Application ` a un syst` eme ´ electrique

Au terme de cette r´edaction, on dispose de deux ´ecritures optimales du transfert de puissance gouvernant les lois de l’´electromagn´etisme :

1. La variation de l’´energie libre F donne une premi`ere condition de r´eversibilit´e (2.9) consistant seulement `a minimiser les pertes Joule, et correspondant `a la limite statique du fonctionnement de syst`emes ´electromagn´etiques dΦIexc

dt = 0
. Dans cette expression,

on n´eglige tous les effets d’inducteur, en particulier les effets de peau dans les conduc- teurs et les effets de proximit´e entre conducteurs soumis `a des r´egimes variables, si bien

4. La production et le transport d’´electricit´e utilisent souvent les syst`emes de tension triphas´es sym´etriques, car ils sont plus efficaces. En effet, ils offrent de meilleurs rendements des machines tournantes, et permettent des ´economies de conducteurs dans les installations de transport, par rapport aux syst`emes monophas´es. L’int´erˆet des syst`emes triphas´es est qu’ils cr´eent un champ magn´etique tournant dans les moteurs, et que, dans le cas des syst`emes sym´etriques, la puissance instantan´ee est constante.

que les dispositifs con¸cus `a partir de (2.9) conduisent `a escompter des performances surestim´ees des syst`emes ´etudi´es. On parle de description multi-statique.

2. La variation de l’enthalpie libre G conduit `a une seconde condition de r´eversibilit´e (2.12) correspondant `a un fonctionnement des syst`emes moins favorable mais r´eel, car il s’agit de minimiser `a la fois les pertes Joule et les variations de l’´energie s´equestr´ee dans les couplages ´electromagn´etiques. Cette condition conduit `a l’´ecriture des bilans de puissance globalement (2.14), et localement (2.15). C’est l’approximation quasi-statique.

Fonctionnement du circuit `a une maille

L’approche variationnelle permet d’´etudier le comportement d’un syst`eme ´electrique `a une ´echelle o`u les dispositifs sont agr´eg´es en des grandeurs pertinentes. Dans la repr´esentation la plus simple, on aboutit alors au circuit ´equivalent `a une maille (figure 2.4) dont une ´etude qualitative met en ´evidence le rˆole d´ecisif de l’´energie de couplage ´electromagn´etique et de l’´energie cin´etique dans la fiabilit´e de l’installation.

u

charge

(t)

e (t)

i (t)

u (t)

R

_s

R

I

exc

ω

L

_s

L

_φ

R

_φ

Figure 2.4 – Circuit ´equivalent `a une maille d´eriv´e de l’approche thermodynamique : repr´esentation d’une seule phase. `A gauche de la figure, l’alternateur synchrone fournit de la puissance au syst`eme, Lset Rssont les inductances et r´esistances de l’alternateur. Au centre, Lϕ et Rϕ sont les inductances

et r´esistances du syst`eme de transport et de distribution. `A droite, la r´esistance R repr´esente les consommateurs par une consommation de puissance active.

Le circuit ´equivalent `a une maille est la repr´esentation d’une phase d’un syst`eme ´electrique triphas´e. Avec le circuit `a une maille, le syst`eme ´electrique est d´ecompos´e en trois domaines V_k :

– La production, restreinte au domaine VProd, reproduit le comportement de l’ensemble

des g´en´erateurs connect´es au syst`eme. La description du g´en´erateur inclut la r´eactance des bobinages participant au stock de couplage magn´etique et l’inertie m´ecanique des machines tournantes participant au stock d’´energie cin´etique.

– Le transport et la distribution, correspondant au domaine VT&D, agr`egent tr`es

simplement les lignes et transformateurs. Les propri´et´es inductives de ces ´el´ements contribuent aussi au stock d’´energie de couplage magn´etique.

– La consommation, correspondant au domaine VConso, repr´esent´ee par une r´esistance

dissipant la puissance consomm´ee par l’ensemble des charges connect´ees.

En l’absence d’´el´ements capacitifs, on peut n´egliger le couplage ´electrostatique QV₀devant le couplage magn´etique ΦIexc, car l’´energie sp´ecifique qui peut ˆetre emmagasin´ee sous forme

magn´etique dans l’entrefer est environ 104 fois plus ´elev´ee que celle emmagasin´ee sous forme ´electrostatique dans une machine ´electrostatique5 [17].

