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Analyse de règles pour l'aide à la déision

Un ensemble de règles de lassiation est souvent utilisé dans le adre de la

pré-dition.La prédition estlatâhequi onsisteà assignerune étiquetteàune situation.

Maisl'utilisateur a aussibesoin d'uneaide dansl'analyse desrèglesinduites;en

parti-ulier lorsque elles-i sont nombreuses. Siles heuristiquesutilisées lors de l'indution

desrèglespermettentdeomparerlesrèglesentreelles 2

,ilexisted'autresmesures,telles

quedesmesures de similaritéentrerègles, surlesquelles sont basésdesoutils de

visua-lisation de règles(sous-setion4.1.1). La séletion derègles intéressantes estun moyen

d'analyser desrègles dansun objetif d'aide à ladéision. On note toutefois queette

séletion peutêtrediretement intégrée dansleproessusd'indution;ilne s'agitdon

pas réellement d'une analyse de règles (sous-setion 4.1.2). Dans la sous-setion 4.1.3,

les méthodesprésentées herhent àproposer desationsà partir desrèglesinduites.

4.1.1 Visualisation des règles induites

La dénition d'indies de similarité entre règles est un moyen de les omparer

entre elles. Ces indies peuvent reposer sur leur syntaxe, 'est-à-dire, dans le adre

d'une logique attribut-valeur,sur les séleteursdes omplexes présents dansles règles.

Ils peuvent aussi reposer sur la sémantique des règles, 'est-à-dire sur les ensembles

d'exemplesouverts paresrègles.Lesindiesdesimilaritésreposantsurlasémantique

des règles sont aussi utilisables dansle as de règles en logique du premier ordre. Des

visualisations s'appuyant sur es similarités ont été développées. Par exemple, Gupta

etal.(Gupta et al.,1999)utilisent unetehniquede lusteringhiérarhique pour

orga-niser les règles etles visualiser. D'autres exemplessont l'utilisation de méthodesSOM

(aronyme de l'anglais Self Organizing Map) ou MDS (aronyme de l'anglais

Multi-DimensionalSaling) ande transposerles règlesdansunplan2D(un point

représen-tant une règle) de telle manière que les distanes entre les règles soient respetées au

mieux (Tsumoto &Hirano, 2003;Rehm et al.,2006; Gabriel et al., 2006). Dans lebut

d'aider l'utilisateur à la prise de déision, une visualisation interative des règlespeut

être intéressante. Zhao et al. (Zhao et al.,2005) proposent une visualisation des règles

et des données, dans une logique attribut-valeur, sous forme de matrie. Les lignes y

représentent les étiquettes d'apprentissage etles olonnesles attributs. En

reposition-nant lesellulesorrespondant à l'intersetiond'unelasse d'apprentissage d'intérêt et

d'un attribut sur lequel il peut agir, l'utilisateur peut se foaliser sur les règles dans

un objetifde prise de déision. Une autre visualisationprohe de elle-iest proposée

dans(Han&Cerone, 2000).

4.1.2 Séletion de règles intéressantes

Une notionimportante dansleadredelareherhe derèglesintéressantesestelle

d'ationnabilite proposée par Silbershatz et Tuzhilin (Silbershatz& Tuzhilin, 1996).

2

Étantdonnéunmotif,parexempleunerègle,ils'agitdesavoirs'ilestpertinentvis-à-vis

d'une ation à entreprendre. D'après eux, un motif est intéressant, d'unpoint de vue

subjetif,s'il estsoit :

manipulable :l'utilisateurpeututiliserle motif and'agir danssonintérêt;

inattendu :l'utilisateurest surprispar le motifinduit.

Si de nombreux travaux se sont intéressés à la reherhe de règles inattendues, voir

par exemple (Duval etal., 2007), lanotion de motif "manipulable"est moinsabordée.

