Am´ elioration du RSB pour P b > 1

N A2 4 '^N A2 4 2 '^N A2 4 2 P_b σ2 bx = 0.02 0.015 8 10⁻⁴ σ2 bxσ2 by = 4 10⁻⁴ RSB −6.02dB −4.7dB 31.8dB 34.9dB Variance (σ²_bx)² = 4 10⁻⁴ 1.5 10⁻⁴ 3.1 10⁻⁶ 3(σ2 bx)2(σ2 by)2 = 4.8 10⁻⁷ du plancher de spectre

Dans le cadre des signaux ´etudi´es ici, cette m´ethode permet de r´eduire le plus fortement la moyenne et la variance du plancher de spectre et ainsi d’augmenter le rapport signal sur bruit qui vaut alors RSB = 34.9dB. Les r´esultats sont rappel´es dans le tableau 4.2. Notons que cette classification n’est valable que si la puissance du signal utile est suffisamment grande par rapport `a la puissance du bruit, c’est-`

a-dire si l’harmonique utile est distinguable du bruit de fond sur la DSP du signal.

4.4.6 Am´elioration du RSB pour P

> 1

Nous avons vu que, dans le cas o`u la puissance du bruit P<sub>b</sub> est inf´erieure `a 1, l’utilisation de l’intercorr´elation de deux signaux diff´erents, poss´edant le mˆeme contenu harmonique, permettait d’am´eliorer significativement le rapport signal sur bruit.

Consid´erons maintenant les signaux d´efinis en (4.27) avec σ2 bx = σ2

by = σ2 b = 3,

4.4. R´eduction de l’influence du bruit d’analyse en vue d’une extraction d’´energie

fr´equentielle 119

Tab. 4.3 – Comparaison des m´ethodes de traitement du signal pour l’am´elioration du rapport signal sur bruit, avec P_b > 1

DSP_x DSI_xy DSP_Cx DSP_Cxy Ppic− Pb ^{N A} 2 4 N A2 4 '^N A2 4 2 '^N A2 4 2 P_b σ²_bx = 3 2.35 18.04 σ_bx² σ_by² = 9 RSB −27.8dB −26.7dB −11.6dB −8.6dB Variance (σ2 bx)2 = 9 3.45 1.6 103 3(σ2 bx)2(σ2 by)2 = 243 du plancher de spectre

toutes choses ´egales par ailleurs. Les valeurs de la puissance du bruit spectral, la variance du plancher de spectre et le RSB obtenus `a partir des diff´erentes m´ethodes propos´ees sont donn´es dans le tableau 4.3.

On constate que la densit´e spectrale issue de l’autocorr´elation de l’intercor-r´elation permet d’am´eliorer le RSB, mˆeme si la puissance du bruit spectral est sup´erieure `a celle obtenue pour la DSP d’un seul signal. Ce r´esultat provient de l’influence du nombre de points N des signaux dans la puissance du pic corres-pondant `a l’harmonique de fr´equence f₁ = 50Hz. On d´emontre simplement que ce r´esultat reste valable tant que la relation (4.39) est satisfaite.

N > ^12σ

2 b

A2 (4.39)

Ainsi, l’utilisation de la DSP de l’intercorr´elation pour am´eliorer l’´emergence des pics dans le domaine fr´equentiel, se justifie pour un nombre d’´echantillons du signal sup´erieur `a la limite d´efinie par (4.39). Cependant, avec cette m´ethode, si P<sub>b</sub> > 1, l’augmentation de la variance du plancher de spectre ne permet pas toujours une bonne reproductibilit´e de la d´etection des harmoniques dans le bruit. Si ce crit`ere doit ˆetre favoris´e, on pr´ef´erera alors utiliser la densit´e spectrale d’interaction, qui r´ealise le compromis entre l’am´elioration du RSB et la diminution de la variance du plancher spectral.

