3.2 Multi-projection semi-exhaustive
3.2.2 Algorithme de projection multiple
A ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.3, estabelece as prescrições e recomendações para o dimensionamento e verificação de elementos estruturais em aço submetidos a forças axiais de compressão. Antes, porém, da apresentação desses procedimentos normativos, segue uma explanação dos fundamentos teóricos que os norteiam.
2.10.1 Conceito de flambagem elástica e inelástica, devida a flexocompressão
As forças de compressão causam encurtamento nas fibras do material. Souza (β010, p.4γ) diz que “o modo de colapso em barras submetidas à compressão pode estar associado ao escoamento da seção, à instabilidade global da barra ou à instabilidade local dos elementos que compõe a seção”. A flambagem nada mais é do que os estados de instabilidades global ou local de barras quando submetidas a forças de compressão.
2.10.1.1 Cargas normais de tração e compressão
O dimensionamento de hastes sujeitas a esforços axiais, de tração ou compressão, se faz utilizando-se a tensão normal média σ que é obtida dividindo-se o esforço normal N pela área A da seção reta da haste:
σ = (31) (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 96).
Os esforços de tração tendem a retificar as hastes, reduzindo o efeito de curvaturas iniciais porventura existentes. Os esforços de compressão, ao contrário, tendem a aumentar os efeitos de curvaturas iniciais e, acima de um certo valor, provocam deslocamentos laterais visíveis; diz-se então que a haste apresenta flambagem, que é a instabilidade provocada por esforços de compressão. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 96).
2.10.2 Instabilidade global – Fundamentos teóricos
2.10.2.1 Carga crítica de flambagem elástica
Os primeiros estudos sobre o fenômeno de flambagem foram feitos por Euler (1707-1783), considerando as seguintes simplificações: uma barra ideal de material homogêneo, comportamento elástico linear perfeito, prismática e sem imperfeições, extremidades rotuladas, força aplicada sem excentricidades e a não ocorrência de instabilidades locais dos elementos da seção. (SOUZA, 2010, p. 43).
Com essas simplificações e admitindo o equilíbrio da barra em uma posição levemente deformada, como mostra a Figura 15, é possível deduzir a equação diferencial que rege o problema partindo da equação da linha elástica:
EI = M = -Pv ou + v = 0 (32)
Figura 15 – Barra para estudo da flambagem e equacionamento
Fonte: Souza (2010)
As condições de contorno nos apoios (v=0, x=0 e x=L) permitem determinar as constantes C1 e C2:
C2=0
C1sen = 0
A segunda condição será satisfeita se sen = 0, o que ocorre para sen = nπ, permitindo que se determine a seguinte carga crítica:
P = (34) O primeiro modo de flambagem ocorre para n=1 e a força correspondente é a força crítica de Euler:
Pcr = (35) (SOUZA, 2010, p. 44).
Em regime elástico, isto é, para tensões normais abaixo do limite de proporcionalidade (limite de escoamento) do aço, demonstra-se a relação:
v = (36)
(PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 97).
Verifica-se que quando P se aproxima de Pcr a flecha v tende para o infinito, o que significa colapso da peça. A carga Pcr se chama carga crítica de flambagem da barra ou carga de Euler. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 97).
2.10.2.2 Comprimento efetivo de flambagem
O comprimento efetivo de flambagem Lef é o comprimento que uma barra, com condição de vínculo qualquer, deveria ter para flambar como uma barra biarticulada. Para isso, deve-se multiplicar o comprimento L da barra em questão por uma constante denominada coeficiente de flambagem K, que é função das condições de vínculo.
Lef = KL (37) (SOUZA, 2010, p. 44).
2.10.2.3 Coeficiente de flambagem por flexão
A ABNT NBR 8800:2008, anexo E, subitem E.2.1, estabelece as prescrições para determinação do coeficiente de flambagem por flexão.
A Tabela 2 mostra as possíveis condições de vínculo que um elemento estrutural poderá ter e os respectivos valores do coeficiente de flambagem por flexão correspondentes.
