Actions symplectiques et actions hamiltoniennes

3. Actions symplectiques et actions hamiltoniennes

3.1. D´efinition. Une action Φ d’un groupe de Lie G sur une vari´et´e symplectique (M, Ω) est dit symplectique si pour tout g ∈ G, Φ_g : M → M est un symplectomorphisme.

3.2. Quelques cons´equences. Soit Φ une action symplectique d’un groupe de Lie G sur une vari´et´e symplectique (M, Ω).

1. Pour tout X ∈ G, le champ fondamental X_M est localement hamiltonien. R´ eciproque-ment d’ailleurs, si une action Φ d’un groupe de Lie connexe G sur une vari´et´e symplectique (M, Ω) est telle que tous les champs fondamentaux sont localement hamiltoniens, cette action est symplectique. Ces propri´et´es r´esultent de la proposition 5.2 du chapitre II, et du fait que tout ´el´ement d’un groupe de Lie connexe est le produit d’un nombre fini d’exponentielles.

2. Soient f et h deux fonctions, d´efinies sur un ouvert de M , invariantes par l’action Φ, c’est-`a-dire constantes sur chaque orbite de cette action. Leur crochet de Poisson {f, g} est aussi invariant par l’action Φ.

3. L’ensemble F des valeurs des champs fondamentaux est un champ de directions diff´erentiable et compl`etement int´egrable sur M . Ses vari´et´es int´egrales sont les com-posantes connexes des orbites de l’action Φ. Le champ de directions F est de rang constant si et seulement si toutes les orbites de l’action Φ sont de mˆeme dimension. Lorsque c’est le cas, l’orthogonal symplectique orth F de F est un sous-fibr´e compl`etement int´egrable de T M . Cela r´esulte en effet de la propri´et´e pr´ec´edente et de la proposition 3.8 du chapitre III. Si de plus l’action Φ est simple, c’est-`a-dire si l’ensemble P des orbites de cette action poss`ede une structure de vari´et´e telle que la projection canonique π : M → P soit une submersion, il existe sur P une structure de Poisson unique telle que π soit une application de Poisson (voir encore la proposition 3.8 du chapitre III).

4. La forme induite par Ω sur chaque orbite de l’action Φ est de rang constant.

3.3. D´efinition. Une action Φ d’un groupe de Lie G sur une vari´et´e symplectique (M, Ω) est dite hamiltonienne si elle est symplectique et si, pour tout X ∈ G, le champ fondamental correspondant XM est globalement hamiltonien.

3.4. Proposition. Soit Φ une action hamiltonienne du groupe de Lie G sur la vari´et´e symplectique (M, Ω).

1. Il existe une application lin´eaire X 7→ J_X de l’alg`ebre de Lie G de G dans l’espace C^∞(M, R) des fonctions diff´erentiables sur M , telle que pour tout X ∈ G, JX soit un hamiltonien pour le champ fondamental X_M. Une telle application est appel´ee hamiltonien g´en´eralis´e de l’action Φ.

2. Au hamiltonien g´en´eralis´e X 7→ J_X, on peut associer une application diff´erentiable J : M → G^∗, appel´ee moment de l’action Φ, d´efinie par JX = X ◦ J (en convenant de consid´erer X ∈ G comme une forme lin´eaire sur G^∗), c’est-`a-dire par

70 Ch. V. Action d’un groupe de Lie sur une vari´et´e symplectique

D´emonstration. Pour d´efinir X 7→ JX, on choisit d’abord un hamiltonien JXi pour le champ fondamental (X_i)_M associ´e `a chaque ´el´ement X_i d’une base de G. On prolonge ensuite par lin´earit´e.

3.5. Exemple. Soit H un hamiltonien sur une vari´et´e symplectique (M, Ω), et Ψ le flot r´eduit du champ hamiltonien XH. On suppose XH complet. Le flot Ψ est alors une action du groupe additif R sur la vari´et´e symplectique (M, Ω). Afin d’assurer la coh´erence avec les conventions de signe faites lors de la d´efinition des champs fondamentaux, on pose

Φ(t, x) = Ψ(−t, x) , t ∈ R , x ∈ M .