4.4.7 Extraction d’´energie spectrale

Dans le cadre de notre ´etude, la finalit´e des m´ethodes de traitement du signal est d’am´eliorer la qualit´e de d´etection d’harmoniques relatifs aux d´efauts par ana-lyse des courants statoriques d’une machine asynchrone. Le but ´etant de mettre en place un indicateur ´energ´etique dans le domaine spectral, nous allons compa-rer les performances d’un indicateur vis-`a-vis des diff´erentes m´ethodes propos´ees pr´ec´edemment.

Pour illustrer les performances de la d´etection, nous travaillerons sur des si-gnaux simples (4.27). Le mod`ele de courant en cas de d´efauts montre que des harmoniques suppl´ementaires apparaissent dans les spectres des courants. Afin de simplifier l’´etude, nous consid´ererons qu’un signal sans harmonique (A = 0), constitu´e uniquement de bruit, correspond `a un cas sain. Le d´efaut sera, quant `a lui, caract´eris´e par un harmonique d’amplitude A = 0.01. La variance des bruits est fix´ee `a σ2

b = 0.02. Nous avons vu au paragraphe 4.2.3 que le bruit pr´esent sur les mesures de courant n’´etait pas blanc. Cependant, en premi`ere approximation, il est possible de consid´erer que sur une plage fr´equentielle ´etroite, le plancher de spectre est constant, correspondant alors bien `a un bruit blanc, comme montr´e sur la figure 4.6(b).

Sur une plage fr´equentielle de largeur ∆f , l’´energie (au sens large) sera extraite en effectuant la somme des composantes spectrales dans la plage. Comme dans le cadre de l’analyse vibratoire au chapitre 2, nous construirons alors un indicateur bas´e sur un ´ecart relatif en % entre une r´ef´erence d’´energie en cas sain et une mesure d’´energie pouvant ˆetre ´egalement en cas sain ou en cas d´efaillant. Nous effectuerons 100 r´ealisations des signaux pour ´etudier de mani`ere statistique les performances de l’indicateur. Notons que l’´energie obtenue par la DSP de l’au-tocorr´elation se rapproche du principe de calcul spectral, constituant la base des d´etecteurs de Nuttall [Wan01] permettant d’am´eliorer la d´etectabilit´e d’harmo-niques dans un signal bruit´e. L’´energie obtenue par la DSP de l’intercorr´elation utilise le mˆeme principe que les d´etecteurs de Nuttall, tout en profitant de la me-sure de plusieurs signaux dont les composantes utiles sont identiques et dont les composantes al´eatoires sont d´ecorr´el´ees.

Dans un premier temps, la largeur de bande fr´equentielle est fix´ee `a ∆f = 10Hz, centr´ee autour de la fr´equence f<sub>1</sub>. La figure 4.11 pr´esente les histogrammes des va-leurs d’indicateur en cas sain (bruit seul) et en pr´esence d’un d´efaut (bruit et harmonique). La comparaison des indicateurs obtenus par extraction d’´energie des spectres r´esultants des diff´erentes m´ethodes de traitement du signal est alors pos-sible. Les tableaux 4.4 et 4.5 donnent respectivement la moyenne et l’´ecart type des indicateurs en cas sain et en cas d´efaillant sur 100 r´ealisations. Il apparaˆıt clai-rement que la d´etection utilisant la densit´e spectrale associ´ee `a l’autocorr´elation de l’intercorr´elation, est la plus performante en termes de valeur moyenne. Ce r´esultat est coh´erent avec le fait que cette m´ethode permet de maximiser le rapport signal sur bruit. Cependant, elle augmente la variabilit´e de l’indicateur. Nous introduisons donc, pour comparer les m´ethodes en cas d´efaillant, le rapport entre l’´ecart type et la moyenne dont les valeurs sont donn´ees dans le tableau 4.5. De mani`ere g´en´erale, nous pouvons constater que l’emploi de l’intercorr´elation des deux signaux permet de minimiser ce rapport comparativement `a l’utilisation de l’autocorr´elation. La m´ethode permettant donc de maximiser la qualit´e de la d´etection d’harmoniques par extraction ´energ´etique est donc celle bas´ee sur la densit´e spectrale de l’auto-corr´elation de l’intercorr´elation des signaux. En effet, dans la mesure o`u le RSB des signaux est suffisant, elle maximise la moyenne des indicateurs tout en am´eliorant le ratio entre l’´ecart type et la moyenne.

