Automne2009S.Mousset R Mod`elescontinus:Analysedessyst`emesdynamiquesdans

Mod`

eles continus :

Analyse des syst`

_{emes dynamiques dans R}

Automne 2009

S. Mousset

1

Introduction

2

L’analyse des mod`

eles lin´

eaires

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

4

Principes de l’analyse qualitative

5

Quelques exemples classiques. . .

Qu’est-ce qu’une EDO ?

D´

efinition

Une EDO dans R, dite EDO du

premier ordre d´

ecrit l’´

evolution

(ou la variation) dans le temps

d’une variable de R.

Exemples

une variable quelconque

x (t ),

l’effectif d’une population

N (t ),

la concentration d’une

substance chimique c(t ). . .

Pour une variable x (t ) ∈ R, une EDO d’ordre 1 s’´ecrit :

dx

dt

= f (x , t )

dx

dt

peut aussi ˆ

etre not´

e x

0

_{(t ) ou ˙x et d´}

_{ecrit la variation de x par}

rapport au temps.

dx

dt

= x

Les EDO autonomes / non autonomes

Une EDO est dite autonome si ˙x ne d´

epend pas directement de t .

EDO autonome

˙x = f (x )

EDO non autonome

Une EDO autonome est dite lin´

eaire si ˙x = f (x ) est une expression

lin´

eaire de x .

EDO autonome lin´

eaire

˙x = f (x ) = ax + b

o`

u (a, b) ∈ R

2

EDO autonome non lin´

eaire

exemple : le mod`

ele de Monod

˙x =

a(b − x )x

Table des mati`

eres

1

Introduction

2

L’analyse des mod`

eles lin´

eaires

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

4

Principes de l’analyse qualitative

5

Quelques exemples classiques. . .

Mod`

eles les plus simples

Une analyse quantitative compl`

ete est possible

Une analyse qualitative permet de d´

ecrire le comportement du

mod`

ele.

Plan d´

etaill´

e

2

L’analyse des mod`

eles lin´

eaires

Le mod`

ele de Malthus

Le mod`

ele de Malthus est l’un des premiers mod`

eles de dynamique

des populations. Les hypoth`

eses de ce mod`

ele sont les suivantes :

On consid`

ere une population de taille N (t ).

L’accroissement individuel de la population est constant quel

que soit N (t ).

Les variables et les param`

etres du mod`

ele

Les variables

N (t ) est la taille de la population.

Les param`

etres

L’´

evolution la taille de la population v´

erifie :

dN = rNdt

⇐⇒

dN

Les solutions

On r´

esoud l’´

equation diff´

erentielle

dN

dt

= rN .

dN

dt

=

rN

⇐⇒

dN

N

=

rdt

⇒

ln(N )

=

rt + C

⇐⇒

N

= e

C

e

rt

⇒

N (t )

= N

0

e

rt

L’allure des solutions N (t ) varie selon le signe de r .

˙

N = rN

Plan d´

etaill´

e

2

L’analyse des mod`

eles lin´

eaires

Le mod`

ele de Malthus

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1750

1800

1850

1900

1950

2000

0

50

150

250

temps

Nombre d'habitants

Ajustement des donn´

ees `

a un mod`

ele

Le nombre d’habitants en France (donn´

ees publi´

ees en 1925)

● ● ● ●● ●●●●●● ● ●

1650

1700

1750

1800

1850

1900

1950

2000

0

10

20

30

40

50

temps

Nombre d'habitants

1

Introduction

2

L’analyse des mod`

eles lin´

eaires

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

4

Principes de l’analyse qualitative

5

Quelques exemples classiques. . .

Plan d´

etaill´

e

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

Le mod`

ele de Verhulst ou mod`

ele logistique

Analyse quantitative du mod`

ele logistique

Ajustement `

a un jeu de donn´

ees

Points singuliers

Portrait de phase, stabilit´

e des points d’´

equilibre

Le mod`

ele de dynamique des populations de Malthus est

insatisfaisant car :

la croissance de la population ne d´

epend pas de sa taille

il fait l’hypoth`

ese de ressources illimit´

ees

il m`

ene `

a l’extinction de la population ou `

a une explosion

d´

emographique.

Dans le mod`

ele de Malthus, on a r = b − d o`

u b est le taux de

f´

econdit´

e et d le taux de mortalit´

e par individu.

Les ´

equations du mod`

ele

Les hypoth`

eses du mod`

ele :

Le taux de f´

econdit´

e par individu est constant : b = b

0

.

