la méthode TR consiste à réserver un nombre de sous-porteuses dans la bande de fréquence allouée afin de générer le signal de correction d’où l’appellation méthode Tone Reservation, c’est-à dire une méthode à réservation de sous-porteuses. Le principe de la méthode TR est illustré sur la figure (2.1).
Bloc de r´eduction du PAPR
Signal OFDM x(t) Signal de correction c(t) Signal corrig´e x(t)+c(t) IFFT Sous-porteuses de donn´ees Sous-porteuses d´edi´ees au PAPR X0 X1 XS−1 XS XN−1 Sous-porteuses d´edi´ees au PAPR Sous-porteuses de donn´ees
Figure 2.1: Principe de la méthode TR
On peut voir sur cette figure que les sous-porteuses dédiées à la réduction du PAPR sont séparées des sous-porteuses de données [3]. L’avantage principal de la méthode TR est qu’elle peut être élaborée de façon à assurer le critère de compatibilité descendante. En effet, en faisant le choix de prendre uniquement les sous-porteuses non-utilisées du standard pour la génération du signal de correction, on peut réduire le PAPR à l’émission sans transmettre les informations sur leur emplacement au récepteur. Dans la suite de nos travaux nous ferons le choix de respecter le critère de compatibilité descendante lors de l’implémentation de la méthode TR.
2.3 Étude analytique de la méthode TR
Lorsque le nombre et l’emplacement des sous-porteuses dédiées à la réduction du PAPR, dites Peak Re- duction Tones (PRT), sont connus à l’avance, la méthode TR proposée par J. Tellado est à compatibilité descendante. En effet, S. Zabré [39] a proposé une modélisation du problème de réduction du PAPR proposé par J. Tellado par un Second Order Cone Program (SCOP), ce qui permet de générer le signal de correction du PAPR à partir des sous-porteuses non utilisées dans les différents standards encore ap- pelées SPN. L’utilisation des SPN a ainsi permis de rendre la méthode TR à compatibilité descendante. En effet, ces dernières sont fixes, et donc connues de l’émetteur et du récepteur. Dans ce contexte, les SPN sont utilisées comme PRT pour réduire le PAPR à condition de respecter le spectre d’émission exigé par le standard. Cette variante de la méthode TR est connue sous le nom de méthode TRNS.
De façon générale, le principe de la méthode TR et de ses variantes peut être énoncé comme suit : Soit X = [X0,· · · , XN−1] le vecteur de taille N contenant les données fréquentielles (symboles numériques) à partir desquelles le signal OFDM x(t) est généré dans le domaine temporel et soit C = [C0,· · · , CN−1] le vecteur contenant les échantillons du signal de correction dans le domaine fréquentiel de taille N. Par définition, les vecteurs X et C sont orthogonaux, c’est-à-dire :
Xk× Ck= 0, k = 0,· · · , N − 1 (2.3)
Posons RPRT = {e
0,· · · , eL} l’ensemble ordonné des indices des L sous-porteuses réservées à la réduction du PAPR (L < N). Le vecteur fréquentiel à transmettre après la réduction du PAPR peut être
exprimé comme suit[3] : X + C = Xk si k /∈ RPRT Ck si k∈ RPRT (2.4) Le signal temporel résultant s’obtient par l’algorithme IFFT tel que :
x + c = Q (X + C) (2.5)
où Q est la matrice d’IFFT de taille N × N permettant le passage du domaine fréquentiel au domaine temporel et définie par :
Q = 1 1 1 . . . 1 1 u u2 . . . uN−1 1 u2 u4 . . . u2(N−1) 1 u3 u6 . . . u3(N−1) ... ... ... . .. ... 1 uN−1 u2(N−1) . . . u(N−1)(N−1) (2.6)
où u = ej2πN est le terme générique de la matrice Q et j =√−1.
Dans le domaine temporel discret, un facteur de sur-échantillonnage d’au moins 4 est nécessaire pour une bonne approximation du PAPR [72]. Dans la suite, on considérera que les signaux x(t) et c(t) sont sur-échantillonnés avec un facteur 4.
À noter que l’ensemble RPRT est remplacé par l’ensemble des SPN dans la méthode TRNS afin d’assurer le critère de compatibilité descendante comme illustré à la figure (2.2) pour un symbole OFDM.
