1.1• L’exemple des fonctions exponentielles
Nous avons vu que pour tout a ∈ C, la fonction f de R dans C définie par
f (t) = eat est dérivable, et vérifie pour tout t ∈ R : f (t) = aeat= a f (t). On
dit que f est solution de l’équation différentielle y − ay = 0.
Réciproquement, soit y une solution quelconque de cette équation ; posons pour
t ∈ R : y(t) = z(t)eat. En dérivant, on obtient :
y (t) = z (t)eat+ a z(t)eat, d’où y (t) − a y(t) = z (t)eat. La fonction y vérifie
l’équation différentielle si et seulement si : z (t) = 0, c’est-à-dire z(t) = Cte.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y − ay = 0 est donc
l’en-semble des fonctions y de la forme : y(t) = C eat.
Une solution est caractérisée par la constante C, c’est-à-dire y(0).
La fonction exponentielle t → eat est l’unique solution de l’équation
diffé-rentielle y − ay = 0 qui vérifie y(0) = 1.
1.2• Équation linéaire du premier ordre
sans second membre
ATTENTION
On résistera à la tentation d’écrire
y
y = · · · , car cela conduirait à ne
chercher que des solutions y qui ne s’annulent pas.
Inspirons-nous de ce qui précède pour résoudre l’équation différentielle :
y + a(t) y = 0 (1)
où a est une fonction continue à valeurs réelles ou complexes de la variable réelle t. Comme a est continue sur R, elle admet une primitive A. La fonction
f définie par f (t) = e−A(t) est dérivable, et vérifie pour tout t ∈ R :
f (t) = −A (t)e−A(t)= −a(t) f (t). f est donc solution de l’équation (1). Réciproquement, soit y une solution quelconque de cette équation ; posons pour
t ∈ R : y(t) = z(t)e−A(t). En dérivant, on obtient :
y (t) = z (t)e−A(t) − A (t) z(t)e−A(t), d’où y (t) + a(t) y(t) = z (t)e−A(t). La fonction y vérifie l’équation différentielle si et seulement si : z (t) = 0,
c’est-à-dire z(t) = Cte.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y + a(t)y = 0 est
l’en-semble des fonctions y de la forme : y(t) = C e−A(t), où A est une primitive
de a.
Remarque : Une équation de la forme a(t)y + b(t)y = 0 pourra être résolue de
cette façon sur un intervalle où la fonction a ne s’annule pas. Nous verrons plus loin comment « recoller », lorsque c’est possible, deux solutions de part et d’autre d’un point où a(t) = 0.
1.3• Équation linéaire du premier ordre
avec second membre
Considérons maintenant l’équation différentielle :
y + a(t) y = b(t) (1) Ha ch et te Li vr e– HP répa /M ath –L ap hotocopie non autorisée est un délit
COURS 3
Équations différentielles linéairesoù a et b sont deux fonctions continues à valeurs réelles ou complexes de la
variable réelle t. Soit y1 et y2 deux solutions de l’équation (1). On peut
écrire :
y1+ a(t) y1 = b(t)
y2+ a(t) y2 = b(t)
En retranchant membre à membre, on obtient :
y1− y2+ a(t)(y1− y2) = 0
La fonction y1− y2 vérifie l’équation sans second membre :
y + a(t)y = 0 (2)
que nous avons déjà appris à résoudre au paragraphe précédent.
Réciproquement, si y0 est une solution quelconque de (2) et y1 une solution de
(1), on peut écrire :
y1+ a(t) y1 = b(t)
y0+ a(t) y0 = 0
En ajoutant membre à membre, on obtient :
y1+ y0+ a(t)(y1+ y0) = b(t)
c’est-à-dire que la fonction y1+ y0 vérifie l’équation (1).
On obtient donc toutes les solutions de l’équation (1) en ajoutant à y1 une
solution quelconque de l’équation (2). On peut énoncer :
Théorème 1
La solution générale de l’équation différentielle linéaire du premier ordre :
y + a(t) y = b(t) (1)
est la somme d’une solution particulière de (1) et de la solution générale de l’équation sans second membre associée :
y + a(t) y = 0 (2)
Remarque : La structure des solutions fait penser à celle d’une droite D : l’ensemble
des points de D est obtenu à partir d’un point particulier A en ajoutant un vecteur quelconque de la droite vectorielle −→D .
Il reste à déterminer une solution particulière de l’équation. On pourra souvent reconnaître une solution évidente.
Exemple : Résoudre l’équation différentielle : y − ty = 2t (1).
L’équation sans second membre associée s’écrit : y −ty = 0 ; sa solution générale
est y = Cet22.