Le taux de mortalit´

e par individu croˆıt avec l’effectif :

d = d

0

+ δN .

Le taux de croissance intrins`

eque de la population est

r = b − d = b

0

− d

0

− δN . La variation de l’effectif dN durant la

diff´

erentielle de temps dt est donc :

dN

=

(b

0

− d

0

− δN )Ndt

⇐⇒

dN

_dt

=

(b

0

− d

0

)N − δN

2

⇐⇒

dN

dt

=

(b

0

− d

0

)N



1 −

_b

δN

−d



⇐⇒

dN

dt

= rN



1 −

N

K



,

(1)

avec r = b

0

− d

0

et K =

r

δ

.

Plan d´

etaill´

e

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

Le mod`

ele de Verhulst ou mod`

ele logistique

Analyse quantitative du mod`

ele logistique

Ajustement `

a un jeu de donn´

ees

Points singuliers

Portrait de phase, stabilit´

e des points d’´

equilibre

dN

dt

=

rN 1 −

N

K

⇐⇒

dN

N 1 −

N

_K

=

rdt

⇐⇒

K

N (K − N )

dN

=

rdt

⇐⇒

K − N + N

N (K − N )

dN

=

rdt

⇐⇒

 1

N

+

1

K − N



dN

=

rdt

Analyse quantitative du mod`

ele logistique

 1

N

+

1

K − N



dN

=

rdt

⇐⇒

Z

 1

N

+

1

K − N



dN

=

Z

rdt

⇐⇒

ln N − ln(K − N )

=

rt + C

1

⇐⇒

ln



N

K − N



=

rt + C

1

⇐⇒

N

K − N

=

C

2

e

rt

N

K − N

=

C

2

e

rt

⇐⇒

N

=

C

2

Ke

rt

− NC

2

e

rt

⇐⇒

N 1 + C

2

e

rt

=

C

2

Ke

rt

⇐⇒

N

=

C

2

Ke

rt

1 + C

2

e

rt

⇐⇒

N

=

KC

2

C

2

+ e

−rt

Analyse quantitative du mod`

ele logistique

Au temps t = 0, l’effectif de la population est N

0

N (t )

=

KC

2

C

2

+ e

−rt

⇐

N

0

=

KC

2

C

2

+ 1

⇐⇒

N

0

(C

2

+ 1)

=

KC

2

⇐⇒

C

2

(N

0

− K ) = −N

0

⇐⇒

C

2

=

N

0

K − N

0

Les solutions de l’´

equation 1 sont donc du type :

N (t ) =

N

0

K

N

0

+ (K − N

0

)e

−rt

.

(2)

Quatre cas possibles :

Si N

0

= 0, alors ∀t , N (t ) = 0.

Si K > N

0

> 0, alors ∀t , ˙

N > 0 et lim

t →∞

N (t ) = K .

Si N

0

= K , alors ∀t , N (t ) = N

0

.

Si N

0

> K , alors ∀t , ˙

N < 0 et lim

t →∞

N (t ) = K .

Repr´

esentation graphique des solutions (chroniques)

0

2

4

6

8

10

0

50

100

150

200

temps

eff

ectif

N

<

K

N

>

K

N

=

K

N

=

0

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

Le mod`

ele de Verhulst ou mod`

ele logistique

Analyse quantitative du mod`

ele logistique

Ajustement `

a un jeu de donn´

ees

Points singuliers

Portrait de phase, stabilit´

e des points d’´

equilibre

Ajustement `

a un jeu de donn´

ees

Le nombre d’habitants en France (donn´

ees publi´

ees en 1925)

● ● ● ●● ●●●●●● ● ●

1650

1700

1750

1800

1850

1900

1950

2000

0

10

20

30

40

50

temps

Nombre d'habitants

Plutˆ

ot que l’´

etude quantitative d´

etaill´

ee du syst`

eme, il serait

int´

eressant d’´

etudier simplement ses propri´

et´

es :

Existe-t-il des points invariants ?

Comment le syst`

eme ´

evolue-t-il ailleurs qu’en ces points

invariants ?

Plan d´

etaill´

e

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

Le mod`

ele de Verhulst ou mod`

ele logistique

Analyse quantitative du mod`

ele logistique

Ajustement `

a un jeu de donn´

ees

Points singuliers

Portrait de phase, stabilit´

e des points d’´

equilibre

Un point d’´

equilibre N

?