Pm´eca-intest remplac´ee par



Pm´eca-ext−dE_dtcin



dans l’´equation bilan (2.14) car l’´electricit´e est produite `a partir de machines tournantes, il est donc imp´eratif de tenir compte de la variation d’´energie cin´etique.

Conform´ement `a la condition de r´eversibilit´e (2.12), le syst`eme ´electrique ´evolue au mi- nimum exhib´e, ce qui permet de retrouver l’´equation de Maxwell-Faraday [73]. Les ´echanges de puissance du syst`eme ´electrique respectent le bilan global :

Pm´eca-ext− dG dt = PJoule+ d(ΦIexc) dt + dEcin dt (2.20) soit : Pm´eca-ext = PJoule+ dF dt + dEcin dt (2.21)

Le bilan de puissances local, pour un domaine Vk, e.g. un des trois domaines du circuit `a

une maille, s’´ecrit de la fa¸con suivante :

Pm´eca-ext(Vk) + P´elec(Vk) = PJoule(Vk) +

dF dt(Vk) +

dEcin

dt (Vk) (2.22)

avec, sur l’ensemble de l’espace (cf. ´equation (2.16)) :

X

k

P´elec(Vk) = 0

Effet d’une fluctuation de charge

Le bilan de puissance, exprim´e globalement (2.21) ou localement (2.22), permet d’anticiper qualitativement les ´echanges de puissance entre les ´el´ements d’un syst`eme ´electrique lors d’une modification brusque de la puissance m´ecanique fournie Pm´eca-ext. Une modification

brusque de Pm´eca-ext intervient par exemple pendant une fluctuation de charge et conduit `a

un d´es´equilibre soudain entre les puissances m´ecaniques ´echang´ees par les actionneurs de la figure 2.1.

Le syst`eme, ´evoluant conform´ement au bilan de puissance (2.21), s’appuie dans un premier temps sur les variations de l’´energie magn´etique F et de l’´energie cin´etique Ecin, permettant

un ajustement rapide des ´echanges de puissance au d´es´equilibre subi. Les ´energies magn´etique

5. Comparaison du stockage d’´energie pour les machines ´electromagn´etiques et ´electrostatiques [17] : – Dans une machine ´electromagn´etique, l’induction maximale bBmagdans l’entrefer d´epasse rarement 1 T

afin de ne pas saturer exag´er´ement le mat´eriau ferromagn´etique. L’´energie sp´ecifique emmagasin´ee dans l’entrefer vaut : Emag= 1 2 b Bmag2 µ0 = 3, 98 105 J/m3

– Dans une machine ´electrostatique fonctionnant dans l’air `a pression atmosph´erique, le champ ´electrique maximal admissible bEel correspond au champ disruptif de l’air de l’ordre de 3 106 V/m. L’´energie

sp´ecifique emmagasin´ee dans l’air vaut : Eel= 1 20Eb 2 el= 39, 8 J/m 3

et cin´etique emmagasin´ees procurent de l’inertie au syst`eme, l’exploitant dispose alors d’un peu de temps pour modifier Pm´eca-ext. Ces ajustements rapides – de l’ordre de quelques

millisecondes pour les variations de F et de quelques secondes pour celles de Ecin – ont

lieu instantan´ement apr`es la fluctuation de charge et participent aux premiers temps des r´eglages primaires de la tension et de la fr´equence. Simultan´ement, les r´egulateurs de vitesse et de tension des r´eglages primaires agissent sur l’excitation des alternateurs et sur les organes d’admission des turbines, i.e. respectivement sur Iexcet Pm´eca-ext, afin de stabiliser les ´echanges

de puissances `a un nouveau point de fonctionnement. Cet ordonnancement conf`ere de la stabilit´e au syst`eme.

Puis, les r´eglages secondaires et tertiaires modifient les valeurs de consigne de l’excita- tion et de l’admission pour ramener le syst`eme au fonctionnement nominal, et reconstituer les niveaux de r´eserves magn´etique, cin´etique et m´ecanique (r´eserves tournantes) afin de se pr´emunir d’un nouvel incident.

