2.3.1 Détermination des axes propres
La polarisation issue de l’isolateur optique est linéaire et orientée à -45°. Cette polarisa-tion linéaire traverse la lame demi onde dans la cavité orientée avec un angleθ par rapport à l’axe x pris verticalement. Elle est donc tournée d’un angle 2θ par rapport à son orientation initiale. Cette polarisation linéaire est alors injectée dans la fibre où elle va subir un dépha-sage du à la biréfringence. Elle est ensuite analysée à l’aide de la lame demi onde orientée d’un angle α par rapport à l’axe x. La fig.2.3 résume les différentes notations ainsi que l’orientation des axes du repère utilisée.
FIGURE2.3 – Schéma d’illustration rappelant les différentes notations
La fig.2.4présente le taux de polarisation en fonction de l’orientation de la polarisation en entrée de fibre. Le taux de polarisation est défini de la manière suivante
Tpolar= P1− P2
P1+ P2 (2.1)
Ce taux de polarisation vaut 1 pour une polarisation linéaire et 0 pour une polarisation circulaire. Les taux de polarisation entre 0 et 1 dénotent de polarisation plus ou moins elliptique.
FIGURE2.4 – Evolution du taux de polarisation en fonction de l’orientation de la polarisa-tion linéaire incidente.
Sur la fig. 2.4 on voit clairement apparaître quatre maxima pour lesquels le taux de polarisation est maximum, quasiment égal à 1. Cela signifie que la polarisation n’a pas subi de perturbation et qu’elle est restée linéaire. On identifie alors les axes propres de la fibres de cette manière. L’un de ces axes est orienté à 75° de l’axe x alors que l’autre est orienté à 90° du premier, soit à 165°. Nous n’avons pas observé de rotation de la polarisation linéaire incidente lorsque celle-ci est injectée selon les axes propres de la fibre. La biréfringence elliptique est principalement engendrée par l’enroulement de la fibre sur une bobine ou bien son vrillage lors de l’enroulement. Notre fibre de type barreau ne peut pas être enroulée ce qui minimise l’apparition de biréfringence elliptique. Nous considérerons donc que nos fibres sont linéairement biréfringentes.
Ainsi, toutes les orientations citées dans le corps de la thèse tiennent compte de l’orien-tation des axes propres de propagation.
2.3.2 Estimations de la biréfringence de la fibre
Nous connaissons l’orientation des axes propres de la fibre. Il est alors intéressant d’es-sayer de déterminer la différence d’indice ∆n entre ces deux axes. Cette différence d’indice est appelée la biréfringence. Elle se caractérise par un déphasage subi par l’une des com-posantes de l’enveloppe du champ électrique par rapport à l’autre. Supposons un champ en entrée de fibre défini de la manière suivante dans la base des axes propres de la fibre
~ Eentr ´ e f ibree= E0xcos(θ )cos(ωt) E0ysin(θ )cos(ωt) (2.2)
L’angleθ rend compte de l’angle avec lequel a été injectée cette polarisation linéaire par rapport à l’un des axes propres de la fibre. La polarisation en sortie de fibre s’écrit alors de la manière suivante en supposant une biréfringence linéaire de la fibre [Born&Wolf(1999)]
Ex= E0cos(θ ) cos(ωt) Ey= E0sin(θ ) cos(ωt + φ ) (2.3) et vérifie la relation Ex a1 2 + Ey a2 2 − 2cos(φ)ExEy a1a2 = sin(φ )2 (2.4)
avec E0cos(θ ) = a1et E0sin(θ ) = a2. On noteφ le déphasage subit par la composante Eydu champ par rapport à la composante Ex. Ce déphasage est défini comme
2π∆nL
λ = φ + 2kπ (2.5)
avec ∆n la biréfringence de la fibre, L la longueur de la fibre et λ la longueur d’onde d’opération du laser (1030 nm). On note que l’équation2.4est l’équation d’une ellipse. La polarisation en sortie de la fibre est donc une ellipse dont les axes ont basculé par rapport à la polarisation en entrée. La fig.2.4illustre l’état de polarisation en sortie de fibre
FIGURE2.5 – Polarisation en sortie de la fibre
On peut opérer le changement de variable (rotation du repère) suivant afin de se ramener dans les axes propres de l’ellipse
① = x cos(ψ) + y sin(ψ)
η = −x sin(ψ) + y cos(ψ) (2.6)
Il est à noter queψ est l’angle que fait l’axe principal de l’ellipse avec la polarisation linéaire incidente.
L’équation paramétrique de l’ellipse s’écrit alors dans le nouveau repère E① = a cos(ωt + δ0)
Eη = b sin(ωt + δ0) (2.7)
Les étapes intermédiaires de calcul ne sont pas détaillées mais peuvent être trouvées dans [Born&Wolf(1999)]. On obtient alors les relations liant les différentes grandeurs sui-vantes
a2+ b2= a2 1+ b2
1= 1 tan(2ψ) = tan(2θ )cos(φ )
sin(2q) = sin(2θ)sin(φ) tan(θ ) = a2 a1 tan(q) = ∓b a (2.8)
oùq est un angle qui définit la forme de l’ellipse (positif pour les polarisations tournant à droite, négatif pour les polarisations tournant à gauche) etψ son orientation.
Le tableau2.2rassemble les données que nous avons utilisées pour déterminer la biré-fringence de la fibre et les résultats associés. Nous nous sommes placés dans le cas où la polarisation linéaire incidente est orientée à 45° des axes propres de la fibre. Cela corres-pond au cas où la déformation de l’ellipse est la plus importante.
Ellipticitéq (°) Déphasage φ (rad) Biréfringence ∆n
8,9 0,66 1,4 10−7
TABLE2.2 – Tableau récapitulatif des résultats
Ces résultats ne permettent cependant pas de déterminer exactement la biréfringence de la fibre. En effet, on ne connait la valeur du déphasage que modulo 2π . On obtient donc une borne inférieure de biréfringence. Afin de connaitre exactement cette valeur, il est nécessaire d’effectuer une autre expérience afin de déterminer si le déphasage mesuré l’est modulo 2π ou non. Une telle expérience pourrait consister à envoyer une source blanche mono-mode (un laser supercontinuum) dans la fibre afin de former un filtre de Lyot [Lyot(1933)]. Malheureusement, un rapide calcul d’ordre de grandeur montre qu’une telle mesure n’est exploitable pour une biréfringence supérieure à 10−6(ce qui correspond, dans notre cas, à ∆φ = 0, 66 rad + 5π). En effet, si la biréfringence est trop faible, la distance séparant deux pics du filtre de Lyot sera trop importante pour pouvoir être observée, même avec un super-continuum. Une expérience utilisant un compensateur de Babinet utilisé à deux longueurs d’onde pourrait lever le doute sur la valeur de la biréfringence tout comme une mesure magnéto-optique telle que décrite en [Chartier(2001)].
D’après [Hwang(2003)] , la biréfringence d’une fibre microstructurée peut être reliée à la taille des trous d’air d ainsi qu’à la distance entre les trous Λ. La fibre que nous avons étudiée possède des trous d’air de 6 µm de diamètre et un pas (”pitch”) de Λ= 30 µm. De tels paramètres, toujours d’après [Hwang(2003)], doivent induire une biréfringence très faible, inférieure à ∆n= 10−7. Ainsi, nous pouvons considérer que la valeur du déphasage φ obtenue expérimentalement n’est pas modulo 2π et que la valeur de biréfringence que nous avons mesuré est du bon ordre de grandeur. Ainsi, nous prendrons dans la suite du manuscrit une biréfringence de ∆n= 10−7dans nos calculs numériques.