_{du mod`}

_{ele est tel qu’`}

_{a ce point N}

n’´

evolue plus, c’est `

a dire

dN

dt

N =N

= 0.

dN

dt

N =N

= 0 ⇐⇒ rN

?



1 −

N

?

K



= 0

Il existe deux points d’´

equilibre, N

₀

?

= 0 et N

₁

?

= K .

N va-t-il tendre `

a se rapprocher de ces points d’´

equilibre ou bien `

a

s’en ´

eloigner ?

L’´

evolution du syst`

eme entre les points singuliers

Le cas du mod`

ele logistique

Pour savoir si N croˆıt ou d´

ecroˆıt, on ´

etudie le signe de ˙

N

0

50

100

150

−40

−20

0

20

40

N

d

N

d

t

Aux points d’´

equilibre N

?

0

et N

1

?

,

dN

dt

= 0.

0

50

100

150

−40

−20

0

20

40

N

d

N

d

t

N

N

L’´

evolution du syst`

eme entre les points singuliers

Le cas du mod`

ele logistique

Ailleurs, le signe de

dN

_dt

indique le sens d’´

evolution de N .

0

50

100

150

−40

−20

0

20

40

N

d

N

d

t

N

dN dt

>

0

N

dN dt

<

0

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

Le mod`

ele de Verhulst ou mod`

ele logistique

Analyse quantitative du mod`

ele logistique

Ajustement `

a un jeu de donn´

ees

Points singuliers

Portrait de phase, stabilit´

e des points d’´

equilibre

Portrait de phase du syst`

eme

Le cas du mod`

ele logistique

Le portrait de phase d’un syst`

eme dynamique indique les points

singuliers du syst`

eme et le sens de variation de la variable ´

etudi´

ee

de part et d’autre des points d’´

equilibre.

N

N

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

Le mod`

ele de Verhulst ou mod`

ele logistique

Analyse quantitative du mod`

ele logistique

Ajustement `

a un jeu de donn´

ees

Points singuliers

Portrait de phase, stabilit´

e des points d’´

equilibre

Les chroniques

Le cas du mod`

ele logistique

Les chroniques d’un syst`

emes sont la repr´

esentation graphique des

solutions. Elles ont les propri´

et´

es suivantes :

Les chroniques ne sont jamais s´

ecantes (par un point (N , t ) il

ne passe qu’une seule chronique).

Au voisinage des points d’´

equilibre, les pentes des chroniques

tendent `

a devenir nulles (horizontales).

La chronique passant par le point (N , t + λ) s’obtient par

translation de la chronique passant par le point (N , t ).

0

2

4

6

8

10

0

50

100

150

200

temps

eff

ectif

Table des mati`

eres

1

Introduction

2

L’analyse des mod`

eles lin´

eaires

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

4

Principes de l’analyse qualitative

5

Quelques exemples classiques. . .

Comme nous l’avons vu pour le mod`

ele logistique, il est possible

d’effectuer une analyse qualitative d’un mod`

ele lorsque celui-ci est

trop complexes.

Analyse quantitative

Recherche de solutions

exactes.

´

Etude des fonctions

solutions.

Analyse qualitative

´

Etude des propri´

et´

es des

solutions.

´

Etude des tendances (points

d’´

equilibre, stabilit´

e. . . )

Plan d´

etaill´

e

4

Principes de l’analyse qualitative

Les points singuliers ou points d’´

equilibre

Stabilit´

e des points d’´

equilibre et lin´

earisation

Les points singuliers (ou points d’´

equilibre) not´

es x

?

d’un syst`

eme

quelconque du type ˙x = f (x ) satisfont :

dx

dt

x =x

= 0

⇐⇒

f (x

?

) = 0.

Rechercher les points d’´

equilibre d’un syst`

eme ˙x = f (x ) revient

donc `

a trouver les solutions de l’´

equation f (x ) = 0.

Un syst`

eme peut n’avoir aucun point d’´

equilibre, un nombre fini ou

un nombre infini de points d’´

equilibres.

Plan d´

etaill´

e

4

Principes de l’analyse qualitative

Les points singuliers ou points d’´

equilibre

Stabilit´

e des points d’´

equilibre et lin´

earisation

Si dans un syst`

eme quelconque ˙x = f (x ), la fonction f est

continue, alors il suffit d’´

etudier le signe de f au voisinage des

points d’´

equilibre pour connaˆıtre leur stabilit´

e.

