méthode d'éléments finis

Ce travail a fait l’objet d’un article en cours de révision [12] et a été présenté en congrès [34]. 3.2 Méthode d’éléments finis pour les équations RNS/P Les équations de Navier-Stokes Réduites/Prandtl (RNS/P) sont obtenues asymptotiquement à partir des équations de Navier-Stokes incompressibles lorsque la longueur caractéristique du domaine dans la direction principale d’écoulement est prédominante sur les autres. Elles pré- sentent un intérêt tout particulier pour les écoulements dans des tubes longs ou pour des surfaces libres de faible épaisseur [86]. Bien que cela ne soit pas leur seule motivation, elles ont prin- cipalement servi pour la modélisation d’écoulements en biomécanique, comme les écoulements sanguins [86], et elles intervenaient également dans mes travaux de thèse pour la description de l’écoulement d’air dans les voies aériennes supérieures [2].

Optimisation spatiale et spectrale Avant de décrire entièrement la configuration des simulations qui seront effectuées dans la suite, il est important de noter que Moulin (2016) et Wasselet (2016) sont parvenus à une méthode d’éléments spectraux optimale. L’utilisation d’un maillage transfini et régulier paral- lèle à l’écoulement d’entrée permet d’éviter l’asymétrie induite par un maillage non régulier et donc de produire une portance non-nulle. De plus, la combinaison petit nombre d’élé- ments/méthode spectrale réduit drastiquement la durée de calcul et la mémoire nécessaire aux simulations tout en ayant des résultats identiques à la combinaison grand nombre d’élé- ments/méthode d’éléments finis. Cela est possible grâce à deux choses. La première est la réduction du nombre de degrés de liberté de la solution qui permet un gain remarquable en mémoire. La seconde est le nombre de coefficients non-nuls des matrices triangulaires L et U . À titre informatif, Moulin (2016) a utilisé une interpolation spatiale P 6 P 5 et un maillage

L'objectif principal de cette simulation est de calculer la distribution du potentiel et du Champ électrique le long d'une chaîne d’isolateurs type capot et tige en verre. Comme il était très difficile de mesurer expérimentalement de façon pré cise la distribution du potentiel et surtout du champ électrique le long d'un Isolateur, l'utilisation d'une méthode numérique par l'intermédiaire d'un logiciel s'est avérée être une des meilleures solutions. À cet effet, la méthode des éléments finis est la mieux adaptée au problème posé. L’utilisation et l’application des logiciels basés sur cette méthode numérique couvrent généralement un domaine plus vaste que le problème étudié et dans certains cas, ils ne répondent pas aux exigences spécifiques d’un problème. Cependant, ils offrent souvent une interface simplifiant la modélisation du problème (interface de conception et définition des propriétés des matériaux), la résolution du problème (définition des conditions initiales et conditions aux limites, maillage automatique ainsi que différents solveurs) et enfin, la visualisation des résultats (affichage des résultats sous forme de courbes, d'équipotentiels, de vecteurs, etc.…).

- la démarche la plus récente de ZIENKIEWICZ et ZHU, qui utilise l'écart en énergie entre la contrainte élément finis calculée et une contrainte obtenue par lissage. 4.2 Adaptativité Le maillage (qualité et taille) joue sur la qualité de la solution éléments finis. Pour obtenir une qualité cible prescrite par l'utilisateur, il faut pouvoir adapter le maillage. Le couplage d'une méthode de remaillage avec les techniques de calcul d'erreur de discrétisation et les mailleurs automatiques permet l'adaptation des maillages. La méthode de remaillage la plus couramment utilisée est basée sur une reconstruction complète de maillage à partir d'une carte de modification de taille fournie par le calcul d'erreur par élément.

5 Conclusion Ce cas d’étude a permis de mettre en place la méthode de l’extraction de Bézier de façon globale. Ainsi à partir d’un maillage NURBS initial, il est possible de créer une structure élémentaire permettant de s’intégrer dans des codes industriels préexistants. Les opérateurs créée dans un tel code éléments finis n’ont plus qu’à être projetés sur la base NURBS afin d’obtenir le résultat isogéométrique.

