UN ALGORITHME EN DIMENSION 2 - Arbres de contact des singularités quasi-ordinaires et graphes d

Ici U parcourt l’ensemble des exposants des monômes de L(ξ), c’est-à-dire le réseau MG. Donc :

W (ψ) ={V ∈ W, hV, Ui ∈ Z, ∀U ∈ MG} = = W∩ Hom(MG, Z) = WG.

Nous avons obtenu :

Proposition 2.3.15 Soit f∈ C{X}[Y ] un polynôme quasi-ordinaire irréductible et ψ la projection quasi-ordinaire associée. Alors WG est le sous-groupe de W associé à ψ, c’est-à-dire :

W (ψ) = WG.

Grâce à cette identification, la proposition 2.3.4 devient dans ce cas : Théorème 2.3.16 Pour ǫ suffisamment petit,Zǫ(WG, σ0) est la normalisation de Sǫ. Plus précisément, on a le diagramme commutatif suivant, dans lequel ν est un morphisme de normalisation :

(Zǫ(WG, σ0), 0) γW:WG ''O O O O O O O O O O O ν // (Sǫ, 0) ψ zzuu^uu uu^uu u (C2 ǫ, 0)

A l’aide des propositions 2.3.8 et 2.3.15, nous obtenons la pr´ecision suivante sur les exposants des s´eries de Newton-Puiseux de f :

Proposition 2.3.17 Les exposants des séries de Newton-Puiseux de f sont des éléments du semi-groupe (MG)+ := MG∩ ˇσ0, c’est-à-dire : R(f ) ֒→ C{(MG)+}.

2.4 Un algorithme pour les hypersurfaces

quasi-ordinaires de dimension 2

Soit f ∈ C{X}[Y ] un polynôme quasi-ordinaire irréductible, A l’algèbre associée etS un représentant du germe EA.

Nous nous proposons à présent de calculer les groupes Wk ainsi que les nombres Nk, pour k ∈ {1, ..., G}, en fonction des vecteurs A1, ..., AG, regardés comme des couples de nombres rationnels dans la base canonique (U(1), U(2)) de M , ainsi que la normalisée deS, à l’aide du théorème 2.3.16. On regardera Wk en tant que sous-groupe d’indice fini de W , le réseau des poids étant muni de la base fixe (V(1), V(2)). Les résultats de ce calcul sont résumés dans le théorème 2.4.5 sous la forme d’un algorithme.

Dans le lemme qui suit, nous montrons comment paramétrer les sous-réseaux d’indice fini d’un réseau de rang 2 de base fixée, à l’aide d’un triplet d’entiers positifs. Par la suite, “calculer” un sous-réseau reviendra à calculer le triplet correspondant.

Lemme 2.4.1 SoitW un r´eseau de rang 2 muni d’une base (V(1), V(2)). Si ˆW est un sous-r´eseau d’indice fini, il existe un unique triplet (R, S, T )∈ N∗× N × N∗, avec S < R, tel que (RV(1), SV(1)+ T V(2)) soit une base de ˆW.

68 CHAPITRE 2. LE SEMI-GROUPE

Preuve : Montrons d’abord l’existence d’un tel triplet. L’intersection ˆW ∩ ZV⁽¹⁾ est non-nulle, sinon on aurait :

W ≃ ˆW/( ˆW ∩ ZV(1))≃ ( ˆW + ZV(1))/ZV(1)֒→ W/ZV(1)

≃ ZV(2), ce qui donnerait une injection ˆW → ZV(2), en contradiction avec le fait que [W : ˆW] < +∞.

Soit alors R∈ N∗, ˆW ∩ ZV(1)= ZRV(1). La même suite de morphismes que précédemment montre que l’on a une injection :

W/ZRV⁽¹⁾−→ ZV⁽²⁾,

et comme ZV(2) est un Z-module libre, W/ZRV(1) l’est aussi, donc la suite exacte courte

0→ ZRV⁽¹⁾→ ˆW → ˆW/ZRV⁽¹⁾→ 0

est scind´ee, ce qui montre qu’il existe un vecteur SV(1)+ T V(2)

∈ ˆW dont l’image est un générateur de ˆW/ZRV(1). On peut bien sûr choisir T > 0, puis S ∈ {0, ..., R − 1}, en ajoutant un multiple convenable de RV(1). Le triplet (R, S, T ) vérifie alors les propriétés de l’énoncé.

L’unicit´e est imm´ediate.