X C X + C
Sous-porteuses pilotes et de donn´ees utiles
Sous-porteuses nulles ou non utilis´ees
0· · ·0 0· · ·0
0· · · 0
Sous-porteuses pilotes et de donn´ees utiles
Figure 2.2: Exemple de réduction du PAPR en utilisant les sous-porteuses nulles
Les SPN sont en général placées à l’extrémité de chaque symbole OFDM avec la méthode TRNS [3]. Comme le montre la figure (2.2), l’objectif de la méthode TRNS est de déterminer le signal de correction C à insérer à l’emplacement de ces sous-porteuses de façon à réduire le PAPR du signal original. 2.3.1 Formulation du problème d’optimisation
À partir de l’équation (2.5), nous pouvons maintenant définir le PAPR du signal à transmettre par la relation suivante (cf. Chapitre 1) :
P AP R = max 0≤n<N|xn+ cn| 2 E [|x + c|2] (2.7)
2.3. Étude analytique de la méthode TR
Le fait d’ajouter un signal pour la réduction du PAPR n’est pas toujours sans conséquence. En effet, il y a ajout d’une puissance additionnelle, ce qui risque de dégrader la qualité de transmission. L’objectif de la méthode TR est donc de réduire le PAPR en agissant uniquement sur le vecteur C, ce qui se traduit par la relation suivante[38] :
min c P AP R{x + c} = minc max n |xn+ cn| 2 E [|x|2] , 0≤ n < N (2.8)
Comme le dénominateur de l’équation (2.8) ne dépend pas du signal de correction c, le problème de minimisation du PAPR est alors équivalent à la relation suivante :
min c maxn |xn+ cn| 2 = min c ||x + c||∞ = min C ||QX + QC||∞ (2.9)
où || · ||∞est la norme infinie1.
Le problème de réduction du PAPR donné par l’équation (2.9) est un problème d’optimisation con- vexe de variable C [107] et peut être formulé comme un problème QPQC (Quadratic Program with Quadratic Constraints) qui admet au moins une solution optimale [36].
La résolution des problèmes QPQC a fait l’objet de nombreux travaux de recherche dans la littéra- ture. Dans [72] par exemple, J. Tellado a utilisé l’algorithme du gradient classique pour résoudre ce problème d’optimisation, mais avec une complexité très importante. Dans [108], S. Litsyn a proposé un algorithme du gradient avec une complexité de calcul relativement réduite. Malgré le gain de réduction du PAPR qu’offre l’algorithme du gradient et ses variantes, l’approche QPQC ne permet pas de prendre en compte la variation de la puissance moyenne du signal ainsi que le nombre de sous-porteuses et leurs emplacements.
Dans [39], S. Zabré a modélisé le problème d’optimisation de l’équation (2.9) sous la forme SOCP2. Cette modélisation permet de prendre en compte la variation de la puissance moyenne au détriment d’une complexité de calcul plus élevée.
Dans [3], B. Koussa a proposé une analyse des performances d’autres algorithmes itératifs pour la recherche du signal de correction en termes de vitesse de convergence, d’augmentation de la puissance moyenne du signal corrigé et de gain de réduction du PAPR. Les résultats montrent que l’algorithme du gradient conjugé et l’algorithme de Marquardt-Levenberg [109] qui combine l’algorithme du gradient et la méthode de Quasi-Newton [110] offrent un bon compromis entre les performances de la méthode TRNS et l’augmentation de la puissance moyenne du signal corrigé.
Notre objectif ne sera pas de proposer une nouvelle forme de modélisation du problème d’optimisation car elle est déjà largement étudiée dans la littérature. En revanche, nous nous servirons de ces études pour proposer une implémentation de l’approche que nous présenterons dans la suite de ce chapitre. 2.3.2 Inconvénients de la méthode TR
Malgré son utilisation très répandue dans les standards de communication, la méthode TRNS possède quelques inconvénients. Tout d’abord, pour assurer le critère de compatibilité descendante de la méthode TR, les standards actuels utilisent les SPN pour ajouter le signal de correction du PAPR. Ces SPN sont situées en général aux extrémités de la bande de fréquence allouée, ce qui peut engendrer des remontées spectrales et donc causer des interférences avec les canaux adjacents. Ensuite, les performances de la méthode TRNS sont limitées au nombre de SPN disponibles. Ainsi, lorsque le nombre de SPN est faible, la capacité de correction offerte par la méthode TRNS diminue. Un autre inconvénient de la
1Maximum des valeurs absolues des éléments d’un vecteur 2Second Order Cone Programming
méthode TR, mais qui est inhérent à toutes les méthodes basées sur l’ajout d’un signal de correction, est l’augmentation de la puissance moyenne du signal à transmettre.
Au vu de ces différents inconvénients, notre objectif dans la suite consistera à proposer une solution pour améliorer le gain de réduction du PAPR de la méthode TRNS. Il s’agira d’exploiter les possibil- ités offertes par l’ajout du signal de l’intervalle de garde sans pour autant modifier fondamentalement l’architecture des systèmes OFDM. De même, la solution envisagée doit avoir un impact négligeable sur la qualité de transmission.