Tabela 2 – Condições de vínculo e valores do coeficiente de flambagem
Fonte: ABNT NBR 8800:2008
2.10.2.4 Coeficiente de flambagem por torção
A ABNT NBR 8800:2008, anexo E, subitem E.2.2, estabelece as prescrições para determinação do coeficiente de flambagem por torção. O coeficiente de flambagem por torção Kz função das condições de contorno, deve ser determinado por análise estrutural, ou, simplificadamente, tomado igual a:
a) 1,00, quando ambas as extremidades da barra possuírem rotação em torno do eixo longitudinal impedida e empenamento livre;
b) 2,00, quando uma das extremidades da barra possuir rotação em torno do eixo longitudinal e empenamento livres e, a outra extremidade, rotação e empenamento impedidos.
2.10.2.5 Esbeltez e tensão de flambagem elástica
A esbeltez λ de uma barra é a razão entre o seu comprimento efetivo de flambagem Lef (equação 37) e o raio de giração r da seção transversal.
λ = (38) (SOUZA, 2010, p. 45).
A equação da tensão de flambagem elástica, σfl, obtém-se dividindo a força crítica de Euler Pcr, equação 35, pela área da seção transversal do elemento.
σfl = (39) (SOUZA, 2010, p. 45).
2.10.2.6 Esbeltez limite de plastificação
Para elementos muito esbeltos (valores elevados de λ) onde a tensão de flambagem elástica σfl é inferior à resistência ao escoamento do aço fy, a flambagem é atingida no regime elástico do diagrama tensão x deformação do aço. Nestes casos, a tensão de flambagem elástica σfl dada pela equação 39 é a tensão crítica σcr de colapso do elemento. Para elementos pouco esbeltos (valores baixos de λ) o valor de σfl ultrapassa o limite de proporcionalidade (limite de escoamento) do aço fy e, assim, a equação 39 não é mais válida. Nestes casos, a flambagem se processa em regime plástico, sendo a interpretação do fenômeno muito complicada. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 98).
Portanto, a esbeltez limite de plastificação λpl será aquela para a qual o elemento não apresente flambagem para uma tensão crítica σcr igual à tensão limite de escoamento do aço fy.
σcr = fy = → λpl = (40) Com base na esbeltez limite de plastificação, define-se o coeficiente de esbeltez reduzido, que é a razão entre a esbeltez da barra e a esbeltez limite de plastificação.
λ0 = (41) (SOUZA, 2010, p. 46).
Portanto, em barras curtas com esbeltez λ ≤ λpl não ocorre flambagem, havendo falha por plastificação da seção. Em barras longas com esbeltez λ ≥ λpl ocorre flambagem em regime elástico dentro da validade das hipóteses de Euler. (SOUZA, 2010, p. 46).
O comportamento tensão normal x esbeltez de um elemento comprimido é representado na Figura 16. É possível definir um fator de flambagem global dado por χ= fcr/fy
e apresentar esse comportamento independente das dimensões das grandezas envolvidas. (SOUZA, 2010, p. 46).
Figura 16 – Comportamento tensão x esbeltez para elementos comprimidos
Fonte: Souza (2010)
2.10.2.7 Modos de flambagem
Os modos de flambagem possíveis de ocorrer em elementos submetidos a esforços de compressão são flambagem por flexão, torção e flexo-torção. A Figura 17 ilustra cada um desses modos de flambagem. Em seções duplamente simétricas (com dois eixos de simetria) os modos de flambagem ocorrem desacoplados podendo ocorrer flambagem por flexão em torno de cada um dos eixos de simetria da seção transversal do elemento e flambagem por torção em torno do eixo longitudinal do elemento, predominando o modo que resultar com menor carga crítica. Em seções monossimétricas (com um eixo de simetria) podem ocorrer flambagem por flexo-torção, resultante do acoplamento entre os modos de flambagem por flexão e torção em torno do único eixo de simetria da seção transversal do elemento ou flambagem por flexão em torno do eixo de não simetria, predominando o modo que resultar com menor carga crítica. Em seções assimétricas (sem nenhum eixo de simetria) os modos de flambagem ocorrem todos acoplados e a carga crítica será a de menor valor. (SOUZA, 2010, p. 46 a 49).
