Analyse des programmes de mathématiques de cycle 3 en France

Nous analysons deux types de données : les instructions officielles concernant les mathématiques pour le cycle 3 extraits du bulletin officiel numéro 11 du 26 novembre 2015 (MEN, 2015) qui sont les programmes en vigueur actuellement en France et les documents d’accompagnement aux programmes intitulés « Le calcul aux cycles 2 et 3 » (MEN, 2016a) et « Le calcul en ligne au cycle 3 » (MEN, 2016b). Ces documents visent d’une part à apporter des précisions théoriques et didactiques des notions concernées et d’autre

3 En France, le cycle 3 concerne les élèves de 9 à 12 ans. C’est un cycle qui couvre les deux dernières années de l’enseignement primaire (classes de cours moyen 1 et 2) et la première année du secondaire (classe de sixième).

part à donner des exemples de situations d’enseignement à mettre en œuvre dans les classes. C’est dans ces documents, que nous nous attendons à trouver ce qui concerne le calcul sur les expressions numériques.

Parmi les quatre domaines du programme, c’est dans le domaine « Nombre et calculs» que se trouvent des éléments relatifs à l’activité numérico-algébrique. Le calcul sur les expressions numériques est traité dans l’entrée du programme « Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux » (Figure 2).

Les expressions numériques sont travaillées à travers un type de calcul nouveau appelé calcul en ligne. Dans les documents d’accompagnement, le calcul en ligne est défini comme un calcul qui participe à :

• à la compréhension des différentes écritures d’un même nombre […], en motivant leur utilisation ;

• à la compréhension progressive des propriétés des opérations en favorisant leur utilisation (il est attendu des élèves qu'ils manipulent ces propriétés en situation et qu'ils les explicitent avec leurs mots ; les dénominations données ci-dessous ne sont pas des objectifs d'apprentissage pour les élèves) […] ;

• à la connaissance de propriétés relatives aux opérations, pouvant faciliter le calcul mental ou en ligne en permettant de créer des étapes intermédiaires […] ;

• à la compréhension progressive de la signification du signe « = », à concevoir comme équivalence entre le membre écrit à gauche et le membre écrit à droite, et pas seulement pour donner le résultat d’un calcul ;

• à la compréhension progressive de la signification des parenthèses et de leur utilisation pour écrire un calcul complexe. (MEN, 2016b, p. 3)

Il est précisé de plus que :

Dès le début du cycle 3, les activités de calcul en ligne portent sur les quatre opérations avec des nombres entiers, pour effectuer des calculs, travailler les décompositions additives et multiplicatives, les compléments à la centaine la plus proche et résoudre des problèmes variés. (Eduscol, 2016b, p. 5)

Plusieurs des aspects épistémologiques sur les expressions numériques, présentés dans la partie II, sont présents dans ces textes (Tableau 1) : la dénotation des expressions numériques, c’est-à-dire le fait qu’un nombre puisse avoir plusieurs écritures différentes égales, le statut d’équivalence du symbole d’égalité qui peut être travaillé avec des écritures en ligne et le fait que le raisonnement sur la transformation d’une expression en une autre met en jeu des propriétés des opérations, comme la distributivité, qui, même si elles ne sont pas explicitées aux élèves, sont travaillées en acte.

Figure 2

Extrait des BO n°11, 26 novembre 2015

Source. MEN (2015, p. 203).

Tableau 1

Analyse synthétique de l’activité numérico-algébrique en cycle 3 dans les documents officiels

Critères d’analyse Programmes

(Eduscol, 2015) Documents d’accompagnement (Eduscol, 2016a, 2016b)

Statut de l’égalité : statut d’équivalence Non Oui

Propriétés des nombres et des opérations,

notamment la distributivité Oui Oui

Dénotation des expressions numériques

(Drouhard, 1992) Non Oui

Caractère d’un concept : procédural et/ou

structural Non Non

Analycité Non Non

Représentation des relations entre les quantités

numériques données et les inconnues Non Non

Le document d’accompagnement souligne que les écritures des calculs en ligne préparent à l’algèbre :

Résumer en un seul calcul, écrit en ligne, les calculs séparés permettant la résolution d’un problème nécessite la maîtrise de l’utilisation des parenthèses ; ceci est une étape importante de l’apprentissage, préparatoire à la production d’écritures algébriques, objectif essentiel du cycle 4. (MEN, 2016b, p. 8)

Comme les priorités opératoires ne sont pas attendues au cycle 3, l’usage des parenthèses est souligné comme étant indispensable même si des écritures en ligne avec des parenthèses seront rendues inutiles plus tard, par exemple avec 5 + (4 × 3). Deux usages des parenthèses sont distingués (MEN, 2016b) :

• des parenthèses qui servent à mettre en lumière des réécritures et qui sont nécessaires, par exemple : 15 × 6 = (10 + 5) × 6 = 60 + 30 = 90 ;

• des parenthèses qui indiquent l’ordre dans lequel effectuer les calcul, par exemple : 15 × 6 = (3 × 5) × 6 = 3 × (5 × 6) = 3 × 30 = 90.

Le lien entre la production d’écritures en ligne et la résolution de problèmes est fait pour souligner la nécessaire distinction entre résultat et procédure afin d’amener les élèves à comprendre que sa solution à un problème peut être correcte mais avec une écriture des calculs incorrecte mathématiquement, notamment avec une utilisation du signe d’égalité comme annonce de résultat (Figure 3). La question de

la représentation des relations entre les quantités numériques par un modèle symbolique n’est pas abordée comme telle.

Figure 3

Extrait sur le statut de signe d’égalité

Source. MEN (2016b, p. 7).

En conclusion, l’analyse des textes officiels montre que la praxéologie mathématique locale 1 sur la généralisation de motifs est absente au cycle 3. Les programmes ne font pas référence explicitement au raisonnement analytique. La praxéologie mathématique locale 2 sur la représentation des relations entre les quantités dans le cadre de la résolution de problèmes arithmétiques verbaux ou dans le cas des grandeurs est présente mais peu explicitée et nous prévoyons d’en faire une analyse plus approfondie pour en dégager les spécificités en prenant en compte d’autres documents officiels sur la résolution de problème. La praxéologie locale 3 sur le calcul avec des expressions numériques est présente et en appui sur les aspects épistémologiques de la référence (Tableau 2).

Tableau 2

Prise en charge de la praxéologie locale 3 « Calculer sur des expressions numériques » par les documents d’accompagnement

Genre de tâches Présence dans les documents d’accompagnement

Effectuer un calcul réfléchi

De nombreux exemples avec une présentation en calcul en ligne

523 – 67 = ?, 13 × 54 = ?, 193 × 18 = ? Calculer une expression numérique (notamment

avec usage des parenthèses) Usage des parenthèses présenté surtout en lien avec le calcul réfléchi

Associer des expressions numériques de structures différentes

La mise en relation de plusieurs écritures

numériques de structures différentes est illustrée à travers des exemples :

Écrire 420 de plus façons différentes, sous la forme d’un produit de plusieurs nombres

2.3. Analyse et comparaison de manuels scolaires français de cycle 3