Pour la déouverte de règles intéressantes, Chen et Liu (Chen & Liu, 2001) suggèrent

d'intégrer des onnaissanes de l'utilisateur a priori. Simplement, dans une étape de

pré-apprentissage, les règles attendues, données par l'utilisateur, permettent de ibler

lesexemplesquinesontpasonformesauxonnaissanesapriori.Deettemanière,les

règlesinattendues issues d'unapprentissage lassique sont repérées :e sont elles qui

ouvrentdesexemplesnononformes.Desalgorithmesd'apprentissagederèglesontété

développés pour le as où l'on s'intéresse à un sous-groupe de données. Par exemple,

Lavra£etal.(Lavraetal.,2002)adaptentlesystèmeCN2(voirsous-setion1.1.2)pour

la déouverte de sous-groupes (de l'anglais subgroup disovery). Des poids importants

sontassoiésauxexemplesdusous-groupeiblé,equiimpliquequelquesmodiations

lors du alul de l'heuristique de reherhe. Au ontraire, étant donné un ensemble de

groupes de données

{G1, .., G

n

}

, Bay et Pazzani (Bay & Pazzani, 2001) induisent des omplexes ontrastant d'un groupe à l'autre (en anglais ontrast set); 'està dire que

lesupport de larègle restreint àun groupe de données

G

i doit être susamment plus important quesonsupportrestreint àun groupe

G

j (

i6=j

).

4.1.3 Proposition d'ations

Destravauxsefoalisentsurl'extrationd'ationsàpartirdesrèglesinduites.L'idée

générale est, partant d'une situation défavorable, de proposer des modiations à

ap-porterpouraméliorerlalassede lasituation.Onseplaeiidansleadrederèglesen

logique attribut-valeur et une situation est représentée par un omplexe (voir setion

1.1).

Yang et al. (Yang et al., 2003) suggèrent d'utiliser des arbres de déision pour

onstruire des ations. Plus préisément, étant donné un exemple (situation) ouvert

par une règle de lasse

c

1,des modiations dansles valeursd'attribut sont proposées an que l'exemple soit ouvert par une règle de lasse

c

2 onsidérée omme meilleure. Une mesure de prot

P

N est proposée :

P

N

= P

E

∗P

gain

−P

Cost

.

P

E est le pro-t engrangé lorsque l'exemple passe de la lasse

c1

à

c2

;

P

gain est la probabilité que l'individu passe eetivement de la lasse

c

1 à

c

2;

P

Cost

est lasomme des oûts des modiations unitaires. Une matrie, fournissant pour haque attribut le oût de la

modiation d'une valeur de l'attribut

v

i en une valeur

v

j, doit en eet être dénie. Cette approhe ontraint à l'utilisation d'attributs qualitatifs uniquement. Une autre

approhe (Ras&Wiezorkowska,2000)onsiste àinduiredesrèglesations.Pour tout

ouple de règles induites

r1 =comp1 → c1

et

r2 =comp2 → c2

,une règle d'ationest dénie, dans le as où la lasse

c

2 est onsidérée omme meilleure que

c

1; ette règle

s'érit 3

(comp

1

=> comp

2

)→(c

1

=> c

2

)

ets'interprètedelamanièresuivante:"sil'on modielesvaleursdesséleteursduomplexe

comp1

detellemanièreàêtreouvertpar leomplexe

comp

2 alors lalasse passe de

c

1 à

c

2".Les auteurs identient deux types d'attributs, les attributs exibles etstables. Sila règle ation néessite lamodiation

d'unattribut stable, alors elle-in'est pasproposée à l'utilisateur ar on laonsidère

infaisable. Une extension (Ras & Tsay, 2003) propose de telles ations lorsque la

mo-diationde la valeur de l'attribut stableesten fait unespéialisation;danse as, le

séleteursuretattributpeutêtreinterprétéommeunontextedanslequell'individu,

surlequel onapplique larègle ation,doit setrouver.