Une solution évidente de l’équation (1) est : y = −2. La solution générale est donc :
Équations différentielles linéaires
3 COURS
On peut aussi utiliser leprincipe de superposition: si y1 est une solution de
l’équation y −a(t)y = b1(t) et y2 une solution de l’équation y −a(t)y = b1(t),
alors y1+ y2 est solution de l’équation y − a(t)y = b1(t) + b2(t).
Exemple : Résoudre l’équation différentielle : y − ty = t3 (1).
Remarquons que t3= 2t − (2t − t3).
L’équation y − ty = 2t a pour solution évidente : y1= −2.
L’équation y − ty = 2t − t3 a pour solution évidente : y2= t2.
L’équation (1) a donc pour solution particulière : y = y1− y2= −2 − t2.
La solution générale est donc :
y = −2 − t2+ Cet22
Pour s’entraîner : ex. 2
1.4• Méthode de la variation de la constante
Lorsqu’il n’est pas possible de trouver une solution évidente, même par le prin-cipe de superposition, on peut chercher une solution particulière de l’équation
y + a(t)y = b(t) sous la forme : y = C(t)e−A(t), c’est-à-dire en remplaçant dans l’expression de la solution générale de l’équation sans second membre la constante
C par une fonction C(t), que l’on supposera dérivable.
On a donc : y (t) = C (t)e−A(t)− C(t)a(t)e−A(t).
En reportant dans l’équation différentielle, il reste : C (t)e−A(t)= b(t), d’où :
C (t) = b(t)eA(t)
On peut donc trouver la fonction C par une recherche de primitives.
Exemple : Résoudre l’équation différentielle :
y − ty = tet22 (1)
La solution générale de l’équation sans second membre est :
y = Cet22 ; cherchons une solution de l’équation (1) sous la
forme : y = C(t)et22. En reportant dans l’équation différentielle,
il reste : C (t) = t, d’où : C(t) = t2
2.
Remarque : Il est inutile d’écrire une constante d’intégration, puisqu’on cherche
seule-ment une solution particulière ; cette constante apparaîtra lorsqu’on ajoutera la solution générale de l’équation sans second membre.
La solution générale de l’équation (1) est donc :
y = t22et22 + Cet22 Ha ch et te Li vr e– HP répa /M ath –L ap hotocopie non autorisée est un délit
COURS 3
Équations différentielles linéaires1.5• Condition initiale
y O y0 t0 tDoc. 1 Solution déterminée par une
condition initiale
La solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre dépend d’une constante.
y(t) = y1(t) + Ce−A(t)
Pour déterminer cette constante, il suffit de connaître une condition initiale,
c’est-à-dire la valeur de la fonction en un point donné : y(t0) = y0 (Doc. 1).
On doit avoir : y0 = y1(t0) + Ce−A(t0), d’où : C = (y0− y1(t0))eA(t0).
D’où le résultat :
Théorème 2
Soit l’équation différentielle y +a(t)y = b(t). Une condition initiale de la forme
y(t0) = y0 détermine une solution et une seule.
Remarque : Si l’équation est de la forme :
a(t)y + b(t)y = c(t),
la condition initiale doit être choisie telle que a(t0) = 0 ; l’existence
et l’unicité de la solution sont garanties dans tout intervalle contenant t0 sur lequel la fonction a ne s’annule pas, mais pas nécessairement sur une réunion de tels intervalles.
Exemple : Étudier l’ensemble des solutions de l’équation
diffé-rentielle y cos t + 2y sin t = 1 + sin2t, vérifiant la condition
initiale y(0) = 0.
Considérons l’intervalle I = −π2,π2 , sur lequel la fonction cos t ne s’annule
pas. Sur I, l’équation devient :
y + 2y tan t = 1 + sincos t2t
L’équation sans second membre y + 2y tan t = 0, admet pour solution générale :
y = C cos2t. Une solution évidente de l’équation complète est : y = sin t. D’où
la solution générale sur I :
y = sin t + C cos2t
La condition initiale y(0) = 0 détermine une solution unique sur I :
y = sin t
Cependant, en −π2 et en π2, cette fonction se prolonge en une fonction continue
et dérivable, de dérivée nulle. Ainsi, toute fonction de la forme :
y = sin t + Ck cos2t où Ck= Cte sur −2π+ kπ,π2 + kπ et C0= 0 est solution sur tout R et vérifie la condition initiale. L’unicité de la solution se
perd aux points singuliers t = ±π2 (Doc. 2).
Équations différentielles linéaires
3 COURS
− π2 −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
Doc. 2.