3.2 Application d’un théorème de Cauchy-Kowalevskaya
3.2.2 Application du théorème de Cauchy-Kowalevskaya
3 X j=1 Z T2 Z 1 0 ∂3 uj∂ju3− Hj∂jH3 dx3dx0 = X3 j=1 Z Γ+ uj∂ju3− Hj∂jH3dx3dx0 − Z Γ uj∂ju3− Hj∂jH3dx3dx0. (3.2.5) Grâce aux conditions de bord sur Γ∪Γ+dans (3.2.1), on peut affirmer que si j ∈ {1, 2}, alors ∂ju3|Γ∪Γ+ = 0 et ∂jH3|Γ∪Γ+ = 0. Ainsi, les deux intégrales de (3.2.5) sont nulles, et la condition de compatibilité
Z
Ω
g= 0 est bien vérifiée. Comme nous avons besoin des contraintes de divergence nulle sur la vitesse et le champ magnétique ainsi que des conditions au bord pour obtenir cette condition de compatibilité, nous incorporerons l’ensemble de ces contraintes dans la définition des espaces fonctionnels que l’on manipulera pour appliquer le théorème de Cauchy-Kowalevskaya au Paragraphe 3.2.2 ci-après.
3.2.2 Application du théorème de Cauchy-Kowalevskaya
Intégrons les conditions de bord et les contraintes de divergence nulle de (3.2.1) dans l’échelle d’espaces de Banach que nous avons introduite au Chapitre 2. On définit pour cela
Bρ,r,σ := n
v ∈(Bρ,r,σ)3
∇ · v = 0 et v3|Γ∪Γ+ = 0o
, (3.2.6)
dont on notera la norme 9 · 9ρ,r,σ. Par continuité de l’application “trace” de Hr(Ω) dans Hr−1
2(Γ ∪ Γ+) (pour r ≥ 1), il est clair que l’espace Bρ,r,σ est fermé dans (Bρ,r,σ)3. Les propriétés d’algèbre (coordonnée par coordonnée) et de dérivation établies au Paragraphe 2.3.1 du Chapitre 2 s’étendent naturellement à cet espace. Toutefois, la dérivation ∂3 par rapport à la variable normale ne laisse pas invariant l’espace Bρ,r,σ. Néanmoins, on a toujours le résultat suivant sur l’estimation de la dérivée normale (adaptée du Théorème 2.3.6, cf. Chapitre 2) : si v ∈ Bρ,r,σ, alors pour tout ρ0 < ρ, on a ∂3v ∈ (Bρ0,r,σ)3, avec l’estimation :
k∂3vkρ0,r,σ ≤ Cσ
ρ − ρ0 9 v 9ρ,r,σ, (3.2.7)
où Cσ := σ−1 >0.
La proposition suivante montre que dans les espaces Bρ,r,σ, nous pouvons interpréter le gradient de pression ∇q comme un terme semi-linéaire.