4.2 Reommandation d'ations en logique attribut-valeur

Dans ette setion, on s'appuie sur les travaux de la littérature pour dénir une

tâhe originale de reommandation d'ations. Nousadoptons en partie lepoint de vue

deYangetal.(Yangetal.,2003).Eneet,nousonsidéronsquel'utilisateurproposeune

situationquiluiestdéfavorable,engénéralétiquetéeparlalasse

⊖

.Pourproposerdes ations,notredémarhenereposepassurlesarbresdedéisionmaisplusgénéralement

sur un ensemble de règles de lassiation; de e point de vue, elle est plus prohe

de elle proposée dans (Ras & Wiezorkowska, 2000). De même que pour es deux

approhes, nous nous plaçons dans une logique attribut-valeur et onsidérons que les

ationssontdesmodiationsdevaleurdesattributsdérivantlasituationdéfavorable.

Pour évaluer les ations, Yang et al. (Yang et al., 2003) dénissent une fontion de

prot. De notre té, nous préférons utiliser les deux notions de qualité et faisabilité

d'uneation.

Étant donnés une situation et un ensemble de règles, un espae de reherhe des

ations etun ritère pour les évaluer sont dénis (sous-setion 4.2.3). Nous nous

inté-ressonspartiulièrement àlanotiondefaisabilité desationsdanslasous-setion 4.2.2.

Enndeuxalgorithmespourinduire lesationssont proposées :lepremiers'appuiesur

une reherhe d'ations par faiseau (sous-setion 4.2.4), le seond a pour objetif de

onstruire l'ation optimale (au sens du ritère de qualité) dans l'espae de reherhe.

Avant deles présenter, ilestnéessaire d'introduire quelquesdénitions.

4.2.1 Dénitions préliminaires

Les symboles

⊕

et

⊖

dénotent les étiquettes de lasses jugées omme satisfaisante et non satisfaisante. La théorie

R

préalablement induite est onstituée de règles des deux lasses :

R=R

⊕

∪ R

⊖

.L'ensembledes attributs est

X ={X

1

, . . . , X

n

}

dont les domaines, notés

Dom

1

, . . . , Dom

n,sont desvaleursqualitativesou quantitatives.

Une valeurqualitativeestunensembledeonstantes. Unevaleurquantitativeestun

intervallereprésentéparunquadruplet

< min, max, l, r >

où

min

et

max

sontdesréels représentant les bornes minimales et maximalesde l'intervalle;

l

et

r

sont des valeurs de

{−1,1}

,

l

(respetivement

r

) étant à

1

lorsque lavaleur

min

(respetivement

max

)

faitpartie de l'intervalle et

−1

sinon. Onutilise essentiellement une notation ourante pour les intervalles; par exemple, l'intervalle

< 2,3,−1,1 >

pourra s'érire

]2,3]

. Ma etHayes (Ma & Hayes, 2006) redénissent les treize relations d'Allen entre intervalles

(Allen, 1981)pour leas oùl'information surl'appartenane ou nond'une borne dans

l'intervalle estexpliite.La gure4.1présente esrelations demanière nonexhaustive.

before e1 e2 e1 e2 meets e1 e2 e1 e2 overlaps e1 e2 e1 e2 starts ... e1 e2 e2 e1 ... during e1 e2 e1 e2 ... finishes e1 e2 ... e1 e2 e1 e2 equals e1 e2 ... PSfragreplaements _ _ _ (en%) nombred'arbres

Fig. 4.1 Exemples de ouple d'intervalles

e

1

, e

2 et leur relation d'Allen redénie pour les intervalles dont les bornes peuvent être exlues (Ma & Hayes, 2006). Pour

une borne donnée dont la valeur est

v

, le symbole I indique que

v

peut être in-luse ou non dans l'intervalle; le symbole ℄ , lorsqu'il est à gauhe, signie que

v

est exlue et...Les six autres relations peuvent être dénies de la manière suivante :

(e1

after

e2)

ssi

(e1

before

e2)

,

(e1

met-by

e2)

ssi

(e1

meet

e2)

,

(e1

overlapped-by

e2)

ssi

(e

1 overlaps

e

2

)

,

(e

1 started-by

e

2

)

ssi

(e

1 starts

e

2

)

,

(e

1 ontains

e

2

)

ssi

(e

1 during

e

2

)

,

(e

1 nished-by

e

2

)

ssi

(e

1 nishes

e

2

)

.

