2.3 Régularisation discrète sur graphes pondérés
2.3.5 Applications
Nous présentons ici brièvement les potentialités de la méthode qui permet, comme nous allons le voir, d’effectuer une régularisation non locale sur des images ou des variétés. Nous considérons tout d’abord le cas du filtrage pour p = 1 afin de bien préserver les contours. La figure 2.19 présente des résultats de débruitage sur une image considérée comme un graphe de type grille avec un voisinage en8-connexité. Selon le type de bruit (impulsionnel ou Gaussien), des fonctions de poids sont préférables. Pour le bruit impulsionnel une fonction de type g1 est
préférable et pour le bruit de type Gaussien on préférera une fonction de type g2 oug3. Nous
avons pu étudier expérimentalement [16] les propriétés de la régularisation proposée dans le cadre du filtrage, et les capacités de notre approche sont équivalentes aux approches classiques tout en étant très simples et efficaces. La figure 2.19(f) présente une restauration basée sur un changement de représentation du vecteur couleur attaché à chaque noeud du graphe où la lumi-nance et la chromaticité sont restaurés séparément.
Le filtrage que nous avons effectué dans la figure 2.19 est un filtrage local car l’on consi-dère un graphe de voisinage en 8-connexité. Nous allons voir ici les bénéfices d’une approche non locale sur une image réelle comportant du bruit 2.20(a). Nous considérons une fonction de pondération de type g1 et g2 opérant en local (figures 2.20(b) et 2.20(c)), une fonction de pondération de type g2 opérant en non-local en représentation RGB (figure 2.20(d) ou bien Luminance-Chromaticité (figure 2.20(e)). Dans le cas du non-local, on considère un voisinage de recherche de type7 × 7 (chaque pixel est relié à ses 48 voisins directs) avec un vecteur Ff défini sur une fenêtre de type5 × 5. La norme utilisée dans g2pour comparer les vecteursFf est
kFf(u) − Ff(v)k22,a. Comme cela a été constaté par BUADES[BUADES05A], un filtrage selon un modèle non local permet de mieux préserver les informations textures. C’est donc évidem-ment le cas égaleévidem-ment de notre approche par régularisation non locale. La figure 2.21 en présente une illustration. Les paramètres sont les mêmes que précédemment.
Notre méthode peut également facilement s’adapter à d’autres problématiques telles que la retouche d’images pour supprimer des objets indésirables dans des images. Les figures 2.22(a)-2.22(d) présentent quelques résultats de retouche avec p = 2 et λ = 0 en non-local. Bien que la méthode ne soit pas pleinement apte à restaurer des grandes zones manquantes texturées, on peut vérifier la qualité des résultats obtenus. On notera surtout que ces résultats ont été obtenus en quelques secondes de traitement pour un traitement non-local, ce qui en fait une méthode de retouche d’images très compétitive. Dans le même ordre d’idée, nous avons considéré une application de coloration d’image en niveaux de gris. Pour cela, nous considérons un ensemble de couleurs germes disposés par l’utilisateur. Ces germes sont diffusés (p = 2 et λ = 0) dans l’image par une approche locale avec une représentation de type chromaticité-luminance où seule la chromaticité est régularisée. On constate la qualité des résultats obtenus en quelques secondes également. Ce critère de temps est important étant donné le caractère très interactif de la coloration qui nécessite de corriger les germes (en position et couleur) afin d’obtenir le résultat voulu.
De par sa formulation, notre approche permet d’effectuer naturellement une régularisation non locale sur des variétés. A titre d’exemple, nous considérons un ensemble d’images repré-sentant le chiffre manuscrit zéro dans la base USPS. Nous pouvons effectuer une régularisation non locale sur ces variétés en considérant un graphe complet et une distance euclidienne simple entre les images. Chaque image est considérée comme un vecteur de taille 64 qui est régularisé soit64 régularisations effectuées en parallèle. La figure 2.23(a) présente l’ensemble des images
(a) Image originale. (b) Image bruitée par 15% de bruit impulsion-nel.
(c) Image bruitée par un bruit Gaussien (σ = 15).
(d) Restauration de 2.19(b) avecg1.
(e) Restauration de 2.19(c) avecg2. (f) Restauration de 2.19(c) avecg2 et une re-présentation de type Luminance-Chromaticité.
FIG. 2.19 – Exemple des capacités de filtrage pour deux types de bruits et deux fonctions de pondération différentes.
2.3. Régularisation discrète sur graphes pondérés 37
(a) Image originale bruitée. (b) Image restaurée en local avecg1.
(c) Image restaurée en local avecg2.
(d) Image restaurée en non-local avecg2.
(e) Image restaurée en non-local avecg2 en Luminance-Chromaticité.
FIG. 2.20 – Exemples de capacités de filtrage sur une image réelle avec une approche locale ou non locale.