Université de Nantes Atlantique, Ecole Centrale de Nantes, UMR CNRS 6183 anthony.nouy@univ-nantes.fr RÉSUMÉ. Les méthodes éléments finis stochastiques offrent un outil robuste pour la prise en compte dans le calcul de structure des aléas sur les propriétés matériau et les chargements. L’aléa portant sur la géométrie reste cependant un point mal maîtrisé dans le cadre de ces techniques. Afin de répondre à cette problématique, nous proposons une nouvelle méthode ba- sée sur une extension de la méthode éléments finis étendus (X-FEM) au cadre stochastique. Cette méthode repose sur trois points : la description implicite de la géométrie par des level- sets aléatoires, l’utilisation d’une approximation de Galerkin au niveau stochastique et spa- tial et l’utilisation de la méthode de la partition de l’unité pour l’enrichissement de l’espace d’approximation.

Récemment, les modèles introduisant une discontinuité au sein du champ de déplacement ont montré leur efficacité à quantifier la fissuration dans le béton. Deux grandes familles peuvent être distinguées : X-FEM [Dolbow and Belytschko, 1999] fondé sur un enrichissement nodal et E-FEM [Oliver, 1996] qui est fondé sur un enrichissement au niveau de l’élément. Les deux approches permettent de décrire la fissuration de manière na- turelle et plus particulièrement l’ouverture de fissure ou l’espacement entre fissures. Dans cette étude, la méthode E-FEM a été choisie. Le caractère local de cette méthode permet de condenser la discontinuité et ainsi réduire le coût de calcul par rapport à la méthode X-FEM. De plus, la méthode E-FEM est peu intrusive dans les codes de calculs aux éléments finis actuels. Une loi de comportement dite discrète est obtenue à l’aide de modèles conti- nus d’endommagement ou de plasticité formulés à partir d’une cinématique discontinue. Cette loi, exprimée en termes de vecteur traction/ouverture de fissure, rend compte des mécanismes dissipatifs concentrés au sein de la discontinuité.

En alternative à ces approches « classiques », l’attention s’est portée sur les possibilités offertes par la simulation numérique du déplacement orthodontique, grâce à la méthode des éléments finis (MEF) 7 qui sera détaillée en deuxième partie. Cette méthode offre la possibilité de modéliser des situations complexes, permettant de résoudre les équations de l’équilibre mécanique si l’on connaît avec précision la géométrie du modèle, les lois de comportement des matériaux le composant, les conditions aux limites et le chargement exercé. Les progrès de la biologie, de l’informatique et de l’imagerie médicale ont permis d’améliorer notablement les modèles utilisés pour ces simulations, qui peuvent désormais se baser sur l’anatomie réelle tridimensionnelle d’un sujet. Quel que soit le degré de détail d’un modèle, une modélisation biomécanique par MEF constitue une approximation numérique de la réalité biologique : les résultats restent des hypothèses de travail tant que ceux-ci ne sont pas validés à partir de données expérimentales 8 .

3.2 PROBLÉMATIQUE Les méthodes numériques ne cessent de croître en popularité dans tous les domaines de l'ingénierie. Parmi celles-ci, la méthode des éléments finis (MEF) se démarque pour sa versatilité. Celle-ci repose sur le principe qu'un corps solide soumis à l'action de forces extérieures doit être discrétisé en petites parties appelées sous-domaines, dont le nombre est fini. Une telle procédure définit la discrétisation par la MEF qui consiste à remplacer un domaine continu, i.e. un domaine ayant une infinité de degrés de liberté, par un domaine discret ayant un nombre de degrés de liberté fini. Cependant dans l'application de cette méthode au travail du sol, deux domaines discrets (ou plus) interagissent. Par exemple, le sol et l'outil constituent l'exemple le plus éloquent utilisé dans presque toutes les recherches dans ce secteur (Chi et Kushwaha 1991). Yong et Hanna (1977) et Gee- Clough et al. (1994) ont créé deux autres domaines en établissant artificiellement une ligne de rupture du sol définissant une interface sol-sol (Fig. 3.1) dans le but de simuler le mouvement continu d'un outil. Ce qui implique la prise en charge de relations pour définir le contact entre ces deux nouveaux domaines.


