5.4 M´ ethodes s´ electionn´ ees
5.4.2 Algorithme de Bornemann
Dans cette section, nous pr´esentons une m´ethode d’“inpainting” rapide [Borne-mann 2007] qui est une version am´elior´ee de la m´ethode pr´ec´edente. Nous modifions les poids de la m´ethode de Telea de fa¸con `a obtenir un r´esultat de meilleure qualit´e visuelle : les contours arrivant vers Ω sont reconnect´es d’une meilleure fa¸con en diffusant `a travers le squelette P
de Ω.
Pour cela, un tenseur de diffusion nous donne une meilleure direction de diffusion ainsi qu’une force de diffusion qui permet de contrˆoler la quantit´e d’information
`
a diffuser. Nous introduisons aussi deux param`etres de lissage (de l’image et des directions d´etect´ees) afin de mieux contrˆoler l’information propag´ee (moins de bruit mais d´egrade les contours) et la direction de diffusion (diffusion `a travers le squelette d`es le d´epart). Une illustration des r´esultats obtenus pour les diff´erents param`etres de l’algorithme, que nous allons pr´esenter dans la suite, est en annexeA.1.
Pour r´esoudre le probl`eme de la m´ethode de Telea nous devons prendre en compte les contours arrivant vers Ω. Ceci se fait en utilisant un vecteur c de Ω mod´elisant les isophotes. Le vecteur cpeut ˆetre choisi comme ´etant align´e avec les lignes de niveau (isophotes) comme nous l’avons pr´esent´e dans la section5.3.1 de ce chapitre (voir ´equation 5.3), nous avons donc :
−
→c =5⊥∆Iσ (5.17)
avec Iσ =Kσ∗I,Kσ etant un noyau gaussien : Kσ = 2πσ12e−
|x|2 2σ2 .
Flux de d´etection des contours
Nous appelons le flux g´en´er´e par l’´equation 5.17 (voir figure 5.17) le “flux de d´etection des contours” (“edge detection flow”). Notons que ce type de flux est utilis´e pour des applications telles que la reconnaissance des empreintes digitales.
Toutefois, cette m´ethode, comme le montre la figure5.17, souffre d’un probl`eme de perte de coh´erence avec l’information contenue dans l’image originale.
Figure 5.17 – De gauche `a droite : image originale (empreintes digitales), flux de d´etection des contours tel que σ = 1,5 pixel et flux de coh´erence tel que σ = 1,5 pixel et ρ= 4 pixels.
Le flux de d´etection de contours n’est pas tr`es robuste : en utilisant le flux de d´etection des contours comme terme de la la fonction de poids w (´equation 5.18) nous obtenons un r´esultat m´ediocre. Nous allons voir dans la suite une m´ethode permettant d’am´eliorer le r´esultat.
Rappelons tout d’abord la formule utilis´ee pour effectuer l’“inpainting” et qui est la mˆeme que dans la m´ethode de Telea :
Nous montrons dans ce qui suit la fonction de poids utilis´ee.
Fonction des poids
Consid´erons un pixel y non d´egrad´e (de valeur connue) se trouvant dans le voisinage d’un pixel x `a remplir. La fonction de poids propos´ee par l’auteur [Bor-nemann 2007] est :
avec µun coefficient qui contrˆole la force de diffusion. La valeur de chaque pixel de Ω sera modifi´ee `a partir des ´equations5.18 et5.19.
Flux de coh´erence
Il n’est pas conseill´e d’utiliser le flux de d´etection des contours avec la fonc-tion des poids `a cause des d´efauts dont souffre cette m´ethode. Une fa¸con plus ro-buste permettant de d´eterminer la direction de coh´erence est l’approche propos´ee dans [Weickert 1998,Weickert 2003] qui consiste `a utiliser un tenseur de structure (voir diffusion anisotropique dans le chapitre2) qui permet d’obtenir, en plus de la direction, une mesure de la force de coh´erence qui va nous permettre d’adapter le param`etre µ aux caract´eristiques locales de l’image.
