L’ajustement des mod`eles

Dans la section pr´ec´edente, nous avons vu comment sont ´elabor´es les mod`eles de bruit de fond. Ces mod`eles pris tels quels ont une pr´ecision typique de l’ordre du %. Dans le cas d’objets peu lumineux, le mod`ele de bruit de fond n’est pas assez pr´ecis pour permettre l’extraction fiable d’un signal source. Nous nous trouvons, pour l’´etude des raies gamma nucl´eaires, dans ce dernier cas. Il nous faut donc affiner notre mod`ele de bruit de fond pour mettre en ´evidence une contribution c´eleste qui est pour l’instant noy´ee dans les variations du niveau de bruit de fond. Pour ce faire, le bruit de fond est ajust´e aux donn´ees en mˆeme temps que le signal source est recherch´e.

Comme nous l’avons d´ej`a vu, le signal source peut soit ˆetre reconstruit sans au- cune information pr´ealable sur la position et la morphologie de la source `a partir des ´ev´enements exc´edentaires (par rapport au bruit) distribu´es dans le plan de d´etection, soit ajust´e pour un mod`ele spatial donn´e de la distribution d’intensit´e. Nous pri- vil´egierons par la suite l’ajustement de mod`ele car il offre une meilleure maˆıtrise du r´esultat :

– Les algorithmes de reconstruction d’image comme le Maximum d’Entropie, Richardson-Lucy,...etc sont des processus non-lin´eaires qui ne fournissent pas directement les incertitudes associ´ees `a chaque pixel de l’image reconstruite. Ces derni`eres doivent ˆetre d´etermin´ees a posteriori par Bootstrap par exemple. Pour l’ajustement de mod`eles, l’incertitude est obtenue directement (nous y reviendrons plus tard).

– Les algorithmes de reconstruction d’image g´en`erent fr´equemment des artefacts qui sont dus aux fluctuations statistiques dans les donn´ees, combin´ees `a une exposition in´egale. L’avantage de l’ajustement de mod`ele ici est que nous pou- vons d`es le d´epart imposer une distribution d’intensit´e r´ealiste et compatible avec les performances de l’instrument.

Pour chaque pointage de l’OG pr´ealablement constitu´e le mod`ele c´eleste adopt´e, dont le flux a ´et´e initialis´e `a une valeur quelconque mais vraisemblable, est convolu´e avec la fonction de r´eponse instrumentale, qui a ´et´e d´etermin´ee par simulations Monte-Carlo `a partir d’un mod`ele 3D de l’instrument [Sturner et al., 2003]. Cela signifie que l’on d´etermine pour chaque pointage le flux re¸cu par les diff´erents d´etecteurs et pseudo- d´etecteurs en prenant en compte la position de la source dans le champ de vue, le filtrage par le masque, l’efficacit´e de d´etection et la r´eponse spectrale des d´etecteurs. Le r´esultat de cette convolution est une structure tridimensionnelle de mˆeme format que les donn´ees ou le mod`ele de bruit de fond ; pour chaque triplet pointage, d´etecteur et bin en ´energie, le nombre moyen d’´ev´enements c´elestes attendus pour le mod`ele

3.3. La production des r´esultats

choisi est d´efini et ce nombre d’´ev´enements est directement proportionnel au flux dans le mod`ele.

Nous disposons `a pr´esent d’un mod`ele de bruit de fond, comportant ´eventuellement plusieurs composantes, que nous savons ne pas ˆetre suffisamment pr´ecis pour les faibles flux que nous recherchons, et d’un mod`ele c´eleste, pouvant ´egalement inclure plusieurs composantes dont nous souhaitons obtenir les flux respectifs. Nous allons affiner notre repr´esentation du bruit de fond et d´eterminer les flux c´elestes en ajus- tant simultan´ement mod`ele de bruit de fond et mod`ele c´eleste aux observations. En pratique, chaque composante est contrˆol´e par un jeu de param`etres selon les exigences du mod`ele de bruit de fond et le r´esultat recherch´e :

– Pour les mod`eles c´elestes, l’ajustement est r´ealis´e ind´ependamment pour chaque bin en ´energie si l’on souhaite produire le spectre de la source, et pour plusieurs intervalles temporels si l’on d´esire obtenir une courbe de lumi`ere.