 . On se place en hypothèse des petites perturbations et en régime isotherme. Dans le cadre déterministe, ce problème peut être résolu par la méthode des éléments finis : de nombreuses techniques ont été développées pour traiter la vérification de ce type de problème. Le lecteur pourra trouver un état de l’art en matière de vérification dans [LAD 04, BAB 01, LAD 98]

Après, section IV, nous abordons les méthodes numériques nécessaires pour résoudre le problème éléments finis modélisé dans la section III. La méthode numérique est présentée ainsi que tous les paramètres de résolution nécessaires non seulement pour comprendre et op- timiser les algorithmes utilisés, mais aussi pour pouvoir donner une interprétation pertinente des résultats obtenus. Nous constatons qu’il existe des valeurs propres nulles dans la section IV.1. Parmi ces valeurs propres nulles certaines sont identifiées comme solutions parasites. Nous indiquons d’abord comment éliminer toutes les valeurs propres nulles dans la section IV.4 et ensuite, dans la section IV.5, nous identifions les solutions parasites afin de les écarter du résultat final. Un algorithme d’élimination automatique de ces solutions est présenté pour les problèmes de cavités métalliques avec les fonctions de base que nous utilisons. Cet algo- rithme ne fonctionne pas pour les problèmes périodiques à moins de monter en ordre comme c’est évoqué dans l’article [37].

La présente étude traite du développement d’une méthodologie pour évaluer la résistance statique d’un joint riveté. Dans la présente recherche, le rivet solide Aerolock en aluminium 2117-T4 est utilisé pour assembler deux tôles d’aluminium 2024-T3. La méthode des éléments finis (MÉF) est utilisée afin de prédire la résistance statique du joint riveté ainsi formé à l’aide du logiciel ANSYS Workbench. Pour ce faire, l’installation du rivet ainsi que l’essai de traction sont modélisés et résolus implicitement. Une caractérisation rigoureuse des matériaux permet d'évaluer avec précision la résistance statique du joint riveté analysé. Pour ce faire, la rupture est obtenue à l’aide d’une zone de cohésion préalablement définie dans le plan de cisaillement du corps du rivet. L’analyse de la rupture obtenue expérimentalement à l’aide d’un joint riveté de 2,03 mm d’épaisseur permet de valider la rupture prédite par le modèle d’éléments finis.

L’utilisation de la méthode des Éléments Finis pour prédire le comportement local des matériaux cristallins à partir des champs mécaniques locaux, s’est développée en 1980 avec les travaux de Peirce et al. [1]. Cette approche s’est généralisée du fait de l’augmentation de la puissance de calcul, qui permet actuellement de traiter des agrégats cristallins représentatifs de matériaux comportant plusieurs centaines de grains ou phases [2]. L’intérêt des approches multicristallines est de décrire au mieux les interactions entre grains et les effets des joints de grains. Cela suppose une bonne description spatiale de la morphologie de chaque grain et de leur orientation cristallographique.

Mots clés — corrélation d’images numériques, couplage de domaines, multi-échelles, calcul parallèle. 1 Introduction La Corrélation d’Images Numériques (CIN) est aujourd’hui une technique de mesure reconnue et largement utilisée pour l’analyse du comportement de matériaux et de structures. Ceci s’explique cer- tainement par le fait que c’est une méthode de mesure polyvalente (2D, 2.5D, 3D), multi-échelles, peu onéreuse, relativement simple d’utilisation et capable de fournir une grande quantité d’informations avec une précision adaptable. Parmi les différentes familles de méthodes CIN, celle basée sur les éléments finis (CIN-EF [17, 8, 4, 5]) apparait comme une alternative crédible dans la communauté de la méca- nique des structures. En effet, avec la CIN-EF, il devient commode d’associer les mesures aux calculs issus de logiciels de simulation numérique puisqu’alors, les deux reposent sur les éléments finis pour l’interpolation des champs cinématiques.

3.1 Introduction Ce chapitre est organisé de la manière suivante : dans la section 1, nous introdui- sons quelques notations nécessaires, puis nous donnons une formulation variationnelle de notre problème de modèle. Nous établissons, à la section 2, un critère d’arrêt pour le processus itératif dans le cas continu. Dans la section 3, une estimation d’erreur a pos- teriori est proposée pour la convergence de la solution discrétisée à l’aide de la méthode des éléments finis sur les sous-domaines. Nous concluons cette section par une adapta- tion des techniques d’analyse d’erreur résiduelle a posteriori pour donner une estimation a posteriori dans le cas discret.

