Une particule quantique sans spin à 1 dimension (II)
2.2.4 Application : les modes quantiques du champ électromagné- électromagné-tique dans le vide.électromagné-tique dans le vide
2.2.4.1 Les équations de Maxwell dans le vide interprétées comme une assem-blée d'oscillateurs harmoniques
Bien que le modèle de l'oscillateur harmonique soit simple, il se trouve être utilisé pour décrire la dynamique du champ électromagnétique
E~(~x, t), ~B(~x, t)
dans le vide, c'est à dire en négligeant le couplage à tout autre champ comme un champ de matière chargée.
Rappels d'électromagnétisme : (cours de Licence 3)
Les équations de Maxwell sont des équations linéaires par rapport aux variables E, ~~ B
(et leurs dérivées partielles) . Le champ électromagnétique forme un système dyna-mique avec un nombre inni de degrés de liberté. Lorsque l'on résoud les équations de Maxwell, on isole les degrés de liberté indépendants. Un degré de liberté indépendant du champ électromagnétique dans le vide est une onde plane caractérisée par son vecteur d'onde~k ∈ R3, et sa polarisation (droite ou gauche). Nous montrons maintenant que la dynamique (linéaire) de cette onde plane s'identie à la dynamique d'un oscillateur harmonique.
Pour démarrer rappelons-nous d'un résultat d'électromagnétisme (voir [Jac75] par exemple), qu'une onde plane dans le vide, de vecteur d'onde~k ∈R3et de polarisation circulaire gauche a pour expression (avec ~x≡(x, y, z)) :
Ex(~x, t) = Ecos
ωt−~k.~x Ey(~x, t) = −Esin
ωt−~k.~x
(2.2.22) oùE >0 est l'amplitude. Donc
(∂Ex
∂t =ωEy
∂Ey
∂t =−ωEx La norme de~k est reliée à la fréquence ω de l'onde par
k = ~k
= ω
c.
Le champ B~(~x, t) quant à lui est complètement spécié par B~(~x, t) = 1
c
~k
k ∧E~(~x, t)
!
E
B k
Figure 2.2.5 Triade des vecteurs~k, ~E, ~B orthogonaux pour une onde plane.
C'est à dire que~k, ~E, ~B forment une base orthogonale directe, et By(~x, t) = −1
cEx, Bx(~x, t) = 1 cEy. La densité volumique d'énergie de l'onde plane est
H = ε0
2 E2(~x, t) +c2B2(~x, t)
=ε0E2 =ε0 Ex2+Ey2 et sa densité d'impulsion est donnée par le vecteur de Poynting :
P~ =ε0E(~~ x, t)∧B(~~ x, t) = ε0
cE2 ~k k
!
(Remarquer la relation relativiste H2−P2c2 = 0 entre l'énergie et l'impulsion).
D'après ci-dessus la dynamique de l'onde plane, se représente à ~x xé, par un mouve-ment circulaire dans le plan (Ex, Ey) (ou (Bx, By)).
Ex Ey
Ez Etat classique du champ (un point qui tourne)
rotation
Figure 2.2.6
Cela fait naturellement penser à la dynamique de l'oscillateur harmonique dans le plan (q(t), p(t)). Pour préciser cette formulation, choisissons un point de référence, par exemple l'origine ~x= 0, et dénissons :6
q(t) =
√2ε0
ω Ex(0, t), p(t) = √
2ε0Ey(0, t). (2.2.23)
6. Pour procéder systématiquement, posonsq=αEx et p=βEy, avec α, β inconnus. On adEx/dt= ωEy,dEy/dt=−ωEx etH =0 Ex2+E2y
. Doncdq/dt= (αω/β)petdp/dt=−(βω/α)q. On voudrait dq/dt=petdp/dt=−ω2qetH =12 p2+ω2q2. On déduit que α=√
20/ωet β=αω=√ 20.
Alors on vérie que l'on a bien les relations dénissant la dynamique d'un oscillateur de fréquenceω :
H = 1
2 p2+ω2q2 dq
dt = p(t) = ∂H
∂p dp
dt = −ω2q =−∂H
∂q
Pour le mode de polarisation circulaire droite, la démarche est identique, il sut d'in-verser le rôle de Ex etEy.
