3.5.1 Simulation numérique du CAG
Un modèle complet de l’expérience basé sur la méthode Monte-Carlo a été développé dans [32] et adapté pour l’analyse de l’impact des fronts d’onde.
Fig. 3.26 Schéma de la mesure du gravimètre. Les atomes piégés dans le MOT et refroidis dans le piège dipolaire s’étendent balistiquement dans les faisceaux Raman pendant leur chute libre.
Dans ce modèle, des atomes sont tirés aléatoirement en position et en vitesse à une température donnée puis subissent une sélection en vitesse, réalisent l’interféromètre avec un faisceau Raman correspondant au waist du collimateur Raman (1) et sont finalement détectés en accord avec la réponse des zones de détections (figure1.9). Ce modèle permet de simuler toutes les interactions que les atomes vont subir lors d’une mesure. Il inclut notamment les effets de couplage inhomogène liés à la taille finie des faisceaux Raman
3.5 Évaluation du biais des aberrations du front d’onde 73
mais aussi les effets de taille finie de la détection. La figure 3.26représente le schéma du gravimètre et illustre les effets de taille finie liés aux faisceaux Raman et à la détection.
A cette simulation numérique, on ajoute l’effet des aberrations du front d’onde. On calcule ainsi pour chaque atome sa position à chacune des trois impulsions Raman afin de prendre en compte le défaut de planéité δz dû au front d’onde déformé. Il en résulte à chaque impulsion un défaut de phase δφ = kef fδz et on moyenne les contributions
de 104 atomes à la probabilité de transition, en reproduisant le protocole de mesure décrit dans le chapitre 1. On effectue plusieurs tirages de cette simulation pour obtenir une erreur statistique relative inférieure au µGal. Les aberrations du front d’onde sont décomposées sur la base des polynômes de Zernike Znm (dont une description peut être trouvé en annexe). La taille des faisceaux Raman est fixée par l’ouverture numérique du collimateur de 28mm et sert de référence pour la décomposition des polynômes.
Fig. 3.27 Estimation des effets de tailles finies du faisceau Raman et de la détection sur la mesure de g en présence d’un défocus. La courbe noire représente un cas idéal où toutes les tailles sont infinies. On observe une déviation à la linéarité lorsque la détection est de taille finie (en bleu), le faisceau Raman est de taille finie (en rouge), ou les deux (carré blanc)
Par exemple, on peut calculer l’effet des tailles finies de la détection et du faisceau Raman en prenant un simple défocus Z02 d’amplitude 2a0 = 20nm (figure3.27). Dans ce cas, le défaut de phase s’écrit δz(r) = a0(1 − 2r2) avec r la distance radiale normalisée. Lorsque les tailles du faisceau Raman et de la zone de détection sont infinies, on observe sur la figure 3.27 une dépendance linéaire de g avec la température qui est le résultat d’une moyenne de la distribution en vitesse des atomes (2.9). Par ailleurs, les effets de tailles finies réduisent voire suppriment la contribution des atomes les plus chauds et on observe une déviation par rapport à la linéarité du cas idéal. L’effet de taille des faisceaux Raman est supérieur à celui de la détection.
On obtient un biais de −6.3µGal pour des atomes à la température de notre confi-guration de référence. Cela implique des exigences fortes sur la qualité des optiques de rétro-réflecion, puisqu’il faudrait avoir un défocus sur un diamètre de référence de 28mm
dont l’amplitude est plus petite que 3nm (correspondant à λ/260P V ) afin d’obtenir un biais inférieur au µGal.
3.5.2 Polynômes à symétrie de révolution
Dans notre simulation, nous nous sommes limités aux polynômes à symétrie de révo-lution Zn0. On suppose que la position du nuage atomique est centrée sur le miroir de rétro réflexion des faisceaux Raman et sur la zone de détection. La symétrie de la distribution en vitesse donne une expansion balistique symétrique et la contribution des polynômes de Zernike ayant une dépendance angulaire, est alors nulle.
La décomposition du front d’onde est réalisée en prenant comme origine des polynomes de Zernike, le centre de l’ouverture numérique du faisceau Raman, qui ne correspond pas obligatoirement au centre du profil gaussien du faisceau. Par ailleurs, le nuage atomique peut être décentré par rapport à cette ouverture ou bien possédé une vitesse de dérive moyenne non nulle qui rendrait la mesure sensible aux autres polynômes. De même, si le centre du nuage atomique est décalé par rapport au centre du faisceau gaussien ou bien au centre de la détection, notre décomposition devient sensible aux polynômes sans symétrie de révolution.