Il existe 4 cas possibles.

x

?

stable

x

?

instable

Stabilit´

e des points d’´

equilibre

x

?

shunt positif

x

?

shunt n´

egatif

On utilise un d´

eveloppement de Taylor d’ordre 1 pour lin´

eariser

dx

_dt

au voisinage des points d’´

equilibre x

?

_.

dx

dt

≈ f (x

?

₎

| {z }

+

(x − x

?

)f

0

(x

?

)

|

{z

}

≈

0

+

(x − x

?

)

d ˙x

dx

x =x

La stabilit´

e de x

?

d´

epend du signe de λ =

d ˙x

dx

x =x

Stabilit´

e des points d’´

equilibre

Lin´

earisation de

dt

au voisinage des points d’´

equilibre

λ =

d ˙x

dx

_{x =x}

est la pente de la tangeante `

a la courbe

repr´

esentative de

dx

_dt

= f (x ) au point x = x

?

.

λ < 0 ⇒ x

?

stable

λ > 0 ⇒ x

?

instable

λ = 0 ⇒ on ne peut pas conclure

Plan d´

etaill´

e

4

Principes de l’analyse qualitative

Les points singuliers ou points d’´

equilibre

Stabilit´

e des points d’´

equilibre et lin´

earisation

Les points d’inflexion des chroniques d’un syst`

eme dynamique de

type ˙x = f (x ) sont les points pour lesquels.

dx

dt

= ˙x 6= 0

d

2

x

dt

2

=

d ˙x

dt

= 0 ⇔

d ˙x

dx

dx

dt

= 0



















⇒

d ˙x

dx

= f

0

_{(x ) = 0}

Points d’inflexion

Les points d’inflexion des chroniques d’un syst`

eme dynamique de

type ˙x = f (x ) sont les points diff´

erents des points singuliers qui

s’obtiennent en r´

esolvant l’´

equation

d ˙x

dx

x =x

= f

0

(x

infl

) = 0.

L’´

equation (1) du mod`

ele de Verhulst vu pr´

ec´

edemment est :

˙

N =

dN

dt

= rN (1 −

N

K

) = rN −

rN

2

K

Il existe deux points d’´

equilibre, N

₀

?

= 0 et N

₁

?

= K .

Les points d’inflexion des chroniques v´

erifient

d ˙

N

dN

= 0 ⇐⇒ r −

2rN

K

= 0 ⇐⇒ N =

K

2

Points d’inflexion

Exemple du mod`

ele logistique

Les chroniques du mod`

ele logistique pr´

esentent donc un point

d’inflexion pour N =

K

2

.

0

2

4

6

8

10

0

40

80

120

temps

eff

ectif

_N

₌

_{K 2}

N

=

K

N

=

0

1

Introduction

2

L’analyse des mod`

eles lin´

eaires

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

4

Principes de l’analyse qualitative

5

Quelques exemples classiques. . .

Plan d´

etaill´

e

5

Quelques exemples classiques. . .

Le mod`

ele de Gompertz

Les mod`

eles de populations exploit´

ees

Un mod`

ele de population exploit´

ee : pˆ

eche avec quota

Le mod`

ele de Gompertz est un mod`

ele de dynamique des

populations. Son ´

equation est la suivante :

dN

dt

= −rN ln N ,

o`

u r > 0.

Le mod`

ele de Gompertz

Points d’´

equilibre

Les points d’´

equilibre v´

erifient

dN

dt

N =N

= 0

dN

dt

= −rN ln N = 0 ⇐⇒

N = N

₀

?

= 0

N = N

₁

?

= 1

d ˙

N

dN

= −rN

1

N

− r ln N = −r (1 + ln N )

d ˙

N

dN

N =0

n’est pas d´

efini, mais lim

→0

d ˙

N

dN

N =

= +∞, donc

N

₀

?

= 0 est instable.

d ˙

N

dN

N =1

Le mod`

ele de Gompertz

Points d’inflexion

d ˙

N

dN

= −rN

1

N

− r ln N = −r (1 + ln N ) = 0 ⇐⇒ N = e

−1

Les chroniques des solutions du mod`

ele de Gompertz pr´

esentent

donc un point d’inflexion pour N = e

−1

.

Un changement d’´

echelle peut permettre d’adapter le mod`

ele de

Gompertz pour obtenir une capacit´

e limite de K individus et un

point d’inflexion pour N =

K

e

.

0

2

4

6

8

10

0

40

80

120

temps

eff

ectif

N

=

K e

N

=

K

N

=

0

Plan d´

etaill´

e

5

Quelques exemples classiques. . .

