L’évaluation des impacts - Analyse du Cycle de Vie comme outil pour le développement d’une stra

Analyse du Cycle de Vie comme outil pour le développement d’une stratégie de construction durable

7.1. L’évaluation des impacts

A sociedade e o mundo em geral sofreram transforma¸c˜oes a um ritmo muito acelerado nesta ´

ultima década, e a educa¸cão teve necessidade de dar resposta às mudan¸cas fazendo-se acompa- nhar desta evolu¸cão. Procedeu-se a várias altera¸cões ao n´ıvel educativo, entre as quais, mais uma reforma dos programas de Matemática do ensino Secundário. O primeiro passo, nestas grandes altera¸cões no ensino da matemática, tinha sido dado com a reforma dos programas de 1991. Seguiram-se, várias tentativas de mudan¸ca e a implementa¸cão gradual do programa ajus- tado de Matemática para o ensino Secundário iniciou-se com o 10o ano, em 1997/1998. Após sucessivos adiamentos, só no ano letivo de 2003/2004 se deu a grande viragem, quando foram institu´ıdos os Novos Programas de Matemática do Ensino Secundário.

no ensino secundário, continua a ser trienal e integrada na componente de forma¸cão espec´ıfica para os cursos Gerais de Ciências Naturais, Ciências e Tecnologias e Ciências Sócio-Económicas. Pretende-se, assim, assegurar a promo¸cão de uma forma¸cão cient´ıfica e técnica sólida no dom´ınio do conhecimento e para tal, agregaram-se no programa três grandes temas: Números e Geome- tria; Fun¸cões Reais e Análise Infinitesimal e, Estat´ıstica e Probabilidades.

No caso particular do estudo das Fun¸cões Reais, prevê-se apreciar não só uma perspetiva gráfica mas também numérica e algébrica das fun¸cões. Realiza-se uma abordagem ao cálculo de varia¸cões e limites, e ainda, ao estudo da continuidade, pese embora, feito sem recurso inicial às defini¸cões simbólicas rigorosas. As questões de lógica e teoria de conjuntos, aparecem dilu´ıdas nos diferentes temas, não são tratadas como conteúdo propriamente dito mas sim como ferramenta necessária à apropria¸cão de conceitos por parte dos alunos, segundo indica¸cões metodológicas sugeridas no programa e como tema transversal.

No sentido de estabelecer uma continuidade entre o terceiro ciclo e o secundário, evitando as cr´ıticas a que esteve sujeito o anterior programa, criou-se um módulo inicial no 10o ano, com a pretensão de incluir conceitos prévios considerados verdadeiramente essenciais e estruturan-

tes.[18, pp. 2]

Segue-se a apresenta¸cão do programa. O programa da disciplina de Matemática é apresen- tado segundo: as finalidades da disciplina no ensino secundário; objetivos e competências gerais; visão geral dos temas e conteúdos e sugestões metodológicas gerais.

No que respeita `as finalidades, acresce apenas mais uma `as enunciadas no programa de 1991, a saber:

Contribuir para o desenvolvimento da existˆencia de uma consciˆencia cr´ıtica e in-

terventiva em ´areas como o ambiente, a sa´ude e a economia entre outras, formando uma cidadania activa e participativa[18, pp. 3]

Observando os objetivos e competências gerais, embora estruturados da mesma forma que o programa anterior, entre valores/atitudes, capacidades/aptidões e conhecimentos, são notadas algumas altera¸cões no que respeita a este último. Pode assim constatar-se, no item ”Iniciar o estudo da Análise Infinitesimal”, não só a referência inovadora ao uso da calculadora gráfica, mas também que os conceitos de continuidade, derivadas e limites são abordados de forma intuitiva, delegando para segundo plano o formalismo algébrico a eles associado.

No ponto seguinte do programa, visão geral dos temas e conteúdos, constatámos que também a Álgebra, não é tratada num tema espec´ıfico, mas sim, dilu´ıda nos diferentes temas previstos.