– Pour les mod`eles de bruit de fond, la situation est un peu plus complexe car elle d´epend de la qualit´e initiale du mod`ele. Si la variabilit´e temporelle, spectrale et spatiale du bruit de fond est correctement repr´esent´ee, un seul param`etre pour l’ensemble du cube peut ˆetre n´ecessaire pour ajuster le niveau global du bruit. Si la variabilit´e spectrale n’est pas bien prise en compte, il faut affecter un param`etre `a chaque bin en ´energie. Si c’est la variabilit´e spatiale qui n’est pas restitu´ee de mani`ere satisfaisante, il faut ajouter un param`etre par d´etecteur ou pseudo-d´etecteur. Le point le plus critique, comme nous l’avons vu, est la variabilit´e temporelle. Il est rare que nous parvenions `a mod´eliser les variations du bruit de fond sur de longues dur´ees, et nous devons alors ajuster le mod`ele de bruit de fond sur des intervalles de temps r´eduits.

Le choix du jeu de param`etres r´esulte d’un compromis entre sensibilit´e et erreurs syst´ematiques : un grand nombre de param`etres d’ajustement permet a priori une mod´elisation plus fine du bruit de fond, mais cela se fait au d´etriment de la sensi- bilit´e. Inversement, un petit nombre de param`etres procure une meilleure sensibilit´e mais risque d’introduire des erreurs syst´ematiques dans le r´esultat, `a cause d’une mod´elisation imparfaite du bruit de fond.

Il est n´ecessaire d’ajuster le mod`ele de bruit de fond sur au moins trois p´eriodes temporelles d´elimit´ees par les dates auxquelles les d´etecteurs 2 et 17 ont cess´e de fonctionner. En effet, la perte des deux d´etecteurs a entraˆın´e une modification de la structure du bruit de fond dans les d´etecteurs adjacents, et la normalisation d’un tra- ceur donn´e pour ces d´etecteurs n’est donc pas la mˆeme avant et apr`es l’incident. Dans les cas les plus difficiles, un ajustement du bruit de fond `a chaque orbite (environ 3 jours) est requis ; en de¸c`a de l’orbite, la variabilit´e temporelle est correctement res- titu´ee par le GEDSAT. Si le mod`ele de bruit de fond est suffisamment bon pour ˆetre ajust´e sur de grandes p´eriodes temporelles, il est souvent avantageux d’inclure dans l’OG des pointages OFF, c’est `a dire des pointages vers des champs vides ne conte-

Type d’ajustement Nombre de param`etres Incertitude (ph cm−2s−1keV−1)

fixe 0 7.3 × 10−7

global 1 8.1 × 10−7

par p´eriode gedfail 3 8.4 × 10−7

par d´etecteur 19 8.1 × 10−7

par d´etecteur+gedfail 57 8.4 × 10−7

par r´evolution 245 1.1 × 10−6

par pointage 8328 1.2 × 10−6

Tab. 3.1 – Evolution de l’incertitude sur le flux d’une source ponctuelle dans la bande d’´energie 1150-1165 keV en fonction du jeu de param`etres d’ajustement du mod`ele de bruit de fond ; le terme ”gedfail” d´esigne les trois p´eriodes temporelles d´elimit´ees par la mort des d´etecteurs 2 et 17.

nant donc que du bruit de fond4_{. Ces derniers permettent ainsi de mieux contraindre} le niveau du bruit de fond lors de l’ajustement.

