Ajustement gaussien des raies

6.4.1 Obtention de la largeur des raies

La largeur des raies (entre autres) est fournie par un ajustement `a l’aide d’une gaussienne `a laquelle on ajoute un polynˆome du second degr´e (termes constant, lin´eaire, et quadratique). Il s’agit d’un ajustement par minimisation des moindres carr´es11, `a l’aide de la proc´edure CUR-VEFIT dans IDL. C’est le spectre en nombre de coups par pixels qui est utilis´e, pour ´eviter une recalibration en coups · ˚A<sup>−1</sup>, `a la fois du spectre et de son erreur statistique. La valeur en Angstroems est obtenue en multipliant le r´esultat en pixel par la dispersion angulaire connue du spectrom`etre (fonction FT Calambda de Solar Software ; cette dispersion d´epend de la longueur d’onde)¹².

11

Least square fit, en anglais. 12

Selon les dates d’observations, cette dispersion varie, mais de quelques pixels pour les 1024 que compte le d´etecteur sur l’axe XD, ce qui est n´egligeable `a l’´echelle d’une seule raie, et surtout devant l’incertitude due `a la discr´etisation sur les pixels du d´etecteur.

6.4. Ajustement gaussien des raies 145

6.4.2 Barres d’erreur

La proc´edure d’ajustement fournit aussi des barres d’erreur sur les param`etres ajust´es (`a 1 sigma, ou dit autrement, l’´ecart-type de la distribution de solutions obtenue en faisant varier les valeurs des points du profil en fonction de leur barre d’erreur (elle aussi `a 1 sigma)). L’incertitude sur la largeur peut descendre `a une fraction de pixel, du fait de la mod´elisation par une fonction (en l’occurrence, gaussienne ; cf. Wilhelm et al. (1995)).

Pour ´evaluer la confiance que l’on peut avoir dans cet ajustement, j’ai r´ealis´e des simulations de raies ”bruit´ees” : `a partir d’une raie de param`etres d´etermin´es (amplitude, centre, largeur, constante. . . ), on g´en`ere un ensemble de raies dont chaque point se voit ajout´e (en valeur re-lative) un bruit gaussien (d’´ecart-type ´egal `a l’erreur sur le nombre de coups, typiquement sa racine carr´ee). On compare ensuite l’erreur moyenne fournie par la proc´edure d’ajustement avec la moyenne des erreurs r´eellement commise par la proc´edure (puisqu’on connaˆıt la solution cor-recte). De fa¸con g´en´erale, les deux erreurs co¨ıncident.

Quelques points importants mis en ´evidence par cette ´etude m´eritent d’ˆetre not´es (mˆeme si certains sont assez triviaux) :

– Si la raie est ´echantillonn´ee sur un plus grand nombre de points (e.g. largeur plus grande `a nombre de points constants), alors l’erreur absolue sur le centre de la raie augmente (mais pas celles sur l’amplitude ou la largeur ; Fig. 6.8).

– Lorsque le nombre de coups dans la raie augmente, le rapport signal-sur-bruit augmente, l’erreur diminue donc sur chacun des param`etres (Fig. 6.9).

– L’ajout d’une constante dans le spectre diminue ce mˆeme rapport signal-sur-bruit ; l’erreur fournie reste encore identique `a l’erreur moyenne constat´ee (Fig. 6.10).

– En revanche, si l’erreur sur chaque point du spectre est surestim´ee par rapport `a l’erreur r´eelle (en donnant `a la proc´edure d’ajustement des barres d’erreurs sup´erieures au bruit effectivement rajout´e), alors la proc´edure d’ajustement renvoie une erreur surestim´ee par rapport `a l’erreur r´eellement commise (Fig. 6.11). Ce r´esultat parfaitement logique met en lumi`ere le probl`eme que pose une ´eventuelle surestimation de l’erreur commise lors de la correction de lumi`ere diffus´ee.

Par souci de ”s´ecurit´e”, j’ai n´eanmoins pr´ef´er´e majorer l’erreur sur la largeur par 0.1 pixel. Il m’a par ailleurs paru pr´ef´erable de ne garder que les r´esultats de raies ayant au minimum 100 coups, voire plus, `a l’amplitude maximale de la raie.