Introduisons alors la d´eﬁnition suivante :

Définition 2.4.2 Avec les hypothèses du lemme précédent, nous disons que (R, S, T ) est le triplet associé à W : ˆW par rapport à la base (V(1), V(2)). Avec les mêmes hypothèses et notations que dans le lemme précédent, po-sons : ˆV(1):= RV(1) ˆ V(2):= SV(1)+ T V(2) (16) et : T^′:= pgcd(R, S) > 0, R′:= R T′, S^′ :=_T^S′,

ce qui implique que pgcd(R^′, S^′) = 1. De plus, comme S < R, on obtient :

0≤ S′< R^′. (17) Posons aussi : ( V⁽¹⁾ := R^′T^′V(1) V⁽²⁾ := R′T V(2) (18) et introduisons le réseau : W := ZV⁽¹⁾+ ZV⁽²⁾. On déduit immédiatement les relations :

(

V⁽¹⁾= ˆV(1) V⁽²⁾= R′_Vˆ(2)

2.4 UN ALGORITHME EN DIMENSION 2 69

qui montrent que l’on a la suite d’inclusions : W ⊂ ˆW ⊂ W.

D’autre part, la relation (18) montre que V⁽¹⁾, V⁽²⁾ sont des générateurs (sur R) des arêtes du cône σ. Le fait que pgcd(R′, S′) = 1 montre que ce sont des éléments primitifs de ˆW.

Les relations (17) et (19) permettent alors de voir, grˆace `a la proposition 2.2.4 :

Lemme 2.4.3 Si ˆW est un sous-réseau d’indice fini de W, de triplet associé (R, S, T ), que σ est le cône engendré par U(1), U(2) et T′ = pgcd(R, S), R′ = R/T′, S′ = S/T′, alors on a l’isomorphisme de surfaces toriques affines :

Z( ˆW, σ) ≃ Z(R^′, S^′).

Le lemme précédent, joint au théorème 2.3.16, permet d’identifier le type de la singularité de Jung-Hirzebruch de la normalisée de (S, 0) (dernière partie de l’énoncé de la proposition 2.4.5).

On se propose à présent de calculer le triplet associé à un sous-réseauW(A) deW, dual d’un réseau M(A) = M + ZA, où A ∈ MQ. C’est ce qui est fait dans le lemme suivant, en fonction des coordonnées de A dans la base canonique deM, vue comme base de MQ.

Lemme 2.4.4 Soient M, W deux réseaux en dualité, munis des bases duales (U(1), U(2)), respectivement (V(1), V(2)). Soient A ∈ MQ et W(A) le sous-réseau deW dual de M(A) := M + ZA.

Ecrivons A = A(1)U(1) + A(2)U(2), avec A(i) = P⁽ⁱ⁾ Q(i), P(i)

∈ Z, Q(i)∈ N∗, pgcd(P(i), Q(i)) = 1, pour i∈ {1, 2}.

Posons D := pgcd(Q(1), Q(2)), Q := ppcm(Q(1), Q(2)), J(i) := ^Q_D⁽ⁱ⁾ pour i∈ {1, 2}. Soit K(1) l’unique élément de{0, ..., Q(1)− 1} qui vérifie :

• K(1)= 0 si Q(1) = 1.

• K(1) =−J(1)P⁽²⁾(P⁽¹⁾)⁻¹ dans l’anneau Z/Q⁽¹⁾Z (dans lequel P⁽¹⁾ est inversible) si Q(1)

6= 1. Alors :

[W : W(A)] = Q,

et le triplet associé à W :W(A) par rapport à la base (V(1), V(2)) est : (Q⁽¹⁾, K⁽¹⁾, J⁽²⁾).

Preuve : On a :

W(A) = {V ∈ W, hV, Ai ∈ Z} =

={C1V(1)+ C2V(2)∈ W, C1A(1)+ C2A(2)∈ Z}.

De plus, Q = Q(1)J(2)= Q(2)J(1), ce qui montre que l’on a la suite d’´equivalences : C1A⁽¹⁾+ C2A⁽²⁾∈ Z ⇔ C1 P(1)J(2) Q ^{+ C}² P(2)J(1) Q ∈ Z ⇔ ⇔ C1P(1)J(2)+ C2P(2)J(1) ∈ QZ. (20)

70 CHAPITRE 2. LE SEMI-GROUPE

Par dualité, [W : W(A)] = [M(A) : M]. A son tour, l’indice de M dans M(A) est égal à :

min{m ∈ N∗, mA∈ M} = min{m ∈ N∗, mA(1)

∈ Z, mA(2)

∈ Z} = = ppcm(Q(1), Q(2)) = Q.