La taille d'une valeur qualitative est le nombre de onstantes de l'ensemble. La

tailled'une valeur quantitative

< min, max, l, r >

est

max−min

.Onnote

∅

lavaleur vide,

V

l(respetivement

V

t)l'ensemble(sans

∅

)desvaleursqualitatives(respetivement quantitatives). Nous présentons maintenant lesopérateursd'intersetionetd'union.

Dénition 4.2 (Opérateurs

⊠

et

⊞

entre valeurs).

Les opérateurs

⊠

et

⊞

ontpoursignature

V ∪ {∅} ∗ V ∪ {∅} → V ∪ {∅}

où

V

estxé soit à

V

t, soit à

V

l. Ils sont respetivement les opérateurs usuels d'intersetion et d'union, pour les ensembles dans le as de valeurs qualitatives et pour les intervalles dans le as

devaleurs quantitatives.

La dénition de es opérateurs nouspermet de manipuler les valeurs

Dénition 4.3 (Inlusion et inlusion strite entre valeurs).

Soient

e1

et

e2

deuxvaleursquantitatives ouqualitatives,

e1

estinlusedans

e2

(onnote

e

1

⊆e

2)ssi

e

1

⊠e

2

=e

1;

e

1 est inluse stritementdans

e

2 (onnote

e

1

⊂e

2)si

e

1

⊆e

2

et

e

1

6=e

2.

L'opérateurdediérene

⊟

quenousutilisonsestunopérateurplusspéiqueànos besoins.

Dénition 4.4 (Opérateurs

⊟

entre valeurs). L'opérateur

⊟

a pour signature

V ∗ V → 2

V

où

V

est xé soit à

V

t, soit à

V

l. Soient

e1, e2∈ V

,

e1⊟e2

est l'ensemble 4

des valeurs

v

telles que :

∀v∈e1⊟e2

,

v⊠e1 =v

('est-à-dire

v⊆e1

) et

v⊠e2 =∅

;

∀v

′ tel que

v

′

⊠e

1

=v

′ et

v

′

⊠e

2

=∅

,

∃e∈e

1

⊟e

2 tel que

v

′

⊆e

.

Si

e

1 et

e

2 sont qualitatifs on note

d= (e

1

−e

2

)

la diérene ensembliste usuelle alors

e

1

⊟e

2 est égal à

{d}

si

d

n'est pas vide et

{}

sinon. Pour les valeurs qualitatives le résultat de

⊟

est don un ensemble de valeurs de taille 0 ou 1. Pour les valeurs quantitatives,et ensemblepeut être de taille 0, 1 ou2 : il est alulé enfontion dela

relation entre

e

1 et

e

2 (tableau 4.5).

Relations

e

1

⊞e

2

e

1

⊠e

2

e

1

⊟e

2

entre

e

1 et

e

2

e

1 before

e

2

hmi1, ma2, l1, r2i ∅ {hmi1, ma1, l1, r1i}

e

1 meets

e

2

e

1 overlaps

e

2

hmi

1

, ma

2

, l

1

, r

2

i hmi

2

, ma

1

, l

2

, r

1

i {hmi

1

, mi

2

, l

1

,−l

2

i}

e

1 nished-by

e

2

e

1 starts

e

2

hmi

2

, ma

2

, l

2

, r

2

i hmi

1

, ma

1

, l

1

, r

1

i {}

e

1 during

e

2

e

1 nishes

e

2

e

1 equals

e

2 (

e

1

=e

2)