Le formalisme thermodynamique procure donc un cadre unifi´e de r´eflexions pour ´etudier le comportement dynamique d’un syst`eme ´electrique et met `a notre disposition des grandeurs homog`enes pour repr´esenter les ´el´ements participant `a la fiabilit´e du syst`eme, `a savoir :

1. l’´energie magn´etique F ; 2. l’´energie cin´etique Ecin;

3. la production additionnelle d’´energie m´ecanique Pm´eca-ext.

La figure 2.5 repr´esente l’´evolution de ces grandeurs pour une augmentation de la consom- mation. Les actionneurs Θ1et Θ2(cf. figure 2.1) ´echangent de la puissance m´ecanique `a travers

le syst`eme ´electrique. L’actionneur Θ1 repr´esente un alternateur fournissant de la puissance

m´ecanique, tandis que l’actionneur Θ2 d´esigne un consommateur, par exemple un moteur.

Pour une augmentation de la consommation, |C2· Ω2| augmente, `a ce moment-l`a :

– |C1· Ω1| ne varie pas instantan´ement `a cause de l’inertie m´ecanique de l’alternateur, ce

qui entraˆıne un d´es´equilibre de Pm´eca-ext (Pm´eca-ext− PJoule < 0) ;

– les pertes Joule PJoule augmentent, majorant d’autant l’appel de puissance au niveau

de l’alternateur Θ1;

– F diminue pour compenser l’appel de puissance : l’´energie magn´etique est n´ecessaire pour faire face instantan´ement `a l’augmentation de puissance. Il est possible d’asservir Iexc, l’excitation de l’alternateur, `a une valeur de consigne pour moduler la valeur de

l’´energie magn´etique ;

– ensuite, le stock de Ecin prend le relais sur l’´energie de couplage et diminue ´egalement :

l’´energie cin´etique compense l’appel de puissance m´ecanique et reconstitue ´egalement le stock d’´energie magn´etique ;

– enfin, |C1· Ω1| augmente et le syst`eme se stabilise autour d’un nouveau point de fonc-

tionnement.

Si les stocks d’´energies magn´etique et cin´etique ne sont pas suffisants (`a droite de la figure 2.5), le syst`eme s’effondre avant que le niveau de production n’ait pu ˆetre ajust´e.

L’´etude d’une fluctuation de charge montre le rˆole d´ecisif de l’´energie magn´etique et de l’´energie cin´etique dans l’intervalle de temps qui suit la fluctuation de charge et qui pr´ec`ede la mise en service de la production additionnelle. Sans des stocks suffisants de ces ´energies, le syst`eme n’est pas en mesure de faire face `a une fluctuation de charge et risque de s’effondrer.

t

P_méca-ext

t

t

P_Joule E_cin

t

Énergie magnétique Énergie cinétique

Production additionnelle

F

C₁.Ω₁

- C₂.Ω₂

Figure 2.5 – Effet d’une fluctuation de charge sur le comportement d’un syst`eme ´electrique. Sch´ema de [73] compl´et´e par l’auteur pour faire apparaˆıtre l’´energie cin´etique. Pm´eca-ext= C1· Ω1+ C2· Ω2

repr´esente la puissance m´ecanique fournie par les actionneurs Θ1 et Θ2 au syst`eme, conform´ement

`

a la figure 2.1, dans le cas o`u l’actionneur Θ1 fournit de la puissance m´ecanique au syst`eme et l’ac-

tionneur Θ2 en consomme. `A gauche : l’´energie magn´etique F et l’´energie cin´etique Ecin compensent

momentan´ement l’appel de puissance et les pertes Joule PJoule engendr´ees par le r´egime variable de

la fluctuation, en attendant l’ajustement de la production additionnelle Pm´eca-ext et la reconstitution

des stocks. `A droite : dans le cas d’une d´efaillance de r´eseau, les stocks d’´energies magn´etique et cin´e- tique sont d´egrad´es par effet Joule sans que la production n’ait pu s’ajuster. Les trois temps succ´edant une fluctuation de charge ont lieu `a des ´echelles de temps diff´erentes (quelques millisecondes pour F, quelques secondes pour Ecin, quelques minutes pour la production additionnelle), mais elles ont ´et´e

ramen´ees artificiellement `a une mˆeme valeur pour la lisibilit´e du sch´ema.

Dans le document Modélisation prospective et analyse spatio-temporelle : intégration de la dynamique du réseau électrique (Page 64-68)