D'un point de vue dynamique, le rayonnement électromagnétique classique dans le vide est donc équivalent à une assemblée d'oscillateurs harmoniques. il y a une innité de variables (q, p)diérentes et indépendantes, pour chacun des modes (ou onde plane) :
mode≡
~k ∈R3,polarisation =±1 Globalement, l'espace des phases classique est donc
Pphase = 2M
~k∈R3
R2qk,pk
et le Hamiltonien classique est la fonction suivante sur Pphase :
H = X
~k∈R3
1
2 p2k+ωk2q2k avec ωk =c
~k
. Noter que la décomposition d'une onde en ondes planes est similaire à la décomposition de Fourier d'une fonction en modes de Fouriers.
2.2.4.2 Quantication du champ électromagnétique
Bien qu'il s'agisse d'une onde, le champ électromagnétique de Maxwell est de nature classique et non quantique (l'onde n'exprime pas une amplitude de probabi-lité de présence d'une particule). Mais comme nous le ferons remarquer ultérieurement (page 168), pour la cohérence interne de la physique, il est nécessaire de considérer que le champ classique n'est que l'apparence classique d'un objet quantique le champ électromagnétique quantique (essentiellement cela correspond à considérer des superpositions quantiques de diérentes congurations de champ électromagnétique).
Les expériences conrment tout à fait l'existence de ce champ quantique. Les manifes-tations sont nombreuses et les plus simples (à l'origine de la découverte de la mécanique quantique d'ailleurs) sont
◦ l'eet photo-électrique (emmission d'un électron par un matériau soumis à la lumière).
◦ le rayonnement du corps noir. (Voir page 133).
La théorie quantique du champ électromagnétique dans le vide est très simple, il sut de considérer que l'oscillateur harmonique décrivant une onde plane est un oscillateur harmonique quantique comme (2.2.1) page 98.
L'état quantique d' un mode donné mode≡
~k, pol
est décrit par une fonction d'onde ψ(q) de la variable dynamique q. La dynamique n'est donc plus celle d'un point dans le plan (q∝Ex, p∝Ey), eq.(2.2.23), mais d'une onde (une onde quantique d'ondes électro-magnétiques classiques).
L'espace quantique total du champ électromagnétique est H= O
~k∈R3
L2(Rqk)⊗C2
où L2(Rqk) est l'espace de Hilbert d'un oscillateur harmonique du mode~k etC2 est pour l'état de polarisation. (On verra plus loin pourquoi c'est un produit tensoriel).
2.2.4.3 Une onde classique est un paquet d'onde quantique
Essayons de donner un sens physique à cette onde ψ(q). Par exemple le faisceau mo-nochromatique issue d'un Laser que l'on décrit de façon idéale par l'onde plane classique (1.1.3), c'est à dire par le point de la gure (2.2.6), est dans la description quantique plûtot un paquet d'onde quantique centré sur ce point. On l'appelle aussi état cohérent du champ. Ce n'est donc pas un état stationnaire.
La largeur du paquet d'onde s'appelle uctuations quantique du champ électromagné-tique. Précisement, le principe d'incertitude (1.6.10) ∆q∆p ≥ ~/2, donne pour une onde plane selon z, d'après (2.2.23) :
(∆Ex) (∆Ey)≥ ~ω 40 2.2.4.4 Les photons
Un état quantique stationnaire de l'oscillateur harmonique est de la forme |ni = |ψni avec n= 0,1,2, . . ., décrit en (2.2.18), et d'énergie :
En =~ω
n+ 1 2
On appel cet état quantique|ni un état à n photons du mode mode≡
~k, pol . Lorsque un atome se désexcite en émmettant un photon dans le vide, il crée l'état
|n= 1i pour un mode donné.
Si l'espace environnant contient déjà n photon (état |ni), alors l'atome rajoute un photon, et il y a transition |ni → |n+ 1i. L'énergie de ce photon supplémentaire est
∆E =En+1−En =~ω=hν :énergie d'un photon de fréquence ω avec h= 2π~et ν= 2πω.
Remarquer que la fonction d'onde ϕ(q) d'un état stationnaire |ni est une fonction d'Hermite. Comme q'Ex cette fonction d'onde est délocalisée dans les variables champs électrique et magnétique. Pour cette raison, l'état idéal |ni n'existe pas longtemps : la dé-cohérence (couplage à l'environnement) détruit rapidement un état|nipour le transformer plutot en paquet d'onde, contenant aussi n photons mais seulement en moyenne (c'est à dire de même énergie moyenneEn).7
2.2.4.5 Le vide quantique du champ électromagnétique
Si l'espace vide est dans son état d'énergie minimal, chaque mode est dans l'état|n= 0i. On appelle ces états sans photon, le vide quantique du champ électromagnétique :
|V idei ≡(|0mode1i ⊗...⊗ |0modeki ⊗. . .)