Figura 17 – Modos de flambagem
Fonte: Souza (2010)
A ABNT NBR 8800:2008, anexo E, subitem E.1, determina para cada tipo de seção transversal (assimétrica, monossimétrica e duplamente simétrica), os possíveis modos de flambagem e as respectivas equações para cálculo dos valores das cargas de flambagem elástica geradas por cada um.
2.10.2.8 Carga crítica de flambagem elástica em seções assimétricas (caso geral)
A Figura 18 ilustra o caso geral de instabilidade de uma barra com seção transversal assimétrica.
Figura 18 – Caso geral de instabilidade de barras
A equação 42, obtida estudando-se o equilíbrio da barra em uma posição deslocada, rege o problema geral de estabilidade.
(Ne-Nex)(Ne-Ney)(Ne-Nez) - Ne2(Ne-Ney) - Ne2(Ne-Nex) = 0 (42) em que:
Ne = normal de flambagem elástica;
Nex = normal de flambagem elástica por flexão em torno do eixo x; Ney = normal de flambagem elástica por flexão em torno do eixo y; Nez = normal de flambagem elástica por flexão em torno do eixo z; x0 e y0 = coordenadas do centro de torção (Ct);
r0 = raio de giração polar;
r0 = (43) rx e ry = raios de giração da seção.
Nesse caso, a carga crítica de flambagem elástica Ne será a menor raiz da equação 42. (SOUZA, 2010, p. 47 e 48).
2.10.2.9 Carga crítica de flambagem elástica em seções monossimétricas
Em seções monossimétricas, por exemplo, com simetria no eixo y, a coordenada x0 do centro de torção Ct é nula e, portanto, a equação 42 toma a seguinte forma:
(Ne-Nex)(Ne-Ney)(Ne-Nez) - Ne2(Ne-Nex) = 0 (44) Nesse caso, a carga crítica de flambagem elástica Ne será o menor dos valores:
b) Flambagem por flexão em torno do eixo x:
Ne = Nex = (45) b) Flambagem por flexo-torção em torno do eixo y:
Ne = Neyz = (46) (SOUZA, 2010, p. 48).
2.10.2.10 Carga crítica de flambagem elástica em seções simétricas
Em seções simétricas, as coordenadas x0 e y0 do centro de torção Ct são nulas, e a equação 42 se transforma em:
(Ne-Nex)(Ne-Ney)(Ne-Nez) = 0 (47) Nesse caso, a carga crítica de flambagem elástica Ne será o menor dos valores:
a) Flambagem por flexão em torno do eixo x:
Ne = Nex = (48) b) Flambagem por flexão em torno do eixo y:
Ne = Ney = (49) c) Flambagem por torção em torno do eixo z:
Ne = Nez = (50) onde:
E = módulo de elasticidade;
G = módulo de elasticidade transversal; T = momento de inércia à torção; Cw = constante de empenamento; (SOUZA, 2010, p. 48 e 49).
2.10.2.11 Efeito das imperfeições
Nos casos práticos das construções sempre existe algum tipo de imperfeição geométrica oriunda dos processos de fabricação ou construtivos que provoca excentricidades iniciais dos carregamentos e altera o comportamento do elemento no que diz respeito a sua estabilidade, conforme ilustra a Figura 19. Além disso pode haver imperfeições no material em razão da presença de tensões residuais nas seções. (SOUZA, 2010, p. 50).
Figura 19 – Barra com imperfeição inicial
Fonte: Souza (2010)
A presença de imperfeições geométricas iniciais implica o aparecimento de esforços axiais e também de momentos fletores, o que pode ser expresso por:
M = N(y0+y) = v0sen (51)
(SOUZA, 2010, p. 51).
Os momentos fletores, ainda que pequenos, provocam acréscimos nos deslocamentos laterais, resultando em comportamento força aplicada x deslocamento lateral não linear, como mostra a Figura 20. (SOUZA, 2010, p. 51).
Figura 20 – Comportamento força aplicada x deslocamentos laterais
Fonte: Souza (2010)
Em barras com imperfeições geométricas não ocorre bifurcação do equilíbrio, os deslocamentos aumentam gradualmente para baixos valores de força aplicada e tendem para o infinito quando a força aplicada tende para a carga crítica. Dessa forma, o problema é analisado por meio das tensões que atuam na barra submetida à flexão composta, limitando a
tensão máxima ao valor correspondente à resistência ao escoamento do material, equação 52. (52)
(SOUZA, 2010, p. 51).