La première affirmation de l’énoncé est démontrée. Posons :

W1(A) :=W(A) ∩ ZV(1).

Alors : C1V(1) ∈ W1(A) ⇔ C1A(1) ∈ Z ⇔ Q(1) | C1, ce qui montre que W1(A) = ZQ(1)V(1).

Soient C1, C2∈ Z tels que Q(1)V(1) et C1V(1)+ C2V(2)forment une base de W(A). Il existe de tels nombres d’apr`es le lemme 2.4.1. Alors :

det Q(1) 0 C1 C2 = [W : W(A)] = Q,

ce qui implique que C2= _Q^Q(1) = J(2).

La propri´et´e (20) devient, avec C2= J(2) :

C1P⁽¹⁾J⁽²⁾+ J⁽²⁾P⁽²⁾J⁽¹⁾∈ Q(1)J⁽²⁾Z ⇔ C1P⁽¹⁾+ P⁽²⁾J⁽¹⁾∈ Q(1)Z⇔ ⇔ C1P(1) =−P(2)J(1) dans Z/Q(1)Z. Si Q(1)= 1, comme K(1)≤ Q(1)− 1 ⇒ K(1)= 0.

Sinon, comme pgcd(P(1), Q(1)) = 1, P(1) est inversible dans Z/Q(1)Z, et la dernière égalité devient :

C1=−J⁽¹⁾P⁽²⁾(P⁽¹⁾)⁻¹ dans Z/Q⁽¹⁾Z.

Le lemme est d´emontr´e.

Le lemme précédent permet de calculer par récurrence croissante sur k les réseaux Wk, en posant à chaque fois M = Mk−1, A = Ak, ∀k ∈ {1, ..., G}.

Plus précisément, d’après le lemme 2.4.1, pour chaque k∈ {1, ..., G}, il existe un unique triplet (Rk, Sk, Tk)∈ N∗× N × N∗, avec Sk ∈ {0, ..., Rk− 1}, tel que (V_k⁽¹⁾, V_k⁽²⁾) soit une base de Wk, où :

(

V_k⁽¹⁾= RkV(1)

V_k⁽²⁾= SkV⁽¹⁾+ TkV⁽²⁾ ⁽²¹⁾ Posons aussi :

V₀⁽¹⁾:= V⁽¹⁾, V₀⁽²⁾:= V⁽²⁾, (R0, S0, T0) := (1, 0, 1).

Nous nous proposons de calculer par r´ecurrence les triplets (Rk, Sk, Tk) ainsi que les nombres Nk, pour k∈ {1, ..., G}.

Supposons (Rk−1, Sk−1, Tk−1) connu, pour k ∈ {1, ..., G}, et calculons le triplet (Rk, Sk, Tk). Nous avons :

2.4 UN ALGORITHME EN DIMENSION 2 71

Ecrivons les vecteurs V ∈ Wk−1 sous la forme V = C1V_k⁽¹⁾₋₁+ C2V_k⁽²⁾₋₁, avec (C1, C2)∈ Z2. Alors :

hV, Aki = hC1Rk−1V(1)+ C2(Sk−1V(1)+ Tk−1V(2)), Aki = = (C1Rk−1+ C2Sk−1)A⁽¹⁾_k + C2Tk−1A⁽²⁾_k = = C1Rk−1A⁽¹⁾_k + C2(Sk−1A⁽¹⁾_k + Tk−1A⁽²⁾_k ). Ecrivons sous forme irr´eductible :

     Rk−1A⁽¹⁾_k = ^P (1) k Q⁽¹⁾_k S_k−1A⁽¹⁾_k + T_k−1A⁽²⁾_k = ^P (2) k Q⁽²⁾_k avec Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ∈ N∗. Par le lemme 2.4.4, on a :

Nk= ppcm(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ). D’apr`es le mˆeme lemme, si l’on pose :

               Qk:= ppcm(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ) Dk:= pgcd(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ) J_k⁽ⁱ⁾ :=^Q (i) k Dk , pour i∈ {1, 2} K_k⁽¹⁾∈ {0, ..., Q⁽¹⁾k − 1}, Kk⁽¹⁾= ( −Jk⁽¹⁾P_k⁽²⁾(P_k⁽¹⁾)⁻¹dans Z/Q⁽¹⁾_k Z, si Q⁽¹⁾_k 6= 1, 0, si Q⁽¹⁾_k = 1,

on d´eduit qu’une base de Wk est : (

Q⁽¹⁾_k V_k⁽¹⁾₋₁ = Q⁽¹⁾_k Rk−1V(1)

