4 Méthode EnKF et paramétrisation
4.2 Méthode permettant de combiner EnKF et déformation graduelle
4.2.3 Application de la méthode pour le calage d’historique
Le cas d’application considéré ici est le cas synthétique 2D décrit dans la section 3.1. Cette expérience est considérée en tant que le cas de base de cette section. La méthode FFT-MA est utilisée pour générer les réalisations du logarithme de la perméabilité selon les caractéristiques du modèle de référence.
Le vecteur d’état pour chaque membre de l’ensemble,
j
, est donc :L'ensemble des M-1 paramètres de déformation graduelle (variable statique) :
t
j i, , Donc, le vecteur d’état devient :]
Les périodes de calage et de prédiction sont inchangées.
4.2.4 Résultats du calage d’historique
Trois séries d'expériences sont présentées dans cette section : la première considère la déformation graduelle appliquée aux bruits blancs, la seconde consiste à appliquer des déformations graduelles locales, et la dernière traite de la déformation graduelle appliquée aux réalisations de ln(kh).
4.2.4.1 Déformation graduelle appliquée aux bruits blancs Gaussiens
En augmentant la taille de l’ensemble, on élargit l'espace de recherche pour les modèles statiques mis à jour pendant l'assimilation. De plus, la performance des méthodes de paramétrisation augmente généralement avec le nombre de paramètres considérés.
Nous considérons ici un ensemble EnKF de taille N=100, des ensembles de base de taille
=
M 100, 1000, et 2500, ces derniers étant composés de bruits blancs Gaussiens. Les autres paramètres de la méthode sont les mêmes que dans la section 3.1. Les pressions de fond simulées au puits PROD2 avec les modèles finaux sont présentées sur la Figure 24. On peut voir que les valeurs simulées sont d'autant plus proches des valeurs de référence que la taille de l'ensemble de fond est élevée. Cependant, la performance de la méthode EnKF traditionnelle est supérieure à celle de ce nouvel algorithme.
(a) BHP – Ensemble Final Taille de l’ensemble de base : 100
(b) BHP – Ensemble Final Taille de l’ensemble de base : 1000
(c) BHP – Ensemble Final Taille de l’ensemble de base : 2500
Figure 24 Pression de fond au puits PROD2 pour les ensembles finaux, en considérant des ensembles de base de taille (a) 100, (b) 1000 et (c) 2500. La ligne pointillée noire à 516 jours indique la limite entre la période de calage (0-516 jours) et la période de prévision (517-1612 jours). Les courbes grises correspondent aux membres de l’ensemble et la courbe rouge aux valeurs de référence.
L’erreur RMSprod,1 calculée pour les ensembles finaux des trois expériences ci-dessus est donnée dans le Tableau 4, normalisée par la valeur obtenue avec un ensemble de base de taille 100. On peut donc voir que cette erreur diminue fortement lorsque l'on augmente la taille de l'ensemble de base : l’algorithme apparaît plus performant avec un espace de recherche plus large.
Tableau 4 Effet de la taille de l’ensemble de base, la déformation graduelle étant appliquée aux bruits blancs Gaussiens. Les valeurs du RMSprod,1 sont normalisées par celles obtenues avec un ensemble de base de taille 100.
Taille de l’ensemble de base BHP SOR WCT
100 1.0 1.0 1.0
1000 0.7390 0.7764 0.7494
2500 0.3593 0.4124 0.4134
Enfin, la ressemblance des modèles finaux de perméabilité avec le modèle de référence augmente avec la taille de l’ensemble de base, même s'il n'est pas possible de reproduire toutes ses caractéristiques.
4.2.4.2 Déformation graduelle locale
On applique ici la déformation graduelle locale aux bruits blancs Gaussiens en considérant deux découpages de la grille réservoir, et des ensembles de taille N=50 et M=100. Dans la première configuration (Figure 25 (a)), le réservoir est divisé en cinq zones non régulières autour de chaque puits. Les zones 1 à 4 contiennent 481 mailles et la zone 5, 576 mailles.
Dans la deuxième configuration (Figure 25(b)), la grille est divisée en régions identiques de 25 mailles chacune.
(a) Configuration à 5 zones (b) Configuration à 100 zones
Figure 25 Configuration des zones pour la déformation graduelle locale (a) Configuration à 5 zones, (b) Configuration à 100 zones.
La Figure 26 présente les pressions de fond simulées au puits PROD2 avec les modèles finaux obtenus avec la déformation graduelle globale (1 zone) et les deux configurations locales. En augmentant le nombre de zones, ces pressions sont mieux calées. La configuration à 5 zones donne ici les meilleurs résultats pour le débit d'huile et la percée d'eau. Ceci peut être lié au fait que l’ensemble EnKF initial n’est pas le même pour les trois expériences.
(a) BHP – Ensemble Final - 1 zone (b) BHP – Ensemble Final - 5 zones
(c) BHP – Final Ensemble – 100 zones
Figure 26 Pression de fond au puits PROD2 simulée avec les modèles finaux obtenus avec la déformation graduelle locale (a) 1 zone, (b) 5 zones et (c) 100 zones. La ligne pointillée noire à 516 jours indique la limite entre la période de calage (0-516 jours) et la période de prévision (517-1612 jours). Les courbes grises correspondent aux membres de l’ensemble et la courbe rouge aux valeurs de référence.
Zone 1 Zone 2
Zone 3 Zone 4
Zone 5
Zone 1 Zone 10
Zone 100 Zone 90
L’erreur RMSprod,1 des données de production (équation 11) obtenue pour les ensembles finaux est donnée dans le Tableau 5. Quand le nombre de zones augmente, le modèle de référence est mieux calé.
Tableau 5 Effet de la déformation graduelle locale avec trois configurations de zones. Les valeurs du RMSprod,1 sont normalisées sur celles obtenues avec une seule zone (déformation globale).
Nombre de zones BHP SOR WCT
1 1.0 1.0 1.0
5 0.8049 0.6781 0.6770
100 0.1877 0.5770 0.5762
4.2.4.3 Déformation graduelle appliquée aux réalisations pétrophysiques
On applique ici l’algorithme proposé aux réalisations de ln(kh), en considérant un ensemble EnKF de taille 50 et des ensembles de base de taille 100, 1000 et 2500. Comme précédemment, augmenter la taille de l’ensemble de base permet de mieux caler les données de production. Cependant, les performances de la méthode EnKF traditionnelle restent supérieures à celles de l'algorithme de combinaison. Cela peut être expliqué par le fait que la paramétrisation rend le problème encore plus non linéaire.
Le Tableau 6 présente l’erreur RMSprod,1 pour les données de production obtenue en augmentant la taille de l’ensemble de base. Les valeurs sont normalisées sur celles du cas M=100. Comme précédemment, les données de production apparaissent mieux calées pour des ensembles de base plus larges.
Tableau 6 Effet de la taille de l’ensemble de base, la déformation graduelle étant appliquée aux réalisations. Les valeurs du RMSprod,1 sont normalisées sur celles de l’ensemble de taille 100.
Taille de l’ensemble de base BHP SOR WCT
100 1.0 1.0 1.0
1000 0.7452 0.8740 0.8757
2500 0.6211 0.7740 0.7740