Évaluation de la co mpréhension formelle

Rappelons tout d’abord que la compréhension formelle a surtout trait à la compréhension de la symbolisation mathématique, qui se base sur une certaine compréhension abstraite, procédurale et intuitive. Lors de l’analyse conceptuelle des relations d’équivalence et d’égalité, nous avons déterminé trois types de tâches différentes qui faisaient appel à la compréhension formelle. Des enfants faisant preuve de compréhension formelle doivent être en mesure d’évaluer différentes égalités quant à leur justesse mathématique et pouvoir résoudre différentes équations avec une inconnue. La compréhension formelle se traduit également par la capacité de générer une équation ou égalité à partir d’une situation concrète.

Pour évaluer la compréhension formelle des enfants de relations d’équivalence et d’égalité et afin de dégager leur conception du signe =, nous avons décidé de nous référer aux deux premiers types de tâches énoncés précédemment, soit l’évaluation d’égalités et la résolution d’équations. En effet, les enfants devraient, à ce stade de leur apprentissage mathématique, être en mesure de se prononcer sur une égalité et de résoudre certaines équations, ne serait-ce que celles qui correspondent à une structure a + b = __. Par contre, nous avons décidé de ne

pas leur demander de générer des équations ou des égalités à partir d’une situation concrète, puisque cette tâche leur est probablement beaucoup moins familière.

Activité P.1.1 : Évaluer une égalité de type "a + b = c".

L’objectif de cette première activité était de déterminer le sens que les enfants attribuent au signe =. À cet effet, nous avons choisi l’égalité "4 + 5 = 9" et nous avons demandé aux enfants de se prononcer sur la justesse de cette égalité, présentée uniquement sous forme symbolique, et sur la signification des signes + et =.

Q 1 : Voici une addition. Est-ce que tu as déjà vu une addition comme celle-là ? Est- ce que tu peux me dire si elle est correcte ? Pourquoi penses-tu qu’elle est correcte / pas correcte ?

Q 2 : Qu’est-ce qu’il signifie, ce symbole (montrer le "+") Q 3 : Qu’est-ce qu’il signifie, ce symbole (montrer le "=")

Il est évident que l’égalité que nous avons présentée aux enfants n’est pas très difficile à traiter en tant que telle, puisqu’elle devait être connue à la grande majorité des enfants. Cependant, notre intention ici n’était pas d’évaluer si les enfants sont en mesure de traiter une égalité de ce type, mais de dégager le sens qu’ils attribuent au signe =. Nous avons donc retenu une égalité connue par les enfants. En effet, si les enfants avaient traité plusieurs égalités d’une structure qui leur était inconnue auparavant, il aurait été possible qu’ils se posent des questions sur la signification du signe =.

Activité P.1.2 : Évaluer une égalité de type "a = b + c"

L’égalité "7 = 3 + 4" est la deuxième sur laquelle les enfants doivent se prononcer. Deux aspects de la compréhension peuvent être vérifiés. Nous pouvons déterminer si une éventuelle représentation du signe = comme opérateur incite un certain nombre d’enfants à refuser cette égalité. Il nous est également possible d’évaluer si des élèves ont recours à la lecture à l’envers pour justifier l’évaluation

de cette égalité. Le questionnement, également utilisé dans les autres tâches dans lesquelles les enfants doivent évaluer une égalité, est le suivant :

Q1 : Est-ce que tu peux me dire si ceci est correct ? Pourquoi penses-tu que c’est correct / pas correct ?

Activité P.1.3 : Évaluer et corriger une fausse égalité de type "a + b = c", où c ne correspond pas à la somme de a et b.

Suite à la présentation de la fausse égalité "3 + 5 = 7", les élèves doivent d’abord évaluer si celle-ci est correcte et justifier leur réponse. Par la suite, nous leur demandons de corriger l’erreur et de transformer cette écriture en une égalité correcte.

Cette activité nous permet de vérifier deux aspects de compréhension différents de la compréhension des élèves. Dans un premier temps, nous pouvons déterminer si les élèves se basent sur les nombres présents pour affirmer qu’il y a erreur ou s’ils tiennent uniquement compte de la forme de cette expression. Ainsi, il serait possible que des enfants acceptent cette écriture en se basant sur l’argument qu’elle est de type "a + b = c". Dans un deuxième temps, les justifications des enfants quant au caractère erroné de cette écriture et par rapport aux modifications qu’ils apportent peuvent nous donner des indices sur leur compréhension du signe =.

