Étude de la qualité des soins et l’épuisement professionnel des infirmiers 46

2.4.3 Synthèse et classification des travaux . . . 47

2.5 Conclusion. . . 49

Ce chapitre complète le précédant chapitre en donnant la vision académique de l’or-ganisation des soins à domicile. Il a deux objectifs : l’analyse de l’état de l’art sur les

problématiques de planification des soins à domicile d’une part et l’introduction des méth-odes/outils de recherche opérationnelle que nous allons utiliser dans cette thèse pour la résolution des problèmes de planification d’autre part.

2.1 Introduction

L’importance des travaux de recherche dans le milieu hospitalier à domicile a pris une nouvelle dimension au cours des dix dernières années. En effet, confrontés à un contexte socio-économique difficile, la majorité des établissements hospitaliers à domicile du monde entier doivent se plier à de nouvelles règles de gestion afin de minimiser les coûts engendrés et de maximiser le confort et les soins des patients à leur domicile. De nombreux chercheurs se sont ainsi penchés sur ce problème, tentant d’apporter de nouvelles stratégies d’organi-sation et de planification dédiées au milieu hospitalier à domicile. Avant de se pencher sur cette problématique et de positionner nos travaux dans ce contexte hospitalier, il est néces-saire de rappeler quelques concepts de la recherche opérationnelle utilisés en planification des activités et exposer les travaux existants sur les problèmes de planification des soins à domicile et leurs méthodes de résolution. Dans cet état de l’art, nous établissons une revue de la littérature concernant la planification des soins et des tournées dans un contexte d’hospitalisation à domicile. L’originalité des problèmes rencontrés réside principalement dans le fait que les soins s’effectuent chez chaque patient ; ce qui fait apparaître des prob-lèmes de tournées avec des contraintes spécifiques à l’activité médicale. Afin de classifier les articles auxquels nous avons eu accès, les différentes caractéristiques des problèmes liés à la planification des soins à domicile ont été extraites. Nous avons identifié toutes les in-formations concernant les types de données à prendre en compte, l’horizon de planification, les différentes modalités de soins, les objectifs à viser, les contraintes à satisfaire, les types de décisions à prendre. L’ensemble de ces informations nous permettra d’analyser et de classifier tous les articles qui traitent les problèmes de planification des soins à domicile, d’identifier clairement les différents besoins d’outils d’aide à la décision et les problèmes combinatoires à résoudre. Cette revue de la littérature s’étend également sur les méthodes de résolution mises en œuvre.

Le chapitre sera structuré comme suit. Quelques notions de base liées aux problèmes de planification des soins à domicile et sur l’optimisation combinatoire sont d’abord intro-duites dans la section 2.2. Des méthodes exactes et approchées seront ensuite détaillées dans la section 2.3 qui ont été largement étudiées dans la littérature dans le contexte de l’hospitalisation à domicile. Ensuite, nous présentons les diverses publications de la littéra-ture connexes à nos travaux de recherche dans la section 2.4. Nous clôturons le chapitre par le positionnement de nos futurs travaux de recherche par rapport aux problématiques étudiées dans la section2.4.3.

2.2. Concepts de base 33

2.2 Concepts de base

2.2.1 Notions pour les problèmes de planification

Nous présentons ici quelques notions de base qui seront utilisées tout au long de la thèse. Comme la plupart des travaux de planification, les problèmes de planification des tournées de véhicules dans le contexte d’hospitalisation à domicile (HHCP, en anglais Home Health Care Problem) sont en général définis sur un graphe. On considère un graphe orienté G = (V, E) composé d’un ensemble V de sommets et d’un ensemble E d’arcs. Les sommets de V peuvent être partitionnés en deux catégories, un ensemble de dépôts noté par D et un ensemble de patients noté par P . Un arc (i, j) ∈ E relie le sommet i au sommet j et représente en général un plus court chemin pré-calculé dans le réseau réel. Un patient en HAD, peut être défini par son protocole de soins et sa localisation géographique. Il peut être visité pendant son hospitalisation par une ou plusieurs ressources humaines (infirmier, aide-soignant, logisticien). Ces ressources peuvent être caractérisées soit par leur degré de compétences, par leur localisation géographique ou par leur type de contrat (salarié ou libéral, temps plein ou temps partiel). Au niveau des besoins des patients, l’ensemble des tâches est noté par T et la durée de service d’un patient p ∈ P pour une tâche t ∈ T est notée d_t. Chaque arc (i, j) ∈ E est muni d’un temps de déplacement noté par t_ij. Généralement si on parle des problèmes de tournées de véhicules, on parle de l’horizon de planification. Dans notre thèse, on s’intéresse à deux types d’horizon ; un problème journalier et un problème hebdomadaire. Ceci correspond aux deux points de prise de décision pour la planification de nombreux HAD. La charge de travail réelle des ressources humaines est donnée par W_r. Cette charge est la somme des temps de déplacement et des temps de service de chaque tâche.