Pela primeira vez no curr´ıculo, são integrados os temas transversais, como tópico a lecio - nar. São eles: a comunica¸cão matemática; aplica¸cões e modela¸cão matemática; história da matemática; lógica e racioc´ınio matemático; resolu¸cão de problemas e atividades investigativas e, tecnologia e matemática. Devem fazer parte integrante da planifica¸cão de cada tema e explorados de forma transversal e sistemática ao longo dos três anos. Fica pois, ao cuidado de cada professor definir, na sua planifica¸cão, os momentos e os temas transversais a tratar nos diferentes conteúdos programáticos. As capacidades transversais, são apresentadas neste programa, com destaque, sendo referidas não só como indica¸cões metodológicas mas também como tema obrigatório a tratar.

De seguida, é apresentada uma tabela resumo onde se pode visualizar a distribui¸cão dos temas e respetivos tópicos por cada ano. E em particular, no que respeita às fun¸cões pode observar-se:

10o 11o 12o

Fun¸cões e Gráficos. Fun¸cões racionais e com Fun¸cões exponenciais e Fun¸cões polinomiais. radicais. Taxa de varia¸cão logar´ıtmicas.

Fun¸cão módulo. e derivada. Limites e continuidade. Conceito de derivada - Fun¸cão, gráfico e - Problemas envolvendo e aplica¸cões. representa¸cão gráfica. fun¸cões ou taxa de varia¸cão.

- Estudo intuitivo de - Propriedades das fun¸c˜oes - Teoria de limites propriedades da: do tipo f (x) = a + b

cx + d - Cálculo diferencial - fun¸cão quadrática; - Aproxima¸cão experimental - Problemas de otimiza¸cão.

- fun¸cão módulo. da no¸cão de limite.

- Fun¸cões polinomiais - taxa de varia¸cão e Trigonometria e (graus 3 e 4) derivadas em casos simples. números complexos. - Decomposi¸cão de - Opera¸cões com fun¸cões.

polinómios em fatores. Composi¸cão e inversão de - Fun¸cões seno, co-seno: fun¸cões. cálculo de derivadas

- Introdu¸cão histórica dos Sucessões reais números complexos.

- Complexos na forma - Defini¸cão e propriedades. algébrica e trigonométrica;

Exemplos ( o caso das opera¸cões e interpreta¸cão progressões) geométrica. - Sucessões 1 + 1 n n e primeira defini¸cão de e - Limites: infinitamente grande e infinitamente pequenos. Limites reais e convergência. Temas Transversais

Comunica¸cão matemática; História da matemática; Lógica e racioc´ınio matemático; Apli- ca¸cões e modela¸cão; restri¸cão matemática; resolu¸cão de problemas e atividades

investigativas e; tecnologia e matem´atica.

Tabela 1.4: Distribui¸cão do tema fun¸cões e respetivos tópicos por ano de escolaridade

No que se refere às sugestões metodológicas gerais, não sofreram grandes altera¸cões em rela¸cão aos programas anteriores, divergindo apenas na forma. Pode observar-se que em vez de ”um ensino em espiral ”, se propõe estabelecer conexões entre os temas, com grande enfoque para a realiza¸cão de diferentes tipos de trabalho em sala de aula, em detrimento do aprofundar dos mesmos. A introdu¸cão da axiomática das probabilidades, tem como objetivo dar a conhecer ao aluno a constru¸cão hipotético-dedutiva de uma ciência. Devem ser propostas aos alunos,

”composi¸cões matemáticas”, com o intuito de fortalecer a capacidade de comunica¸cão oral e escrita matemática. E como método de trabalho, em sala de aula, deve estimular-se o trabalho de pares e grupos entre os alunos. O papel do professor continua a ser o de dinamizar e regular todo o processo de ensino-aprendizagem. Em termos da avalia¸cão do aluno, os instrumentos de avalia¸cão usados pelo professor devem ser diversificados e abrangentes. Não se restringindo aos testes, devem ser propostas um conjunto de tarefas que visem atingir as finalidades previstas no curr´ıculo. Em concreto, refere-se, como um elemento de avalia¸cão obrigatória, por per´ıodo letivo, a realiza¸cão de uma composi¸cão matemática, com o objetivo de desenvolver a comunica¸cão matemática. Esta tarefa, individual ou em grupo, pode ser executada sob a forma de resolu¸cão de um problema, uma demonstra¸cão, composi¸cão/reflexão, um projeto, um relatório, uma reflexão histórica, entre outras.

