Encadré 6: Conditions aux limites
3.2 Approche dans la limite du gaz dilué
3.2.4 Algorithme de génération des configurations du gaz parfait 62
parfait
Nous avons
présenté
un nouvelalgorithme qui produit
uneconfiguration
dans
l’espace
despositions (R ~ (r2, , r1...rN))
de N bosons dans une boîte delongueur
L avec un vecteur de conditions limitesW, (W ~ (w1,
w2, ...,wN),
R’ ~ R +
WL),
relié au nombre d’enroulement W dusystème (W = 03A3wi).
Cette
configuration
est créée avec lepoids
d’un gaz sans interactions et estcomplètement indépendante
de laconfiguration précédente.
Nous utilisons les informations obtenues pour le gazparfait
dans lepremier chapitre.
La formule de récurrence
(1.23)
page 17 ne permet pas seulement de calculer la fonction departition ZN
pour Nparticules
à unetempérature
T =1/03B2,
maisdonne aussi la
probabilité pNc(k)
d’avoir uncycle
delongueur
k dans unsystème
de N
particules :
Dans un
système
de taille L avec des conditions aux limitespériodiques,
lepoids
s
k d’un
cycle
delongueur
k s’écrit(h
= m =1)
L’équation (3 22)
donne alors aussi laprobabilité
deséparer
uncycle
delongueur
k dusystème
de Nparticules.
Il est doncpossible
de retrancher uncycle
delongueur
k de laconfiguration
avec Nparticules,
avec laprobabilité
p
N
c
(k),
pour toute valeur de k. Il reste N-kparticules
dans lesystème,
dont l’onpeut
séparer
de nouveau uncycle
delongueur k’,
avec laprobabilité pN-kc(k’).
On continue
jusqu’au
moment où il ne resteplus
departicules
dans lesystème.
Une
répartition
encycles, {mk},
est ainsi réalisée avec lespoids
du gazparfait.
Considérons uncycle
delongueur
k ainsigénéré.
Les kparticules
de cecycle,
numérotées
1, 2, ...k,
se comportent comme uneparticule
à unetempérature plus
basse
1/k03B2 (voir figure
1.2 page14).
Del’équation (3.23)
on obtient unepro-babilité
proportionnelle
àexp[-w2xL2/2k03B2]
que le chemin de cette"particule"
sorte effectivement wx fois de la boîte de
longueur
L sur la direction d’axe x au cours du"temps" k03B2.
Généralisé à troisdimensions,
w =w 1
+ w2 + ... + wk
FIG 3.4 - Fraction
superfluide
mise à échelle/n sin1/3N
pour un gaz idéal pourdifférents
nombres departicules (Ni+1
=8N,).
Agauche (a)
on voit que lepoint de croisement détermine la
témperature
critique dusystème
à la limitethermodynamique.
A droite(b)
la partie autour de t =(T - T0)/T0
estagrandie.
Il
faut extrapoler
les points de croisements dans la limiteNi
~ ~ à cause descorrections aux loix d’échelles. Les
flèches
montrentschématiquement
commentles interactions
déplacent
les points d’intersections dans la limitean1/3
~ 0.Maintenant,
nous pouvons calculer lespositions
de ces kparticules
sur cecycle
On commence par r1 de lapremière particule, qui
est uniformement dis-tribué entre 0 est L dans les trois dimensions. Lespositions
des k - 1particules
suivantes sont choisies récursivement par la construction de
Lévy [50], qui
estbasée sur :
L’intégrand
peuts’interpréter
comme la distribution de laposition
de la deuxièmeparticule
sur lecycle.
Dans unsystème homogène
comme dans unpiège
harmo-mque, cette
probabilité
pour r2 est gaussienne. Les autresparticules
r3, ...,rk-1sont distribuées de la même
façon
récursivement. Les contributions aux vecteursde conditions limites W de k
particules
sur lecycle
sont par suite données par :w
i
L
i+1 - ri= r pour i =1, 2, ...,
k - 1 et L wk= wL + r1 - rk.Nous avons ainsi construit une
configuration
à Nparticules
dans une boîtede taille L avec le
poids
dugaz parfait
sans utiliser les chaînes de Markov. Le nombre d’enroulement W =03A3Ni=1
w, détermine la fractionsuperfluide
de cetteconfiguration
par la formule deréponse linéaire, équation (3.12)
et la corrélation entre cette fractionsuperfluide
et lesinteractions, XN,
permet de déterminer les corrections03B4ns
dans unsystème
fini directement dans la limitean1/3 ~
0.Nous avons alors calculé
numériquement XN
pour dessystèmes
de tailles différentes Grâce à notrealgorithme
permettant de créer desconfigurations
dugaz
parfait
et notre connaissance détaillée dusystème
sansinteraction 3 nous
avons été
capables
de mener notre calculjusqu’à
N ~ 20 000particules.
3 Il est possible de calculer directement la fonction de distribution du nombre
système
infini est une fonctionqui
nedépend
que du rapportL/03BE~ [52]. 03BE~
est lalongueur
de corrélation à la limitethermodynamique, 03BE~(t) ~
t-v pourt ~ (T - T
c
)/T
c
~ 0.
Regardons
le rapport entre la fractionsuperfluide
dusystème
fini(L)
et sa valeur à la limitethermodynamique (~) :
Deux limites de la fonction
f(x)
sont a priori connues[53] :
(i)
La limitethermodynamique, 03BE~(t)
« L ~ ~ pour t fixé:(ii)
En fixant la taille L dusystème, nLs(t)
restetoujours
une fonction analy-tique, même aupoint critique
dusystème
infini t =0,
où L «03BE~(t)
~ ~. Carn
L
s
(t=0)
doit resteranalytique, f(L/03BE~(t))
=f(Ltv) ~
Ltv doit compenser lecomportement
non-analytique
den~s(t) ~ tv
pour t ~ 0. La fonctionf(x)
secomporte donc comme
f (x) ~ x-v/v
pour x ~ 0. Enexigeant
que toutes lesdérivées doivent aussi rester finies pour un
système fini,
le comportement den
L
s
/n
peut s’écrire sous la formeoù
Q(0)
est une constanteLe rapport
03C5/03BD
obtenu dans les étudesexpérimentales,
par calcul de Monte-Carlo ou via le groupe de renormalisation est en accord avec la relation deJosephon
v =(D 2014 2)v [54]
etsuggère
comme
"quantité
mise à échelle" à trois dimensions. Les courbesreprésentants
la fraction
superfluide
mise à échelleN1/3ns/n
en fonction de t pour dessystèmes
de taillesdifférentes,
se croisent en un pointprécis.
Cepoint
détermine latempérature critique
dusystème
à la limitethermodynamique.
Corrections à la loi d’échelle
La loi d’échelle repose sur
l’hypothèse qu’au voisinage
de latempérature
cri-tique
lalongueur
de corrélation03BE~
devient la seulelongueur pertinente.
Maisen
général,
pour unsystème fini, plusieurs
échelles delongueurs
interviennent si bien que la forme laplus générale
pourns/n
s’écrit.Ces corrections à la loi d’échelle font en sorte que la fraction
superfluide
mise à échelle ne se croise au mêmepoint
que dans la limite L ~ ~(voir figure 3.4).
Dans le document
La transition de Bose-Einstein dans un gaz dilué
(Page 62-65)