Les stratégies précédemment présentées ont pour objectif d'atteindre la valeur op- timale de la puissance moyenne de contrôle. Cependant, il demeure un problème évident de robustesse. En fait, comment garantir, qu'au cours de son cycle de vie, le contrôleur n'évoluera pas défavorablement jusqu'à provoquer l'instabilité du système ?
L'approche classique réside dans l'augmentation de l'amortissement structural soit par contrôle actif soit, le cas échéant, par l'addition de matériaux passifs. Nous présentons des méthodes de dissipation d'énergie inconditionnelles, donc robustes, a n de stabiliser le système sur lequel elles sont appliquées. De plus, elles ne nécessitent pas l'établissement d'un modèle. Il n'y a donc pas de problèmes de Spill-over ni de robustesse à redouter.
Les stratégies d'amortissement actif représentent la plus grande partie des applica- tions courantes de stabilisation de structures par contrôle actif. Du point de vue énergé- tique, ces méthodes de stabilisation sont des sources ponctuelles de dissipation ajoutées au système. Dans leur version colocalisée, ces stratégies sont théoriquement intrinsèquement stables. Une paire d'actionneur et de capteur est dite colocalisée lorsqu'elle est physique- ment au même endroit sur la structure et énergétiquement conjuguée comme, par exemple, une force et un déplacement. Cette con guration amène une alternance entre les pôles et les zéros de la fonction de transfert associée au système (cf gure 4.2). Cette propriété garantit la stabilité du système. En eet, les extrema de phase de la structure restent dans un intervalle de longueur π (cf gure 4.3).
Depuis plusieurs années, de nombreuses études ont analysé diérentes approches d'amortissement actif fondées sur deux stratégies principales : l'Integral Force Feedback (Rétroaction par retour de force intégrée) [12] et sa version duale, la stratégie Direct Velocity Feedback (Rétroaction directe par retour de vitesse) [13]. Ces stratégies ont pour vocation d'accroître l'opérateur d'amortissement dans l'équation de mouvement de la structure. Les diérences se localisent sur les types de grandeurs physiques des paires d'actionneur et de capteur colocalisées employées. Les schémas d'implantation de ces stratégies en vue de l'établissement d'un amortissement actif sont largement exposés dans l'ouvrage d'André Preumont [12] (cf tableau 4.1).
4.3.1 Propriétés de l'amortissement colocalisé
Dans leur version colocalisée, les stratégies IFF et DVF garantissent la stabilité du système en boucle fermée. Cette propriété émane de l'introduction systématique d'une
Méthodes de stabilisation active 91 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 A m pl itu de (d B) 100 101 102 103 104 105 0 45 90 135 180 Ph as e (d eg ) Fréquence (Hz)
Fig. 4.3 Diagramme de Bode de la poutre élancée entre le déplacement et la force de contrôle.
Grandeur Actionnement Actionnement Actionnement physique par force par cisaillement par déplacement
Déplacement Direct Velocity F.
g.s s+a
Vitesse Direct Velocity F.
g
Accélération Direct Velocity F.
g s
Déformation Positive Position F.
−g.ω2 f
s2+2.ξ
f.ωf.s+ω2f
Force Integral Force F.
−gs
Tab. 4.1 Stratégies de contrôle actif colocalisées en fonction des grandeurs physiques des actionneurs et des capteurs (exprimées en variables de Laplace) [12]
dissipation d'énergie dans la structure via le contrôle.
La méthode IFF nécessite une mesure de force t(x0, t) en un point de la structure
et un actionnement en déplacement au même point uIF F(x
0, t). Dans le cas du DVF, la
mesure d'entrée est une vitesse ˙u(x0, t) et l'actionneur délivre une force tDV F(x0, t).
Etablissons le bilan énergétique de ces contrôleurs : L'Integral Force Feedback
uIF F(x, t) = −g IF F.
Z
F (t)dt (4.7) avec gIF F un gain de contrôle positif.
