Étant donné que les collisions sont locales (i.e. font intervenir les occupations des cellules à un seul nœud à un pas de temps), l’information ne se propage pas plus vite que les particules, qui se déplacent à une vitesse fixe c = 1. Il s’ensuit que l’état de la maille M(r, t) ne dépend que des états des mailles voisines à l’instant précédent t − τ . L’évolution de la densité coarse-grainée est donc locale et obéit à l’équation de continuité
∂tρτ+ ∇ · jτ= 0. (6.12)
S’il n’y a pas de séparation d’échelle, on s’attend à ce que le temps de relaxation du flux coarse- grainé ne soit pas négligeable devant le temps de collision2. On doit alors modéliser la variation
temporelle du flux coarse-grainé plutôt que le flux lui-même. Autrement dit, le flux coarse- grainé a une inertie et doit être considéré comme une variable dynamique. De plus l’absence de représentation des plus petites échelles de la dynamique chaotique entraîne une imprédictabilité du champ coarse-grainé qu’il faut modéliser (de façon probabiliste). On cherche donc une relation
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de la forme :
∂tjτ= F (ρτ, ∇ρτ, jτ, ∇jτ, p, q, τ, η) (6.13)
où η est une variable aléatoire qui représente la variabilité des échelles sous-maille et dont la na- ture est encore indéterminée. Cette équation n’a pas de sens mathématiquement, nous l’écrivons uniquement pour exprimer la dépendance de la variation temporelle du flux de façon générale. La fermeture fait apparaître trois types de variables : les variables dynamiques (densité, flux et leurs gradients), les paramètres dynamiques (les probabilités de collisions) et les paramètres liés au coarse-graining (le facteur de coarse-graining).
Il serait très utile de pouvoir procéder à une analyse statistique détaillée de la simulation directe en calculant les corrélations partielles des variables avec la dérivée temporelle du flux pour sélectionner celles qui sont les plus pertinentes (i.e. s’appuyer sur les observations pour choisir la rhéologie du modèle sous-maille). Cependant, ce type d’analyse statistique est limitée par le nombre de variables pour des raisons de combinatoire. Si on fixe p,q et τ , ∂tjτ dépend toujours
de 1 + 2 + 2 + 4 = 9 variables. Il faut donc commencer à faire des hypothèses sur la rhéologie du modèle sous-maille.
Hypothèse : La variation du flux selon la direction α, ∂tjτ α, ne dépend que de jτ α, ρτ, ∂αρτ,
τ , p, q et les deux composantes de ∂tjτ sont décorrélées.
Cette hypothèse simplifie grandement le problème, et on peut commencer l’analyse des champs coarse-grainés. D’un point de vue pratique, on estime les dérivées partielles à partir des différences finies : ∂tjτ α(r, t) ' jτ α(r, t + τ ) − jτ α(r, t) τ ≡ 1 vτ α, (6.14) ∂xρτ(r, t) ' ρτ(x + τ , y, t) − ρτ(x − τ , y, t) 2τ ≡ 1 gτ x, (6.15) ∂yρτ(r, t) ' ρτ(x, y + τ , t) − ρτ(x, y − τ , t) 2τ ≡ 1 gτ y, (6.16)
Au cours d’une simulation, le système va explorer un grand nombre d’états globaux (du réseau) au cours de la simulation, générant un grand nombre d’états des mailles et de leurs voisinages (i.e. des valeurs du quadruplet (vτ α, jτ α, ρτ, gτ α)). La distribution de probabilité jointe du vecteur
(vτ α, jτ α, ρτ, gτ α) dépend des paramètres de la simulation (i.e. de l’écoulement), de la position et
du temps et n’est pas très intéressante pour déterminer le modèle sous-maille. La quantité d’in- térêt est plutôt la probabilité d’observer une variation temporelle du flux vτ α, sachant que l’on
observe (jτ α, ρτ, gτ α). On définit la densité de probabilité conditionnelle pτ α(ˆv|ˆj, ˆρ, ˆg) telle que la
probabilité d’observer vτ α ∈ [ˆv −dˆ2v, ˆv +dˆ2v[ sachant que jτ α ∈ [ˆj −dˆ2j, ˆj +dˆ2j[, ρτ ∈ [ ˆρ −d ˆ2ρ, ˆρ +d ˆ2ρ[
et gτ α ∈ [ˆg −dˆ2g, ˆg +dˆ2g[ est pτ α(ˆv|ˆj, ˆρ, ˆg) dˆv dˆj d ˆρ dˆg. Ces distributions sont indépendantes du
temps et de la position. Elle peuvent donc être mesurées pour différentes valeurs de τ , et α = x, y, en faisant les statistiques sur toutes les mailles de la simulation.
Afin d’identifier une éventuelle structure des distributions, il est utile de regarder des variables aléatoires normalisées. On introduit donc la variation temporelle du flux coarse-grainé normalisée
δτ α(ˆj, ˆρ, ˆg) =
vτ α− hvτ αiˆj, ˆρ,ˆg
q
h(vτ α− hvτ αiˆj, ˆρ,ˆg)2iˆj, ˆρ,ˆg
95 où hvn τ αiˆj, ˆρ,ˆg= ˆ ˆ vn pτ α(ˆv|ˆj, ˆρ, ˆg) dˆv (6.18)
Les densités de probabilités empiriques des variables aléatoires δτ α(ˆj, ˆρ, ˆg) sont montrées sur la
figure6.5 pour τ = 10, 15, 20, 25, 30 et α = x, y. Les statistiques sont faites pour ˆj divisé en 19
créneaux entre −0.04 et 0.04, ˆρ divisé en 16 créneaux entre 1.2 et 2.8, et ˆg divisé en 19 créneaux
entre −0.03 et 0.03. On ne garde que les échantillons de taille supérieure à 2000 pour limiter le bruit. On observe que les distributions de δτ α(ˆj, ˆρ, ˆg) ne dépendent pas significativement du
facteur de coarse-graining τ et de la direction α = x, y (ce qui est attendu étant donné la symétrie du forçage). De façon plus intéressante, les distributions de δτ α(ˆj, ˆρ, ˆg) ne dépendent pas signifi-
cativement de la densité coarse-grainée et de son gradient. En revanche, on note une dépendance de ces distributions avec le flux coarse-grainé. Pour les valeurs les plus probables du flux (proche de zéro), les distributions suivent une loi Normale. Les déviations par rapport à la loi Normale sont en partie expliquées par le fait qu’une densité empirique est une variable aléatoire qui peut fluctuer autour de sa moyenne. Cependant, le caractère non Normale des distributions lorsque le flux prend des valeurs atypiques est très net et reproductible, il ne peut donc pas s’expliquer à partir des erreurs d’estimation des distributions empiriques. On remarque que lorsqu’on regarde la distribution de probabilité conditionnelle seulement en sachant la densité et son gradient, on trouve un comportement Normal (non montré). Étant donné que les gaz sur réseaux sont utili- sés dans la limite des faibles flux (i.e. faible vitesse moyenne des particules), et que ces faibles vitesses sont celles qui sont les plus observées en pratique, on se concentrera sur la modélisation sous-maille dans la limite d’un faible flux.
Dans cette limite, la variation temporelle du flux coarse-grainé est une variable aléatoire Gaus- sienne, complètement déterminée par sa moyenne et son écart-type (qui sont donc les seules quantités à modéliser).