e

1 after

e

2

hmi

2

, ma

1

, l

2

, r

1

i ∅ {hmi

1

, ma

1

, l

1

, r

1

i}

e

1 met-by

e

2

e

1 overlapped-by

e

2

hmi

2

, ma

1

, l

2

, r

1

i hmi

1

, ma

2

, l

1

, r

2

i {hma

2

, ma

1

,−r

2

, r

1

i}

e

1 started-by

e

2

e

1 ontains

e

2

hmi

1

, ma

1

, l

1

, r

1

i hmi

2

, ma

2

, l

2

, r

2

i {hmi

1

, mi

2

, l

1

,−l

2

i,

hma

2

, ma

1

,−r

2

, r

1

i}

Tab.4.5Lesopérateurs

⊞

,

⊠

et

⊟

pourlesvaleursquantitatives

e

1

=hmi

1

, ma

1

, l

1

, r

1

i

et

e

2

=hmi

2

, ma

2

, l

2

, r

2

i

.Ona également, pour une valeur

e

(qualitative ou quantita-tive):

e⊠∅=∅⊠e=∅

;

e⊞∅=∅⊞e=e

.

4

Lerésultatde

⊟

estunensembledevaleurs.Ainsi,lorsque

e

1 et

e

2 sont desvaleursqualitatives, lerésultat de

⊟

estun ensembled'ensembledeonstantes.Sielles sont desvaleurs quantitatives, le

Les opérateurs

⊠

et

⊞

sont les opérateurs d'union et d'intersetion bien onnus; en partiulier, ils sont assoiatifs. Au ontraire l'opérateur

⊟

, qui n'est pas assoiatif, est spéique à notre approhe (voir l'exemple 4.7). La propriété suivante sur

⊟

est néessairepourlasuite.

Proposition 4.6:

Considéronsdeux valeurs

e

1 et

e

2 de même type(qualitatif ouquantitatif).Si

e

1

6⊆e

2

et

e

2

6⊂e

1 alors

e

2

⊟e

1 ontient exatement 1valeur.

Preuve. Ona donsoit :

e

1 et

e

2 sont desensembles deonstantes, omme

e

2

6⊂e

1 alors ilexisteau moins une onstantede

e2

nonprésentedans

e1

.Pardénition,ona

e1−e2

estnonvide et

e

1

⊟e

2 est detaille 1.

e

1 et

e

2 sont des intervalles, on herhe alors la relation entre

e

1 et

e

2. Comme

e1 6⊆e2

ona

e1⊠e2 6=e1

,et,àl'aidedutableau 4.5, ondéduitqueette relation ne peutpasêtrestarts,during,nishesouequals.Silarelationétait ontainsalors

e

1

⊠e

2

= e

2

⊠e

1

= e

2 et

e

2

⊆ e

1. On a vu que la relation ne pouvait pas être equals alors on a

e2 ⊂e1

e qui est ontraditoire ave l'hypothèse. Pour toutes les autres relations possiblesl'ensemble

e

2

⊟e

1 ne ontient qu'un intervalle.

Exemple 4.7 (relations entre valeurs quantitatives, opérateurs

⊠,⊞

et

⊟

). Considérons les troisintervalles

e

t1

= [2,5]

,

e

t2

=]3,6]

et

e

t3

= [4,6[

. La relation entre

e

t1et

e

t2,ainsiqu'entre

e

t1 et

e

t3,estoverlaps,elleentre

e

t2et

e

t3 estontains.D'autres relationsentreintervallessontillustréesdanslagure4.1.Pourlesopérateurslassiques

d'intersetion et d'union, on a

e

t1

⊠e

t2

=]3,5]

,

e

t1

⊞e

t2

= [2,6]

. Pour l'opérateur de diérene,ona

e

t1

⊟e

t2

={[2,3]}

,

e

t2

⊟e

t3

={]3,4[,[6,6]}

et

e

t3

⊟e

t2

={}

.Considérons maintenant les deuxvaleursqualitatives

e

l1

={a, b}

et

e

l2

={a}

alors

e

l1

⊠e

l2

={a}

,

e

l1

⊞e

l2

={a, b}

et

e

l1

⊟e

l2

={{b}}

.