Proposition 3.2.1
Soient ρ ∈ (0, ρ0], r ≥ 3 un entier et σ ∈ (0, σ0] (avec σ0 donné par la Proposition 3.1.5, dans laquelle
r joue le rôle de r − 1 ici). Si (u, H) ∈ Bρ,r,σ× Bρ,r,σ, alors le problème de Laplace (3.2.2), avec terme source g donné par (3.2.4), admet une unique solution q ∈ Bρ,r+1,σ telle que Z
Ω q = 0. De plus, q vérifie : ∇q ∈(Bρ,r,σ)3 et k∇qkρ,r,σ ≤ Cr,ρ09 u 92ρ,r,σ+ 9 H 9 2 ρ,r,σ ,
3.2. APPLICATION D’UN THÉORÈME DE CAUCHY-KOWALEVSKAYA 59
Démonstration. Le premier point est une conséquence directe de la Proposition 3.1.6. En effet, grâce à la propriété d’algèbre (2.3.11) (valable car r − 1 ≥ 2), on a g ∈ Bρ,r−1,σ (où g est défini en (3.2.4)). De plus, le terme source g vérifie bien la condition de compatibilité Z
Ω
g = 0, comme nous l’avons fait remarquer en (3.2.5), étant donné que l’on a incorporé les contraintes de divergence nulle et les conditions au bord sur u et H dans les espaces fonctionnels Bρ,r,σ. Ainsi, on peut appliquer la Proposition 3.1.6, qui fournit une unique solution q ∈ Bρ,r+1,σ du problème de Laplace (3.2.2), telle que Z
Ω
q = 0. Terminons par l’estimation satisfaite par ∇q :
k∇qkρ,r,σ := 3
X
i=1
k∂iqkρ,r,σ ≤ 3 kqkρ,r+1,σ ≤ Cr,ρ0kgkρ,r−1,σ,
d’après la Proposition 3.1.6. Compte tenu de la définition (3.2.4) de g, et du fait que Bρ,r−1,σ est une algèbre (car r − 1 > 3
2, on renvoie au Théorème 2.3.6), il vient alors : k∇qkρ,r,σ ≤ Cr,ρ0k∇u: ∇uT − ∇H: ∇HTkρ,r−1,σ ≤ Cr,ρ0 X 1≤i,j≤3 k∂iuj∂juikρ,r−1,σ + k∂iHj∂jHikρ,r−1,σ ≤ Cr,ρ0 X 1≤i,j≤3 k∂iujkρ,r−1,σk∂juikρ,r−1,σ + k∂iHjkρ,r−1,σk∂jHikρ,r−1,σ ≤ Cr,ρ0 X 1≤i,j≤3 kuikρ,r,σkujkρ,r,σ + kHikρ,r,σkHjkρ,r,σ = Cr,ρ0 9 u 9 2 ρ,r,σ+ 9 H 9 2 ρ,r,σ ,
où Cr,ρ0 >0 ne dépend que de r et de ρ0.
Nous utiliserons la version suivante du théorème de Cauchy-Kowalevskaya (voir [Nir72, Nis77, BG78] pour la version ci-après, ou [Saf95] pour une autre approche) :
Théorème 3.2.2 (Cauchy-Kowalevskaya)
Soit (Bρ)0<ρ≤ρ0 une échelle d’espaces de Banach dont la norme est notée k · kρ, dans laquelle on considère l’équation différentielle suivante au voisinage de t = 0 :
( d
dtu= F (u), |t| < τ,
u(0) = u0. (3.2.8)
On suppose qu’il existe R > 0 et C > 0 tels que
u0 ∈ Bρ0, avec ku0kρ0 < R,
∀0 < ρ0 < ρ ≤ ρ0, F : Bρ(0, 2R) → Bρ0 est continue, (3.2.9) où Bρ(0, 2R) désigne la boule de centre 0 et de rayon 2R de Bρ, et
∀0 < ρ0
< ρ ≤ ρ0, ∀u, v ∈ Bρ(0, 2R), kF (u) − F (v)kρ0 ≤ C
ρ − ρ0ku − vkρ. (3.2.10)
Alors il existe a > 0, ne dépendant que de ρ0 et R mais pas de u0, et une unique solution u de l’équation différentielle (3.2.8) telle que
u ∈ \
0<ρ<ρ0
C1 ] − a(ρ0− ρ), a(ρ0− ρ)[ ; Bρ(0, 2R) .
60 CHAPITRE 3. SOLUTIONS ANALYTIQUES EN DOMAINE FIXE
Pour rentrer dans le cadre du théorème précédent, réécrivons le système (3.2.1) sous la forme d’une équation différentielle à valeurs dans l’échelle d’espaces de Banach (Bρ,r,σ× Bρ,r,σ)0<ρ≤ρ0 :
( d
dtU = F (U), t ∈ (0, T ),
U(0) = U0,
où U = (u, H) et F (U) est défini par :
F(U) = −(u · ∇)u + (H · ∇)H − ∇q−(u · ∇)H + (H · ∇)u
! ,
avec q solution du problème de Laplace (3.2.2), (3.2.4). Notons que F ne fait pas intervenir les contraintes de divergence nulle sur la vitesse et le champ magnétique, car celles-ci ont déjà été intégrées au sein des espaces de Banach Bρ,r,σ.
