Ecrivant en toute g´en´eralit´e la dynamique lin´earis´ee au voisinage du point fixe sous la forme classique en contrˆole lin´eaire
Xk+1− X∗=A[Xk− X∗] + Bδrk,
o`uA = ∂XF∗ et B = ∂rF∗, on sait que le syst`eme est stabilisable, c’est `a dire que l’on peut trouver un bouclage statique qui fasse s’amortir toutes les (petites perturbations) s’il est commandable, c’est `a dire si la matrice [ B ,AB , ... , Ad−1B ] est de rang d. Il faut alors choisir K de sorte que
Xk+1− X∗= (A − B ⊗ K)[Xk− X∗]
d´efinisse une it´eration convergente (valeurs propres de l’application tangente toutes inf´erieures `a 1 en module), ce qui peut ˆetre r´ealis´e par des m´ethodes classiques en contrˆole lin´eaire.
Les orbites instables peuvent ´egalement ˆetre stabilis´ees en appliquant un feed-back retard´e, c’est `a dire en rempla¸cant le syst`eme original d
dtX = F(X) par un syst`eme modifi´e d
dtX = ˜F(X, δX) o`u δX(t, τ ) = u[X(t)− X(t − τ)], u mesurant l’amplitude de la correction appliqu´ee et τ le retard que l’on prend ´egal `a la p´eriode de l’orbite `a stabiliser. Le nouveau champ de vecteur est le plus souvent pris identique `a l’ancien en l’absence d’´ecart, soit ˜F(X, 0)≡ F(X). Un choix de correction commode porte alors sur la composante du champ associ´ee au degr´e de libert´e qui sert d’observable de contrˆole, donc, i ´etant l’indice de ce degr´e de libert´e: ˜Fi(X) = Fi(X) + u
Xi(t)− Xi(t− τ) et ˜Fi0(X)≡ Fi0(X)pour i0 6= i. La m´ethode de Pyragas ainsi sommairement d´ecrite pr´esente sur la m´ethode OGY l’avantage pratique de ne pas n´ecessiter de pr´e-traitement important, son inconv´enient th´eorique majeur tient `a la difficult´e de justifier son succ`es reconnu au coup par coup.
7.4 Appendice: R´eactions chimiques
Lorsqu’une r´eaction P
niAi → Pn0
iAi se d´eveloppe,11 le nombre de mol´ecules de l’esp`ece Ai varie de n0
i− ni. On d´efinit le taux d’avancement qui mesure le nombre de collisions r´eactionnelles effectu´ees par
unit´e de volume et la vitesse de r´eaction r qui mesure la variation instantan´ee de l’avancement. Ai ´etant la concentration de l’esp`ece Ai, `a volume constant on a simplement
d
dtAi= (n0i− ni)r (7.21) Les collisions ´etant d´efinies par la probabilit´e de pr´esence en un mˆeme point des seuls r´eactifs, soit Ai pour l’esp`ece Aiet, les corr´elations entre esp`eces ´etant n´eglig´ees, Q
iAni
i pour une collision, on s’attend `a trouver une vitesse de r´eaction de la forme:
r = kY
i
Ani
i (7.22)
o`u k est la constante de vitesse de la r´eaction. Ceci qui conduit `a
d
dtAi= (n0i− ni)kY
i
Ani
i . (7.23)
Par exemple, pour A1 + 2 A2 → 2 A1, on a n1= 1, n2= 2, n0
1= 2 et n0 2= 0 et donc: d dtA1= kA1A2 2 et d dtA2=−2kA1A2 2 (7.24)
En pr´esence d’une r´eaction `a ´etapes, on ´ecrit que la variation totale de la concentration d’une esp`ece Ai est la somme des variations correspondant `a chacune des ´etapes.
La r´eaction de Belousov–Zhabotinsky (BZ) correspond `a l’oxydation en milieu acide d’un r´educteur organique (acide malonique) par les ions BrO−3 catalys´ee par un couple redox (e.g. Ce3+/Ce4+); elle met en jeu une quinzaine d’esp`eces chimiques coupl´ees par un nombre ´equivalent de r´eactions interm´ediaires. Un sch´ema satisfaisant est fourni par
BrO−3 + Br−+ 2H+ −→ HBrO2+ HOBr HBrO2+ Br−+ H+ −→ 2HOBr
HOBr + Br−+ H+ −→ Br2+ H2O BrO−3 + HBrO2+ H+ −→←− 2BrO∗
2+ H2O 2HBrO2 −→ HOBr + BrO−3 + H+ BrO∗2+ Ce3++ H+ −→ HBrO2+ Ce4+ CH2(COOH)2+ HOBr −→ BrCH(COOH)2+ H2O
BrCH(COOH)2+ Ce4+ −→ ∗C(COOH)+2 + H++ Br−+ Ce3+
∗C(COOH)+2 + Ce4+ −→ Ce3++ produits o`u les quantit´es suppos´ees constantes sont:
BrO−3 ,
H+ ,
Ce3+
, [CH2(COOH)2], [H2O] et les variables:
Br−
, [HBrO2], [HOBr], [BrO∗2], Ce4+
, [BrCH(COOH)2],∗
C(COOH)+2 .