On voit alors que Φ est aussi une action de R sur M , et que le champ fondamental associ´e `

a l’´el´ement 1 de R est XH. On remarquera que R co¨ıncide avec son alg`ebre de Lie, et que l’application exponentielle est l’application identique de R. L’action Φ est donc hamiltonienne, et admet H pour hamiltonien g´en´eralis´e. Si l’on identifie R avec son dual, le couplage par dualit´e ´etant le produit ordinaire, on voit que le moment J de l’action Φ co¨ıncide aussi avec H.

3.6. Remarques.

1. Toute action symplectique sur une vari´et´e symplectique (M, Ω) telle que H1(M, R) = 0 est hamiltonienne. En effet, sur une telle vari´et´e, tout champ de vecteurs localement hamiltonien est globalement hamiltonien.

2. Une action symplectique d’un groupe de Lie G dont l’alg`ebre de Lie est ´egale `a son id´eal d´eriv´e [G, G] (sous-espace engendr´e par les ´el´ements de la forme [X, Y ], X et Y ∈ G), est automatiquement hamiltonienne. Cela r´esulte en effet de la proposition 5.6 du chapitre II.

3. Le hamiltonien g´en´eralis´e d’une action hamiltonienne Φ n’est pas unique: on peut lui ajouter une application lin´eaire quelconque de G dans l’espace des fonctions localement constantes sur M (c’est-`a-dire constantes sur chaque composante connexe de M ). De mˆeme, le moment correspondant J : M → G^∗ n’est pas unique, on peut lui ajouter une application localement constante quelconque de M dans G^∗.

4. Soit X 7→ JX un hamiltonien g´en´eralis´e pour une action hamiltonienne Φ de G sur (M, Ω). Soient X et Y deux ´el´ements de G. D’apr`es la d´efinition, les champs fondamentaux correspondants XM et YM admettent pour hamiltoniens les fonctions JX et JY. D’apr`es la propri´et´e 2.4.3, [X_M, Y_M] est le champ fondamental associ´e `a l’´el´ement [X, Y ] de G. Il admet donc pour hamiltonien J<sub>[X,Y ]</sub>. Mais d’apr`es la propri´et´e 6.2.5 du chapitre II, ce champ admet ´egalement pour hamiltonien le crochet de Poisson {J_X, J_Y}. La diff´erence

Θ(X, Y ) = J_{[X,Y ]}− {J_X, J_Y} (∗)

est donc une fonction localement constante sur M . Pour simplifier, supposons M con-nexe. L’expression (∗) est alors constante sur M . Mais elle d´epend ´evidemment, de mani`ere bilin´eaire, du couple (X, Y ). L’expression (∗) d´efinit donc une forme bilin´eaire

§ 3. Actions symplectiques et actions hamiltoniennes 71

antisym´etrique Θ sur G. On remarque que le hamiltonien g´en´eralis´e X 7→ JX est un homo-morphisme d’alg`ebres de Lie si et seulement si Θ est identiquement nulle. On est conduit `

a la d´efinition suivante.

3.7. D´efinition. Une action Φ d’un groupe de Lie G sur une vari´et´e symplectique (M, Ω) est dite fortement hamiltonienne si elle est hamiltonienne et si elle admet un hamiltonien g´en´eralis´e X 7→ J_X qui est un homomorphisme d’alg`ebres de Lie, c’est-`a-dire qui v´erifie, pour tout couple (X, Y ) d’´el´ements de G,

J_{[X,Y ]} = {J_X, J_Y} .

Lorsque c’est le cas, ce hamiltonien g´en´eralis´e, et le moment J correspondant, sont dits forts.

3.8. Remarques.

1. Ainsi qu’on le verra plus loin, la forme bilin´eaire antisym´etrique Θ associ´ee, comme indiqu´e en 3.6.4, `a un moment J d’une action hamiltonienne Φ de G sur une vari´et´e symplectique connexe (M, Ω) v´erifie, pour tous X, Y et Z ∈ G,

Θ [X, Y ], Z
+ Θ [Y, Z], X
+ Θ [Z, X], Y
= 0 .

On dit que c’est un cocycle symplectique de l’alg`ebre de Lie G.

