Analyse a priori d’un problème de comparaison : des exemples prototypiques

Nous proposons un problème de comparaison (Figure 1) de type composition de deux relations additives (Figure 3). Nous avons créé un exemple prototypique de praxéologie de résolution de ce problème pour chacune des catégories de la grille de Squalli et al. (2020). Nous utilisons la praxéologie pour illustrer les deux blocs : le bloc pratique ou savoir-faire (type de tâches et technique) et le bloc théorique ou savoir (technologie et théorie) pour illustrer la grille et les raisonnements. L’analyse a priori consiste à préciser la tâche demandée (résoudre un problème déconnecté). Pour chaque raisonnement de la grille de Squalli et al. (2020), nous mettons en évidence une technique de résolution, ensuite nous précisons la technologie qui sous-tend cette technique et enfin la théorie sur laquelle la technologie s’appuie. Ces exemples

prototypiques conçus a priori seront la référence pour analyser les raisonnements des élèves, en d’autres termes, la grille d’analyse des praxéologies.

Figure 3

Schéma du problème de comparaison

• Type A : Arithmétique pure

Technique 85 + 87 = 172 c’est la somme des deux quantités qui sont en plus 496 - 172 = 324 on enlève ce surplus au total des amis des 3 personnes Puisque le problème met en évidence 3 personnes, alors, on divise par 3 324 ÷ 3 = 108

Alors Sophia a 108 amis Carlos a 108 + 87 = 195 amis Et François a 195 + 85 = 280 amis

Technologie Calcul arithmétique : seules les données présentes explicitement dans le problème et des opérations arithmétiques concernant ces données sont utilisées.

Théorie Arithmétique pure : On n’utilise que les données du problème selon une règle du contrat didactique stipulant qu’on ne doit utiliser que les nombres donnés dans l’énoncé. Seules des connaissances numériques sur les problèmes arithmétiques connectés sont activées.

Remarque concernant la technique : lors de la technique, les relations sont mal interprétées. La relation entre les trois quantités (la somme est égale à 496) est erronée et n’a pas été vérifiée

dans la technique proposée. Dans le cas d’un problème déconnecté, la réponse correspondant à cette catégorie ne peut qu’être fausse ou inachevée.

• Type B : Essais-erreurs sans ajustement

Technique On suppose que Carlos a 160 amis et on fait « comme si » c’était une réponse au problème.

Sophia a 160 - 87 = 73 amis François a 160 + 85 = 245 amis

160 + 73 + 245 = 478 amis ce qui n’est pas assez, il faut trouver 496 amis On suppose que Carlos a 150 amis

Sophia a 150 - 87 = 63 amis François a 150 + 85 = 235 amis 150 + 63 + 235 = 448 amis

Après plusieurs essais… et un peu de chance…

Carlos a 166 amis

Sophia a 166 - 87 = 79 amis François a 166 + 85 = 251 amis 166 + 79 + 251 = 496 amis

Au total 79 + 166 + 251 = 496 amis

Technologie Calcul arithmétique : faire différents essais non guidés, choisir un nombre quelconque, puis un autre, etc. jusqu’à trouver la solution.

Théorie Arithmétique : l’élève s’autorise à choisir des nombres qui ne sont pas dans l’énoncé et il se ramène à des connaissances arithmétiques.

• Type C : Essais-erreurs avec ajustement

Technique On suppose que Carlos a 160 amis et on fait « comme si » c’était une réponse au problème.

Sophia a 160 - 87 = 73 amis François a 160 + 85 = 245 amis

160 + 73 + 245 = 478 amis ce qui n’est pas assez, il faut trouver 496 amis Le second nombre choisi est donc plus grand que 160, soit 170

On suppose que Carlos a 170 amis Sophia a 170 - 87 = 83 amis François a 170 + 85 = 255 amis

170 + 83 + 255 = 508 amis ce qui est trop, il faut trouver 496 amis Le nombre cherché est donc entre 160 et 170. On peut essayer 165…

Technologie Ajustement guidé par la croissance des deux suites de nombres : le nombre choisi et la somme des effectifs des amis.