2.2.2 Optimisation combinatoire

L’optimisation combinatoire occupe une place très importante en recherche opéra-tionnelle, en mathématiques discrètes et en informatique. Son importance se justifie d’une part par de nombreuses applications pratiques pouvant être formulées sous la forme d’un problème d’optimisation combinatoire [Ribeirou 1994] et d’autre part par la grande dif-ficulté des problèmes d’optimisation combinatoire [Papadimitriou & Steiglitz 1998]. Un problème d’optimisation consiste à chercher une instanciation d’un ensemble de variables soumises à un certain nombre de contraintes, de façon à maximiser ou minimiser un critère. Les problèmes abordés dans cette thèse impliquent la planification et l’organisation des tournées de véhicules soumises à des contraintes d’imprévus afin de minimiser le temps de transport et la charge de travail. Toutes ces décisions sont représentées par des variables binaires, entières et réelles. Comme nous le verrons plus tard, ces problèmes peuvent se

modéliser sous la forme de problèmes d’optimisation combinatoire.

Le problème P d’optimisation combinatoire peut être défini par le couple P (S, f ). L’ensemble S représente les combinaisons et une fonction f : S → R, qui désigne la fonction coût, la fonction économique ou la fonction objectif (selon le contexte). Il s’agit de trouver la combinaison de S minimisant f, i.e., s^∗ ∈ S telle que f (s∗) ≤ f (s_i), ∀s_i ∈ S. Cette solution s^∗ est appelée optimum global.

Trouver une solution optimale dans un ensemble discret et fini se résout par un algo-rithme très simple : tester toutes les solutions et comparer leur coût pour voir la meilleure. Cependant, en pratique, l’énumération de toutes les solutions possibles peut prendre trop de temps. Les travaux théoriques dans ce domaine, ont permis d’identifier différentes classes de problèmes en fonction de la complexité de leur résolution [Papadimitriou & Steiglitz 1998]. Pour simplifier, on se limitera ici à deux types de classes P et N P . La classe P contient l’ensemble des problèmes polynomiaux, i.e, pouvant être résolus par un algorithme de complexité polynomiale par exemple par un algorithme glouton, un algorithme de pro-grammation dynamique ou en montrant que le problème peut être formulé comme un problème d’optimisation linéaire en variables réelles. L’ensemble des problèmes contenant cette classe peuvent être résolus efficacement. Par contre, la classe N P contient l’ensemble des problèmes polynomiaux non déterministes et dans la plupart des cas, le problème est N P -difficile. À ce jour on ne connaît pas de problème N P -difficile que l’on peut résoudre par un algorithme de complexité polynomiale. Les méthodes de résolution garantissant l’optimalité font alors appel à des algorithmes de séparation et évaluation progressive, à l’optimisation linéaire en nombre entiers ou encore à la programmation par contraintes. L’optimisation combinatoire trouve des applications dans des domaines aussi variés que l’ingénierie, la production, la planification, les transports, les sciences sociales et l’informa-tique.

Étant donnée l’importance de ces problèmes, et comme il n’existe pas d’algorithmes polynomiaux pour résoudre les problèmes N P -difficiles, de nombreuses méthodes de réso-lution ont été développées en recherche opérationnelle. Ces méthodes peuvent être classées sommairement en deux grandes catégories : les méthodes exactes (optimales) qui garantis-sent la complétude de la résolution et les méthodes approchées qui perdent la complétude pour gagner en rapidité d’obtention de bonnes solutions. La section 2.3 rappelle les dif-férentes méthodes de résolution des deux familles.