´

Etudions maintenant l’influence de la largeur de la bande fr´equentielle dans laquelle l’´energie est extraite. Nous comparerons les indicateurs obtenus avec des

4.4. R´eduction de l’influence du bruit d’analyse en vue d’une extraction d’´energie fr´equentielle 121 −10⁰ −5 0 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 Valeurs d’indicateur Nombre d’occurrences Sain Défaut

(a) TF de l’autocorr´elation

−10⁰ −5 0 5 10 15 20 25 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Valeurs d’indicateur Nombre d’occurrences Sain Défaut (b) TF de l’intercorr´elation −200⁰ 0 200 400 600 800 1000 5 10 15 20 25 30 Valeurs d’indicateur Nombre d’occurrences Sain Défaut

(c) TF de deux autocorr´elations successives

0 500 1000 1500 2000 0 5 10 15 20 25 30 Valeurs d’indicateur Nombre d’occurrences Sain Défaut

(d) TF de l’autocorr´elation de l’intercorr´ ela-tion

Fig. 4.11 – Comparaison des indicateurs ´energ´etiques de d´etection de d´efaut vis-`

a-vis des diff´erentes m´ethodes de traitement du signal

Tab. 4.4 – Comparaison de la moyenne et de l’´ecart type des indicateurs ´energ´ e-tiques en cas sain

DSPx DSIxy DSPCx DSPCxy

Moyenne M_indic 0 0 0 0 ´

Ecart type σ_indic 3.1 2.12 6.52 4.57

Tab. 4.5 – Comparaison de la moyenne et de l’´ecart type des indicateurs ´energ´ e-tiques en cas d´efaillant

DSP_x DSI_xy DSP_Cx DSP_Cxy Moyenne M_indic 12.3 15.8 534 1080 ´

Ecart type σ_indic 3.39 2.34 139.1 187.6

σindic

−200⁰ 0 200 400 600 800 5 10 15 20 25 30 35 Valeurs d’indicateur Nombre d’occurrences Sain Défaut (a) ∆f = 20Hz −500⁰ 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 5 10 15 20 25 Valeurs d’indicateur Nombre d’occurrences Sain Défaut (b) ∆f = 5Hz

Fig. 4.12 – Comparaison des indicateurs ´energ´etiques de d´etection d’harmoniques en fonction de la largeur de bande fr´equentielle retenue pour l’extraction ´energ´ e-tique

Tab. 4.6 – Rapport entre ´ecart type et moyenne de l’indicateur, obtenu `a partir de la DSP de l’intercorr´elation, en fonction de la largeur de bande fr´equentielle d’extraction ´energ´etique

∆f = 20Hz ∆f = 10Hz ∆f = 5Hz Moyenne M_indic 526 1080 2133 ´

Ecart type σ_indic 102 187.6 353

σindic

Mindic 0.19 0.174 0.165

largeurs de bande de ∆f = 20Hz, ∆f = 10Hz et ∆f = 5Hz. Nous n’utiliserons que la densit´e spectrale DSP_Cxy(f ). La figure 4.12 permet de comparer les histo-grammes des indicateurs en cas sain et en cas d´efaillant, sur 100 r´ealisations, pour ∆f = 20Hz et ∆f = 5Hz. Ces r´esultats sont `a mettre en parall`ele avec la figure 4.11(d) obtenue pour ∆f = 10Hz. On constate alors que la qualit´e de d´etection est am´elior´ee lorsque la bande fr´equentielle est ´etroite. Ceci est valable en termes de moyenne de l’indicateur en cas d´efaillant et en termes de rapport entre ´ecart type et moyenne, comme l’indique le tableau 4.6.

4.5 Courants statoriques en pr´esence de d´efauts