Théorie Arithmétique enrichie par le concept implicite de variation des fonctions et par le théorème des valeurs intermédiaires.

• Type D : Essais-erreurs type fausse position

Technique On choisit une valeur qui est a priori erronée attribuée à Sophia, soit 165 amis, et on fait comme si cette valeur était une réponse en appliquant les relations du problème.

Sophia a 165 amis

Carlos a 165 + 87 = 252 amis François a 252 + 85 = 337 amis Au total 165 + 252 + 337 = 754 amis

On cherche l’écart entre le total généré par la valeur 165 et le total donné par le problème (754 - 496 = 258).

258 est ce qui est en trop par rapport à 496. Quand on augmente le nombre choisi au départ de 1 unité le total augmente de 3 unités, donc pour savoir de combien il faut diminuer la part de Sophia il faut diviser 258 par 3 :

258 ÷ 3 = 86

On rectifie la valeur fausse attribuée à Sophia Alors Sophia a 165 - 86 = 79 amis

Carlos a 79 + 87 = 166 amis Et François a 166 + 85 = 251 amis Au total 79 + 166 + 251 = 496 amis

Technologie Choisir une valeur a priori fausse et faire des ajustements de type fausse position qui assurent de trouver les bonnes valeurs par une seule étape de calcul. À partir d’un seul essai, l’analyse du tableau de valeurs et la convocation implicite de la variation des fonctions permettent le calcul des nombres cherchés.

Théorie Arithmétique traditionnelle – Méthode dite de la fausse position et compatibilité de l’égalité avec l’addition.

• Type E : Essais-erreurs avec raisonnement proportionnel

Technique On choisit une valeur erronée attribuée à Sophia et on fait comme si cette valeur était une réponse en appliquant les relations du problème.

Sophia a 165 amis

Carlos a 165 + 87 = 252 amis François a 252 + 85 = 337 amis Au total 165 + 252 + 337 = 754 amis

On choisit une autre valeur erronée attribuée à Sophia et on fait comme si cette valeur était une réponse en appliquant les relations du problème.

Sophia a 160 amis

Carlos a 160 + 87 = 247 amis François a 247 + 85 = 332 amis Au total 160 + 247 + 332 = 739 amis

On calcule les écarts entre les valeurs attribuées à Sophia (165 – 160 = 5) et les valeurs générées par les totaux (754 - 739 = 15).

On cherche l’écart entre le total généré par la première valeur 165 et le total donné dans le problème (754 - 496 = 258) 258 est ce qui est en trop entre le total généré par la première valeur (165) et le total 496 du problème.

On utilise la relation de proportionnalité sur les écarts. On a : (258 × 5) ÷ 15 = 86

On rectifie la valeur fausse attribuée à Sophia.

Alors Sophia a 165 – 86 = 79 amis Carlos a 79 + 87 = 166 amis Et François a 166 + 85 = 251 amis Au total 79 + 166 + 251 = 496 amis

Sophia 165 5 160 ? ?

Total 754 15 739 258 496

Technologie Relation proportionnelle sur les écarts.

Théorie Arithmétique traditionnelle – Méthode de la double fausse position.

Multiplie par 3

• Type F : Inconnues et/ou équations muettes

Technique Carlos a le nombre d’amis de Sophia plus 87 amis et à ce nombre d’amis de Carlos on ajoute 85 amis pour avoir ceux de François

On a : 87 + 87 + 85 = 259 amis et 496 - 259 = 237 amis

On divise par 3 ce qui donne 237 ÷ 3 = 79 et on trouve le nombre d’amis de Sophia

Alors Sophia a 79 amis Carlos a 79 + 87 = 166 amis Et François a 166 + 85 = 251 amis Vérification : 79 + 166 + 251 = 496 amis

Technologie On convoque implicitement une inconnue (le nombre d’amis de Sophia) et on opère implicitement sur elle (237 c’est trois fois le nombre d’amis de Sophia) Théorie Tendance analytique, mais les techniques et les registres mobilisés sont

arithmétiques

• Type G : Inconnues ou équations explicites sans opérer sur ces représentations

Technique Carlos a le nombre d’amis de Sophia plus 87 amis et à ce nombre d’amis de Carlos on ajoute 85 amis pour avoir ceux de François.