92 Méthodes de stabilisation active
Alors la puissance injectée par le contrôleur dans la structure s'écrit :
P (t) = F (t). ˙uIF F(x, t) = −gIF F.F2(t) ≤ 0 ∀ t (4.8)
Nous avons ainsi introduit un dissipateur robuste sur la structure par une straté- gie IFF. La puissance dissipée est ici proportionnelle au carré de la force émis par le capteur au point de contrôle.
Le Direct Velocity Feedback
uDV F(x, t) = −g
DV F. ˙u(x, t) (4.9)
avec gDV F un gain de contrôle positif.
Alors la puissance injectée par le contrôleur dans la structure s'écrit :
P (t) = uDV F(x, t).u(x, t) = −g˙ DV F. ˙u2(x, t) ≤ 0 ∀ t (4.10)
Nous avons également introduit un dissipateur robuste sur la structure par une stratégie DVF. L'énergie dissipée est ici proportionnelle au carré de la vitesse de la structure au point de contrôle.
Les équations (4.8) et (4.10) indiquent clairement que l'énergie du système mé- canique homogène contrôlé décroît. La stabilité et la robustesse du système sont ainsi assurées quelque soit le temps t considéré.
Les lois de contrôle sont théoriquement toujours stables sous l'hypothèse que le contrôle est instantanément appliqué. Dans les faits, le retard d'application du contrôle doit être très faible par rapport au temps de réponse de la structure. Nous l'avons observé précédemment la puissance du contrôle est inconditionnellement négative. Par conséquent, la stabilité est assurée. De plus, aucune erreur de modèle ou de phénomènes de spill-over ne sont à craindre puisque l'établissement d'un modèle n'est pas nécessaire à l'application de ces stratégies.
De nombreux travaux précisent les conditions d'utilisation et les caractéristiques de ces méthodes. De nombreux exemples ont été étudiés dans la littérature [12, 1419].
4.3.2 Théorie de l'amortissement colocalisé
La méthode IFF nécessite une mesure de force en un point de la structure et un actionnement en déplacement au même point uIF F(x, t). Dans le cas du DVF, la mesure
d'entrée est une vitesse et l'actionneur délivre une force tDV F(x, t).
Considérons, les équations de mouvement correspondant à un système mécanique amorti quelconque : A(u(x, t)) + B(u(x, t)) + ρ.∂2u∂t(x,t)2 = F x ∈ V0 Cn(u(x, t)) = t x ∈ SV0 Cd(u(x, t)) = u x ∈ Su ( Cn(u(x, t)) = t + tDV F(x, t) x ∈ Sc Cd(u(x, t)) = u + uIF F(x, t) x ∈ Sc (4.11)
Méthodes de stabilisation active 93 où
Sc : le bord du domaine sur lequel le contrôle est appliqué.
Les lois de contrôle s'écrivent, dans le cas général,
( tDV F(x, t) = −g DV F.∂u∂t(x,t) x ∈ Sc uIF F(x, t) = −g IF F. R Cn(u(x, t))dt x ∈ Sc (4.12) De cette manière, nous sommes capables de modi er l'opérateur d'amortissement pour tout x ∈ Sc.
4.3.3 Limitations de l'IFF-DVF
Ces stratégies sont, malheureusement, non-optimales. Ce manque d'e cacité pro- vient principalement de la localisation spatiale de l'eet amortissement. En eet, le contrô- leur se comporte comme un amortisseur visqueux local qui n'observe que la vibration du point où il est implanté (x ∈ Sc). Il est donc essentiel d'étudier la forme et le placement des
transducteurs sur la structure à contrôler. Cette phase d'optimisation permet d'atteindre au plus près le taux critique d'amortissement que ce type de stratégies ne peut dépasser [12].
De plus, la colocalisation parfaite n'est pas possible. L'e cacité du contrôle est conditionnée par la distance entre l'actionneur et le capteur. Plus cette distance est im- portante moins le contrôle est e cace [20].