6.5 Cas des couleurs non-pondérées
6.5.1 Un algorithme à 3-phases
Une analyse de Alt-Glouton fournit une 1 2,1 3 + 1 r(M) -approximation pour tout matroïde M = (X, F) dans le cas de couleurs non-pondérées. On note qu’il est inutile de se restreindre à des matroïdes coloriés-simples. La preuve n’est pas fournie car elle suit la preuve du théorème 6.1 (page 146) et nous proposons un autre algorithme, appelé 3-phases, avec de meilleures garanties. En effet, nous prouvons que 3-phases est
k−1
k ,1k-approché pour tout entier positif k donné en entrée. Ainsi, k = 2 fournit une
1 2,1
2
-approximation qui améliore la garantie de Alt-Glouton.
L’algorithme 3-phases commence avec une solution vide F et l’agent poids ajoute ⌊k−1
k L⌋éléments de façon gloutonne (en maximisant le poids). Puis l’agent couleur ajoute à F un ensemble d’au plus ⌊L
k⌋ nouveaux éléments de sorte que le nombre de nouvelles couleurs (c’est-à-dire les couleurs qui ne sont pas présentes dans la première phase) soit maximum. Durant la phase finale, l’agent poids com-plète F de façon gloutonne en ajoutant des éléments selon leur poids jusqu’à obtenir une base. Dans ce qui suit, Bj représente les éléments insérés durant la phase j. Ainsi, 3-phases retourne la base B1∪ B2∪ B3.
Les premières et troisièmes phases de l’algorithme sont toutes les deux glou-tonnes et polynomiales. Il n’y a que la deuxième phase de l’algorithme qui n’est pas gloutonne. Cette phase consiste à trouver un ensemble indépendant de cardinalité limitée (au plus ⌊L/k⌋ éléments) dans l’intersection de deux matroïdes.
Dans la deuxième phase, le premier matroïde est obtenu comme suit : consi-dérons la contraction de M par B1 notée M/B1, et la restriction de M/B1 à
X′ = {x ∈ X : L(x) /∈ L(B1)} (voir page 26). Notons que X′ ⊆ X \ B1. Alors la structure M1 = (X′, F1) où F1 = {F ⊆ X′ : B1 ∪ F ∈ F } définit un matroïde car la contraction et la restriction d’un matroïde est aussi un matroïde (Schrijver, 2003). Ainsi, M1 est le premier matroïde. Le deuxième matroïde M2 = (X′, F2) est le matroïde de partition de X′ induit par les couleurs. En effet, supposons que L(X) = {ℓ1, . . . , ℓp}. Soit Xi = {x ∈ X : L(x) = ℓi} pour i = 1, ..., p l’ensemble des éléments de couleur ℓi, alors F2 = {F ⊆ X′ : ∀i = 1, ..., p, |F ∩ Xi| ≤1}.
La deuxième phase consiste à trouver un ensemble S de cardinalité maximum dans F1 ∩ F2 (ceci peut être fait en temps polynomial (Edmonds, 1979)) et si |S| > ⌊L/k⌋, retenir un sous-ensemble d’uniquement ⌊L/k⌋ éléments de S. En utilisant l’axiome (ii) des matroïdes (voir la définition 1.12, page 24), l’ensemble
Chapitre 6. Solutions de compromis pour des matroïdes pondérés coloriés
résultant est indépendant. Ainsi, la deuxième phase de 3-phases s’exécute en temps polynomial.
Théorème 6.5 Soit k ≥ 1 un entier positif donné en entrée, alors 3-phases est
k−1 k ,1
k
-approché pour le cas des couleurs non-pondérées.
Preuve. L’algorithme est clairement (0, 1)-approché lorsque k = 1 car aucun élément est choisi durant la première phase, et durant la deuxième phase on peut insérer ⌊L⌋ = L éléments avec des couleurs distinctes.
Maintenant, supposons que k ≥ 2. Soit B = {e1, . . . , er} une base retournée par 3-phases en respectant l’ordre d’insertion des éléments par l’algorithme.