Le mod`

ele de Gompertz

Les mod`

eles de populations exploit´

ees

Un mod`

ele de population exploit´

ee : pˆ

eche avec quota

Les mod`

eles de populations exploit´

ees sont utilis´

es pour leur int´

erˆ

et

commercial ou ´

ecologique. De nombreux mod`

eles ont ´

et´

e propos´

es,

ils sont toujours compos´

es :

d’un type de croissance (Logistique, Gompertz. . . )

d’un type de pr´

edation (constant, lin´

eaire, non lin´

eaire. . . )

Dans le cadre de ce cours nous verrons quatre mod`

eles de

populations exploit´

ees. Pour chaque mod`

ele, la croissance de la

population sera de type logistique.

dN

dt

= rN



1 −

N

K



L’exploitation d’une population

L’exploitation d’une population consiste `

a pr´

elever des individus

dans cette population. Ce pr´

el`

evement peut-ˆ

etre

Constant

Proportionnel `

a la taille de la population

5

Quelques exemples classiques. . .

Le mod`

ele de Gompertz

Les mod`

eles de populations exploit´

ees

Un mod`

ele de population exploit´

ee : pˆ

eche avec quota

Pˆ

eche avec quota

Equation du mod`

ele

Il s’agit du mod`

ele le plus simple d’exploitation, o`

u la quantit´

e

d’individus pr´

elev´

es par unit´

e de temps est constante Q (quota).

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− Q

On r´

esoud

dN

dt

= 0.

dN

dt

=

rN



1 −

N

K



− Q

=

0

⇐⇒

−

r

K

N

2

_{+ rN − Q = 0}

Il existe 3 cas possibles selon le signe de ∆ = r

2

− 4

rQ

K

Pˆ

eche avec quota

Points d’´

equilibre

∆ = r

2

− 4

rQ

K

= r



r −

4Q

K



r −

4Q

K

> 0 ⇐⇒ Q <

rK

4

⇒ ∆ > 0 ⇒ il existe 2 points

d’´

equilibre.

r −

4Q

K

= 0 ⇐⇒ Q =

rK

4

⇒ ∆ = 0 ⇒ il existe 1 point

d’´

equilibre.

r −

4Q

K

< 0 ⇐⇒ Q >

rK

4

⇒ ∆ < 0 ⇒ il n’existe pas de

point d’´

equilibre.

Dans le cas ∆ > 0, les points d’´

equilibre sont :

N

₀

?

= K

r −

q

r

2

_{− 4}

rQ

K

2r

> 0

N

₁

?

= K

r +

q

r

2

_{− 4}

rQ

K

2r

> 0

Avec 0 < N

₀

?

<

K

2

< N

?

1

< K .

Pˆ

eche avec quota

Points d’´

equilibre, Q =

rK

4

Dans le cas ∆ = 0, le seul point d’´

equilibre est :

N

?

=

K

Dans le cas ∆ > 0, il n’y a pas de point d’´

equilibre et

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− Q < 0.

Le mod`

ele pr´

edit que la taille de la population d´

ecroˆıt sans cesse.

Peut-on trouver une m´

ethode simple expliquant ces r´

esultats ?

L’exploitation d’une population

Qu’est-ce qu’un point d’´

equilibre ?

L’exploitation d’une population consiste `

a pr´

elever des individus

dans cette population. Ce pr´

el`

evement peut-ˆ

etre

Constant

Proportionnel `

a la taille de la population

non lin´

eaire et croissant avec le taille de la population

Un ´

eventuel ´

etat d’´

equilibre est atteint lorsque la croissance

naturelle de la population compense exactement le pr´

el`

evement sur

celle-ci.

On s’int´

eresse `

a la fonction ˙

N = rN 1 −

N

_K

= rN − r

N

K

.

Racines (points d’´

equilibre du mod`

ele logistique)

Tangeantes aux points d’´

equilibre

La croissance logistique

Points d’´

equilibre

˙

N = 0 ⇐⇒ rN



1 −

N

K



= rN − r

N

2

K

= 0

Deux points d’´

equilibre :

N

₀

?

= 0

N

₁

?

= K

d ˙

N

dN

= 0 ⇐⇒ r − 2r

N

K

= 0 ⇐⇒ N =

K

2

dN

dt

admet un maximum local pour N =

K

2

, qui vaut :

dN

dt

N =

= r

K

2



1 −

K

2K



=

rK

4

La croissance logistique

Tangeantes aux points d’´

equilibre

dN

dt

N =0

=

r

dN

dt

N =K

=

r − 2r

K

K

=

−r

Les pentes des tangeantes aux points d’´

equilibre sont

respectivement r et −r .