No que se refere aos recursos a usar, são referidos com pormenor, materiais e equipamen- tos diversificados que devem figurar nas escolas, mais propriamente num ”Laboratório de Ma- temática”. Entre outros, o uso da calculadora gráfica e o computador em sala de aula são considerados obrigatórios neste programa.

Por fim, surge o desenvolvimento do programa. O documento come¸ca por apresentar os temas transversais, e segue-se, para cada ano e para cada um dos três grandes temas, o seu desenvolvimento. Para o efeito, são usadas indica¸cões metodológicas, que definem em pormenor, a forma de abordagem, a profundidade e o rigor que se pretende implementar neste programa. São ainda sugeridos alguns tópicos facultativos, para proporcionar ”mais matemática”, aos alunos interessados. Estes alunos podem desenvolver estes tópicos em trabalhos de projeto ou estudo em casa.

Nos temas transversais, as tarefas apresentadas ao alunos devem versar o desenvolvimento: da comunica¸cão matemática; das aplica¸cões e modela¸cão matemática; da história da matemática; da lógica e racioc´ınio; da reflexão sobre as heur´ısticas de Polya para a resolu¸cão de problemas - atividades investigativas e, da tecnologia e matemática. Neste contexto, pretende-se que as aprendizagens matemáticas sejam feitas, numa primeira fase, de forma intuitiva e numa fase progressiva e posterior, apare¸ca a escrita simbólica matemática com uma fun¸cão sintética, precisa e clarificadora. Trabalhar assuntos relacionados com a história da matemática assume um papel fundamental no programa, bem como o estabelecer conexões, através de aplica¸cões e modela¸cões, entre os diversos temas matemáticos e com outras ciências. De igual modo, devem ser propostos trabalhos de grupo ou pares que sejam apresentados e discutidos na turma. O recurso à história da matemática com a utiliza¸cão de exemplos ou a referência à evolu¸cão de conceitos matemáticos faz com que os alunos prezem o contributo da matemática face à compreensão e resolu¸cão de problemas da humanidade. As no¸cões de lógica e teoria de conjuntos são introduzidas consoante a necessidade de ser usada. O mesmo deve acontecer relativamente aos métodos de demonstra¸cão. Só devem ser usados após os alunos terem feito demonstra¸cões informais, entenda-se, depois do aluno ter argumentado e justificado as suas ideias. O conhecimento da heur´ıstica de Polya para a resolu¸cão de problemas, permite ao aluno perceber a importância de definir um plano bem estruturado e otimizar os seus desempenhos, quer na matemática quer nos diferentes desafios da sua vida. O professor deve promover atividades de natureza investigativa ajudando a desenvolver a linguagem e o simbolismo para comunicar ideias matemáticas, refor¸cando a capacidade de raciocinar logicamente. O uso da tecnologia, mais precisamente, o computador e a calculadora

gráfica, deve ser usada como enriquecimento das aprendizagens matemáticas e não como ”simples substitui¸cão de racioc´ınios básicos”.

Em particular, o conhecimento sobre as fun¸cões foi ampliado com base no estudo anal´ıtico, numérico e gráfico, em especial com fun¸cões que envolvam variáveis do dia a dia ou de outras ciências. Comparando com o programa anterior, o desenvolvimento do tema prevê, nos 10o, 11o e 12o _{anos, conhecimentos espec´ıficos para cada um dos subt´}_{opicos a lecionar, que se apresentam} na tabela seguinte.