Nous redénissons à présent les séleteurs et omplexes omme des généralisations

de eux introduits dansla setion1.1. Le formalisme présenté ii nouspermeten eet

deles exprimer.

Dénition 4.8 (Séleteur et omplexe).

Pour un attribut

X

i

∈ X

, un séleteur est noté

(X

i

∈d

i

)

où

d

i

⊆Dom

i. Un omplexe est noté

C = (X

k1

∈ d

k1

) ∧. . .∧(X

km

∈ d

km

)

où pour tout

i

,

k

i

∈ {1, . . . , n}

et

d

ki

⊆Dom

ki.

Un omplexe peutavoirplusieurs séleteurspour unmême attribut, 'estpourquoi

nousintroduisonsla notion de projetion surun attribut etredénissons la notion de

ouverture.

Dénition 4.9 (Projetion sur attribut et omplexe ohérent).

de

C

sur l'attribut

X

i est noté

sel

i

={X

i

∈d

i1

, . . . , X

i

∈d

im

}

. La projetion de

C

sur

X

i,notée

C[X

i

]

,est dénie par :

C[X

i

] =

Dom

i si

sel

i

={}

d

i1

⊠. . .⊠d

im sinon Exemple 4.10 (séleteurs, omplexes et projetions).

Soient

X

1et

X

3deuxattributsqualitatifsdedomainesrespetivement

Dom

1

={a, b, c, d}

et

Dom

3

={p, q}

.Soit

X

2 unattributquantitatifde domaine

Dom

2

= [0,10]

.

Ononsidère leomplexe suivant onstitué detrois séleteurs:

C= (X

1

∈ {a, b})∧(X

2

∈[0,3])∧(X

2

∈[1,5])

Alors

sel2 ={(X2 ∈[0,3]),(X2 ∈[1,5])}

, lesprojetionssurles attributs sont :

C[X

1

] ={a, b}

,

C[X

2

] = [1,3]

et

C[X

3

] ={p, q}

Au sein d'un omplexe, il peut exister une ontradition entre deux séleteurs

ba-sés sur un même attribut. C'est pourquoi nous introduisons la dénitionde omplexe

ohérent.

Dénition 4.11 (Complexe ohérent).

Un omplexe

C

est ohérent si :

∀i, C[X

i

]6=∅

.

La relation de ouverture doit êtreredénie :ilne s'agit plus en eet d'unesimple

inlusion desséleteursd'unomplexe dans unautre.

Dénition 4.12 (Couverture et équivalene).

Soient

C

et

C

′

deux omplexes,

C

ouvre

C

′

si et seulement si :

∀i, C

′

[X

i

]⊆C[X

i

]

.

C

et

C

′

sontéquivalents siet seulement si

C

ouvre

C

′ et

C

′

ouvre

C

.

On notetrivialement, à l'instarde la relation de ouverture dénie dansla setion

1.1, que si les séleteurs d'un omplexe

C

sont présents dans un omplexe

C

′

alors

C

ouvre

C

′

.Deplus,si ondénitleomplexe

P

par

P =C[X

1

]∧. . .∧C[X

n

]

,alors

C

et

P

sont équivalents.

Pour simplier l'ériture, on étend l'opérateur

⊠

déni pour les valeurs aux om-plexes. On dénit également une relation de onnexion entre omplexes utile dans la

setion4.2.5. Intuitivement, deuxomplexes sontonnetés s'ils s'intersetent.

Dénition 4.13 (Opérateur

⊠

et omplexes onnetés). Soit

C

et

C

′

deux omplexes, lerésultat de l'opérateur

⊠

entre

C

et

C

′ est :

C⊠C

′

=X

1

∈(C[X

1

]⊠C

′

[X

1

])∧. . .∧X

n

∈(C[X

n

]⊠C

′

[X

n

])

.

C

et

C

′

sontonnetés si

C⊠C

′

est ohérent.

Des séleteurs, omplexes, et les relations entre omplexes sont exposés ii pour

l'exemple.