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

d

N

d

t

K

0

λ =

r

λ = −

r

K 2

rK 4

Pˆ

eche avec quota

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

K 2

rK 4

Q

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− Q,

Q <

rK

4

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

K 2

rK 4

Q

N

N

instable

stable

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− Q,

Q <

rK

4

Pˆ

eche avec quota

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

K 2

rK 4

Q

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− Q,

Q =

rK

4

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

K 2

rK 4

Q

shunt négatif

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− Q,

Q =

rK

4

Pˆ

eche avec quota

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

K 2

rK 4

Q

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− Q,

Q >

rK

4

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

K 2

rK 4

Q

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− Q,

Q >

rK

4

Pˆ

eche avec quota

Conclusions

Dans le meilleur des cas, 2

´

etats d’´

equilibre.

1 ´

etat instable / 1 ´

etat

stable.

L’augmentation du quota

rapproche les deux ´

etats.

On ne peut pas pˆ

echer avec

Q ≥

rK

₄

.

5

Quelques exemples classiques. . .

Le mod`

ele de Gompertz

Les mod`

eles de populations exploit´

ees

Un mod`

ele de population exploit´

ee : pˆ

eche avec quota

Pˆ

eche `

a effort constant

Equation du mod`

ele

Ici, l’effort de pˆ

eche E est constant, c’est `

a dire que la quantit´

e

d’individus pr´

elev´

es par unit´

e de temps est proportionnelle `

a la

taille de la population EN .

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− EN

On r´

esoud

dN

dt

= 0.

dN

dt

=

rN



1 −

N

K



− EN

=

0

⇐⇒

N



r



1 −

N

K



− E



= 0

Il existe deux points d’´

equilibre : N

₀

?

= 0 et N

₁

?

= K

r − E

r

N

?

Pˆ

eche `

a effort constant

Optimum de l’effort de pˆ

eche, E < r

Dans le cas o`

u N

₁

?

existe, on peut chercher un optimum de l’effort

de pˆ

eche permettant d’obtenir le pr´

el`

evement le plus ´

elev´

e possible.

La quantit´

e pˆ

ech´

ee au point d’´

equilibre N

?

1

est :

EN

₁

?

= EK

r − E

r

= KE − K

E

2

L’optimum de l’effort de pˆ

eche E

?

est tel que EN

₁

?

est maximum

pour E = E

?

, soit

dEN

?

dE

E =E

=

K − 2

KE

?

r

= 0

⇐⇒

E

?

=

rK

2K

⇐⇒

E

?

=

r

2

`

A l’effort de pˆ

eche optimum, la population est maintenue `

a une

taille N

_opt

?

= K

r −E

_r

=

K

₂

, et la quantit´

e d’individus pr´

elev´

es est

N

_opt

?

E

?

=

rK

Pˆ

eche `

a effort constant

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

λ =

r

K 2

rK 4

E

<

r 2

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− EN , E <

r

2

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

λ =

r

K 2

rK 4

E

<

r 2

N

stable

N

instable

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− EN , E <

r

2

Pˆ

eche `

a effort constant

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

λ =

r

K 2

rK 4

E

=

r 2

N

stable

N

instable

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− EN , E =

r

2

0

20

40

60

80

100

−20

0

20

40

60

N

K

0

λ =

r

K 2

rK 4

E

>

r

N

stable

dN

dt

= rN



1 −

N

K



− EN , E > r

Pˆ

eche `

a effort constant

Conclusions

2 ´

etats d’´

equilibre tant que

E < r .

1 ´

etat instable / 1 ´

etat

stable.

La population ne s’´

eteint

que lorsque E > r

1

Introduction

2

L’analyse des mod`

eles lin´

eaires

3

Un mod`

ele non lin´

eaire : le mod`

ele logistique

4

Principes de l’analyse qualitative

5

Quelques exemples classiques. . .

Conclusions

Analyse des syst`

emes dynamiques dans R

Nous avons appris `

a effectuer l’analyse qualitative d’un syst`

eme

dynamique quelconque dans R du type ˙x = f (x )

Recherche de points d’´

equilibre (f (x

?

) = 0),

´

Etude de la stabilit´

e (signe de f entre les points d’´

equilibre ou

lin´

earisation de f aux points d’´

equilibre),

´

Etude de la forme des chroniques (courbes des solutions de

l’´

equation de ˙x = f (x )).