Desenvolvimento no programa de 1991 Desenvolvimento no programa de 2001

10o 10o

FUNÇ ÕES - I Generalidades. Fun¸cão quadrática. Tema II- Fun¸cões e gráficos. Fun¸cões Fun¸cão Módulo. polinomiais. Fun¸cão módulo. Gráfico cartesiano de uma fun¸cão Fun¸cão, gráfico

em referencial ortogonal. (gráfico cartesiano de uma fun¸cão em referencial ortogonal) e representa¸cão - Esbo¸co e interpreta¸cão do gráfico de uma gráfica.

fun¸c˜ao dada por uma tabela ou por uma f´ormula

da geometria, de outra ciˆencia ou da vida - Estudo intuitivo de propriedades das

corrente. fun¸c˜oes e dos seus gr´aficos.

(tanto a partir de um gráfico particular - No¸cões gerais relativas a fun¸cões de uma como usando a calculadora gráfica, para

vari´avel. as seguintes classes fun¸c˜oes:

i) Fun¸cões quadráticas; Fun¸cões quadráticas: i) Fun¸cão módulo.

E recorrendo a : Estudo dos gr´aficos de x → ax2 _; _{a) An´}_{alises dos efeitos das}

x → ax2_{+ c; x → a(x + h)}2 _mudan¸_{cas dos parˆ}_{ametros nos} x → ax2+ bx + c. Eixo de simetria. gr´aficos das fam´ılias de fun¸c˜oes Estudo do sinal de x → ax2_{+ bx + c a partir} _{dessas classes (considerando}

de a e de 4. apenas a varia¸c˜ao de um

Inequa¸c˜oes do 2o_grau. _parˆ_{ametro de cada vez);} Uso de quantificadores. b) Transforma¸c˜oes simples de

fun¸cões: dada a fun¸cão, esbo¸car o Fun¸cão módulo: gráfico das fun¸cões definidas por

y = f (x) + a.

Gr´afico de x → |x − a| y = f (x + a); y = af (x); y = f (ax); y = |f (x)|

A defini¸c˜ao. com a positivo ou negativo,

|x| = (

x se x ≥ 0

−x se x < 0 descrevendo o resultado com

recurso à linguagem das As propriedades: transforma¸cões geométricas.

|x| < a ⇔ −a < x < a e

|x| > a ⇔ x < −a ∨ x > a, ∀x ∈ R Resolu¸c˜ao de problemas envolvendo |x| > a ⇔ x2_{> a}2 _fun¸_c˜_{oes polinomiais (com particular} |x| < a ⇔ x2_{< a}2 _incidˆ_{encia nos graus 2,3 e 4)} |x| = a ⇔ x2_{= a}2

Implica¸cão e equivalência de condi¸cões; inclusão Possibilidade da decomposi¸cão de um e igualdade de conjuntos. polinómio em fatores (informa¸cão). Fun¸cões de dom´_{ınio N:} Decomposi¸cão de um polinómio em

factores, em casos simples, por divisão Generalidades, gráficos. dos polinómios e recorrendo à regra de

Sucessões monótonas. Ruffini. Justifica¸cão desta regra. Sucessões limitadas.

11o 11o

FUNÇ ÕES - II- Fun¸cões Racionais. Opera¸cões. A Trigonometria é integrada no Tema I- Geometria no Plano e no Espa¸co II Polinómios:

- Divis˜ao inteira. Regra de Ruffini. - Resolu¸c˜ao de problemas que envolvam

- Divisibilidade por x − α. triˆangulos.

Fra¸cões algébricas: Angulo e arco generalizados:ˆ Dom´ınio, equivalência, opera¸cões. - radiano;

Equa¸cões e inequa¸cões fracionárias. - expressão geral das amplitudes dos ˆ

angulos com os mesmos lados, em graus Fun¸c˜oes polinomiais. Fun¸c˜oes racionais: e radianos

Opera¸cões com fun¸cões; composi¸cão; inversão;

restri¸cão. Fun¸cões seno, co-seno e tangente: - defini¸cão, varia¸cão (estudo no c´ırculo Fun¸cões com radicais quadráticos ou cúbicos: trigonométrico);

dom´ınio. - compara¸c˜ao de senos e co-senos de dois n´umeros reais.