2.3 Méthodes de résolution

Dans cette section, nous présentons les méthodes de résolution exactes et approchées. Dans un premier temps, nous présentons un schéma général de ces méthodes et dans un deuxième temps nous détaillons les méthodes utilisées dans cette thèse.

2.3. Méthodes de résolution 35

2.3.1 Méthodes exactes

Les méthodes de résolution exactes permettent d’obtenir une ou plusieurs solutions dont l’optimalité est garantie. Le principe essentiel d’une méthode classique consiste générale-ment à énumérer, souvent de manière implicite, l’ensemble des solutions de l’espace de recherche. Pour améliorer l’énumération des solutions, une telle méthode dispose de tech-niques pour détecter le plus tôt possible les échecs (calculs de bornes ou de solutions partielles incompatibles) et d’heuristiques spécifiques pour orienter les différents choix. Parmi les méthodes exactes nous présentons ici la méthode de « séparation et évaluation » et la « génération de colonnes ».

2.3.1.1 La méthode de séparation et évaluation

L’algorithme de séparation et évaluation, plus connu sous son appellation anglaise Branch-&-Bound est une méthode algorithmique classique pour résoudre un problème d’optimisation combinatoire. Il s’agit de rechercher une solution optimale dans un ensem-ble combinatoire de solutions possiensem-bles. La méthode repose d’abord sur la séparation de l’ensemble des solutions en sous-ensembles plus petits. L’exploration de ces solutions utilise ensuite une évaluation optimiste pour majorer ou minorer (borner) les sous-ensembles, ce qui permet de ne plus considérer que ceux susceptibles de contenir une solution potentielle-ment meilleure que la solution courante. Le schéma général de l’algorithme1est donné dans les 9 étapes suivantes, où b(S) désigne la borne obtenue sur un sous-espace des solutions S et v(X) l’évaluation d’une solution X.

Algorithme 1 : Algorithme de séparation et évaluation

1: V_opt := borne pessimiste sur la meilleure valeur possible

2: B := borne optimiste sur la meilleure valeur possible

3: Liste de nœuds L := [S0] l’espace de solution complet

4: Si L = ∅ retourner X_opt et terminer

5: S ← L

6: Calculer la borne b(S)

7: Si b(S) pire que V_opt alors aller à Étape 4

8: Si on obtient une solution réalisable X dans S meilleure que la meilleure solution X_opt alors Xopt := X et V_opt:= v(X)

9: L ← [S₁, S₂, ..., S_k] les k nœuds fils de S et aller à Étape 4

L’algorithme construit une recherche arborescente où les nœuds fils séparent le nœud parent. L’évaluation des bornes optimistes et pessimistes y est donc plus serrée. Nous détaillons les différentes opérations de l’algorithme dans ce qui suit :

Séparation : Pour décrire l’opération de séparation, il suffit de dire comment on divise un ensemble de solutions en sous-ensembles. Cela revient à décrire comment construire l’arbre permettant d’énumérer toutes les solutions. L’ensemble de nœuds de l’arbre qu’il reste encore à parcourir comme étant susceptibles de contenir une solution optimale, c’est-à-dire encore à diviser, est appelé ensemble des nœuds actifs.

Évaluation optimiste : Étant donné l’arbre énumérant toutes les solutions, chaque feuille contient une solution dont on peut calculer la valeur exacte. Pour un nœud interne de l’arbre, k, on va évaluer ce nœud en calculant un majorant de la valeur de toutes les solutions contenues dans le sous-ensemble représenté par le sous-arbre de racine k. Si l’arbre entier était connu, on pourrait évaluer un nœud par la meilleure solution portée par ses feuilles. Mais ce n’est bien sûr pas le cas ! Il faut donc essayer d’estimer par majoration la meilleure solution qu’il est possible d’atteindre à partir du nœud. Comme un nœud interne représente une solution partielle (une partie des variables du problème est fixée), on l’évalue en cherchant la meilleure valeur qu’on peut obtenir grâce aux degrés de liberté restants. Cette fonction d’évaluation, spécifique à chaque problème, est dite optimiste (étape2) car elle calcule un majorant du meilleur résultat possible à partir d’une solution partielle. Une bonne fonction doit majorer au plus près la solution maximale, tout en restant la moins coûteuse possible d’un point de vue algorithmique. C’est un des aspects cruciaux quant aux performances de la résolution du problème.

