Accord de phase non-colinéaire

Jusqu’ici nous avons considéré uniquement le cas où la condition d’accord de phase était vérifiée le long de l’axe optique : Δ𝑘 = 𝑘_𝑠 + 𝑘_𝑝− 𝑘_𝑐 +^2𝜋_Λ = 0. Pour un cristal donné, cette condition d’accord de phase peut être modifiée en changeant la longueur d’onde du signal ou de la pompe ainsi que l’angle d’incidence du signal ou de la pompe ou la température du cristal. Ainsi, par exemple, en modifiant la longueur d’onde de la pompe, la condition d’accord de phase est vérifiée pour un angle signal non nul.

La condition d’accord de phase est une relation vectorielle Δ𝑘⃗⃗⃗⃗ = 𝑘⃗⃗⃗ + 𝑘_𝑠 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑘_𝑝 ⃗⃗⃗⃗ +_𝑐 𝑘⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ , illustrée sur la Figure 2-9 où sont introduites les notations utilisées pour la suite. _𝑄𝐴𝑃 Dans toute la suite, on suppose que les angles entre la direction de propagation des ondes et l’axe optique restent assez petits pour effectuer des développements limités sur les fonctions trigonométriques. De même, les variations de longueurs d’onde et d’indices optiques sont supposées assez petites pour effectuer des développements limités.

Figure 2-9 : (a) Condition d’accord de phase colinéaire vérifiée. (b) Désaccord de phase non-colinéaire. (c) Condition d’accord de phase non-colinéaire vérifiée en changeant la

longueur d’onde de la pompe.

Selon les notations de cette figure, le désaccord de phase le long de l’axe optique z peut être facilement calculé par projection de la relation vectorielle selon les deux directions. Selon l’axe optique, on a :

Δ𝑘_𝑧 = 𝑘_𝑝+ 𝛿𝑘_𝑝+ 𝑘_𝑠cos 𝜃_𝑠 − (𝑘_𝑐+ 𝛿𝑘_𝑐) cos 𝜃_𝑐+^2𝜋

Λ ^2.38

où 𝛿𝑘_𝑝 et 𝛿𝑘_𝑐 sont les variations des vecteurs d’onde selon l’axe optique.

On obtient alors, en supposant 𝜃_𝑠, l’angle formé entre l’onde signal et l’axe optique à l’intérieur du cristal, petit :

Δ𝑘_𝑧 = 𝛿𝑘_𝑝− 𝛿𝑘_𝑐+^𝑘𝑠 2 ⁽

𝑘_𝑠

𝑘_𝑐^{− 1) 𝜃𝑠2 2.39}

L’efficacité de conversion est proportionnelle à : 𝜂 = sinc2(^{Δ𝑘𝑧𝐿}

2 ^{) 2.40}

La Figure 2-10 montre l’efficacité de conversion normalisée en fonction de l’angle d’incidence sur le cristal d’une onde signal pour différentes longueurs d’ondes de pompe en utilisant les formules ci-dessus. Le changement de la condition d’accord de phase modifie l’angle du signal entrant dans le cristal qui est converti avec un maximum d’efficacité de conversion.

Figure 2-10 : Acceptance angulaire de la conversion pour différentes longueurs d’ondes de pompe : courbe rouge 1063 nm, courbe verte 1063,36 nm, courbe bleue 1063,72 nm dans un

cristal de PPLN de 𝐿 = 2 cm de long et une longueur d’onde signal de 1563 nm.

Cet angle peut-être analytiquement calculé en fonction du changement en longueur d’onde de pompe. Soit la longueur d’onde de pompe 𝜆_𝑝+ 𝛿𝜆_𝑝 où 𝜆_𝑝 est la longueur d’onde de pompe correspondant à l’accord de phase colinéaire. On définit de la même manière 𝜆_𝑐+ 𝛿𝜆_𝑐 la longueur d’onde du signal converti. La variation en longueur d’onde étant petite, la variation d’indice optique est aussi petite et un développement de Taylor des équations de Sellmeier, introduites au Chapitre 4, peut-être effectué : 𝑛_𝑖 + 𝛿𝑛_𝑖 = 𝑛_𝑖(1 + 𝛼_𝑖𝛿𝜆_𝑖⁄ ) où 𝜆_𝑖 𝑖 = 𝑝, 𝑐. La Figure 2-11 présente la variation de l’indice optique en fonction de la longueur d’onde considérée. Pour de petites variations de longueurs d’ondes, la variation d’indice est quasi-linéaire. Pour un cristal de PPLN à une température de 97°C, on a 𝛼_𝑝 = -0.0262 et 𝛼_𝑐 = -0.0674.