Les objectifs de ce nouveau système sont d’abord de réduire les mouvements entre le GT et le fémur, mais aussi de fournir un profil le plus bas possible. Un « profil bas » a pour avantage de diminuer la friction entre les muscles et la plaque pouvant ainsi diminuer les risques de bursite et de douleur. La géométrie en « Y » de la plaque contourne la protubérance du GT favorisant un « profil bas ». Or, les dimensions utilisées pour la conception initiale de la plaque semblent être surdimensionnées. L’objectif de ce mémoire est le raffinement des dimensions de la plaque Y3 à l’aide de la méthode par éléments finis. Le modèle est composé de la partie proximale du fémur avec une ostéotomie du GT et la plaque Y3 utilisant des vis pour maintenir le grand trochanter. En accord avec les essais expérimentaux, la base du fémur est encastrée et des charges sont appliquées sur la tête fémorale et le GT simultanément. Une analyse de la sensibilité des différentes régions de la plaque Y3 sur les déplacements du GT a d’abord été effectuée pour orienter les étapes itératives de raffinement. Par la suite, le modèle a été utilisé pour raffiner les dimensions de la plaque.

Discussion C'est la première étude, à notre connaissance, qui décrit le comportement biomécanique des orbites lors d'une avancée fronto-orbitaire pour une plagiocéphalie antérieure. Ce modèle en éléments finis a été entièrement créé à partir d'un scanner préopératoire d'un enfant atteint d’une plagiocéphalie antérieure droite, ce qui a permis de respecter la déformation spécifique de cette pathologie (1). L'un des principaux avantages de la méthode des éléments finis est l'accès à des informations peropératoires qui n'étaient pas accessibles en pratique réelle, telles que les profils de contraintes ou les déplacements des muscles oculomoteurs et des globes oculaires.

comparable, afin de donner un ordre de grandeur des temps de calculs pour chacun, et surtout de voir quelle partie du code occupe le plus de temps. Pour cela, les simulations sont menées sur 80 itérations (sans point fixe et sans sous-pas pour les volumes finis pour le schéma C-FV-FE), sur la grille T 4 et sur le maillage 48 × 48 qui sont comparables au vu des Tableaux 5.3 et 5.4 . Le nombre d’itérations maximal dans la méthode de Newton est fixé à 15, mais dans la pratique moins de 2 ou 3 itérations sont réalisées à chaque pas de temps. Le temps de calcul global, ainsi que le temps passé à résoudre l’équation en vitesse est représenté pour chaque schéma sur la Figure 5.12 . Tout d’abord, nous observons que les temps de calculs sont très comparables pour les deux schémas. On note également que pour le schéma étudié dans le Chapitre 5 , la résolution de l’équation en vitesse occupe pratiquement la totalité du temps de calcul. Par conséquent, devoir assembler à chaque itération de la boucle de Newton une matrice jacobienne et résoudre le système linéaire associé à la méthode n’est pas pénalisant, de même que la résolution d’un problème global d’optimisation (notons que sa matrice associée est constante et n’est donc assemblée qu’une seule fois en début de simulation). En effet, les matrices à assembler dans la partie éléments finis sont de taille plus importante que celles à assembler dans la partie volumes finis. On observe également que pour le schéma C-FV-FE, la résolution de l’équation de vitesse est un peu plus rapide car il y a moins de matrices à assembler à chaque itération. Cependant, on doit résoudre en plus une équation de température par éléments finis (il n’y a pas de matrice supplémentaire à assembler à chaque itération car les matrices utilisées sont les mêmes que celles intervenant dans l’équation en vitesse), ainsi qu’une équation en densité par volumes finis (qui est peu coûteuse tant que l’on ne fait pas de sous-pas), ce qui conduit à des temps de calculs globaux équivalents pour les deux schémas.

S : Section [m] Pour ce qui est de la matrice des inductances, on doit l’identifier pour plusieurs position du rotor de sorte à représenter fidèlement au moins un tour complet électrique. La méthodologie employée consiste à calculer les flux captés à chaque circuit à l’aide d’un logiciel de calcul du champ magnétique par éléments finis en magnétostatique. Il suffit de disposer des plans originaux de la machine pour mailler la géométrie et obtenir les flux, qui sont liés aux inductances par l’équation 1.3. Cette méthode permet de modéliser dans la matrice d’inductances toutes les particularités géométriques de la machine, incluant les encoches, la configuration du bobinage ou encore l’excentricité. La précision repose en grande partie sur la justesse de la représentation géométrique de la machine. Il est donc important d’y apporter une attention particulière.

Le programme issu de ces algorithmes devrait s'avérer extrêmement utile pour les calculs de mécanique des sols par la méthode des éléments finis, ou même pour d'autres domaines comme e[r]