Fixons R > 0, et considérons U = (u, H) ∈ Bρ,r,σ(0, 2R) × Bρ,r,σ(0, 2R) (où l’on a noté Bρ,r,σ(0, 2R) la boule ouverte de centre 0 et de rayon 2R de Bρ,r,σ). Vérifions que l’on a bien F (U) ∈ Bρ0,r,σ× Bρ0,r,σ
pour tout ρ0 < ρ.
Les conditions de bord. On vérifie que sur Γ ∪ Γ+, on a :
− u · ∇u3 + H · ∇H3 − ∂3q = 0 et − u · ∇H3 + H · ∇u3 = 0.
Ceci est direct compte tenu du fait que u3= H3 = 0 sur Γ ∪ Γ+, et du résultat de la Proposition 3.2.1. Les contraintes de divergence nulle. Vérifions également que F préserve les contraintes de diver-gence nulle. Par définition de la pression q, et en utilisant les contraintes de diverdiver-gence nulle sur u et H, on a dans un premier temps :
∇ · − (u · ∇)u + (H · ∇)H − ∇q = −∆q − ∇u : ∇uT − ∇H : ∇HT = −∆q − g = 0. Ensuite, toujours en utilisant les contraintes de divergence nulle sur u et H, la divergence de la seconde composante de F vaut :
∇ · − (u · ∇)H + (H · ∇)u = ∇ · ∇ × (u × H) = 0.
L’estimation “lipschitzienne” (3.2.10) de F . On commence par estimer les normes 9 · 9ρ0,r,σ des termes convectifs apparaissant dans l’expression de F comme le montrent les calculs suivants.
Proposition 3.2.3
Soient 0 < ρ0 < ρ ≤ ρ0, r ≥ 2 un entier et σ > 0. Soient R > 0 et u, H,u,e H ∈ Be ρ,r,σ(0, 2R). Alors,
k(u · ∇)H − (u · ∇e )Hke ρ0,r,σ≤ CrRσ −1 ρ − ρ0 ku −uke ρ,r,σ+ kH −Hke ρ,r,σ , (3.2.11)
où Cr>0 ne dépend que de r.
Tous les autres termes convectifs qui interviennent dans l’expression de F (U) sont estimés de façon analogue. Réécrivons F (U) sous la forme F (U) = F1(U) + F2(U), avec
F1(U) = −−(u · ∇)u + (H · ∇)H(u · ∇)H + (H · ∇)u
!
et F2(U) = −∇q0
! .
Grâce à la Proposition 3.2.3, on peut notamment en déduire que l’application U 7→ F1(U) est continue de Bρ,r,σ(0, R) × Bρ,r,σ(0, R) dans Bρ0,r,σ × Bρ0,r,σ, par bilinéarité de l’application F1 et par continuité de la dérivation de Bρ,r,σ dans Bρ0,r,σ. L’hypothèse (3.2.9) est donc vérifiée pour F1. Nous démontrons maintenant la Proposition 3.2.3.
3.2. APPLICATION D’UN THÉORÈME DE CAUCHY-KOWALEVSKAYA 61
Démonstration. On utilise les propriétés (2.3.10) et (2.3.11) satisfaites dans les espaces Bρ,r,σ (notons que r ≥ 2, donc Bρ,r,σ est une algèbre). La i−ème composante du vecteur (u · ∇)H − (u · ∇e )He s’écrit, avec la convention de sommation d’Einstein sur les indices répétés,
uj∂jHi − uej∂jHei. On a alors : kuj∂jHi − uej∂jHeikρ0,r,σ = kuj∂j(Hi−Hei) + (uj−uej)∂jHeikρ0,r,σ ≤ CrR σ −1 ρ − ρ0 kHi−Heikρ,r,σ + CrR σ−1 ρ − ρ0 kuj −uejkρ,r,σ ≤ CrR σ −1 ρ − ρ0 9u −ue 9ρ,r,σ + 9 H −He9ρ,r,σ. Terminons par l’estimation “semi-linéaire” sur le gradient de pression (ce qui achèvera le cas de F2). Proposition 3.2.4
Soient ρ ∈ (0, ρ0], r ≥ 3 un entier et σ ∈ (0, σ0], où σ0 est donné par la Proposition 3.1.5 (que l’on applique avec r − 1 dans le rôle de r). Soient R > 0 et u, H,u,e H ∈ Be ρ,r,σ(0, 2R). On note q (resp.qe) la solution de (3.2.2) avec terme source g (resp. eg) donné par (3.2.4). Alors,
k∇q − ∇qke ρ,r,σ ≤ CrR 9u −ue 9ρ,r,σ+ 9 H −He9ρ,r,σ
, (3.2.12)
où Cr>0 ne dépend que de r.