On a : 87 + 87 + 85 = 259 amis

Au total il y a 496 amis c’est 3 fois le nombre d’amis de Sophia avec en plus 259 amis

496 - 259 = 237 amis, cela correspond à 3 fois le nombre d’amis de Sophia On divise par 3 ce qui donne 237 ÷ 3 = 79 et on trouve le nombre d’amis de Sophia

Alors Sophia a 79 amis Carlos a 79 + 87 = 166 amis Et François a 166 + 85 = 251 amis Vérification : 79 + 166 + 251 = 496 amis

Technologie Au moins une inconnue est signifiée (ici en langage naturel : « c’est 3 fois le nombre d’amis de Sophia »), mais les techniques de calcul sont celles de l’arithmétique.

Théorie Tendance analytique avec l’indétermination et la dénotation au sens de Radford, mais les techniques de calcul sont arithmétiques.

• Type H : Raisonnement fonctionnel

Technique Le nombre d’amis au total c’est 496, mais c’est aussi 3 fois le nombre d’amis de Sophia plus 259 amis.

Cela permet de renseigner le tableau suivant : Sophia 20 40 60 80 79 Total 319 379 439 499 496

Technologie Technique fonctionnelle en utilisant implicitement la fonction qui à S fait correspondre 3S + 259. L’analyse de la table des valeurs numériques permet de trouver la réponse.

Théorie Cadre des fonctions et fonction affine.

D’autres régularités peuvent être établies (exemple : quand on ajoute 20 au nombre, le total augmente de 60). On est dans un processus fonctionnel qui permet de trouver la règle qui met en évidence une fonction affine.

• Type J : Inconnues et équations explicites sans perte de lien avec le contexte

Technique S est la part de Sophia, Carlos a alors S + 87 amis, François a S + 87 + 85 amis et au total ils ont :

S + (S + 87) + (S + 87 + 85) amis et c’est aussi égal à 496 amis Si S vaut 60 la formule précédente donne 439

Si S vaut 70 la formule précédente donne 469 Si S vaut 80 la formule précédente donne 499 Si S vaut 79 la formule précédente donne 496

Sophia a 79 amis, Calos en a 87 de plus soit 166 et François encore 85 de plus que Carlos, soit 251 amis

Technologie Utilisation de la lettre pour signifier l’inconnue et mise en équation pour modéliser le problème, mais sans traitement de l’équation.

Théorie Langage algébrique, mais pas de techniques algébriques de traitement des écritures. L’équation est utilisée en tant qu’outil, mais il n’y a pas de résolution de l’équation en tant qu’objet.

• Type K : Inconnues et équations explicites avec perte de lien avec le contexte

Technique S est la part de Sophia, Carlos a alors S + 87 amis, François a S + 87 + 85 amis et au total ils ont :

S + (S + 87) + (S + 87 + 85) amis et c’est aussi égal à 496 amis 3S + 259 = 496

3S = 496 - 259 3S = 237 S = 237 ÷ 3 S = 79

Alors Sophia a 79 amis Carlos a 79 + 87 = 166 amis Et François a 166 + 85 = 251 amis Au total 79 + 166 + 251 = 496 amis

Technologie Technique algébrique : utilisation de la lettre pour signifier l’inconnue et mise en équation et résolution d’équations. Inconnues et équations explicites avec perte de lien avec le contexte.

Théorie Algèbre : l’équation est sollicitée comme outil de résolution et elle est résolue en tant qu’objet de savoir algébrique.

Nous remarquons dans ces exemples que dans la tentative pour produire des exemples prototypiques, lors des résolutions, il y a une tendance à transformer le problème initial en un problème connecté. En fait, la tendance consiste à chercher un générateur (ou à établir un pont entre les relations).