Toutefois, l’impact du jeu de param`etres d’ajustement sur la sensibilit´e de l’ins- trument n’est pas colossal. Le tableau 3.1 montre l’´evolution de l’incertitude sur le flux d’un mod`ele c´eleste pour diff´erents ajustements (l’analyse est bas´ee sur un OG comprenant 6.6 Ms d’observations ON et 12.5 Ms d’observations OFF). On constate que la perte de sensibilit´e est au maximum d’un facteur 2 (entre un mod`ele de bruit de fond fig´e et un ajustement `a chaque pointage) pour l’analyse pr´esent´ee, qui est celle d’une source ponctuelle ; pour une source ´etendue, cependant, l’impact du jeu de param`etres est plus important et la perte de sensibilit´e peut ˆetre de l’ordre de 3-4. Dans certains cas, il est donc a priori inutile de s’escrimer `a r´eduire le plus possible le jeu de param`etres d’ajustement car l’am´elioration correspondante des r´esultats sera tout a fait modeste. La chasse aux erreurs syst´ematiques est en revanche beaucoup plus importante, nous en parlerons amplement plus tard.

L’ajustement des mod`eles aux donn´ees se fait selon un crit`ere de Maximum de Vraisemblance (M L) pour une statistique de Poisson (´equation 3.6). Techniquement, l’ajustement est r´ealis´e par un algorithme de Levenberg-Marquardt qui minimise

4_{L’essentiel de l’´emission de raies gamma ´etant d’origine galactique, les pointages OFF sont des}

3.3. La production des r´esultats l’anti-log-Vraisemblance S (´equation 3.7)5_. M L = " p,d,e # µnp,d,e p,d,e np,d,e! e−µp,d,e $ (3.6) S =−2 ln(ML) = 2% p,d,e

(µp,d,e− np,d,eln(µp,d,e)) (3.7)

Dans les deux ´equations ci-dessus, np,d,eet µp,d,erepr´esentent respectivement le nombre

de coups observ´es et le mod`ele complet pour le pointage p, le d´etecteur d et l’´energie

e. L’expression de µp,d,e est d´etaill´e ci-dessous. Il s’agit de la somme des NB compo-

santes du mod`ele de bruit de fond et des NS composantes du mod`ele c´eleste, dont

l’ajustement est r´ealis´e via les param`etres aB

jB(p,d,e)et a

S

kS(p,d,e). Les fonctions jB(p, d, e)

et kS(p, d, e) sont des fonctions par morceaux `a valeurs enti`eres qui d´efinissent le jeu

de param`etres associ´e `a chaque composante B ou S du mod`ele de bruit de fond ou du mod`ele c´eleste. En clair, les fonctions jB(p, d, e) et kS(p, d, e) d´eterminent quel

param`etre contrˆole quel volume de l’espace des donn´ees dans les diff´erentes compo- santes des mod`eles.

µp,d,e = NB % B=1 & aB_jB(p,d,e)BGM_p,d,eB ' ( )* + bp,d,e + NS % S=1 &

aS_kS(p,d,e)SKY_p,d,eS '

( )* +

sp,d,e

(3.8)

Une fois l’ajustement r´ealis´e, les incertitudes sur chaque param`etre sont calcul´ees. Etant donn´e la faible significativit´e des r´esultats en astronomie gamma nucl´eaire (de l’ordre de quelques σ), l’´evaluation des incertitudes est tr`es importante et je vais donc d´etailler leur calcul. De mani`ere g´en´erale, soit S le crit`ere statistique et α le vecteur des param`etres du mod`ele `a ajuster. Proche du minimum obtenu pour tous les param`etres du mod`ele, le crit`ere S peut ˆetre exprim´e par l’approximation quadratique suivante : S(αmin+ dα) = S(αmin) + dαT.G + 1 2dα T_{.H.dα (3.9)} = S(αmin) + 1 2dα T_.H.dα avec G = , ∂S ∂αi -

le vecteur gradient nul en αmin et H =

,

∂2_S

∂αi∂αj

-

la matrice Hessienne en αmin

5_{A noter que dans l’expression de S, le terme en np,d,e! a ´et´e omis car il n’intervient pas dans}