(a) Image bruitée (σ = 15). (b) p = 2, Régularisation avec g2en local. (c) p = 1, Régularisation avec g2en local. (d) p = 1, Régularisation avec g2en non-local (patch3 × 3).
(e)p = 1, Régularisation avec g2en non-local (patch7 × 7).
FIG. 2.21 – Exemple des bénéfices du modèle de traitement non local pour la préservation de la texture lors d’un filtrage d’une image bruitée par un bruit Gaussien (σ = 15).
2.3. Régularisation discrète sur graphes pondérés 39
(a) Une image dé-gradée.
(b) L’image 2.22(a) retouchée.
(c) Une image à retoucher. (d) L’image 2.22(c) retou-chée.
(e) Une image en niveaux de gris. (f) Les germes couleur à diffuser. (g) L’image recolorée.
FIG. 2.22 – Exemples de retouche et de coloration d’images.
et sa régularisation non locale (p = 2) pour différentes quantités d’attache aux données (figures 2.23(b)-2.23(d)). On remarque bien évidemment que le terme d’attache aux données permet de ne pas trop s’éloigner des données initiales. Notre méthode permet donc de réaliser une régula-risation discrète non locale sur des variétés, ce qui n’est le cas d’aucune méthode de la littérature jusqu’à présent.
En se basant sur une diffusion simple (p = 2 et λ = 0), notre approche permet également d’effectuer un apprentissage semi-supervisé c’est à dire d’effectuer de la diffusion de labels sur graphe à partir de quelques élément labelisés. Nous présentons deux applications de ce principe pour l’extraction d’objets dans les images (Figure 2.24). La première application concerne un graphe de type grille avec deux ensembles de labels initiaux et la seconde application un graphe complet construit sur une pré-segmentation avec trois ensembles de labels initiaux. On remarque qu’avec un graphe complet, notre approche permet de labéliser des éléments qui ne sont pas spatiallement connexes dans l’image, ce qui permet de minimiser le nombre de labels initiaux à positionner.
2.3.6 Conclusion et perspectives
Dans cette section, nous avons proposé une formulation discrète de la régularisation qui re-pose sur des graphes pondérés de topologies arbitraires qui représentent des données de dimen-sions quelconques. Nous avons pu montrer les liens de cette approche avec différentes approches de la littérature. Notre approche dispose d’un certain nombre d’attraits par rapport aux approches
(a) Base d’image originale.
(b) Régularisation non locale avecλ = 1.
(c) Régularisation non locale avecλ = 0.01.
(d) Régularisation non locale avecλ = 0.
FIG. 2.23 – Régularisation non locale de variété (p = 2).
(a) Une image. (b) Un ensemble de la-bels initiaux.
(c) La partition obtenue après diffusion des la-bels.
(d) Une image de micro-scopie et trois ensembles de labels.
(e) La segmentation ob-tenue après diffusion des labels.
2.3. Régularisation discrète sur graphes pondérés 41
classiques. Premièrement, nous avons une formulation exprimée directement en discret, ce qui permet de considérer des graphes de topologies arbitraires. Comme la topologie peut être arbi-traire, nous pouvons naturellement effectuer une régularisation locale, semi locale ou non locale en modifiant simplement la connexité du graphe. En conséquence, nous pouvons alors effectuer une régularisation discrète non locale sur des variétés, ce qu’aucune autre méthode ne permet d’effectuer actuellement. Deuxièmement, la résolution du problème de régularisation est simple à mettre en oeuvre. De plus, avec une formulation locale ou semi locale, la résolution est rapide, ce qui nous a permis d’appliquer notre formalisme à différentes problématiques (restauration, filtrage, retouche, coloration).
Les perspectives de ces travaux sont nombreuses. Tout d’abord, le filtrage de variétés telles que des bases de données (d’images ou non) présente un intérêt certain qui n’a pratiquement jamais été exploré en fouille de données où les données sont considérées brutes et jamais fil-trées. Cependant, si l’on considère le traitement d’image, la simplification est un pré-traitement important facilitant la segmentation. On peut donc supposer que la simplification de bases de données devrait également faciliter leur découpage. D’autre part, nous nous intéressons égale-ment au traiteégale-ment de données de grandes dimensions par des approches discrètes et non locales dans une optique de catégorisation de bases de données d’images ou bien extraites d’images. Il s’agira également de s’intéresser à déterminer l’influence de la topologie des graphes utili-sés dans le cadre d’une approche non locale. En effet, le graphe complet, même s’il présente l’attrait d’exprimer directement un caractère non local, est d’une plus grande complexité que certains autres graphes locaux ou semi locaux (grille, k-ppv, MST ou autres). Ce problème est généralement totalement éludé dans la littérature et il s’agira de l’étudier.