Nous avons malgré tout, pu estimer l’influence de ces décalages de position et de vitesse moyenne sur les polynômes ayant une dépendance angulaire. Ces effets restent inférieurs aux polynômes m = 0 de plus d’un ordre de grandeur tant que les décalages de position restent inférieurs à 1mm et que les vitesses de dérive restent inférieures à 1mm.s−1. La conception mécanique nous assure l’alignement des différents éléments avec une incertitude maximale de 0.5mm et nous avons pu mettre une limite sur ces effets de vitesse et de positions dans la partie3.4.2 a).
3.5.3 Modélisation du front d’onde
On restreint la base de polynômes utilisés et on calcule avec ce modèle, l’impact des sept premiers polynômes de Zernike à symétrie de révolution (Zn0n = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)
sur la mesure de g en fonction de la température. Le résultat des cinq premiers polynômes est présenté sur la figure 3.28. Chacun de ces polynômes a une amplitude de 20nm.
On remarque sur cette figure un comportement linéaire, pour tous les polynômes, dans la région des basses températures. On observe aussi une saturation dans la région des hautes températures mesurées, commune à tous les polynômes. Plus particulièrement, on observe la présence d’extrema locaux, à d’autant plus basse température que l’ordre du polynôme est élevé.
3.5.4 Extrapolation à 0K
On ajuste la mesure différentielle de g en utilisant une combinaison linéaire des contri-butions de chaque polynôme de Zernike dont nous avons calculé l’effet sur la mesure de g. Cela nous permet d’extrapoler la valeur de g à température nulle où le biais est nul. Cet ajustement a été réalisé pour un nombre croissant de polynômes dans la sous base, afin d’évaluer la stabilité de l’extrapolation. Les résultats de ces ajustements sont présentés dans le tableau 3.2 qui montre à la fois le facteur de corrélation de l’ajustement R ainsi que la valeur extrapolée à température nulle et son incertitude.
3.5 Évaluation du biais des aberrations du front d’onde 75
Fig. 3.28 Impact des sept premiers polynômes de Zernike à symétrie de révo-lution sur la mesure différentielle de g (à gauche) et agrandissement sur les cinq premiers polynômes (à droite).
Nombre de polynômes Facteur R Valeur extrapolée à 0K (µGal)
2 0.587 3.7(1.7) 3 0.764 0.9(1.8) 4 0.871 1.9(1.8) 5 0.963 −5.6(1.3) 6 0.964 −5.4(1.3) 7 0.964 −5.5(1.5)
Table 3.2 – Tableau récapitulatif de l’évolution de la valeur extrapolée à température nulle en fonction du nombre de polynômes dans l’ajustement.
Lorsqu’on ajoute des polynômes d’ordre supérieur à n = 10 la valeur extrapolée et son incertitude ne semblent plus évoluer comme on peut le voir sur la figure3.29.
Cela signifie que la contribution des polynômes d’ordres supérieurs est négligeable dans l’ajustement et que la sous base constituée des cinq premiers polynômes de Zernike est suffisante pour reconstruire fidèlement les mesures. L’effet est dominé par les polynômes d’ordre faible ce qui n’est pas surprenant vu la qualité des optiques mises en jeu. Le résultat de l’ajustement réalisé avec cinq polynômes est présenté sur la figure 3.30 avec un intervalle de confiance de 68%. Cet ajustement correspond remarquablement aux points de mesure.
Le front d’onde modèle correspondant à l’ajustement est représenté sur la figure3.31. On obtient une planéité de 22nm PV soit λ/80 sur un diamètre de 20mm au centre de notre faisceau Raman. On remarque que le front d’onde diverge sur les bords. Le front d’onde représenté est un front d’onde modèle qui n’est pas le front d’onde exact. Les atomes tombent au centre du faisceau et la contribution des bords est très limitée sur la mesure de g et donc sur l’ajustement. Ajouter des polynômes d’ordre plus élevé pour-rait réduire (ou accentuer) ces effets de bords mais cela n’apporte pas une contribution signifiante sur la valeur extrapolée à température nulle.
Fig. 3.29 Valeur de l’extrapolation à température nulle au fur et à mesure qu’on ajoute des polynômes dans notre base pour l’ajustement.
Fig. 3.30 Mesure différentielle de g en fonction de la température représentée avec un ajustement linéaire réalisé avec une base des cinq premiers polynômes de Zernike à symétrie de révolution. Cet ajustement est tracé avec un intervalle de confiance de 68%.
Le biais pour la température de référence du CAG est finalement évalué à −5.6(1.3)µGal avec une incertitude trois fois meilleure que la précédente analyse.