Dans cette partie, on montre une application simple que peuvent apporter les r´esultats asymptotiques pr´esent´es dans l’article en annexe 6.3. Pour tester l’hy- poth`ese nulle H0 : {β = 0}, on propose la statistique Snsuivante.
Sn= inf
t∈[0,L]kXnβ(t)b k 2
Les r´esultats du Th´eor`eme 2 de l’article nous donne la convergence en loi de cette statistique. En effet, on a :
Sn= inf t∈[0,L] √ n bβ(t)X T nXn n √ n bβ(t) inf t∈[0,L]u(t)b TCu(t) = Sb ∞ o`u bu(t) minimise la fonctionnelle
L(φ, t) = −2UTC + φTCφ + t p X j=1
|φj| (3.15)
qui est l’expression du contraste p´enalis´e limite sous H0.
On note qu’en pratique, l’algorithme LARS permet de calculer facilement Sn, car le chemin de r´egularisation est affine par morceaux. Il est de mˆeme ais´e d’ob- tenir des simulations de S∞sous H0 : on simule U ∼ N (0, σ2C), on calcule, l`a encore `a l’aide de la m´ethode LARS, le chemin de r´egularisation bu(t) qui minimise (3.15) et on obtient ainsi la valeur de S∞correspondante. On peut donc facilement calculer des approximations de p-valeurs asymptotiques pour la statistique Sn.
Pour tester les performances de la statistique de test Sn, on a construit des courbes ROC `a partir de donn´ees simul´ees. Nous avons pris n = 30 essais, p = 20 variables explicatives et nous avons simul´e un mod`ele lin´eaire sous H0 et sous H1. Nous avons consid´er´e que sous H1, les coefficients de β sont uniform´ement distribu´es dans [−1, 1]. Les vecteurs de r´egression sont pris gaussiens de variance unit´e. Nous avons consid´er´e les deux types de bruit additif au mod`ele lin´eaire sui- vants :
– un bruit gaussien de loi N (0, 4)
– un m´elange de bruits gaussiens, de loi r´esultante 0.5 N (0, 0.8)+0.5 N (0, 7.2) On compare les courbes ROC de Sn `a celles obtenues avec la F -statistique suivante : Fn= (n − p) Xnβ(0)b 2 p Yn− Xnβ(0)b 2
o`u Yn = [y1. . . yn]T est construit suivant le mˆeme mod`ele. Cette statistique est due `a Fisher et est classiquement utilis´ee par tester cette hypoth`ese, par exemple dans la m´ethode d’analyse de la variance (ANOVA). Les r´esultats de la figure 3.1 montrent que les performances de Snsont meilleures que celles de Fn.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
True positive rate
False positive rate
1 00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
True positive rate
False positive rate
FIG. 3.1 – Courbes ROC de Sn en trait plein rouge et Fn en trait pointill´e bleu. 1000 simultations de Monte-Carlo ont ´et´e tir´ees sous H0et sous H1. En haut : cas d’un bruit gaussien. En bas : cas d’un m´elange de bruits gaussiens
Chapitre 4
Objectivation multi-prestations
4.1 Le contexte de la multi-prestations
4.1.1 D´efinition de la multi-prestations
Comme vu pr´ec´edemment dans la partie 2.1, le d´eploiement des prestations passe par la d´eclinaison de divers cahiers des charges. Le but est de cibler quelles sont les pi`eces et plus pr´ecis´ement encore quelles sont les caract´eristiques tech- niques de celles-ci qui influent sur le ressenti final du client. C’est le rˆole de l’ob- jectivation : parvenir `a mettre au point les pi`eces et les organes pour satisfaire au mieux le client.
Cependant, la mise au point d’une pi`ece ou d’un organe peut influer sur plus d’une prestation. Et pour compliquer les choses, deux prestations peuvent ˆetre du ressort de diff´erents domaines d’ing´enierie. Actuellement, l’objectivation est r´ealis´ee prestation par prestation. Il peut ainsi arriver que deux objectivations s´epa- r´ees conduisent `a des pr´econisations contradictoires pour un mˆeme organe. Il faut dans ce cas pouvoir trouver un compromis qui satisfait au mieux le client. On parle alors d’objectivation multi-prestations.
4.1.2 Exemple de multi-prestations
Prenons un exemple concret pour mettre en ´evidence la n´ecessit´e, dans certains cas, d’objectiver simutan´ement plusieurs prestations.
Pour l’exemple, nous restons dans le p´erim`etre de l’agr´ement des commandes. On consid`ere la p´edale d’embrayage et plus pr´ecis´ement, la mise au point de sa longueur de course1. La mise au point d’un tel organe est un cas typique de multi- 1La longueur de course est le trajet entre les positions « p´edale lev´ee » et « p´edale totalement enfonc´ee ».
prestations car elle affecte diff´erents m´etiers. En effet, les deux cahiers des charges suivants doivent ˆetre respect´es.
Agr´ement des commandes Le m´etier agr´ement des commandes s’assure que les commandes sont faciles `a manipuler. En ce qui concerne la p´edale d’em- brayage, l’action `a r´ealiser lors d’un d´ebrayage (i.e. enfoncer la p´edale) de- mande un effort important. En effet, le conducteur doit appuyer suffisamment sur la p´edale pour permettre au disque d’embrayage de se d´esolidariser du volant moteur. Un moyen efficace de diminuer cet effort est de le d´emultiplier en allongeant la course de la p´edale. C’est pourquoi les experts agr´ement pr´econisent une course de p´edale d’embrayage plutˆot longue.
Ergonomie Le m´etier ergonomie s’assure que l’atteinte et la manipulation des commandes n’engendre pas de gˆene chez le conducteur. Les courses des deux autres p´edales (acc´el´erateur et frein) sont en g´en´eral beaucoup plus courtes, car les m´ecanismes mis en jeu n´ecessitent de moindres efforts. Plus la course de la p´edale d’embrayage est longue, plus le conducteur doit lever la jambe, ce qui est une source d’inconfort. Il faut aussi ´eviter que le genou du conducteur vienne heurter le bas du volant. C’est pourquoi les experts agr´ement pr´econisent, eux, une course de p´edale d’embrayage plutˆot courte. Si les objectivations sont r´ealis´ees s´epar´ement, alors l’objectivation de la pres- tation agr´ement des commandes fournit une grande valeur pour la course de la p´edale d’embrayage tandis que l’objectivation de la prestation ergonomie fournit une petite valeur pour la mˆeme course. Il y a donc un compromis `a trouver entre les deux m´etiers. Actuellement, dans la pratique, c’est au chef de projet v´ehicule qu’il incombe de trancher, apr`es que les experts de chaque prestation ont expliqu´e leur point de vue et leur pr´econisation. Nous proposons ici de fournir les informations suffisantes pour que ce compromis ne soit plus l’issue de n´egociations mais qu’il soit optimis´e du point de vue du client.
Pour cela, on suppose qu’il est possible de recueillir le ressenti global du client (sur la manipulation de la p´edale d’embrayage par exemple) ainsi que son ressenti partiel sur chacune des prestations (ergonomie, agr´ement des commandes). On rap- pelle que ce n’est pas toujours le cas notamment dans le cas de prestations com- plexes. On pourra alors se contenter d’´evaluations subjectives ´emanant d’experts des diff´erentes prestations, plutˆot que des ´evaluations client.