Finalement on obtient la matrice jacobienne en rassemblant les résultats de cette section :
J = (4.11) (4.12) (4.13) (4.14) (4.20) (4.25) (4.26) (4.27) (4.30) (4.31) (4.32) (4.33) (4.34) (4.35) (4.36) (4.37)
où les entrées de la matrices J réfèrent aux équations de cette section donnant les valeurs des dérivées partielles.
4.3
Étude de l’impact d’une baisse de l’activité de la pompe
ATPase
À l’aide des outils développés dans les sections précédentes, nous allons maintenant étudier l’impact d’une réduction l’activité de la pompe ATPase (décrite par le paramètre ρ dans notre modèle) sur la dynamique du système.
Pour commencer, en utilisant les conditions initiales données au chapitre précédent comme point de départ de notre algorithme de recherche de point fixe, nous identifions un point fixe correspondant à un état physilogique sain. Le calcul du Jacobien révèle que toutes les valeurs propres de ce Jacobien sont réelles et négatives. Par le théorème d’Hartman-Grobman, nous savons donc que ce point fixe agit localement comme un puit.
Par la suite, nous réduisons graduellement la valeur de ρ en la diminuant par bonds relatifs de 0, 001. Pour chaque nouvelle valeur du paramètre, nous lançons notre algorithme de recherche de point fixe en utilisant le point fixe trouvé à l’étape précendente comme point de départ de cet algorithme. Remarquons que rien ne garantit le bon fonctionnement de cette procédure. L’impossibilité de trouver un point fixe pour une valeur de ρ pourrait indiquer une limite de notre algorithme ou la présence d’un point de bifurcation. Toutefois, dans le cas précis étudié ici, nous observons que la valeur du point fixe varie de manière continue en fonction de la valeur du paramètre ρ.
Relative strength of the ATPase pump
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Cell volume (um3)
×104 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Figure 4.1 – Activite ATPase par rapport au volume de la cellule
La figure 4.1montre la volume de la cellule au point fixe étudié en fonction de la force de la pompe ATPase. Nous observons une très grande augmentation du volume de la cellule lorsque l’activité de l’ATphase diminue de 0.3 à 0 ; par contre lorsque l’activité de la pompe augmente de 0.3 à 0.9, le volume augment aussi légèrement. Lorsque la force se rapproche de 0 cette augmentation s’accèlere. Comme en pratique le volume de la cellule ne peut augmenter au-delà d’une certaine valeur sans que la membrane ne se déchire, ces simulations indiquent qu’une baisse trop importante de l’activité de la pompe pourrait conduire à la mort cellulaire par déchirement de la membrane.
La figure 4.2 quant à elle montre la variation des concentrations d’ions lorsque la force de la pompe diminue. On constate des variations abruptes lorsque la force de la pompe est réduite en dessous de 5 pourcent de sa valeur initiale. Les courbes de concentrations s’inversent, les concentrations de sodium et d’ions chlorure croissent considérablement ceci tandis que la concentration de potassium croît.
Relative strength of the ATPase pump 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Ionic Concentrations (mM) 0 50 100 150 [Na] [K] [Cl]
Figure 4.2 – Activite ATPase par rapport à la concentration d’ions
on y voit une augmentation du potentiel au fur et à mesure qu’on diminue la force de la potentiel. Le potentiel de membrane tend vers 0 lorsque l’activité de la pompe tend vers 0. Ce comportement s’explique par le fait que l’activité de la pompe ATPase est la création d’une différence de potentiel entre le milieu intracellulaire et le milieu extracellulaire.
Pour chaque point d’équilibre, nous avons calculé les valeurs de la matrice Jacobienne évaluée en ce point d’équilibre. Toutes les valeurs propres obtenues étaient réelles et négative. La dernière figure 4.4 montre la valeur de la plus grande valeur propre en fonction de la force de la pompe. Comme cette valeur est toujours négative, nous avons que dans la gamme de paramètres étudiés, le point fixe auquel nous nous sommes intéressés est toujours stable. Par le théorème d’Hartman-Grobman, ce point fixe se comporte donc localement comme un puit. Si la plus grande valeur propre était devenue positive pour une certaine valeur de ρ, cela aurait indiqué la présence d’un point de bifurcation. Un tel phénomène se produit fréquemment dans les modèles neurones et il aurait été intéressant de découvrir ainsi un point de bifurcation. Le
Relative strength of the ATPase pump 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 membrane potential (mV) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Figure 4.3 – Activite ATPase par rapport au potentiel de membrane
fait que ce n’ait pas été le cas est probablement dû à la simplicité du modèle et à l’absence de canaux tensio-dépendants dans celui-ci.