As imperfeições de material alteram o diagrama tensão x deformação do material. A fase elástica passa a ser limitada por uma tensão de proporcionalidade fp, e acima desse limite de tensão a análise da estabilidade deve incorporar efeitos não lineares físicos e geométricos. A não linearidade física pode ser expressa por redução do módulo de elasticidade a partir do limite de proporcionalidade sendo substituído por um módulo tangente Et. (SOUZA, 2010, p. 52).
(53) Fazendo a tensão crítica igual à tensão de proporcionalidade (fcr = fp) é possível definir um parâmetro denominado esbeltez de proporcionalidade que separa os limites de ocorrência de flambagem em regime elástico e flambagem em regime elasto-plástico. (SOUZA, 2010, p. 52).
(54) Portanto, uma barra comprimida pode atingir o colapso ou por escoamento se λ ≤ λpl, ou por flambagem em regime elástico se λ ≥ λr, ou por flambagem em regime elasto- plástico se λpl < λ < λr. Esse comportamento pode ser expresso por uma curva de flambagem ou curva de resistência conforme ilustra a Figura 21. (SOUZA, 2010, p. 52).
Figura 21 – Curva de flambagem
As curvas de flambagem presentes nas normas são baseadas nessas formulações com calibrações fundamentadas em ensaios experimentais, sobretudo no trecho correspondente à flambagem em regime inelástico. (SOUZA, 2010, p. 53).
2.10.3 Instabilidade local - Fundamentos teóricos
É a perda da estabilidade dos elementos que compõe a seção transversal da barra, e pode ocorrer antes que a tensão crítica determinada na análise global seja atingida, ver Figura 22. (SOUZA, 2010, p. 53).
Figura 22 – Exemplos de flambagem local em perfis de aço
Fonte: Souza (2010)
Os perfis de aço que compõe os elementos estruturais são formados por chapas. Quando submetidos a compressão ou flexão as chapas que os compõe são submetidas a tensões axiais de compressão que podem causar instabilidade local de chapa antes que a tensão crítica de flambagem global seja atingida. (SOUZA, 2010, p. 53).
A instabilidade global de uma barra caracteriza-se pela perda da retilinidade do seu eixo longitudinal para determinado valor de carga crítica de flambagem. A instabilidade local caracteriza-se quando, para determinado valor de tensão axial, uma ou mais chapas do perfil que compõe o elemento estrutural sofre flambagem em determinado local ao longo do seu comprimento, sem que a retilinidade do eixo longitudinal da peça seja afetada. Isso ocorre para um valor de tensão axial cuja carga correspondente seja inferior à carga crítica de flambagem.
A tensão crítica de flambagem elástica para uma chapa quadrada com bordas apoiadas é dada pela equação 55. (SOUZA, 2010, p. 53).
(55)
Analogamente ao problema de instabilidade de barras, a tensão crítica depende do material representado pelo seu módulo de elasticidade, depende de uma esbeltez local (relação largura/espessura, b/t), depende do coeficiente de Poisson por se tratar de um elemento bidimensional e depende de um coeficiente de flambagem que, para este caso, é função das condições de vinculação, das condições de carregamento e da relação entre largura e comprimento do elemento, ver Tabela 3. (SOUZA, 2010, p. 53).
Tabela 3 – Coeficientes de flambagem local
Fonte: Souza (2010)
No caso da não ocorrência de flambagem local, a tensão crítica de flambagem será igual à tensão de escoamento do material. (SOUZA, 2010, p. 54).
= fy → (56)
Portanto em chapas com relação b/t inferior a (b/t)lim não há flambagem local, e esta consegue atingir a plastificação, ver Figura 23. (SOUZA, 2010, p. 54).
Figura 23 – Curva de resistência para flambagem local
Fonte: Souza (2010)
Ao contrário do que ocorre nas barras, a flambagem de chapa não implica esgotamento de sua capacidade resistente. Nesses elementos existe a possibilidade de redistribuição de tensões e, em razão disso, ocorre o fenômeno denominado efeito pós-crítico ou pós-flambagem, que permite que a resistência ao escoamento seja alcançada. A Figura 24 ilustra esse fenômeno e apresenta a evolução da distribuição de tensões em uma chapa até o esgotamento de sua capacidade resistente. (SOUZA, 2010, p. 55).