Exemple 4.14 (ouverture et onnexion).

Considéronsles attributs

X1

et

X2

de l'exemple 4.10. Soient lesdeux omplexes:

C

′

= (X

1

∈ {a})∧(X

2

∈[3,6[)

.Alors, ona :

C[X1] ={a}

,

C[X2] = [2,5]

,

C

′

[X1] ={a}

,

C

′

[X2] = [3,6[

C

n'est pas ouvert par

C

′

puisque

C[X

2

] 6⊆ C

′

[X

2

]

.

C

et

C

′

sont onnetés puisque

C⊠C

′

[X

1

] ={a} 6=∅

et

C⊠C

′

[X

2

] =X

2

∈[3,5]6=∅

.

Nouspouvonsà présentlarier le voabulaire utilisé par lasuite,en partiulier e

quel'on appelle situation, ation etrègle de lassiation.

Dénition 4.15 (Situation, ationet règle de lassiation).

Unesituation est unomplexe. Une ationest unomplexe. Une règle delassiation

R

est un omplexe, mais on parle également de la lasse de

R

qui peut être

⊕

ou

⊖

. Uneation,appliquéeàunesituation,produitunomplexequel'onappellesituation

résultante.

Dénition 4.16 (Situation résultante, orretion et préision).

Soit

S

une situation et

A

une ation, le résultat de l'appliation de

A

sur

S

est un omplexe noté

res(S, A) =X

1

∈r

1

∧. . .∧X

n

∈r

n où :

r

i

=

A[X

i

]

si

S[X

i

]⊠A[X

i

] =∅

S[X

i

]⊠A[X

i

] sinon

Danslepremier as,lorsque

S[X

i

]⊠A[X

i

] =∅

, onditque l'ation

A

est une orretion de

S

sur l'attribut

X

i. Dans le deuxième as,

A

onsiste en une préision de

S

sur l'attribut

X

i;on a eneet

res(S, A)[X

i

]⊆S[X

i

]

.

Exemple 4.17 (situation résultante).

Considéronsles attributs

X1

et

X2

de l'exemple4.10. Soit lasituation

S

:

S= (X

1

∈ {a})∧(X

2

∈[2,5])

.

Le résultatde l'ation

A= (X

1

∈ {b} ∧X

2

∈]2,8])

sur

S

est:

res(S, A) = (X1 ∈ {b})∧(X2 ∈]2,5])

A

estune orretionsur l'attribut

X

1 et'estune préision surl'attribut

X

2

Le résultatde l'ation

A

′

= (X

2

∈[6,7])

sur

S

est :

res(S, A

′

) = (X1 ∈ {a})∧(X2∈[6,7])

.

A

′

estune orretion surl'attribut

X

2

4.2.2 Faisabilité d'une ation

Nous nous intéressons ii à la notion de faisabilité d'une ation. Dans l'approhe

proposéedans(Ras&Wiezorkowska,2000;Ras&Tsay,2003),unoneptdeexibilité

estutilisépourdéouvrirdesrèglesd'ations.Deuxtypesd'attributssontdistingués:les

attributsstablessontlesattributsquinepeuventêtremodiés(e.g.sexe)ontrairement

auxattributsexibles(e.g.valeurd'unprêtbanaire). Unerègled'ationdanseadre

porte naturellement sur des attributs exibles an de permettre à l'utilisateur d'agir.

Dénition 4.18 (Faisabilité par restrition).

Soit

F LEX

le sous-ensemble des attributs exibles, une ation

A

est dite faisable par restrition sur

F LEX

si

∀X

i

∈ (X −F LEX), A[X

i

] = Dom

i. L'ation ne doit pas onsister enune modiation d'un attribut stable. L'ensemble

F LEX

est un paramètre utilisateur.