Activité P.1.4 : Évaluer une égalité de type "a = a"

Plusieurs recherches (entre autres Daneau, et al., 2000, et Labinowicz, 1985) ont montré qu’alors que certains élèves ont une représentation du signe = comme opérateur, ils acceptent des égalités de type a = a, en se basant sur la présence d’exactement les mêmes nombres des deux côtés du signe =. La présentation de l’égalité "5 = 5" nous permet de vérifier si cette attitude face à des égalités de ce type est également présente chez les participants à notre prétest.

Activité P.1.5 : Évaluer une égalité de type "a + b = c + d"

La dernière égalité sur laquelle les enfants sont amenés à se prononcer est

"3 + 4 = 1 + 6". Le recours à ce type d’égalité est intéressant, puisqu’il permet de

vérifier certaines difficultés associées à une représentation du signe = comme opérateur. Pour pouvoir l’accepter, un enfant doit obligatoirement attribuer une signification relationnelle au signe =. Par contre, des enfants qui considèrent le signe = comme opérateur n’accepteront fort probablement pas ce type d’égalité.

Activité P.1.6 : Résoudre une équation de type "a + b = __"

La première équation que les enfants ont à résoudre est "2 + 3 = __". Comme pour les tâches précédentes, où les enfants devaient évaluer différentes égalités, nous avons décidé de commencer par une structure que les enfants connaissent. Behr, Erlwanger et Nichols (1976, p. 2) avaient déjà constaté que la plupart des enfants avec lesquels ils ont travaillé ont été en mesure de résoudre ce type d’équation. L’objectif de cette activité n’est donc pas de vérifier si les enfants sont en mesure de la travailler correctement, mais plutôt de les faire exprimer leur conception du signe = dans une telle situation.

Q 1 : Voici un problème, dans lequel il manque quelque chose. Peux-tu le compléter de façon à ce que ce soit correct ? Peux-tu m’expliquer comment tu as fait ?

Q 2 : Que signifie ce signe (montrer le signe =) dans l’activité que tu viens de résoudre ?

Activité P.1.7 : Résoudre une équation de type "a = __ + c"

Lors de cette activité, les enfants doivent pour la première fois traiter une équation qui ne répond pas à la structure "a + b = __". Des enfants qui ont une conception du signe = comme opérateur sont susceptibles de rencontrer des difficultés lorsqu’ils doivent compléter "7 = __ + 5". Une possibilité pour ces élèves est d’avoir recours à une lecture à l’envers de l’équation, à l’instar des enfants observés par Behr, Erlwanger et Nichols (1980). Différentes erreurs, comme la

transformation de l’équation en "7 = 12 + 5", où 12 est la somme des deux nombres initialement présents, sont également possibles.

La présente activité nous permet donc d’observer les stratégies auxquelles les enfants ont recours pour ce type d’activité et les erreurs que peut engendrer une conception erronée du signe =. De même, des renseignements supplémentaires quant à la signification du signe = peuvent être recueillis.

Le questionnement utilisé pour accéder aux conceptions des enfants est le même que dans la tâche précédente. Les mêmes questions seront d’ailleurs reprises pour les activités suivantes, dans lesquelles les enfants doivent compléter une équation.

Activité P.1.8 : Résoudre une équation de type "a + __ = b"

Dans le cadre de cette activité, les enfants devaient résoudre l’équation

"7 + __ = 9." Cette équation, plus facile que la précédente, puisqu’elle s’insère dans

une structure "a + b = c" et n’incite donc pas à une lecture à l’envers, comporte cependant certaines difficultés pour les enfants. Les élèves qui entretiennent une conception du signe = comme incitation à fournir une réponse risquent de ne pas être en mesure de compléter correctement cette activité. En effet, il y a déjà un nombre qui est présent à la suite du signe =, et l’inconnue est située avant ce signe.

Activité P.1.9 : Résoudre une équation de type » "a + b = __ + d"

Dans la dernière activité servant à évaluer la compréhension formelle, les participants à notre recherche devaient résoudre l’équation "6 + 2 = __ + 3". Rappelons que Saenz-Ludlow et Walgamuth (1998) et Denmark et al. (1976) avaient constaté que des enfants qui ont une représentation comme opérateur du signe = ont tendance à marquer la somme de la première addition dans l’espace vide. Cette activité nous permet donc de vérifier l’hypothèse selon laquelle les enfants qui ont une conception erronée du signe = vont effectivement transformer l’équation en "6 + 2 = 8 + 3". En même temps, les réponses des enfants ainsi que leurs explications

nous permettront de recueillir des informations supplémentaires sur leur conception du signe =.