Pris `a la lettre, le sch´ema r´eactionnel pour BZ est tr`es compliqu´e et contient beaucoup de coefficients ajustables qui le rendent difficilement exploitable sur un plan quantitatif. Un mod`ele simplifi´e ne com-portant que 5 ´etapes et 3 esp`eces libres interm´ediaires a ´et´e propos´e (“Oregonator” de Field et Noyes, 1974). Ce mod`ele produit des oscillations de relaxation analogues `a celles de BZ mais pas le chaos observ´e exp´erimentalement ou par simulation de sch´emas r´eactionnels un peu plus complexes.
Chapitre 8
Du chaos temporel au chaos
spatio-temporel
8.1 Introduction
On peut envisager l’´etude du d´eveloppement de la complexit´e dans les syst`emes physiques de fa¸con d´eductive `
a partir des premiers principes. Par exemple, dans le cas d´ej`a ´evoqu´e de la convection, cela revient `a partir des ´equations de la m´ecanique des fluides, `a d´evelopper une analyse de stabilit´e lin´eaire puis faiblement non-lin´eaire pour arriver, en ´etant optimiste, `a un compte rendu quantitatif de l’´emergence du chaos. Si cette d´emarche est envisageable dans le cas o`u le nombre de degr´es de libert´e effectifs est r´eellement tr`es petit, c’est `a dire si l’on parvient `a isoler un tout petit nombre de modes et `a raisonner en termes de dynamique temporelle sur les “amplitudes” de ces modes, dans la plupart des cas concrets elle est tout bonnement impossible d`es que le confinement ne rigidifie pas suffisamment la structure. Il devient alors indispensable d’adopter une autre d´emarche, plus inductive, mettant l’accent sur les aspects qualitatifs et fonctionnant par analogie, via la construction de mod`eles. Ici, nous n’irons pas tr`es loin sur cette voie et nous nous contenterons d’en fixer la perspective. Nous commencerons par poser le probl`eme des instabilit´es dans les milieux ´etendus en relation avec les effets de confinement (§8.2) puis nous illustrerons sur un petit mod`ele l’´emergence de la complexit´e en fonction de la taille du syst`eme (§8.3) avant de passer `a la mod´elisation de la transition vers le chaos spatio-temporel (§8.4 et 8.5). Op´erant par ´etapes, nous donnerons `a l’approche temporelle suivie jusqu’`a pr´esent une dimension spatio-temporelle au moyen d’´equations d’enveloppe qui d´ecriront les modulations autour d’une situation de r´ef´erence correspondant `a un ´etat bifurqu´e uniforme dans l’espace (§8.4.1). La transition vers le chaos pourra alors suivre la voie d’une cascade d’instabilit´es affectant ces enveloppes (§8.4.2), voie que nous qualifierons de super-critique au sens large. Cependant les situations super-critiques o`u l’´etat bifurqu´e reste voisin de l’´etat de base ne recouvrent qu’une partie des cas. La partie compl´ementaire correspond `a des situations o`u plusieurs solutions non-lin´eaires sont en comp´etition et bifurquent de fa¸con sous-critique ou par “crise.” Dans un contexte spatio-temporel, ces situations ne sont abordables que par un effort de mod´elisation suppl´ementaire qui d´ebouche sur la d´efinition de syst`emes simplifi´es qui d´ecomposent l’espace en cellules, chacune porteuse d’un syst`eme dynamique local pr´esentant les caract´eristiques qualitatives souhait´ees, et coupl´ee `a ses voisines (§8.5). L’´etude de tels r´eseaux a permis de grandes avanc´ees dans notre compr´ehension de la transition vers le chaos lorsque les degr´es de libert´es actifs prolif`erent en raison d’un affaiblissement de la coh´erence spatio-temporelle impos´ee par les effets de confinement.