Ajustement d’une fonction gaussienne avec une traîne

Dans le cadre de nos travaux, la fonction d’ajustement ainsi que l’interface graphique ont été développées par J. Giovinazzo à partir de la librairie ROOT du CERN. Pour définir l’ensemble des paramètres et composantes d’une fonction d’ajustement, il est nécessaire de comprendre les phénomènes que l’on observe dans le spectre en énergie. Ceux-ci sont de deux types : les effets provenant de l’instrumentation et de l’environnement et ceux qui sont dus à l’interaction photon-électron.

Les premiers effets se décomposent en trois catégories :

— Les “vrais” signaux : les événements qui proviennent de la détection des photons émis par des noyaux qui ont été produits pour notre expérience.

— Le bruit de fond : il s’agit de la détection de photons provenant de l’environnement. — Les bruits électroniques : ce sont souvent des fluctuations dues aux effets stochastiques

du courant dans le détecteur. Ces fluctuations sont en partie responsables de la forme gaussienne des photopics.

De plus, dans la section 2.1.1, nous avons déjà énuméré les trois types d’interactions photon-électons. Celles-ci ont des conséquences sur la forme du spectre en énergie pour une énergie de photon (fig. 3.5).

Ainsi, en général, trois zones sont dissociables :

— Zone 1 : Le plateau Compton est la résultante de la diffusion par effet Compton d’un photon avec un électron du détecteur. La section efficace de cette interaction est décrite par la formule de Klein-Nishina qui donne une probabilité d’interaction plus grande à 0 et 180o par rapport aux angles intermédiaire pour les photons de basse énergie (inférieure à la centaine de keV) et seulement plus probable aux faibles angles pour les hautes énergies (supérieures à 1 MeV).

— Zone 2 : Les multi-Comptons sont des événements provenant de plusieurs diffusions Compton qui entraînent de nombreuses pertes d’énergie sans effet photoélectrique à la fin.

— Zone 3 : Le pic photoélectrique provient du dépôt total de l’énergie du photon dans le détecteur. L’effet photoélectrique est plus probable à basse énergie. A haute énergie, les photons doivent subir une ou plusieurs diffusions Compton donnant des photons de plus basse énergie favorisant ensuite l’effet photoélectrique.

Figure 3.5 – Illustration d’un spectre de photons pour une énergie E0 inférieure à 1022 keV (la création de paire est négligée). Trois parties sont distinguées : le plateau Compton (zone 1), les multi-Comptons (zone 2) et le pic d’absorption totale (zone 3).

le pic photoélectrique. Cependant, les autres composantes ne peuvent pas être éliminées lors de l’acquisition. Aussi bien que, pour chaque pic, les zones 1 et 2 sont également présentes et se somment au reste. Autour et en dessous de chaque pic, une composante de “bruit de fond” est présente qu’il est nécessaire de prendre en compte lors de l’ajustement par une fonction. De plus, la présence des multi-Comptons avant et leur absence après le pic obligent également à ajouter une fonction en forme de marche en dessous de chaque pic qui dépend de la largeur de celui-ci. Afin de ne pas considérer ces processus dans les intégrales nécessaires à nos études, nous définissons une fonction de bruit fB(E) (bleu, fig. 3.6) qui comprend la somme des fonctions marche fn S(E)de chaque pic n (éq. 3.3) et la fonction de tendance ftr(E).

f_B(E) = N X n=1 f_{n S}(E) + f_tr(E) (3.2) f_{n S}(E) = ^hS 2^tanh E − µn 2σ_n  (3.3) où N est le nombre de pics, hS est la hauteur de la marche, σn est l’écart-type de la fonction gaussienne du pic n et µn est la position centrale de celui-ci.

Pour la tendance du spectre, l’ajustement pour une gamme en énergie très petite (plus ou moins 50 keV autour du pic ) est basé sur une fonction de tendance ftr(E)(vert, fig.3.6) exprimée par une fonction affine (éq. 3.4).

f_tr(E) = p₀+ p₁E (3.4)

où p0 et p1sont deux variables d’ajustement. Ainsi, en général, la fonction totale ftot(E)(éq. 3.5) s’exprime comme la somme de la fonction de bruit de fond fB(E)et la somme des fonctions des N pics fn P(E). ftot(E) = N X n=1 f_{n P}(E) + f_B(E) (3.5)

Dans le cadre des empilements, les pics issus de ces événements ne suivent pas une distribution gaussienne mais plutôt une distribution gaussienne avec une traîne. La fonction du pic n, notée f_{n P}(E) (éq. 3.6), est alors la somme pondérée d’une fonction gaussienne fn G(E) et d’une

3.1. ETUDE DE L’EMPILEMENT : SIMULATIONS 43 fonction avec traîne fn T(E). Le facteur de pondération est alors le terme rn compris entre 0 et 1. La fonction gaussienne fn G(E) (traits pointillés jaune, fig. 3.6) suit alors l’équation 3.7.

fn P(E) = (1 − rn)fn G(E) + rnfn T(E) (3.6) f_{n G}(E) = A_ne

− (E − µ_n)² 2σ2

n (3.7)

où Anest l’amplitude, µn est la position centrale et σnest l’écart-type de la fonction gaussienne du pic n. J. Giovinazzo a défini la fonction avec traîne pour exprimer les collections de charges incomplètes ou les empilements de signaux. La probabilité que ces événements aient lieu suit une loi de Poisson proche d’une fonction exponentielle. Ainsi, la somme des fonctions gaussiennes ré-sultant de cette probabilité se traduit, mathématiquement, comme la convolution d’une fonction gaussienne et d’une fonction exponentielle (éq. 3.8). La solution de cette convolution fn T(E) (traits pointillés orange, fig. 3.6) suit alors l’équation 3.9.

f_{n T}(E) = A_ne − (E − µ_n)2 2σ2 n ⊗ e − E tnσn (3.8) fn T(E) = An √ π √ 2  1 + ^tn |t_n|^erf (E − µ_n) √ 2σn −√¹ 2tn  × e  1 2t2 n −(E − µ_n) t_nσ_n  (3.9) où An, µnet σnsont les mêmes paramètres que ceux utilisés pour la fonction gaussienne fn G(E). t_nest le paramètre de traîne du pic n. La fonction totale ftot(E)(noir, fig.3.6) est alors la somme de toutes ces composantes.

Figure 3.6 – Représentation de la fonction d’ajustement avec des paramètres arbitraires pour une énergie de 1022 keV.

Une fois que cette fonction est définie, elle permet d’estimer l’intégrale du pic à partir de la relation 3.10.

Nint= An

p 2σ2

nπ (3.10)

où Nint est l’intégrale, An est l’amplitude et σn est l’écart-type du pic n. Les intégrales auto-risent ensuite le calcul du rapport entre le pic d’empilement et le pic de 511 keV. Dans la section suivante, les constantes d’empilement 2τ seront étudiées en fonction du taux de photons de 511 keV pour les temps de mise en forme de 1 et 2 µs. Puis, ces constantes seront estimées expé-rimentalement à partir du 19N equi émet uniquement des photons de 511 keV par annihilation

électron-positron. Enfin, nous appliquerons ces observations aux données10Cafin de déterminer le rapport d’embranchement.