Ce qui est surprenant est qu'en mécanique quantique, ce vide est un état comme un autre (une fonction d'onde non nulle). Seulement c'est l'état fondamental stationnaire, il n'évolue donc pas, et ne peut fournir d'énergie. Pour cette raison il semble indétectable.
Une diculté qui apparait cependant est que son énergie est 12~ω pour chaque mode, et il y a une innité de modes. D'après (2.3.3) page 132, un mode ondulatoire occupe le volume(2π)3 dans l'espace
~ x, ~k
où~k est le vecteur d'onde. Autrement dit le nombre de modes dans d3~xd3~k est dn =
d3~xd3~k (2π)3
. Donc dans un volume V et pour un intervalle de fréquences ω ∈ [ω1, ω2], l'énergie du vide est (on somme la contribution 12~ω le facteur 2est pour les deux états de polarisation, et on utilisé ω =ck, et
d3~k=|k2|dk (sinθdθdϕ) = 1
7. Des expériences remarquables, étudient des états |ni à n photons dans une cavité de miroirs, et observent à quelle vitesse la décohérence les transforme en paquet d'ondes localisés. Voir Aroche et al.
ce qui est énorme !
L'énergie du vide par unité de volume (et sur toutes les fréquences) est Evide = ~
8c3π2
ω4ωc→+∞
0 −→ωc→∞ +∞
ce qui montre que en principe cette densité énergie est innie à cause des modes de hautes fréquence.
La divergence de Evide s'appelle la catastrophe ultraviolette en théorie quantique des champs. Comme il s'agit d'énergie par unité de volume, il y a une deuxième divergence pour l'énergie du vide dans l'univers, si celui-ci a un volume inni. On appelle cette seconde divergence la catastrophe infra-rouge. Depuis le début de la mécanique quantique, ces divergences montrent un obstacle à la compréhension parfaite de la physique des champs quantiques. On pense par exemple que les longueurs d'ondes des ondes électromagnétique ne peuvent être plus petites qu'une échelle encore inconnue (taille des cordes ?), et cela mettrait une limite ωc à l'intégrale divergente.
Il y a des spéculations disant que cette énergie du vide très grande pourrait être relier à une enigme en cosmologie que l'on appelle l'énergie noire. Il semblerait en eet d'après des observations, que 70% de l'énergie contenue dans l'univers8 et participant à son expansion serait une énergie de nature encore inconnue et reliée à la valeur de la constante cosmologique dans la théorie de la relativité générale. Pourtant l'énergie du vide quantique du champ électromagnétique et des autres champs est trop grande (malgré ωc) pour expliquer la constante cosmologique. Voir Pour la science mars 2003.
Malgré ces dicultés, la théorie quantique des champs est considérée comme un grand succés de la science, car on arrive à se débarasser de ces inni par un argument appelé renormalisation, et prédire des phénomènes expérimentaux très précis. Un des résultats les plus remarquables est le calcul du facteur gyromagnétique de l'électron, voir (4.9.2, page 196) :
gexp´erimental−2
2 = 0.001 159 652 153 5(24 0) gtheorique−2
2 = 0.001 159 652 180 85(76) (Voir wikipedia moment magnétique anomale).
La section suivante donne un exemple de calcul en théorie quantique des champs où l'on parvient à prédire des eets physiques, malgré la divergence ultra-violette.
8. (Reférence : article dans Pour la science, mars 2003). Contenu en énergie/matière que l'on suppose y avoir dans l'univers qui semble être plat à grande échelle (courbure nulle) :
◦ 0.01 % de photons
◦ 0.01 à 2 % de neutrinos
◦ 5 à 6 % de baryons
◦ 25 % de matière noire (matière non identiée) qui a une action gravitationnelle, en particulier pour le mouvement de rotation des galaxies.
◦ 70 % d'énergie noire (non identiée, mais correspondant à la constante cosmologique des équa-tions d'Einstein, nécessaire pour la courbure nulle de l'univers)