Figura 24 – Efeito pós-crítico em chapas
Fonte: Souza (2010)
Da observação desse comportamento pós-crítico foi possível definir o conceito de largura efetiva. Despreza-se a região da chapa que apresenta instabilidade e considera-se uma largura efetiva com a mesma resultante de tensões aplicadas na largura real do elemento. A equação 57, para cálculo da largura efetiva, foi inicialmente proposta por Von-Karma. (SOUZA, 2010, p. 55).
Portanto, se não houver flambagem local, a largura efetiva é a própria largura do elemento. Caso haja flambagem local, passa-se a trabalhar com uma largura efetiva menor. Dessa forma, a redução na resistência de um elemento estrutural em função da instabilidade local pode ser considerada com a redução nas propriedades geométricas da seção transversal, que passam a ser determinadas com base nas larguras efetivas. Baseando-se em ensaios experimentais com ajustes devidos às imperfeições iniciais, a equação de Von-Karma é a mesma que aparece nas normas de dimensionamento. (SOUZA, 2010, p. 55).
2.10.4 Procedimentos normativos de dimensionamento e verificação
O dimensionamento e verificação de elementos estruturais comprimidos segue rigorosamente o que A ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.3 – Barras prismáticas submetidas a forças axiais de compressão prescreve.
2.10.4.1 Condições a serem atendidas
A ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.3.1, estabelece que o dimensionamento de elementos estruturais submetidos à força axial de compressão, deve atender a condição: Nc,Sd≤ Nc,Rd (58) onde:
Nc,Sd → é a força axial de compressão solicitante de cálculo;
Nc,Rd → é a força axial de compressão resistente de cálculo, determinada conforme o subitem 5.3.2 da ABNT NBR 8800:2008.
Devem ainda ser observadas as considerações estabelecidas no subitem 5.3.4 da ABNT NBR 8800:2008, relacionadas à limitação da esbeltez.
2.10.4.2 Verificação do estado-limite último (ELU) - Determinação da força axial de
compressão resistente de cálculo
Segundo a ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.3.2, a força axial de compressão resistente de cálculo, Nc,Rd, de uma barra, associada aos estados-limites últimos de
instabilidade por flexão, por torção ou por flexo-torção e de flambagem local, deve ser determinada pela expressão:
(59)
onde:
χ → fator de redução associado à resistência à compressão; Q → fator de redução total associado à flambagem local; Ag→ área bruta da seção transversal da barra.
2.10.4.3 Determinação do fator χ
Segundo a ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.3.3.1, o fator de redução associado à resistência à compressão, χ, é dado por:
a) Para λ0 ≤ 1,5: (60) b) Para λ0 > 1,5: (61) onde λ0 é o índice de esbeltez reduzido.
O valor de χ pode ser também obtido da Figura 25 ou da Tabela 4, para os casos em que λ0 não supere 3,0.
Figura 25 – Curva de resistência para elementos comprimidos
Tabela 4 – Valores do fator de redução χ
Fonte: ABNT NBR 8800:2008
2.10.4.4 Determinação do índice de esbeltez reduzido
Segundo a ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.3.3.2, o índice de esbeltez reduzido, λ0, é dado por:
(62) onde Ne é a força axial de flambagem elástica, obtida conforme a ABNT NBR 8800:2008, Anexo E.
2.10.4.5 Determinação do fator Q
O fator de redução total associado à flambagem local, deve ser obtido de acordo com a ABNT NBR 8800:2008, Anexo F, transcrito a seguir.
Os elementos que fazem parte das seções transversais usuais, exceto as seções tubulares circulares, para efeito de flambagem local, são classificados em AA (duas bordas longitudinais vinculadas) e AL (apenas uma borda longitudinal vinculada), conforme subitem 5.1.2.2.1 da ABNT NBR 8800:2008.