K_k⁽¹⁾V_k−1⁽¹⁾ + J_k⁽²⁾V_k−1⁽²⁾ = (K_k⁽¹⁾Rk−1+ J_k⁽²⁾Sk−1)V(1)+ J_k⁽²⁾Tk−1V(2) On a ainsi obtenu un algorithme pour le calcul des triplets associés par le lemme 2.4.1 aux sous-réseaux Wk de W , des nombres Nk, ∀k ∈ {1, ..., G}, ainsi que de la normaliséeZ(WG, σ) (voir la proposition 2.3.16) à partir de la donnée d’une suite A1 <· · · < AG′. En particulier, si la suite contient les exposants caractéristiques de f mais aussi éventuellement d’autres termes, l’algorithme permet d’en extraire exactement les exposants caractéristiques. Ainsi :

Ak est caract´eristique ⇔ Nk> 1.

Le théorème suivant résume cet algorithme, en supposant les exposants ca-ractéristiques déjà connus :

Théorème 2.4.5 Soit f ∈ C{X1, X2}[Y ] un polynôme quasi-ordinaire irré-ductible, d’exposants caractéristiques A1, ..., AG ∈ MQ. Posons (R0, S0, T0) := (1, 0, 1). Si k∈ {1, ..., G} et (Rk−1, S_k−1, T_k−1) est connu, définissons les nombres

72 CHAPITRE 2. LE SEMI-GROUPE

P_k⁽ⁱ⁾, Q⁽ⁱ⁾_k , Qk, Dk, J_k⁽ⁱ⁾, K_k⁽¹⁾∈ N ainsi : P_k⁽¹⁾ Q⁽¹⁾_k := Rk−1A⁽¹⁾_k , pgcd(P_k⁽¹⁾, Q⁽¹⁾_k ) = 1, P_k⁽²⁾ Q⁽²⁾_k := Sk−1A⁽¹⁾_k + Tk−1A⁽²⁾_k , pgcd(P_k⁽²⁾, Q⁽²⁾_k ) = 1, Qk := ppcm(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ), Dk:= pgcd(Q⁽¹⁾_k , Q⁽²⁾_k ), J_k⁽ⁱ⁾ :=^Q (i) k Dk, pour i∈ {1, 2}, K_k⁽¹⁾∈ {0, ..., Q⁽¹⁾k − 1}, Kk⁽¹⁾= ( −Jk⁽¹⁾P_k⁽²⁾(P_k⁽¹⁾)⁻¹dans Z/Q⁽¹⁾_k Z, si Q⁽¹⁾_k 6= 1, 0, si Q⁽¹⁾_k = 1,

On obtient alors le triplet (Rk, Sk, Tk) de la mani`ere suivante :      Rk = Q⁽¹⁾_k R_k−1, Sk ∈ {0, ..., Rk− 1}, Sk ≡ (Kk⁽¹⁾R_k−1+ J_k⁽²⁾S_k−1) mod Rk, Tk= J_k⁽²⁾T_k−1. De plus : Nk= Qk. Si on note : T′ G:= pgcd(RG, SG), R′ G:= ^RG T′ G, S′ G:= ^SG T′ G

alors Zǫ(R_G^′ , S_G^′ ) est une normalis´ee de Sǫ, pour ǫ ∈ R∗ +× R∗

+ suffisamment petit.

Remarque : Dans la proposition précédente, X1 et X2 ne jouent pas des rôles symétriques. Ainsi, on obtient immédiatement :

P_k⁽¹⁾ Q⁽¹⁾_k ^{= Q} (1) 1 · · · Q⁽¹⁾_k−1A⁽¹⁾_k , ∀k ∈ {1, ..., G}, ou bien : A⁽¹⁾_k = ^P (1) k Q⁽¹⁾₁ · · · Q⁽¹⁾k , pgcd(P_k⁽¹⁾, Q⁽¹⁾_k ) = 1, ∀k ∈ {1, ..., G},

ce qui montre que le couple (P_k⁽¹⁾, Q⁽¹⁾_k ) est uniquement déterminé par la connais-sance des nombres rationnels A⁽¹⁾₁ , ..., A⁽¹⁾_k . Les formules obtenues sont sem-blables à celles entre exposants caractéristiques et “paires caractéristiques” dans le cas des courbes planes (voir [38], [41]). Mais le couple (P_k⁽²⁾, Q⁽²⁾_k ) n’est pas déterminé par A⁽²⁾₁ , ..., A⁽²⁾_k , comme on peut le voir en comparant les deux exemples qui suivent :