Le tenseur de structure Jρ d’une image I est la matrice 2×2 sym´etrique semi d´efinie positive tel que :
Jρ(∇Iσ) =Kρ∗(∇Iσ⊗ ∇Iσ) (5.20) avec Kρ un noyau gaussien. Les valeurs propres du tenseur 0 ≤ λ1(x) ≤ λ2(x) correspondent aux vecteurs propres w1 etw2.
La direction de coh´erence est donc le vecteur propre correspondant `a la plus petite valeur propre :
c=w1 (5.21)
Cette direction est une version lisse des directions des isophotes ∇⊥Iσ. Nous appelons le flux correspondant “flux de coh´erence” (coherence flow).
La figure 5.17 montre le r´esultat du flux de coh´erence calcul´e sur l’image d’empreintes digitales. Nous constatons une grande diff´erence par rapport au r´esultat obtenu par le flux de d´etection des contours.
La mesure de la force de coh´erence µ se calcule selon l’´equation 5.23 propos´ee par [Weickert 1998]. Le param`etre κ est un coefficient qui permet de contrˆoler la nettet´e, δquant est la r´esolution de la quantification qui correspond `a la diff´erence entre deux niveaux de gris successifs et qui, dans notre cas, est choisie ´egale `a 1.
Une grande valeur de µ permet la diffusion d’une petite quantit´e d’information alors qu’une petite valeur permet la diffusion d’une grande quantit´e d’information.
Effets de bord et flux de coh´erence modifi´e
Le probl`eme avec le lissage par les gaussiennes Kσ et Kρ est qu’il atteint les zones `a remplir, alors que nous devons utiliser seulement les pixels `a l’ext´erieur de Ω pour effectuer l’“inpainting”. Une solution simple consiste `a compl´eter l’image par des z´eros dans les endroits `a remplir. Nous obtenons alors le tenseur suivant :
Jρ(∇(1Ω(x)I)σ)(x) (5.24)
avec 1Ω(x) la fonction indicatrice de Ω(x) qui prend la valeur 1 dans le domaine Ω et 0 sinon. Le probl`eme, l`a encore, est que cela va aligner le flux de coh´erence aux bords ∂Ω en les consid´erant comme des contours comme le montre la deuxi`eme image de la figure5.18. Nous allons donc retrouver le probl`eme de diffusion suivant la normale aux bords comme avec l’algorithme de Telea.
Figure 5.18 – Image originale avec la zone `a remplir en vert, flux de coh´erence (fortes coh´erences sont affich´ees en marron et les faibles coh´erences en bleu) et flux de coh´erence modifi´e
L’auteur [Bornemann 2007] trouve exp´erimentalement que, en remettant `a l’´echelle la version lisse de 1Ω(x)I (voir ´equation 5.26) avant le calcul des gradients nous arrivons `a surmonter ce probl`eme. Nous utilisons donc le tenseur de structure modifi´e suivant : La derni`ere image de la figure 5.18 montre le flux de coh´erence obtenu avec cette m´ethode. Nous constatons une nette am´elioration sur les bords par rapport au structure de tenseur initial.
Implantation
La partie de l’algorithme qui consomme le plus de temps de traitement est le cal-cul du tenseur de structure. Pour surmonter ce probl`eme l’auteur [Bornemann 2007]
propose une Implantation qui permet de mettre `a jour le tenseur pour un pixel qui vient d’ˆetre rempli.
Nous commen¸cons par mettre `a jour νσ. Soit x un pixel qui vient juste d’ˆetre rempli et y le prochain pixel `a remplir d´etermin´e par l’algorithme FMM de la
mˆeme fa¸con que dans la section pr´ec´edente : nous commen¸cons par remplir les pixels les plus proches du bord. Notons ˆνσ etχσ, respectivement les num´erateur et d´enominateur de νσ. Les formules de mise `a jour permettant de calculer ces deux termes sont les suivantes :
ˆ
νσ(y) = ˆνσ(y) +Kσ(x−y)I(x) (5.27) et
χσ(y) =χσ(y) +Kσ(x−y) (5.28) avec y un pixel appartenant au voisinage quadratique de x.
