Éléments théoriques

II.1.1.1 Sollicitations dues à des chocs

Dans le cas de chocs comme des explosions, les sollicitations appliquées à l’ouvrage dépendent de très nombreux paramètres. Ainsi, pour les chocs, la force d’impact dépend de la géométrie des deux corps impactants, de leur raideur, de leur masse, de leur vitesse initiale, etc.

Une des difficultés dans les problèmes de chocs réside dans la quantification des échanges d’énergie. Dans tous les cas, les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement s’appliquent pour décrire le choc entre deux masses ponctuelles. Ainsi, en considérant deux masses ponctuelles « m1 » et « m2 » animées respectivement de vitesses « » et « v^G₁ v^G₂ », avant choc et « » et « v^G₁′ v^G′₂ », après choc, la conservation de la quantité de mouvement, indépendamment de toute action extérieure, s’écrit [MES, 99] :

1 1 2 2 1 1 2 2

m v^G +m v^G =m v^G′+m v^G′ (II.1)

Ce même principe de conservation de la masse, appliqué à l’une des masses seulement, permet de faire apparaître l’impulsion « ^GI » :

-2 -2 2 2 c

t t

m v - m v^G′ ^G = =^GI

∫

où représente l’effort de contact appliqué par la masse « mF^G_c 1 » à la masse « m2 » pendant la durée du choc « ∆t = t+ - t- ». Si le temps d’application de la force devient très petit, l’impulsion devient alors un choc ou une percussion [LAR, 86]. Suivant la nature des corps, et la durée du choc la force de contact, ou de percussion, a des grandeurs très différentes.

Pendant la phase de contact entre les deux corps, une certaine quantité d’énergie peut être dissipée. Dans la pratique, pour le cas de solides indéformables, cette perte d’énergie est quantifiée à l’aide d’un coefficient « e » de restitution défini par le rapport soit des vitesses soit des énergies cinétiques relatives avant (respectivement ∆v et ∆Ec) et après choc (respectivement ∆v’ et ∆Ec’) [CHA, 02] :

v ' e v ∆ = ∆ ^{(II.3) ou} Ec ' e Ec ∆ = ∆ ^(II.4)

Les deux cas extrêmes, à savoir e = 1 et e = 0, correspondent respectivement à un choc parfaitement élastique (aucune dissipation d’énergie) et à un choc mou ou parfaitement

la vitesse d’impact, des dimensions des corps entrant en collision, ainsi que de leurs propriétés élastiques et viscoélastiques.

La prise en compte de la déformabilité introduit des échelles à la fois spatiale et temporelle. En effet, d’une part un effort de contact se développe sur une zone de contact évolutive au cours du temps et d’autre part le choc engendre des ondes qui provoquent une mise en mouvement de l’ensemble de la structure. Les impacts sur des structures se découplent donc en deux problèmes : l’évaluation de l’effort de contact et le calcul de la réponse de la structure. Le début de la réponse de la structure peut être traité notamment à l’aide de différents schémas d’intégration temporelle de base modale. En revanche, l’étude du mouvement ultérieur de la structure est déterminée par des méthodes d’intégration implicites afin de limiter le nombre de pas de temps [MES, 99]. Concernant la détermination de l’effort de contact, plusieurs formulations existent, pour les impacts entre un solide et un plan, dépendant des hypothèses faites sur la nature du contact.

II.1.1.2 Effort de percussion

II.1.1.2.1 Contact élastique

De nombreuses équations, exposant la valeur de l’effort de contact entre deux corps soumis à une compression mutuelle, ont été étudiées. La relation classiquement utilisée est dérivée de la théorie du contact élastique de Hertz. Les hypothèses à vérifier sont à la fois celles de l’élasticité et de la quasi-staticité, qui sont, pour le contact entre une sphère et un plan :

• la collision se réalise sans dissipation d’énergie ; la sphère rebondit donc avec une énergie égale à son énergie incidente [LIF, 63] ;

• les surfaces sont topographiquement lisses, c’est-à-dire continues ;

• les dimensions significatives de l’aire de contact doivent être petites par rapport aux dimensions de chaque corps et au rayon de courbure relatif des surfaces ;

• chaque corps est considéré comme un milieu semi-infini et les déformations sont petites.

H. Hertz démontre en 1896 [HER, 96] que le domaine de contact est délimité par une ellipse, quelle que soit la géométrie initiale des corps. La force de contact « F » s’exprime en fonction de la profondeur d’interpénétration « δ » (figure II.1) selon l’équation (II.5) [JOH, 85].

