'é oulement des uides, à laquelle il onsa re quelques pages à la n de l'ouvrage avantderenvoyerlesle teursauTraitédesuidespourdeplusamplesdétails.Sathéorie desé oulementsde1744 onstitueainsiundéveloppementdelaméthodepré édemment esquissée. Comme toutes les lois du mouvement des Corps Solides entre eux, ont été réduites par e prin ipe aux Lois de l'équilibre de es mêmes orps, explique-t-il dans l'art. 85 du traité, les Lois du mouvement des Fluides, peuvent aussi se réduire par e même moyen aux Lois de l'équilibre desFluides.La mise en équation desproblèmes d'é oulements, onsidérésdansl'hypothèseduparallélismedestran hes, dé oule,autrement dit, de l'appli ation onjointedes prin ipes de la dynamiqueet de l'hydrostatique,lepremierde esprin ipespermettant d'employerduse ond. Ildonne, dans la foulée, une démonstration du prin ipe de onservation des for es vives, qui, en termes modernes, revêt don le statut d'intégrale première du mouvement, un tout autre statut, don , que dans l'Hydrodynamique de D. Bernoulli. C'est là laprin ipale dé ouverte de D'Alembertdans et ouvrage.

termed'eort exer é ontre les parois. Quant à son expressionthéorique, qu'il s'agisse d'é oulements stationnaires ou non stationnaires, elle ne dière au unement de elle donnéedansl'Hydraulique deJ.Bernoulli.Defaçongénérale,ladénitionde e on ept dans la théorie des é oulements de D'Alembert onstitue une question épineuse dont nousaborderons ertainsaspe tsdansle hapitre VIII.

Le prin ipal intérêt du Traité des uides réside enfait dansles questionssoulevées par l'auteur, ainsi que dans les appré iations émises à l'endroit des théories de D. et J. Bernoulli. D'Alembert onsa re, d'une part, une dizaine de pages au résumé et au ommentaire ritique de l'Hydraulique, lesquels ne passeront pas inaperçus, puisqu'ils feront l'objetd'unmémoire latindu savantetlittérateurAbrabramGotthelf Kaestner, publié en 1769 etintitulé Pour l'Hydraulique de Jean Bernoulli ontre les obje tions de Monsieur d'Alembert

50

. Le livre II du Traité des uides, onsa ré à la question del'é oulement desuides, présente, d'autrepart, unestru ture quasimentidentiqueà elledelase tionIIIdel'Hydrodynamique :lesdiérentsproblèmesd'é oulementssont abordés dans le même ordre et font systématiquement l'objet d'une omparaison de D'Alembertentresespropres résultatset euxobtenus parsonprédé esseur.Le savant français met ainsi ledoigt surune sériede divergen es dire tement liées auxquerelles mé ani iennes tou hant à l'emploi du prin ipe de onservation des for es vives. Ces désa ords, a priori anodins, reviendront bientt ave for e sur le devant de la s ène s ientique française. Ils onstitueront l'un des prin ipaux sujets de polémique de la rise de l'hydrodynamique des années 1770, et feront don , à e titre, l'objet de nou-velles re her hes etde nouveaux ommentaires de D'Alembert dansla se onde édition du traité,publiée en 1770, etdansleMémoire57 desOpus ules t.VIII(1780).

Con ernantlesquestionssoulevéesdansleTraité desuides,lesdouteset question-nements dusavant ausujet del'hypothèse duparallélismes'avèreront parti ulièrement déterminantsauregarddeladire tionpriseparl'hydrodynamiqueàpartirdudébutdes années 1750. L'approximation ommune aux trois premiers traités d'hydrodynamique pose en fait d'évidents problèmes de on ordan e ave l'expérien e : la représentation théorique d'uné oulement sousforme de tran hes horizontales animéesde vitesses ho-mogènesapparaît omme tropéloignéedestraje toires réelles empruntéespar le uide lorsdesonmouvement àl'intérieurd'unvase.Ens'interrogeantexpli itementsurle su-jetdansl'art.110dutraitéd'ailleursprolongéparunlongappendi e,D'Alembert dénit en quelque sorte unnouveau ap àfran hir pour ladis ipline. Sansl'hypothèse du parallélisme, é rit-il

51 ,

iln'yauraitplusalorsd'autremoyenpourdéterminer emouvementque d'exa-miner eluique haqueparti uledevraitavoir:or 'estàquoinousne royonspas qu'onpuisseatteindresans onnaîtrelanaturedesFluides.

50

A. G.Kaestner,JohanBernoullihydrauli a ontraDom.d'Alembertobje tiones,Novi om-mentariiSo ietatisRegiaeS ientiarumGottingensis,t.I,1769,p.45-89.

Dans le document L'hydrodynamique dans l'œuvre de D'Alembert 1766-1783 : histoire et analyse détaillée des concepts pour l'édition critique et commentée de ses "Œuvres complètes" et leur édition électronique. (Page 40-46)