Démonstration. D’après (3.1.6), et par linéarité du problème (3.2.2) nous avons : k∇q − ∇qke ρ,r,σ ≤ kq −qke ρ,r+1,σ ≤ Cr,ρ0kg −gke ρ,r−1,σ = Cr,ρ0k∇u: ∇uT − ∇ue: ∇ueT − ∇H : ∇HT + ∇He : ∇HeTkρ,r−1,σ ≤ Cr,ρ0 X 1≤i,j≤3 k∂iuj∂jui − ∂iuej∂jueikρ,r−1,σ + k∂iHj∂jHi − ∂iHej∂jHeikρ,r−1,σ. =: Cr,ρ0 X 1≤i,j≤3 Ai,j + Bi,j. Estimons Ai,j : Ai,j = k∂i(uj − uej) ∂jui + ∂j(ui − uei) ∂iuejkρ,r−1,σ ≤ Crk∂i(uj − uej)kρ,r−1,σk∂juikρ,r−1,σ + k∂j(ui − uei)kρ,r−1,σk∂iujkρ,r−1,σ ≤ Crkuj − uejkρ,r,σkuikρ,r,σ + kui−ueikρ,r,σkujkρ,r,σ ≤ CrR 9 u −ue 9ρ,r,σ.
L’estimation des termes Bi,j est identique, ce qui conclut quant à l’estimation (3.2.12) de ∇q − ∇qe. La Proposition 3.2.4 montre en particulier qu’il n’y a aucune perte de dérivée pour le gradient de pression (en terme du rayon d’analyticité ρ) car ∇q est estimé dans la même norme que u et H. La
62 CHAPITRE 3. SOLUTIONS ANALYTIQUES EN DOMAINE FIXE
résolution de l’équation différentielle d
dtU = F2(U) relèverait alors du cadre classique du théorème de Cauchy-Lipschitz (bien que ce terme ne propage pas les contraintes de divergence nulle à lui seul). Les pertes de dérivées, ne survenant que sur F1, sont alors gérées par le théorème de Cauchy-Kowalevskaya.
Pour rentrer dans le cadre d’application du Théorème 3.2.2, on énonce deux résultats (plus faibles) découlant de la Proposition 3.2.4.
D’abord, pour tout ρ0 < ρ, l’application U 7→ F2(U) = (−∇q, 0) est continue de Bρ,r,σ(0, R) ×
Bρ,r,σ(0, R) dans Bρ0,r,σ × Bρ0,r,σ : l’hypothèse de continuité (3.2.9) est donc finalement satisfaite par
F = F1+ F2.
D’autre part, on peut écrire l’estimation suivante :
k∇q − ∇qke ρ0,r,σ ≤ CrR σ −1
ρ − ρ0
9u −ue 9ρ,r,σ + 9 H −He9ρ,r,σ, (3.2.13) pour tout ρ0 < ρ. Par conséquent, en vertu de (3.2.11) et (3.2.13), le champ de vecteurs F (U) = F1(U) +
F2(U) vérifie bien l’estimation “lipschitzienne” (3.2.10).
On peut dès lors appliquer le Théorème 3.2.2 pour résoudre le système (3.2.1) avec une donnée initiale régulière (u0, H0).
Théorème 3.2.5
Soient ρ0 >0, r ≥ 3 un entier, σ ∈ (0, σ0] (où σ0 est donné par la Proposition 3.1.5), R > 0 et des données initiales (u0, H0) ∈ Bρ0,r,σ× Bρ0,r,σ vérifiant :
9u09ρ0,r,σ,9H09ρ0,r,σ< R.