Cette nette distintion entre attributs exibles et stables est ertes intéressante,

mais à notre sens, assez rigide et pas toujours susante. Par exemple, un médein

préférerait presrire des médiaments à unpatient malade plutt qued'envisager pour

lui une intervention hirurgiale si elle-i peut être évitée. L'ation de presrire des

médiament paraît plus faisable. Une approhe possible est de tenir ompte de ette

diérene entreles attributsen aetantà haque attributdespoids destabilité

w

i.Ce poids mesure, en quelque sorte, à quel point on ne peut pas agir sur ette propriété.

D'un autre té, un médein souhaitant presrire un régime alimentaire à un patient,

prenden onsidérationlepoidsquele patient doitperdre.S'ils'agitde faireperdreau

patientpeudepoids,e.g.2kg,alorsunrégimeesttoutàfaitfaisable.Enrevanhe,une

pertede80kgestunbut trèsdiile àatteindrepar unsimplerégime. C'estpourquoi

une distane noussemble tout à fait adaptée à notre problème. Ce dernier, rappelons

le,onsisteàproposerdesationsréalisables àaomplirfaeàune situationjugéenon

satisfaisante,etqui onduiraità unesituation résultante"assezprohe" delasituation

initialemaisplus satisfaisante.

La littérature regorge de dénitions de distanes entre omplexes, par exemple

(De Carvalho, 1994; Gowda &Diday, 1991; Ihino & Yaguhi, 1994). En nous basant

surune étude empirique réalisée par Malerba etal. (Malerba et al., 2001), notrehoix

s'estportésurladistanegénéraliséedeMinkowskiproposéeparIhinoetYaguhidans

(Ihino& Yaguhi, 1994). Cettemesure onvient à notre problèmear, non seulement

elle gère les valeurs qualitatives et quantitatives, mais de plus, elle permet d'intégrer

des poids de stabilité dans le alul de la dissimilarité entre omplexes. Les auteurs

proposent une mesure de dissimilarité entre deux valeurs

c

i et

c

′

i que nous présentons ii àl'aide desopérateurs dénis i-dessus:

φ(c

i

, c

′i

) =|c

i

⊞c

′i

| − |c

i

⊠c

′i

|+γ(2|c

i

⊠c

′i

| − |c

i

| − |c

′i

|)

où

|c

i

|

dénote la taille de

c

i et

γ ∈ [0,0.5]

ontrle la proximité interne et externe entre

c

i et

c

′

i.Pour deuxomplexes

C

et

C

′

,IhinoetYagushi dénissent lamesurede

dissimilaritépondérée etnormaliséeappeléedistane généraliséede Minkowski d'ordre

p

ommesuit :

dist

p

(C, C

′

) =

"

n

X

i=1

{w

i

φ(C[X

i

], C

′

[X

i

])

|Dom

i

| }

p

#

1/p

où lespoids deexibilité

w

i

>0

,

i∈ {1, .., n}

sont hoisistels que

P

n

i=1

w

i

= 1

etoù la

distanegénéraliséedeMinkowskisatisfait

0≤dist

p

(C, C

′

)≤1

.Enn,ilestprouvéque

dist

p

(C, C

′

)

satisfaittouslesaxiomesd'unemétrique.Nousproposonsiiunedeuxième dénitionde lafaisabilité baséesurette distane entre omplexes

5 .

5

Dénition 4.19 (

δ

-faisabilité).

Uneation

A

est dite

δ

-faisable relativement à une situation

S

(où

δ

est un paramètre réelentre0et1)si

dist

p

(S, res(S, A))< δ

.Lespoids

w

i etleseuil

δ

sontdesparamètres utilisateurs.

Pour la suite, nous dénissons une propriété de monotonie pour les dénitions de

faisabilité.Cettepropriété estutilisée danslasous-setion 4.2.5.

Dénition 4.20 (Monotonie de la faisabilité).

La faisabilitéest monotonesipourtoutoupled'ations

A

et

A

′

tel que

A

ouvre

A

′ ,

A

n'est pas faisable implique que

A

′

n'est pas faisable 6

.

Proposition 4.21:

La faisabilité par restritionest monotone etla

δ

-faisabilitén'est pasmonotone.

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