6.4.3 Ajustements multi-gaussiens

J’ai essay´e de r´ealiser des ajustements multi-gaussiens dans le cas de raies tr`es proches l’une de l’autre. Les proc´edures classiques de minimisation de moindres carr´es ne convergent alors plus vraiment. Je me suis donc tourn´e vers un algorithme g´en´etique<sup>13</sup>du nom de PIKAIA, d´evelopp´e par P. Charbonneau14, et en particulier la version IDL de S. McIntosh15. Les r´esultats sont apparus tr`es in´egaux, et n’ont pas donn´es en d´efinitive de meilleurs r´esultats que les ajustements `

a une seule gaussienne (les algorithmes g´en´etiques demandent par ailleurs de long temps de calculs ; la plupart du temps, il est n´ecessaire d’injecter le r´esultat fourni dans une proc´edure classique de minimisation des moindres carr´es, de fa¸con `a obtenir une meilleure convergence. Le principal int´erˆet de l’algorithme g´en´etique est d’´eviter de converger vers une ”fausse” solution avec la minimisation des moindres carr´es, du fait de la pr´esence de maximum locaux. Pour plus

13

utilis´e, par exemple, dans Doyle et al. (1999); Peter and Vocks (2003). 14

http://www.hao.ucar.edu/Public/models/pikaia/pikaia.html 15

146 Chapitre 6. Mesurer la largeur des raies coronales

Fig. 6.8: Simulation de raies bruit´ees pour diff´erentes largeurs de la raie (ce qui a pour effet de modifier le nombre de point sur lequel elle est ´echantillonn´ee). En pointill´e rouge, l’er-reur moyenne r´eellement commise par la proc´edure d’ajustement ; en pointill´e noir, l’erl’er-reur (moyenne) fournie par la proc´edure. Raies d’amplitude maximale ´egale `a 1000 coups.

6.4. Ajustement gaussien des raies 147

Fig. 6.9: Simulation de raies bruit´ees pour diff´erentes valeurs de l’amplitude maximale : l’erreur commise sur les diff´erents param`etres d’ajustement diminue ´evidemment lorsque le rapport-signal-sur-bruit augmente (en pointill´e rouge, l’erreur moyenne r´eellement commise par la proc´edure d’ajustement ; en pointill´e noir, l’erreur (moyenne) fournie par la proc´edure. Raies de largeur gaussienne ´egale `a 3 points d’´echantillonnage).

148 Chapitre 6. Mesurer la largeur des raies coronales

Fig. 6.10: Simulation de raies bruit´ees pour diff´erentes valeurs de la constante ajout´ee `a la raie gaussienne. La valeur croissante de la constante diminue le rapport rapport-signal-sur-bruit, ce qui augmente les barres d’erreur sur les param`etres (raies d’amplitude ´egale `a 100 coups, et de largeur gaussienne ´egale `a 3 points d’´echantillonnage. En pointill´e rouge, l’erreur moyenne r´eellement commise par la proc´edure d’ajustement ; en pointill´e noir, l’er-reur (moyenne) fournie par la proc´edure).

6.4. Ajustement gaussien des raies 149

Fig. 6.11: Simulation de raies bruit´ees pour diff´erentes valeurs des barres d’erreur donn´ee `

a la proc´edure d’ajustement en chacun des points de la raie. Celles-ci sont surestim´ees d’un certain facteur par rapport au bruit gaussien effectivement ajout´e. En retour, la proc´edure surestime les barres d’erreur sur les param`etres d’ajustement, alors qu’elle ne commet pas r´eellement ces erreurs (raies d’amplitude ´egale `a 100 coups, et de largeur gaussienne ´egale `

a 3 points d’´echantillonnage, avec une constante ´egale `a 20 coups. En pointill´e rouge, l’er-reur moyenne r´eellement commise par la proc´edure d’ajustement ; en pointill´e noir, l’erl’er-reur (moyenne) fournie par la proc´edure).

150 Chapitre 6. Mesurer la largeur des raies coronales de d´etails, se r´ef´erer `a la documentation cit´ee).