Nous nous concentrons d’abord sur le rapport d’approximation k−1
k pour l’agent poids. Soit Bw = {ew
1, . . . , ew
r} une base de poids maximum vérifiant w(ew
1) ≥
w(ew
2) ≥ . . . ≥ w(ew
r). En utilisant l’axiome (iii) des matroïdes, on a w(ei) ≥ w(ew i ) pour i = 1, ..., |B1|et |B1|= ⌊k−1
k L⌋. En sommant sur i, on obtient
w(B1) ≥|B 1| X j=1 w(ew j ) (6.14)
Les éléments de Bw étant triés par poids décroissant, il s’ensuit que
w(ei) ≥ w(ew
j), ∀(i, j) ∈ {1, . . . , |B1|} × {|B1|+ 1, . . . , |B1|+ |B2|} (6.15)
B2est l’ensemble des éléments ajoutés durant la deuxième phase par l’agent couleur et |B2| ≤ ⌊L/k⌋. Puisque |B1| = ⌊k−1
k L⌋ ≥ (k − 1)⌊L
k⌋ ≥ (k − 1)|B2|, alors il est possible de partager B1 en k − 1 ensembles disjoints B1
1, . . . , Bk−1
1 de façon à ce que chacun contienne au moins |B2| éléments. En utilisant (6.15), on déduit que
w(Bt 1) ≥|B 1|+|B2| X j=|B1|+1 w(ew j ) pour t = 1, ..., k − 1 En additionnant ces inégalités, on obtient
w(B1) =k−1X t=1 w(Bt 1) ≥ (k − 1)|B 1|+|B2| X j=|B1|+1 w(ew j) D’où, 1 k −1w(B1) ≥|B 1|+|B2| X j=|B1|+1 w(ew j) (6.16) En additionnant (6.14) et (6.16), on obtient k k −1w(B1) ≥|B 1|+|B2| X i=1 w(ew i ) (6.17) 158
6.5. Cas des couleurs non-pondérées Concernant la troisième phase de l’algorithme, l’axiome (iii) des matroïdes im-plique que
w(ei) ≥ w(ew
i ), pour |B1|+ |B2|+ 1 ≤ i ≤ r En sommant ces inégalités
w(B3) = Xr i=|B1|+|B2|+1 w(ei) ≥ Xr i=|B1|+|B2|+1 w(ew i ) que l’on additionne à (6.17) pour obtenir
k k −1w(B) ≥ k k −1w(B1) + w(B3) ≥|B 1|+|B2| X i=1 w(ew i ) + Xr i=|B1|+|B2|+1 w(ew i ) = w(Bw) D’où, 3-phases est (k−1
k , ·)-approché.
Considérons maintenant l’agent couleur et soit BL une base de M avec L cou-leurs (nombre maximum). Soit EL un sous-ensemble de BL contenant un élément par couleur dans BL, c’est-à-dire |EL| = |L(EL)| = |L(BL)| = L. La deuxième phase de l’algorithme consiste à ajouter à B1, au plus ⌊L/k⌋ éléments avec des couleurs qui n’apparaissent pas dans L(B1). Soit E = {e ∈ EL : L(e) /∈ L(B1)}. Notons t le nombre de couleurs que B1 et EL partagent. On a |L(B1)| ≥ t et |E|= L − t.
Supposons que |E| ≤ |B1|. On obtient L − t = |E| ≤ |B1| = ⌊k−1
k L⌋. Alors
t ≥ L − ⌊k−1k L⌋ ≥ L − k−1k L= L
k. En utilisant |L(B1)| ≥ t, on observe que B1, et a fortiori B, contiennent au moins L/k couleurs.
Supposons maintenant que |E| > |B1|. Au moins |E|−|B1|= (L−t)−⌊k−1 k L⌋= ⌈L/k⌉ − t éléments avec de nouvelles couleurs sont ajoutés durant la deuxième phase. En effet, d’une part en utilisant l’axiome (iii′) (définition 1.12, page 24), il existe A ⊆ E \ B1 avec |A| = |E| − |B1| tel que A ∪ B1 ∈ F (c’est-à-dire, A est un ensemble indépendant de M1 = (X′, F1) où X′ = {x ∈ X : L(x) /∈ L(B1)} et F1 = {F ⊆ X′ : B1∪ F ∈ F }). D’autre part, A est un ensemble indépendant du matroïde de partition M2 = (X′, F2) (où X′ est partitionné en {X1, ..., Xp} tel que Xi = {x ∈ X : L(x) = ℓi} pour i = 1, ..., p et F2 = {F ⊆ X′ : ∀i = 1, ..., p, |F ∩ Xi| ≤1}) car |L(A)| = |A|.