3/ 2

F K= δ (II.5)

avec, pour une sphère de rayon « R » :

-1 2 2 p s s p 1-ν 1-ν 4 R K= + 3 E E ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎟⎟ (II.6)

Es, Ep = modules d’Young de la sphère et du plan

νs, νp = coefficients de Poisson de la sphère et du plan

En considérant une sphère de rayon « R », de masse « m » et de vitesse « vimp », entrant en collision avec un plan immobile, la force de contact maximale « Fmax » apparaissant au cours de la collision vaut [FAL, 97] :

3/ 5 2/ 5 6 / 5 max imp 5m F K 4 ⎛ ⎞ = ⎜_⎝ ⎟_⎠ ^{v (II.7)}

δ a R Plan indéformable Sphère

figure II.1 : interpénétration d’une sphère dans un plan indéformable

La théorie de Hertz donne des résultats très concluants dans la prédiction d’observations expérimentales du processus d’indentation, aussi bien sous des conditions statiques que dynamiques, tant que des déformations plastiques trop importantes n’apparaissent pas. Or, lors d’un contact entre un bloc rocheux et une dalle en béton à une vitesse assez élevée, le bloc se fracture et l’utilisation directe de la théorie de Hertz pour déterminer l’effort de contact peut s’avérer difficile.

II.1.1.2.2 Contact non-élastique

La variation de la force de contact « F » pour une compression quasi-statique d’une sphère de rayon « R » avec des déformations permanentes dans un rayon « a » a été déterminée empiriquement par Meyer [TAB, 51] à partir d’une grande série de tests :

n

F k a= (II.8) où k ^C_{n 2}

R ⁻

= (II.9)

où C et n sont des constantes dépendant des matériaux.

Pour un impact entièrement plastique, entre une sphère infiniment rigide et un plan déformable (n = 1), la force « F » peut s’exprimer par :

2 0

F= πp (2 Rδ − δ ) (II.10)

ou F 2 p R≈ π ₀ δ (II.11)

avec p0 = pression moyenne limite à l’interface sphère-plan

δ = distance d’interpénétration entre les deux corps

Les valeurs suivantes pour la pression moyenne limite « p0 » à l’interface sphère-plan sont données, avec « σy » la limite élastique de compression du matériau constituant le plan, par :

• p0 = 1,1 σy, lorsque l’on est à la limite de l’apparition des déformations plastiques [GOL, 60],

• p0 = 3 σy, lorsque l’on est dans des conditions de déformations totalement plastiques [TAB, 51],

• 2,69 σy < p0 < 3,13 σy, selon les essais réalisés par van Mier [VAN, 91] entre une sphère en béton et une pile indéformable.

J. J. Jensen et K. Hoiseth [JEN, 83], au travers d’impacts entre une sphère en acier et une plaque en béton, et J. G. M. van Mier [VAN, 91], par l’intermédiaire d’essais de chocs entre un impacteur en béton et une pile en béton indéformable, ont montré que l’évolution de l’effort de contact au cours du temps se décomposait en trois phases différentes (figure II.2) :

• Une première phase avec une élévation constante de l’effort attribuée au comportement élastique des matériaux. La relation effort-temps peut être évaluée par une fonction sinus [REI, 85] ; cependant, si aucune fissure locale ou écrasement du béton n’apparaît très rapidement, la fonction sinus peut être approchée par une ligne droite. La pente de cette droite dépend du paramètre de contact « K » de la théorie de Hertz [équations (II.5) et (II.6)] ;

comportement plastique des matériaux. Cette phase débute lorsque les fissures et l’écrasement du béton jouent un rôle prépondérant, c’est-à-dire quand la contrainte limite de rupture du béton à l’interface « p0 » est atteinte, soit, pour une force « Fmax »:

Fmax = σ0 Sp (II.12)

avec Sp = aire de la zone plastifiée ;

• Une troisième phase avec une restitution élastique après que l’effort maximal a été atteint. Cette phase peut être calculée à partir de la théorie de Hertz, en connaissant la raideur et la surface de la zone élastique restante du matériau.

Effort de contact

temps

t1 t2 t3

1 2 3

F_max

figure II.2 : modèle élasto-plastique simplifié de l’évolution de l’effort de contact au cours du temps

Dans le cas de la pénétration d’un impacteur de forme conique ou pyramidale dans une surface plane, la phase initiale élastique n’est pas présente et les déformations plastiques sont générées instantanément [GOL, 60]. Plusieurs relations supposant une contrainte de rupture à l’interface bloc-plan constante et négligeant la restitution [TAB, 51] [DAV, 60] ont été proposées, la plus simple étant :