2.4 UN ALGORITHME EN DIMENSION 2 73

1) Soit le cas A1= (¹₂,¹₂), A2= (²₃,⁴₃). Alors : (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1, 2), (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1, 2), Q1= D1= 2, J₁⁽¹⁾= J₁⁽²⁾= 1, K₁⁽¹⁾= 1, (R1, S1, T1) = (2, 1, 1), (P₂⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₂ ) = (4, 3), (P₂⁽²⁾, Q⁽²⁾₂ ) = (2, 1), Q2= 3, D2= 1, J₂⁽¹⁾= 3, J₂⁽²⁾= 1, K₂⁽¹⁾= 0, (R2, S2, T2) = (6, 1, 1), normalis´ee :Z(6, 1).

2) Soit le cas A1= (1,¹₂), A2= (1,⁴₃). Alors :

(P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1, 1), (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1, 2), Q1= 2, D1= 1, J₁⁽¹⁾= 1, J₁⁽²⁾= 2, K₁⁽¹⁾= 0, (R1, S1, T1) = (1, 0, 2), (P₂⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₂ ) = (1, 1), (P₂⁽²⁾, Q⁽²⁾₂ ) = (8, 3), Q2= 3, D2= 1, J₂⁽¹⁾= 1, J₂⁽²⁾= 3, K₂⁽¹⁾= 0, (R2, S2, T2) = (1, 0, 6), normalis´ee :Z(1, 0).

On pourrait s’attendre à ce que les nombres N1, ..., NGsoient déterminés par les dénominateurs des nombres A⁽¹⁾₁ , A⁽²⁾₁ , ..., A⁽¹⁾_G , A⁽²⁾_G mis sous forme irréductib-le, par analogie avec le cas des germes de courbes planes. Ceci n’est pas le cas, comme on peut le voir en comparant les deux exemples qui suivent, où ces dénominateurs co¨ıncident, mais les suites N1, ..., NG diffèrent :

Exemples : 3) Soit le cas A1= (1 4,1 4), A2= (7 20,19 20). Alors : (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1, 4), (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1, 4), N1= Q1= D1= 4, J₁⁽¹⁾= J₁⁽²⁾= 1, K₁⁽¹⁾ = 3, (R1, S1, T1) = (4, 3, 1), (P₂⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₂ ) = (7, 5), (P₂⁽²⁾, Q⁽²⁾₂ ) = (2, 1), N2= Q2= 5, D2= 1, J₂⁽¹⁾= 5, J₂⁽²⁾= 1, K₂⁽¹⁾ = 4, (R2, S2, T2) = (20, 19, 1), normalis´ee :Z(20, 19).

4) Soit le cas A1= (¹₄,¹₄), A2= (₂₀⁷,¹⁷₂₀). Alors : (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1, 4), (P₁⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₁ ) = (1, 4), N1= Q1= D1= 4, J₁⁽¹⁾= J₁⁽²⁾= 1, K₁⁽¹⁾= 3, (R1, S1, T1) = (4, 3, 1), (P₂⁽¹⁾, Q⁽¹⁾₂ ) = (7, 5), (P₂⁽²⁾, Q⁽²⁾₂ ) = (19, 10), N2= Q2= 10, D2= 5, J₂⁽¹⁾= 1, J₂⁽²⁾= 2, K₂⁽¹⁾= 3, (R2, S2, T2) = (20, 18, 2), normalis´ee :Z(10, 9).

74 CHAPITRE 2. LE SEMI-GROUPE

Remarque : Un calcul topologique des invariants de Jung-Hirzebruch (R^′_G, S_G^′ ) de la normalisée, est implicitement contenu dans [8]. En effet, le “link” de la normalisée est un espace lenticulaire L(p, q) et A.Costa donne des formules qui relient p et q aux exposants caractéristiques. En fait, on peut prendre comme paire (p, q) la paire (R′

G, S′

G). Les calculs de [8] sont moins explicites que les notres.

Dans le document Arbres de contact des singularités quasi-ordinaires et graphes d'adjacence pour les 3-variétés réelles (Page 76-83)