TRIGONOMETRIA

Express˜ao geral das amplitudes dos ˆ

Angulo e arcos generalizados: ˆangulos com o mesmo seno, co-seno ou tangente.

-Radiano Equa¸cões trigonométricas elementares. -Expressão geral das amplitudes dos ângulos com

os mesmos lados, em graus e radianos.

Fun¸cões seno, co-seno e tangente: Tema II- Introdu¸cão ao cálculo diferencial - defini¸cão, varia¸cão (estudo no c´ırculo I. Fun¸cões racionais e com radicais. Taxa

trigonom´etrico); de varia¸c˜ao e derivada

- Valores em π₆ , π₄, π₃ radianos. - Rela¸c˜oes entre as fun¸c˜oes de α, e de π

2 ± α, - Resolu¸cão de problemas envolvendo π ± α e −α. fun¸cões ou taxa de varia¸cão. Analogia dos senos. - Estudo intuitivo das propriedades das

- Expressão geral das amplitudes dos ângulos partir de um gráfico particular como com o mesmo seno, co-seno ou tangente. usando calculadora gráfica, para a

seguinte classe de fun¸c˜oes: SUCESS ˜OES

f (x) = a + b cx + d As sucess˜oes de referˆencia: n, n2, √n e 2n

Neste estudo enfatiza-se a análise dos -Estudo numérico e gráfico efeitos das mudan¸cas dos parâmetros -Infinitamente grande positivo, negativo nos gráficos das fun¸cões de uma mesma

e em m´odulo. classe.

- As propriedades:

Se u_n → +∞ e v_n≥ u_n, - Conceito intuitivo de limite, de

a partir de certa ordem, +∞ e de −∞

ent˜ao vn→ +∞ (com demonstra¸c˜ao)

Se u_n→ +∞ também (u_n+ α) → +∞, α ∈ R - No¸cão de taxa média de varia¸cão;

(δun) → +∞, δ ∈ R+(justifica¸cão em cálculo da taxa média de varia¸cão.

casos concretos) No¸cão de taxa de varia¸cão; obten¸cão da

a > 1 ⇒ an→ +∞(estudo com calculadora) cálculo da taxa média de varia¸cão.

No¸cão de taxa de varia¸cão; obten¸cão da taxa de varia¸cão (valor para que tende a As sucessões de referência: _n1 ,_n12 ,

1 √

n , 1

2n t.v.m. quando a amplitude do intervalo

tende para zero) em casos simples. Estudo numérico e gráfico - Interpreta¸cão geométrica da taxa de

- Infinitésimos varia¸cão; defini¸cão de derivada - As propriedades (recorrendo à no¸cão intuitiva de limite)

Se v_n→ 0, e, a partir de certa ordem,

|un| ≤ vn, então un→ 0(com demonstra¸cão) - Determina¸cão da derivada em casos Se u_n→ 0 também ku_n→ 0 (justifica¸cão em simples: fun¸cão afim; fun¸cões polinomiais

casos concretos) de 2o _{e 3}o_{grau, fun¸}_c˜_{ao racional do 1}o

an→ 0 se |a| < 1 grau, fun¸c˜ao m´odulo.

- Sucessões convergentes para a (un− a é - Constata¸cão, por argumentos

infinit´esimo): geom´etricos, de que:

Sucessão monótona limitada é convergente i) se a derivada é positiva num intervalo (informa¸cão) aberto a fun¸cão é crescente nesse Os Teoremas (com demonstra¸cão): intervalo e, se a derivada é negativa num

- unicidade do limite intervalo aberto a fun¸cão é decrescente - ”O inverso de um infinitamente grande é um nesse intervalo;

infinitésimo e reciprocamente” ii) se a fun¸cão é derivável num intervalo aberto e se tem um extremo relativo num - Progressões aritméticas e geométricas. ponto desse intervalo então a derivada é

-Termo geral; limite. nula nesse ponto.