Élaguage : Une fois que l’évaluation d’un nœud interne est calculée, on peut l’utiliser pour interrompre éventuellement l’exploration de cette partie de l’arbre. En particulier, il est inutile de diviser le nœud dans les cas suivants :

1. L’évaluation a permis de calculer une solution qui a exactement cette valeur. Cette solution est nécessairement optimale dans ce sous-ensemble de solutions. Si cette solution est la meilleure trouvée jusque là, elle devient la meilleure solution courante. Ce cas est plutôt rare.

2. L’évaluation est inférieure ou égale à la valeur de la meilleure solution trouvée jusque là. On n’a donc aucune chance de trouver mieux dans ce sous-ensemble. Ceci peut permettre des gains importants, car on élimine une partie de l’arbre de recherche. 3. Le sous-ensemble est réduit à un seul élément.

Dans les cas 1 et 2, on gagne dans l’exploration de l’arbre puisque la branche suivant le nœud considéré ne sera pas explorée. On dit que cette branche est élaguée (pruning en anglais). À noter que dans le cas 1, si la meilleure solution courante a changé, il convient de parcourir tous les nœuds actifs pour voir s’ils le restent.

Approximation : Le succès de la méthode dépend essentiellement de la précision de la fonction d’évaluation. On peut l’accélérer en se contentant d’une solution approchée avec garantie de qualité. On peut décider d’élaguer tout nœud dont l’évaluation est inférieure

2.3. Méthodes de résolution 37

à (1 + α) fois la valeur de la meilleure solution courante. Par exemple si α = 0, 05, alors quand on s’arrêtera la valeur de la solution trouvée sera à moins de 5% de l’optimum.

À l’étape 7, si la borne optimiste est moins bonne que la meilleure solution connue, il est donc inutile de poursuivre la séparation du nœud considéré. Ce mécanisme permet d’éviter l’énumération complète des solutions.

Beaucoup de problèmes d’optimisation combinatoire peuvent être formulés sous forme d’un problème de programmation linéaire mixte. Ils peuvent ensuite être résolus par la méthode de (Branch & Cut) combinant la méthode des plans sécants1 et un algorithme de (Branch & Bound). Ces procédures fonctionnent en résolvant une séquence de relaxations de programmation linéaire en nombre entiers. La méthode des plans sécants permet d’avoir une meilleure amélioration par une relaxation du problème en rajoutant des contraintes au programme linéaire pour le raffiner et le rapprocher des solutions intégrales.

2.3.1.2 Méthode de résolution par génération de colonnes

La génération de colonnes a été introduite pour la première fois en 1960 par les auteurs [Dantzig & Wolfe 1960]. La méthode consiste à décomposer le problème et à résoudre, d’une manière itérative, une série de problèmes de petites tailles, en vue d’obtenir une solution optimale du problème linéaire initial, dit « problème maître ». Souvent le prob-lème maître et le sous-probprob-lème sont le fruit de la décomposition d’un programme linéaire compact (avec un nombre réduit de variables). Le problème maître a alors un très grand nombre de variables et implique une résolution par génération de colonnes.

Dans cette section, nous présentons le principe de la méthode de résolution par généra-tion de colonnes que nous utilisons pour résoudre les problèmes de planificagénéra-tion des soins à domicile dans le chapitre 4. Cette méthode est souvent utilisée en planification sous forme de méthode exacte mais aussi en tant qu’heuristique. Pour une vision détail-lée de la génération de colonnes et de ses applications en planification nous conseillons aux lecteurs les articles de [Mourgaya & Vanderbeck 2007], [Coppi et al. 2013] et le livre [Desaulniers et al. 2005].