De la mˆeme fa¸con, en notant ˆJρ etχρ, respectivement les num´erateur et d´ eno-minateur de J, nous obtenons les nouvelles valeurs du tenseur :
Jˆρ(y) = ˆJρ(y) +Kρ(x−y)(∇νσ⊗ ∇νσ) (5.29) et
χρ(y) =χσ(y) +Kρ(x−y) (5.30) Images couleurs
L’algorithme d´ecrit ci-dessus est applicable aux images en niveau de gris. Une mani`ere simple pour traiter les images couleurs est d’appliquer l’algorithme sur chaque canal s´epar´ement. Cependant nous allons avoir un probl`eme de contours qui se forment `a des endroits diff´erents sur chaque canal. Une fa¸con de surmonter ce probl`eme est d’utiliser un tenseur commun aux trois couleurs calcul´e comme une combinaison des tenseurs de chaque canal R, G et B :
Jˆρ= 0,2999 ˆJρ|R+ 0,587 ˆJρ|G+ 0,114 ˆJρ|B (5.31)
La figure 5.19 montre le r´esultat d’“inpainting” sur une image pr´ec´edemment pr´esent´ee. Nous observons que, par rapport `a la m´ethode de Telea5.15, nous arrivons
`
a mieux reconstruire les marquages et les diff´erentes structures de la route.
Dans la suite nous allons voir comment nous choisissons les param`etres de la m´ethode.
Choix des param`etres
Nous rappelons les 4 param`etres de l’algorithme :
– εla taille du voisinage consid´er´e (rayon du cercleBε) du pixel `a remplir.
– κle param`etre de nettet´e qui permet de contrˆoler la quantit´e d’information `a diffuser. Pour utiliser des grandes valeurs deκ nous devons utiliser un grand rayonε.
– σ et ρ les ´ecarts types des gaussiennes qui correspondent `a l’´echelle o`u les d´etails seront n´eglig´es pour le calcul de la direction du flux.
Figure 5.19 – Image originale avec les zones `a remplir en blanc et le r´esultat d’“inpainting”. Par rapport `a la m´ethode de Telea, nous obtenons une meilleure reconstruction des diff´erentes structures de l’image
Dans notre cas nous avons ajout´e un nouveau param`etre qui est la tailleTg des gaussiennes : au lieu d’utiliser une taille de 4∗σ ou 4∗ρ nous choisissons une taille diff´erente. Nous pouvons aussi ne pas effectuer de lissage en choisissantTg= 0.
Le choix des param`etres va d´ependre du r´esultat final souhait´e, du type de voisinage de la r´egion `a remplir (texture, structure ou uniforme), de la taille et de la forme du masque.
Plus les tailles des gaussiennes sont grandes, plus nous pouvons r´ecup´erer des informations loin du pixel `a remplir.
La forme du masque joue aussi un rˆole important dans le choix de la taille en fonction du r´esultat souhait´ee (forme des structures `a reconstruire).
Lorsque nous connaissons d´ej`a la forme que doit avoir les structures dans l’image, nous faisons varier la taille du lissage de fa¸con `a avoir la direction et la quantit´e d’information diffus´ee permettant d’obtenir l’image d´esir´ee.
En annexeA.1, nous illustrons ceci par des exemples qui montrent l’impact des diff´erents param`etres sur le r´esultat.
Notons que l’auteur [Bornemann 2007] a pr´ecis´e que pour certaines images il a
´
et´e oblig´e d’intervenir manuellement pour obtenir un r´esultat satisfaisant.
Comme, dans notre cas, nous n’avons aucun a priori sur les formes `a reconstruire, nous avons appliqu´e l’algorithme du recuit simul´e sur une base d’images de routes afin de trouver les param`etres optimaux.