As barras submetidas à força axial de compressão, nas quais todos os elementos componentes da seção transversal possuem relações entre largura e espessura (relações b/t) que não superam os valores de (b/t)lim da Tabela 5, têm fator de redução total Q igual a 1,00.
As barras submetidas à força axial de compressão, nas quais os elementos componentes da seção transversal possuem relações b/t maiores que os valores de (b/t)lim dados na Tabela 5 (elementos esbeltos), têm o fator de redução total Q dado por:
Q = Qs . Qa (63) onde Qs e Qa são fatores de redução que levam em conta a flambagem local dos elementos AL e AA, cujos valores devem ser determinados conforme os casos detalhados adiante. Deve-se ainda considerar que:
a) Se a seção possuir apenas elementos AL:
Q = Qs (64) b) Se a seção possuir apenas elementos AA:
Tabela 5 – Valores de (b/t)lim
Fonte: ABNT NBR 8800:2008 2.9.4.5.1
2.10.4.5.1 Elementos comprimidos AL
Os valores de Qs a serem usados para elementos comprimidos AL são os seguintes.
a) Elementos do Grupo 3 da Tabela 5:
(66)
(67)
b) Elementos do Grupo 4 da Tabela 5:
(68)
(69)
b) Elementos do Grupo 5 da Tabela 5:
(70)
(71)
com o coeficiente kc dado por
(72) d) Elementos do Grupo 6 da Tabela 5:
(73)
(74)
onde:
h → altura da alma; tw→ espessura da alma;
b e t → largura e espessura do elemento, respectivamente (ver Tabela 5)
Se existirem dois ou mais elementos AL com fatores de redução Qs diferentes, deve-se adotar o menor destes fatores.
2.10.4.5.2 Elementos comprimidos AA
O fator de redução Qa das seções transversais com elementos comprimidos AA, cuja relação entre largura e espessura ultrapassa os valores indicados na Tabela 5 é definido como:
(75) onde
Ag→ área bruta
Aef→ área efetiva da seção transversal, dada por:
(76) com o somatório estendendo-se a todos os elementos AA. Nessa expressão b e t são, respectivamente, a largura e a espessura de um elemento comprimido AA, conforme Tabela 5; bef é a largura efetiva de um elemento comprimido AA, conforme definição a seguir.
A largura efetiva dos elementos AA é igual a:
(77) onde
ca é um coeficiente, igual a 0,38 para mesas ou almas de seções tubulares retangulares e 0,34 para todos os outros elementos e σ é a tensão que pode atuar no elemento analisado, tomada igual a
(78) com χ obtido conforme subitem 5.3.3 da ABNT NBR 8800:2008, adotando Q igual a 1,0. Opcionalmente, de forma conservadora, pode-se tomar:
(79)
2.10.4.6 Verificação do estado-limite de serviço (ELS) - Limitação do índice de esbeltez
A ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.3.4.1, recomenda que o índice de esbeltez das barras comprimidas, tomado como a maior relação entre o produto KL e o raio de giração correspondente r, portanto KL/r, onde K é o coeficiente de flambagem determinado segundo o
anexo E da ABNT NBR 8800:2008 (item E.2.1 do anexo, citado na sessão 2.9.2.3 deste trabalho) e L é o comprimento destravado, não deve ser superior a 200.
No subitem 5.3.4.2, a ABNT NBR 8800:2008 recomenda que para barras compostas, formadas por dois ou mais perfis trabalhando em conjunto, em contato ou com afastamento igual à espessura de chapas espaçadoras, devem possuir ligações entre esses perfis a intervalos tais que o índice de esbeltez l/r de qualquer perfil, entre duas ligações adjacentes, não seja superior a ½ do índice de esbeltez da barra composta (KL/r), onde K é determinado segundo o anexo E da ABNT NBR 8800:2008 (item E.2.1 do anexo E, citado na sessão 2.9.2.3 deste trabalho), conforme ilustra a Figura 26. Para cada perfil componente, o índice de esbeltez deve ser calculado com o seu raio de giração mínimo. Adicionalmente, pelo menos duas chapas espaçadoras devem ser colocadas ao longo do comprimento, uniformemente espaçadas.
Figura 26 – Verificação de esbeltez em barras compostas comprimidas
3 DESENVOLVIMENTO