Ainsi, A est une solution réalisable de l’intersection des matroïdes M1 et M2. Donc |L(B2)| ≥ |L(A)|. Puisque |L(B1)| ≥ t, alors au moins |L(B1 ∪ B2)| = |L(B1)| + |L(B2)| ≥ |L(B1)| + |L(A)| = ⌈L/k⌉ ≥ L/k couleurs apparaissent à la fin de la deuxième phase. Les éléments ajoutés durant la dernière phase ne peuvent qu’augmenter le nombre de couleurs. Dans tous les cas, l’algorithme 3-phases est (·, 1/k)-approché.
Chapitre 6. Solutions de compromis pour des matroïdes pondérés coloriés En conclusion, 3-phases est (k−1
k ,1
k)-approché.
Le prochain lemme montre que les garanties de 3-phases sont Pareto-optimales. Lemme 6.1 Soient α, β ∈]0, 1[. Il existe des instances sans (α, β)-approximation
pour le cas des couleurs non-pondérées dans les circonstances suivantes :
(a) α + β ≥ 1 et α 6= k−1
k pour tout entier strictement positif k ;
(b) α > 0 et β > 1/2.
Preuve. Nous prouvons le lemme sur des instances du matroïde graphique mais le résultat est valable pour des matroïdes généraux. Soient α > 0 et β > 0.
(a) Supposons que α + β ≥ 1 et α 6= k−1
k pour tout entier positif k. Il existe un unique entier L ≥ 2 tel que L−2
L−1 < α < L−1
L . Donc αL > L(L−2)
L−1 et (1 − α)L > 1. Considérons le multigraphe GL, instance du matroïde graphique avec des couleurs non-pondérées, donné dans la figure 6.4.
v0 v1 v2 vL−1 vL (0, ℓ1) (0, ℓ2) L L−1, ℓ1 (0, ℓL) L L−1, ℓ1 Figure 6.4 – Le multigraphe GL.
Le point idéal de GLest xL= (L, L) en considérant les arbres définis par l’arête (v0, v1) et les arêtes du bas pour le poids, et les arêtes du haut pour les couleurs.
Par contradiction, supposons que T est un arbre couvrant de GLavec un poids
w(T ) ≥ αL > L(L−2)
L−1 et un nombre de couleurs |L(T )| ≥ (1−α)L > 1. Si T contient au moins L − 1 arêtes de poids L/(L − 1), alors T contient une couleur ℓ1. Ainsi, 1 = |L(T )| ≥ (1 − α)L > 1, contradiction. D’où, T contient au plus L − 2 arêtes de poids L/(L − 1) et donc L(L − 2)/(L − 1) ≥ w(T ) ≥ αL > L(L − 2)/(L − 1), contradiction.
(b) Supposons que α > 0 et β > 1/2. Considérons le multigraphe G2 représenté dans la figure 6.5.
Le multigraphe G2admet deux différents arbres couvrants T1 = {(v0, v1), (v1, v2) haut} et T2 = {(v0, v1), (v1, v2) bas} avec des utilités respectives de (0, 2) et (2, 1). Donc le point idéal est (2, 2).
Il n’existe pas de solution réalisable avec un poids strictement positif et de sorte que le nombre de couleurs soit supérieur à 2β > 2 ∗ 1/2 = 1.
Le point (b) du Lemme 6.1 montre que β = 1/2 est ce que l’on peut espérer de mieux dès lors qu’il y a une approximation non triviale pour le poids.
6.5. Cas des couleurs non-pondérées
v0 v1 v2
(0, ℓ1) (0, ℓ2)
(2, ℓ1)
Figure 6.5 – Le multigraphe G2.