Le principe de base est de résoudre optimalement le programme linéaire, appelé maître restreint, défini sur le sous-ensemble de variables courantes. Il est alors possible de calculer le coût réduit des variables qui ne sont pas intégrées au problème maître restreint. Si aucune variable ne peut améliorer l’objectif (coût réduit négatif dans le cas d’une minimisation) l’optimum est atteint, similairement à la dernière itération du simplexe. Sinon, de telles variables sont intégrées au problème maître restreint et on peut réitérer la procédure. Lorsque les variables du problème maître restreint ne sont pas connues explicitement, un sous-problème permet de chercher les variables satisfaisant les conditions sur les coûts

1. La méthode des plans sécants est utilisée pour trouver une solution entière d’un programme linéaire. Elle fut introduite par Ralph E. Gomory puis étudiée par R. Gomory et Václav Chvátal [Chvátal 1973]

réduits. Ce sous-problème est généralement posé comme un problème d’optimisation où le critère d’optimisation est le coût réduit.

Cette approche est généralement performante pour le calcul de tournées de véhicules. Les variables sont des tournées qui satisfont les contraintes applicables sur la tournée elle-même. Les contraintes du problème maître représentent les contraintes couplant les tournées et servent généralement à couvrir la demande et respecter un nombre limité de véhicules. La fonction objectif combine les coûts individuels de chaque tournée sélectionnée dans la solution. Les variables de décision sont donc des variables binaires de sélection ou non d’une tournée. Avec ce schéma, trouver une tournée non explicitement connue se pose comme un problème de plus court chemin sous contraintes de ressources (qui représentent les contraintes de faisabilité d’une tournée, i.e., durée maximale, fenêtres de temps,...) avec pour fonction objectif le coût réduit associé. Le coût réduit est généralement cumulé sur les arcs qui composent la tournée, associant un coût du problème initial – par exemple la durée – et la variable duale associée à la contrainte de couverture des sommets traversés par l’arc. De ce fait, des approches constructives de type programmation dynamique sont utilisées pour la résolution des sous-problèmes.

La méthode de génération de colonnes permet de résoudre un programme linéaire qui peut servir de calcul de borne dans un schéma de branch-and-bound, on parle alors de branch-and-price ou branch-and-cut-price si on ajoute des algorithmes de plans sécants.

2.3.2 Méthodes approchées

Les méthodes approchées constituent une alternative très intéressante pour traiter les problèmes d’optimisation de grande taille si l’optimalité n’est pas primordiale. En effet, elles permettent d’obtenir des solutions de qualité intéressante en un temps de calcul ré-duit. Ces méthodes sont utilisées depuis longtemps par de nombreux chercheurs et dans différents domaines. Elles peuvent être classées en deux types, heuristiques et métaheuris-tiques. Les métaheuristiques sont encore plus générales que les heuristiques et s’adaptent à plusieurs problèmes d’optimisation. Dans le cadre de cette thèse, l’adaptation d’une mé-taheuristique s’avère primordiale pour proposer des solutions pratiques pour les problèmes de planification des soins à domicile. Parmi les méthodes approchées, on distingue trois grandes familles qui peuvent se combiner : les méthodes constructives (algorithme glouton, algorithme de listes, algorithme de colonies de fourmis), les méthodes à base de voisinages (recherche tabou, Variable Neighbourhood Search (VNS)) qui ont tendance à intensifier la recherche en exploitant une partie de l’espace de recherche et les méthodes à base de pop-ulation (algorithmes génétiques, essaims particulaires) ont plutôt tendance à la diversifier en explorant différentes parties de l’espace de recherche.

2.3. Méthodes de résolution 39

2.3.2.1 Les recherches locales

L’espace de recherche associé à un problème d’optimisation combinatoire est souvent non énumérable en un temps raisonnable. On essaie donc de relier certaines solutions entre elles. Ainsi, à partir d’une solution courante, un opérateur de voisinage est appliqué qui permet de définir un ensemble de solutions proches de la solution de départ initiale. Il est nécessaire de définir une relation de voisinage qui est une application qui associe à toute solution de l’espace de recherche un voisinage i.e. un ensemble de solutions (ne la contenant pas elle-même) appelées voisins. Les recherches locales sont des méthodes fondées sur une