Alors il existe a > 0, ne dépendant que de ρ0, r et R, et une unique solution (u, H, q) au système (3.2.1), telle que pour tout ρ ∈ (0, ρ0),
u, H ∈ Ct1 − a(ρ0− ρ), a(ρ0− ρ) ; Bρ,r,σ , 9 u(t, ·), H (t, ·) 9ρ,r,σ < 2R, ∀ |t| < a (ρ0− ρ), q ∈ Ct1(−a ρ0− ρ), a(ρ0− ρ) ; Bρ,r+1,σ , kq(t, ·)kρ,r+1,σ < C0R2, ∀ |t| < a(ρ0− ρ), Z Ω q(t, x)dx = 0, ∀ |t| < a (ρ0− ρ), où C0 >0 est une constante numérique.
Remarques. Les données initiales u0 et H0dans le Théorème 3.2.5 sont bien à divergence nulle compte tenu de la définition (3.2.6) de l’espace Bρ0,r,σ.
La solution obtenue est définie au moins jusqu’au temps aρ0 >0. On renvoie à [Ale82, Sch88, YM91, Sec93] pour des résultats d’existence locale de solutions de régularité Sobolev à des systèmes issus de la MHD dans des domaines fixes ; voir également [AH07] pour des résultats d’existence locale de solutions de régularité Sobolev au système de la MHD inhomogène posé dans R3. On renvoie enfin à [Hmi14] pour des résultats d’existence locale de solutions au problème des poches de tourbillon en dimension 2 d’espace, dans le cadre de la MHD idéale incompressible.
Le résultat démontré ici est donc très loin d’être optimal en terme de régularité des données initiales. L’intérêt était de comprendre comment les estimations étaient menées pour le cas de la MHD idéale incompressible en domaine fixe. Au Chapitre 4, on poussera l’analyse plus loin en incorporant la frontière libre à l’intérieur du domaine.
3.2. APPLICATION D’UN THÉORÈME DE CAUCHY-KOWALEVSKAYA 63
Dans l’optique de construire des solutions moins régulières, une première difficulté à noter concerne
le temps d’existence des solutions. En effet, dans la démonstration de [Nis77], la quantité a > 0 dépend de R, c’est-à-dire de la taille des données initiales dans l’échelle d’espaces de Banach (Bρ,r,σ)0<ρ≤ρ0. On peut alors avoir un temps d’existence qui se restreint lorsque les données initiales deviennent grandes dans les espaces Bρ0,r,σ. C’est typiquement ce qui se produit lorsqu’on procède par densité en utilisant le Théorème 2.3.7, en approchant une donnée initiale de régularité Sobolev Hr prescrite, par une suite de données initiales dans Bρ0,r,σ (donc avec un même indice de régularité ρ0). On pourrait aussi faire tendre
ρ0 vers 0 avec la suite de données initiales, mais le temps d’existence aρ0 aurait a priori encore tendance à tendre vers 0.
4
Vers des solutions analytiques au
problème des nappes de
tourbillon-courant
On pourra trouver sur arXiv une prépublication qui complète ce chapitre : arxiv.org/abs/1603.05114v2.
Dans ce chapitre, on s’intéresse au problème des nappes de tourbillon-courant en MHD idéale incom-pressible. Il s’agit d’un problème modélisant le couplage de deux plasmas, dont la vitesse et le champ magnétique présentent une discontinuité tangentielle le long d’une hypersurface, qui elle-même évolue au cours du temps. Il s’agit donc d’un problème couplé à frontière libre. Dans la Section 4.1, nous présenterons en détails les équations modélisant ce phénomène.