2. Soit J⁰ = J + µ, avec µ ∈ G^∗ constante, un autre moment de l’action Φ. Le cocycle symplectique Θ⁰ qui lui est associ´e est

Θ⁰(X, Y ) = Θ(X, Y ) +µ, [X, Y ] .

La diff´erence Θ⁰− Θ est la forme bilin´eaire sur G, souvent not´ee ∂µ,

∂µ(X, Y ) =µ, [X, Y ] .

On l’appelle cobord de l’alg`ebre de Lie G associ´e `a l’´el´ement µ de G^∗.

L’action Φ est fortement hamiltonienne si et seulement s’il existe un ´el´ement µ de G^∗ tel que Θ⁰ = Θ + ∂µ = 0, c’est-`a-dire si et seulement si le cocycle symplectique θ est un cobord (associ´e `a l’´el´ement −µ de G^∗).

Si l’action Φ est fortement hamiltonienne et si le moment J est fort, J⁰ = J + µ est aussi un moment fort si et seulement si µ ∈ G^∗ appartient `a l’annulateur de l’id´eal d´eriv´e [G, G] (d´efini en 3.6 ci-dessus).

3. Si l’alg`ebre de Lie G est semi-simple, on montre (lemme de Whitehead) que tout cocycle symplectique de G est un cobord. Toute action hamiltonienne Φ est alors fortement hamiltonienne. De plus, on montre aussi que dans ce cas G est ´egale `a son id´eal d´eriv´e . Par suite, le moment fort de Φ est unique, car l’annulateur de l’id´eal d´eriv´e de G est r´eduit `

72 Ch. V. Action d’un groupe de Lie sur une vari´et´e symplectique

3.9. Proposition. Soit (M, Ω) une vari´et´e symplectique exacte, c’est-`a-dire telle qu’il existe une 1-forme β sur M v´erifiant Ω = dβ. Soit Φ une action d’un groupe de Lie G sur M conservant β, c’est-`a-dire v´erifiant, pour tout g ∈ G,

Φ^∗_gβ = β .

Alors l’action Φ est fortement hamiltonienne et admet pour moment fort l’application J , d´efinie par

J(x), X = β(x), XM(x) , x ∈ M , X ∈ G .

D´emonstration. Puisque l’action Φ conserve β on a, pour tout X ∈ G, L(XM)β = i(XM)dβ + di(XM)β = 0 ,

ce qui prouve que i(X_M)β est un hamiltonien pour X_M, donc que J , d´efini par la formule indiqu´ee dans l’´enonc´e , est un moment. D’autre part on a, pour tous X et Y ∈ G,

{JX, JY} = L(XM)JY = L(XM)i(YM)β = i [X_M, Y_M]
β = J[X,Y ],

car L(XM)β = 0.

3.10. Exemple: rel`evement au fibr´e cotangent. Soit Φ : G × N → N une action d’un groupe de Lie G sur une vari´et´e diff´erentiable N . Pour tout g ∈ G on d´esigne par bΦg

l’isomorphisme du fibr´e cotangent T^∗N sur lui-mˆeme

b

Φ_g =^t(T Φ_g−1) .

D’apr`es la proposition 4.3 du chapitre II, pour tout g ∈ G, bΦg, ainsi d´efini, est un symplectomorphisme de (T^∗N, dα), qui conserve la forme de Liouville α de T^∗N . On v´erifie d’autre part que, pour tous g1 et g2 ∈ G,

b

Φ_g1 ◦ bΦ_g2 = bΦ_g1g2.

Donc bΦ : G × T^∗N → T^∗N est une action hamiltonienne de G sur (T^∗N, dα), appel´ee rel`evement canonique au fibr´e cotangent de l’action Φ. D’apr`es la proposition pr´ec´edente, cette action est fortement hamiltonienne et admet pour moment fort

J(ξ), X = α(ξ), XT∗N(ξ) =^Dξ, X_N q(ξ)
^E

.

On a not´e q : T^∗N → N la projection canonique. La seconde expression ci-dessus de J r´esulte en effet de la d´efinition de la forme de Liouville α, et du fait que le champ fondamental XT∗N sur T^∗N , pour l’action bΦ, est projetable par q sur N et a pour projection le champ fondamental X_N (pour l’action Φ de G sur N ).