Relative strength of the ATPase pump
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
real part of the largest eigen value
×10-4 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
Conclusion
Soucieux de comprendre le processus de changement constant du volume d’une cellule dans le corps humain ainsi que l’impact que cela pourrait avoir sur la santé lors d’une mauvaise régulation dudit volume, nous nous sommes intéressés aux astrocytes qui sont directement liés au cerveau et dont le dysfonctionnement pourrait être la cause de plusieurs maladies mentales telles que le gonflement des cellules cytotoniques [11], l’alzeihmer, la schizophrénie, la bipolarité et même la dépression [27]. Nous avons parcouru les différents aspects de la chose, allant de la physique et de la biologie, passant par les mathématiques , et nous avons atteri sur du numérique (simulation) afin de permettre une bonne compréhension notre travail. En effet, le but de notre étude était de modéliser le volume d’eau dans un astrocyte. Cette dernière étant une cellule assez petite et dont l’obtention des données fiables pour l’étude nécessitait l’apport de la microscopie digitale holographique, nous avons commencé par ex- pliquer en quoi consistait la DHM et tout en précisant son principe de fonctionnement. La DHM apparaît donc comme est un outil précieux et indispensable pour notre travail et dont les données assez précises ont été utilisées dans la modélisation numérique afin de rendre notre modèle plus réaliste.
Ensuite, nous avons parlé des neurones et des astrocytes afin de mieux expliquer leur fonc- tionnement et de leur rôle capital dans le cerveau, et surtout la nécessité de s’intéresser à la variation du volume de la membrane de telles cellules dans le processus de détection et de guérison de certaines pathologies.
Nous nous sommes rendus par la suite dans l’univers des théories mathématiques, pour un bref rappel sur les outils qui ont accompagné notre travail, plus précisément sur les systèmes dynamiques, à travers les équations différentielles ordinaires et la théorie des bifurcations qui ont servi à la construction dans l’étude et l’analyse de notre modèle. Le modèle utilisé a été assez simplifié, on remarquera que le ph n’est pas beaucoup considéré, cela est dû au fait qu’on n’a pas de raison de croire a priori que le pH joue un rôle important dans la régulation volumique car la concentration de protons demeure faible. L’étude était notamment basée sur la recherche des points fixes et l’étude de leur stabilité : nous avons obtenu un unique point fixe qui s’est avéré être stable, ce qui justifie quelque peu la variation continue du volume de la cellule et le maintien en état d’équilibre. Nous n’avons obtenu aucune bifurcation, cela
est sûrement dû à la simplicité du modèle ; en le rendant plus complexe, on pourrait en obtenir, et on expliquerait mieux les causes du dysfonctionnement et même du décès des astrocytes. Nous avons aussi procédé à des simulations numériques et nous avons constaté que la variation du paramètre que constitue la pompe ATPase avait un impact assez important sur la variation du volume de la cellule, des concentrations internes d’ions, ainsi que sur le potentiel de membrane. Nous avons ainsi observé que le volume de la cellule augmente lorsque la force de la pompe ATPase est réduite, cela peut conduire à un éclatement de la cellule, on peut ainsi dire que le point d’équilibre physiologique perd de sa stabilité lorsque les valeurs de la pompe sont réduites ; d’où l’intérêt de la maintenir à un certain pourcentage pour le bon fonctionnement de la cellule. L’ajustement d’une telle valeur pourrait permettre d’éviter ou de soigner certaines pathologies du cerveau causées par le dysfonctionnement des astrocytes lié à la mauvaise régulation du volume d’eau. Le grand défi serait donc d’ajuster ce paramètre théorique dans la vie courante et d’appliquer cela à la médecine. Le but de notre travail n’étant totalement pas atteint dû à l’abscence des bifurcations, une autre étude intéressante serait de modéliser ce volume sur un modèle contenant le CCC, le rendant ainsi plus complexe.
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