D’un point de vue statistique, la quantit´e S(α)_{− S(α}min) suit une loi du χ2 `a p degr´es de libert´e lorsque p des param`etres sont fix´es `a leurs valeurs vraies dans la minimisation de S(α). Cela signifie donc que, pour un seul param`etre, il y a une probabilit´e d’environ 68% que l’´ecart entre la valeur vraie et la valeur optimis´ee de ce param`etre conduise `a un ´ecart inf´erieur ou ´egal `a 1 entre S(α) et S(αmin). Le calcul de l’incertitude `a 1σ sur chaque param`etre pris individuellement consiste donc `a d´eterminer pour chaque αi la quantit´e dαi telle que la variation engendr´ee sur le

crit`ere S soit de 1. Lorsqu’il n’existe aucune corr´elation entre les param`etres, les d´eriv´ees crois´ees sont nulles et H est diagonale. La variance sur chaque param`etre est alors l’inverse de l’´el´ement diagonal correspondant. Dans le cas g´en´eral o`u il existe une corr´elation entre les param`etres, la Hessienne doit ˆetre diagonalis´ee, ce qui revient `a effectuer un changement de base dans l’espace des param`etres pour se ramener au cas pr´ec´edent [Strong, 1985]. Toutefois, lorsque le mod`ele est lin´eaire en ses param`etres, on peut montrer que la variance sur chaque param`etre est donn´ee par les ´el´ements diagonaux de l’inverse de H6<sub>. Nous nous trouvons pr´ecis´ement dans ce cas l`a. Bien</sub> que le crit`ere statistique `a minimiser soit non-lin´eaire, le mod`ele est de type lin´eaire : il s’agit d’une somme pond´er´ee d’espaces tridimensionnels.

Pour chaque ajustement, une quantit´e not´ee MLR, pour Maximum Likelihood Ratio, est calcul´ee. C’est une grandeur que nous utiliserons r´eguli`erement par la suite et je vais donc l’expliciter, `a commencer par son expression :

M LR =_{−2 ln} # . p,d,e(b np,d,e p,d,e e−bp,d,e) . p,d,e(µ np,d,e p,d,e e−µp,d,e) $ (3.10) Les termes µp,d,e et bp,d,e sont d´efinis en 3.8. Le num´erateur du M LR correspond `a

la vraisemblance du seul mod`ele de bruit de fond ajust´e aux donn´ees, tandis que le d´enominateur donne la vraisemblance obtenue lorsque les deux mod`eles, bruit de fond et ciel, sont simultan´ement ajust´es aux donn´ees.

Le MLR est utilis´e pour le test d’hypoth`eses. Formellement, pour un probl`eme quelconque d’ajustement d’un mod`ele `a des donn´ees exp´erimentales, le ratio entre la vraisemblance obtenue si m des param`etres du mod`ele sont fix´es `a leurs valeurs vraies, et la vraisemblance obtenue si ces m param`etres sont ajust´es librement suit une loi du χ2 <sub>`a m degr´es de libert´e. L’´ecart entre les m valeurs ajust´ees et leurs</sub> valeurs vraies est introduit par les fluctuations statistiques inh´erentes aux donn´ees [Cash, 1976, Lampton et al., 1976, Cash, 1979]. Tel que formul´e en 3.10, le MLR sert `a tester l’hypoth`ese que le flux du mod`ele c´eleste est nul, et que les valeurs

aS

kS(p,d,e)obtenues r´esultent des fluctuations statistiques dans les donn´ees. Consid´erons

le cas d’un mod`ele c´eleste `a une seule composante dont nous recherchons le flux stationnaire dans un seul bin en ´energie. Ce mod`ele ne comporte qu’un seul param`etre

6_{A noter que H est forc´ement inversible car elle est d´efinie positive en vertu de l’approximation}

3.3. La production des r´esultats

d’ajustement. Si le flux vrai du mod`ele c´eleste utilis´e est nul, le MLR devrait suivre une loi du χ2 <sub>`a 1 degr´e de libert´e. Autrement dit, si le MLR obtenu est sup´erieur ou</sub> ´egal `a 1 la probabilit´e que le flux ajust´e soit un effet purement statistique est d’environ 32%. Si le MLR <sub>≥ 4, cette probabilit´e tombe `a 5% et si le MLR ≥ 9 elle descend en</sub> dessous de 1%. En conclusion, plus la valeur du MLR est ´elev´ee, plus la r´ealit´e du flux ajust´e est accrue. Le MLR toutefois ne suffit pas pour juger de la pertinence des r´esultats et doit ˆetre accompagn´e d’une ´evaluation des erreurs syst´ematiques.