- Soma de n termos consecutivos de uma

progressão aritmética; - Fun¸cões definidas por dois ou mais -Soma de n termos consecutivos de uma ramos (cujo dom´ınio é um intervalo ou

progressão geométrica. união de intervalos)

- Soma, diferen¸ca, produto, quociente e composi¸c˜ao de fun¸c˜oes no contexto do

FUNÇ ÕES III - Limites, Derivadas estudo de fun¸cões racionais, envolvendo polinómios de 2o _{e 3}o _grau. Limite de uma fun¸cão real de variável real:

Defini¸cão (Heine) - Inversa de uma fun¸cão. - Fun¸cões com radicais quadráticos ou

c´ubicos.

- Regras operatórias com limites finitos e infinitos Opera¸cões com radicais quadráticos e (informa¸cão) cúbicos e com potências de expoente

- Limites laterais. fraccion´ario.

- Demonstra¸cão de: Simplifica¸cões de expressões com radicais lim

x→±∞

axn_{+ bx}n−1_{+ · · ·}

pxm_{+ qx}m−1_{+ · · ·} =_x→±∞lim axn

pxm (não incluindo a racionaliza¸cão) - Levantamento de outras indetermina¸cões Tema III- Sucessões Reais

0, 0 × ∞ , ∞ − ∞

Sucess˜oes - Continuidade num ponto e num intervalo

- Opera¸cões com fun¸cões cont´ınuas (informa¸cão)

- Teorema de Bolzano. - Defini¸c˜ao e diferentes formas de representa¸c˜ao.

Derivada de uma fun¸c˜ao num ponto como limite

da taxa média de varia¸cão: - Estudo de propriedades: monotonia e limita¸cão.

- Interpreta¸c˜ao geom´etrica

- Derivadas laterais - Progressões aritméticas e geométricas: - Fun¸cão derivada

Teorema relativo `a derivabilidade e continuidade termo geral e soma de n termos

(com demonstra¸c˜ao) consecutivos.

- Derivada da soma e do produto (com

demonstra¸cão), do quociente e da potência de - Estudo intuitivo da sucessão de termo expoente racional (sem demonstra¸cão). geral

- Segunda derivada

1 + 1

n n

num contexto de modela¸c˜ao - Aplica¸c˜ao da 1a _{e 2}a_{derivadas ao estudo de} _matem´_{atica; primeira defini¸}_c˜_{ao do}

gráficos, de máximos e m´ınimos relativos, de número e. concavidades.

Limites Ass´ımptotas verticais e n˜ao verticais.

- Infinitamente grandes e infinitamente pequenos.

- Limites de sucessões e convergência. No¸cão de limite real.

Ilustra¸c˜ao de alguns resultados que justifiquem a unicidade do limite seguida

da demonstra¸cão desse teorema. - A convergência das sucessões

monótonas e limitadas. Exemplos de sucessões limitadas não

Critério de majora¸cão e teorema das sucessões enquadradas.

- Problemas de limites com progress˜oes.

12o 12o

FUNÇ ÕES - ÁREAS Tema II - Introdu¸cão ao Cálculo Diferencial II

No¸cão de integral definido Fun¸cões exponenciais e logar´ıtmicas. - Área de uma figura irregular; métodos de - Fun¸cão exponencial de base superior a um; cálculo exato e cálculo aproximado. crescimento exponencial; estudo das

- ” Área sobre a curva”, como limite de propriedades anal´ıticas e gráficas da um somatório; integral definido. fam´ılia de fun¸cões defnida por -Verifica¸cão com apoio gráfico de que f (x) = ax com a > 1.

lim h→0

A(x + h) − A(x)

h = f (x), sendo A(x) a ´area

sobre a curva entre a e x. - Fun¸cão logar´ıtmica de base superior a - No¸cão de primitiva de uma fun¸cão; primitivas de um; estudo das propriedades anal´ıticas e fun¸cões polinomiais. gráficas da fam´ılia de fun¸cões definida por - A fórmula de Barrow. f (x) = log(ax), com a > 1.

- Referência histórica à evolu¸cão do cálculo integral e à

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