Figure 2-11 : Variation des indices optiques des ondes pompe (a) et convertie (b) en fonction des longueurs d’ondes.

Il vient facilement avec 𝛿𝑘_𝑝= 𝑘_𝑝(𝛼_𝑝− 1)^𝛿𝜆𝑝

𝜆𝑝 et 𝛿𝑘_𝑐 = 𝑘_𝑐(𝛼_𝑐 − 1)^𝜆𝑐 𝜆𝑝

𝛿𝜆_𝑝

𝜆𝑝, et en prenant en compte la réfraction à l’entrée du cristal, une expression pour l’angle signal externe au cristal qui maximise la conversion :

θ_{𝑠,𝑒𝑥𝑡} = ^𝜆𝑠 𝜆_𝑝^√2 𝑛_𝑐(1 − 𝛼_𝑐) − 𝑛_𝑝(1 − 𝛼_𝑝) 𝜆_𝑠 𝑛_𝑠 ⁻ 𝜆_𝑝 𝑛_𝑝 𝛿𝜆_{𝑝 2.41}

Ainsi, en augmentant la longueur d’onde de la pompe, l’angle du signal converti se propageant dans le cristal est de plus en plus grand. En particulier, l’angle converti évolue en racine du décalage en longueur d’onde de pompe. Par conséquent, en utilisant une pompe dont le spectre est suffisamment large, il est possible de convertir toute une série d’angles de signal en même temps et ainsi augmenter le nombre de modes spatiaux convertis. La Figure 2-12 est la représentation graphique de cette formule. Un décalage de quelques nanomètres sur la longueur d’onde de pompe est suffisant pour augmenter significativement l’angle signal converti.

Figure 2-12 : Evolution de l’angle externe converti en fonction du décalage spectral de la pompe.

Pour un couple d’angle signal et longueur d’onde de pompe donné et respectant la condition d’accord de phase, l’acceptance spectrale de pompe peut-être calculée. On la définit comme la largeur à mi-hauteur de l’efficacité de conversion 𝜂 :

sinc2(^{Δ𝑘𝑧𝐿}

2 ^{) = 0,5 ⟺ Δ𝑘𝑧 =} 2,78

𝐿 ^2.42

Δ𝜆_𝑝 =^2,78 𝜋𝐿

𝜆_𝑝2

𝑛_𝑐(1 − 𝛼_𝑐) − 𝑛_𝑝(1 − 𝛼_𝑝) ^2.43

L’application numérique avec les paramètres déjà utilisés au-dessus donne : Δ𝜆_𝑝= 0,36 nm. C’est cette valeur qui a été utilisée pour tracer la Figure 2-10 où on observe bien un bon recouvrement des courbes. Une propriété importante de cette formule est son indépendance avec l’angle du signal incident qui va être converti. Il y a donc un couplage entre la longueur d’onde de pompe et les angles signal convertis, ce couplage est représenté Figure 2-13.

Figure 2-13 : Matrice de couplage de la conversion entre la longueur d’onde de pompe et l’angle du signal incident sur le cristal.

La conséquence des équations 2.41 et 2.43 est que la puissance de pompe nécessaire pour convertir une série d’angles donnée évolue en carré de l’angle maximal converti dans la mesure où on doit avoir une densité spectrale de puissance de pompe constante pour obtenir de bonnes conversions.

Remarque : une autre méthode, simple, pour augmenter l’acceptance angulaire de la conversion est de diminuer la longueur du cristal.L’angle signal converti évolue en inverse de la racine de la longueur du cristal (𝜃_𝑠 ∝ 1

√𝐿

⁄ ). De plus, d’après l’équation 2.19, la puissance de pompe nécessaire pour une efficacité de conversion donnée évolue en inverse du carré de

nécessaire d’utiliser un cristal long et un élargissement spectral sur la pompe pour augmenter le nombre de modes spatiaux convertis. Ces calculs ne prennent pas en compte les dimensions transverses limitées des faisceaux pompe, qui limitent le recouvrement entre la pompe et le signal lorsque les cristaux sont trop longs. En pratique il va y avoir un compromis entre la longueur du cristal et l’élargissement spectral.