L’enjeu est ici de mettre en place un schéma de preuve pour démontrer l’existence locale de solutions analytiques au problème des nappes de tourbillon-courant. Comme pour le Chapitre 3, on souhaitera ap-pliquer un théorème de Cauchy-Kowalevskaya dans les espaces fonctionnels introduits au Chapitre 2. Afin de gérer le terme de pression dans le système (4.1.2) ci-après, nous devrons tenir compte des contraintes
non-linéaires que doivent vérifier en tout temps la vitesse et le champ magnétique. La présence de ces
contraintes renferme une difficulté supplémentaire par rapport à ce qui a été traité au Chapitre 3, puis-qu’elles tiennent compte des conditions de saut à travers la nappe. Pour palier à l’ensemble de ces diffi-cultés, on s’inspirera de la démonstration du théorème de Cauchy-Kowalevskaya établie par Baouendi et Goulaouic [BG78].
Les méthodes employées dans ce chapitre généraliseront ce qui a été vu au Chapitre 3. Contrairement à ce qui a été fait précédemment, le gradient de pression ne sera plus un terme semi-linéaire, mais
quasi-linéaire. C’est pourquoi l’estimation de la pression dans les espaces analytiques s’avérera beaucoup plus délicate. En revanche, la définition même des normes analytiques k · kρ,r,σ nous permettra de gérer correctement ce terme de pression dans les estimations de la Section 4.5, en imposant une restriction sur les paramètres ρ et σ.
Après avoir donné des estimations analytiques de la pression et du relèvement du front, nous propo-serons un schéma de preuve qui devrait permettre dans un futur travail de recherche d’établir l’existence et l’unicité locale de nappes de tourbillon-courant analytiques, en adaptant les arguments de Baouendi et Goulaouic [BG78].
66 CHAPITRE 4. NAPPES DE TOURBILLON-COURANT INCOMPRESSIBLES ANALYTIQUES
4.1 Position du problème
Dans tout ce chapitre, Ω désignera le domaine de référence T2×(−1, 1), que l’on partage en deux sous-domaines : Ω+:= T2×(0, 1) et Ω−:= T2×(−1, 0). On notera également les bords
Γ := T2× {x3 = 0} et Γ±:= T2× {x3= ±1}.
On rappelle que les équations de la MHD idéale incompressible s’écrivent sous la forme :
∂tu+ (u · ∇)u − (H · ∇)H + ∇q = 0, ∂tH+ (u · ∇)H − (H · ∇)u = 0, ∇ · u= ∇ · H = 0, (4.1.1)
où u représente la vitesse d’un plasma idéal incompressible, H son champ magnétique, et q la pression totale. On s’intéresse à des solutions particulières de (4.1.1), régulières de part et d’autre d’une hyper-surface Γ(t) qui évolue au cours du temps, et présentant une discontinuité tangentielle au niveau de Γ(t) (voir [Syr53,Axf62,Cha61,Tra05,CMST12] pour des travaux antérieurs sur ce problème). On suppose que l’hypersurface est une nappe paramétrée comme suit :
Γ(t) =(x0
, x3) ∈ Ω
x3 = f(t, x0) ,
où l’on suppose également que pour tout t ∈ [0, T ], le front f vérifie −1 < f(t, ·) < 1. Ainsi, Γ(t) partitionne le domaine de référence Ω en deux sous-domaines Ω±(t) := {x3 ≷ f (t, x0)}, dans lesquels les solutions (u±, H±, q±) de (4.1.1) sont régulières.
u− u+ Γ(t) x1 x2 x3 N H+ H− Ω−(t) Ω+(t)
Figure 4.1 : Schéma d’une nappe de tourbillon-courant.
Le système modélisant les nappes de tourbillon-courant incompressibles s’écrit sous la forme d’un problème à frontière libre :
∂tu±+ (u±· ∇)u±−(H±· ∇)H±+ ∇q±= 0, dans Ω±(t), t ∈ [0, T ], ∂tH±+ (u±· ∇)H±−(H±· ∇)u±= 0, dans Ω±(t), t ∈ [0, T ], ∇ · u±(t) = ∇ · H±(t) = 0, dans Ω±(t), t ∈ [0, T ], ∂tf = u±· N, H±· N = 0, [q] = 0, sur Γ(t), t ∈ [0, T ], u±3 = H± 3 = 0, sur Γ±, t ∈[0, T ]. (4.1.2)