CCP PC 2018 – Un corrigé

(1)

1

CCP PC 2018 – Un corrigé

Partie I : Quelques résultats généraux

Q1 – On a : U₀ 1 et donc L₀1 ; U₁X²1 et donc L₁ X et enfin U₂  X⁴2X²1 et donc : ² ¹



¹² ² ⁴



L 8 X  et on retrouve bien ² ¹



³ ² ¹



L 2 X  .

Q2 – On a en un premier temps ^deg



Un



²n et en dérivant 2n fois : ^deg

 

Ln n. Par ailleurs le terme de plus haut degré de U_n est X²ⁿ, donc celui de L_n est 1

 

² ^!

2 ! !

n n

n X n n et finalement :

 

²

2 !

n n

a n

n

 .

Q3 – Il résulte de Q2 que la famille



L0,...,L_n



est échelonnée en degrés, donc libre. C’est une famille libre de n1 vecteurs de Rn

 

X qui est de dimension n1 : c’est donc une base de

 

n X

R .

Q4 – On a Un 



X¹

 

ⁿ X¹



ⁿ, ce qui montre que les racines de U_n sont 1 et 1, toutes deux de multiplicité n.

Par suite, pour nN*, 1 et 1 sont racines de multiplicité n1 de U_n' et U_n' se factorise par



^X^¹

 

ⁿ^¹ ^X^¹



ⁿ^¹^{; comme}Un^' est en outre de degré ²ⁿ^{ }¹ ²



ⁿ^¹



^¹, le quotient de U_n' par



^X ^¹

 

ⁿ^¹ ^X ^¹



ⁿ^¹ est de degré 1 et U_n' peut s’écrire sous la forme

  

¹

 

¹



' 1 ⁿ 1 ⁿ

Un   X  ^ X  ^ X   où  et  sont deux réels.

Par ailleurs U_n est de classe C¹ sur



^^1,1



^{et comme}ⁿ^¹^:Un

 

¹ Un

 

¹ ⁰. De ce fait

n'

U s’annule sur



^^1,1



en un réel c. Or on a vu que les racines de U_n' sont 1, 1 et . Donc nécessairement c  et donc ^{  }



^1,1



^.

Q5 – Quitte à réindexer, on peut supposer    1 ₁ ...  _k 1 ; on pose en outre   ₀ 1 et

1 1

k  . Comme nk1, U_n^{ }^k s’annule en 1 et 1 ainsi qu’en chaque _i pour ⁱ^

 

^1,^k ^.

Ainsi pour chaque ⁱ^

 

^0,^k ^:Un^{ }^k est de classe C¹ (car polynomiale) sur



 _i, _i1



avec

 

^{ }



1



k k

n i n i

U  U _ . Monsieur Rolle nous indique alors l’existence d’un réel _i_1  



_i, _i_1



tel que U_n^^k^¹^



_i_1



0. L’enchevêtrement          ₀ 1 ₁ ₁ ₂ ...   _k _k_₁ _k_₁1 montre que les _i sont deux à deux distincts et appartiennent à



^^1,1



^.

(2)

2

En outre, 1 et 1 étant racines de multiplicité nk1 de U_n^{ }^k , ils sont alors racines de multiplicité n k 1 de U_n^^k^¹^. On a trouvé au total ^k^{ }^{1 2}



^{n k}^{ }¹



^²^{n k}^{ }¹ racines à

^k ¹

Un ^ et ^deg



^Uⁿ^^k^¹^



^²^{n k}^{ }¹. Ainsi il existe un réel  tel que :

 

     

1 1 1

1

1 1

n k n k k

k

n i

i

U X X X

    





   



 

Q6 – Notons d’abord que L₁ X et que la propriété à montrer est vraie pour L₁ : L₁ a une unique racine à savoir 0, qui est bien dans



^^1,1



^.

On suppose désormais n2 et on procède par récurrence finie : on appelle HR_k la propriété supposée à la question Q5.

● D’après la question Q4, HR₁ est vraie.

● D’après la question Q5, si pour ^k^



^1,ⁿ^¹



HRk est vraie, alors HR_k_₁ est vraie.

Alors par récurrence finie : ^{ }^k

 

^1,ⁿ ^,HRk est vraie et en particulier HR_n est vraie. Donc

 ⁿ 2ⁿ

n n

U  L s’écrit sous la forme ^{ }

 

1 n n

n i

i

U X x



 



 ^{où les}^xⁱ sont n réels 2 à 2 distincts dans



^^1,1



, ce qui constitue le résultat voulu.

Partie II : Étude des éléments propres de l’endomorphisme 

Q7 – Pour ^{P Q}^, ^R

 

^X et  R on a :

    ^ ^ ^ ^

   

2

2 2

1 '' '' 2 ' '

1 '' 2 ' 1 '' 2 '

P Q X P Q X P Q

X P XP X Q XQ

P Q

         

 

       

   

Donc  est linéaire ; par ailleurs,  est clairement à valeurs dans R

 

^X ce qui permet d’affirmer que  est un endomorphisme de R

 

^X .

Q8 – Du fait de la linéarité de, il nous suffit pour prouver que Rn

 

X est stable par  de prouver que pour tout ^k^

 

^0,ⁿ ^{on a :}^

 

^X^k ^^Rⁿ

^{ }

^X ^:

● 

 

¹  ⁰ Rn

 

X .

● Si n1 : 

 

X ²XRn

 

X .

● Si n2 et ^k^

 

^2,ⁿ ^:

 

^X^k ^{k k}

^

¹

^ 

^X² ¹



^X^k^² ²^kX^k ^{k k}

^

¹

^

^X^k ^{k k}

^

¹

^

^X^k^² ^k

^{ }

^X

         R .

A fortiori : ^

 

^X^k ^Rⁿ

^{ }

^X .

On a bien montré ^{ }^k

 

^0,ⁿ ^,^

 

^X^k ^Rⁿ

^{ }

^X et ainsi Rn

 

X est stable par .

Q9 – Il résulte des calculs ci-dessus que la matrice de  dans la base canonique est :

(3)

3

 

0 0 2 0

2 0

6 1

0 0

1

M n n

n n



 

 

  

 

  

 



Et les deux résultats voulus s’en trouvent démontrés.

Q10 – Par suite (matrice triangulaire) le polynôme caractéristique de _n est

   

0

1

n

k

X k k



 



Le spectre de M et de _n est donc



^{k k}



^^{1 ,}



^k^

 

^0,ⁿ



. Comme la suite



^{k k}



^¹

 

_k__N^est

clairement strictement croissante, ces n1 valeurs propres sont 2 à 2 distinctes ; comme en outre ^dim



Rn

 

X



n¹, _n est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites.

Q11 – Pour k 1 on a : Uk^'²kX X



²¹



^k^¹ , donc



X²¹



Uk^'²kX X



²¹



^k ²kXUk. L’égalité



^X²^¹



^U^k^'^²^kXU^k reste vraie pour k 0 : les deux membres sont nuls et on a bien pour ^k^

 

^0,ⁿ ^:



^X²^¹



^U^k^{' 2}^ ^kXU^k ^⁰^.

Q12 – Avec la formule de Leibniz, en dérivant k1 fois la relation ci-dessus lorsque k1 :



² ¹



^ ²^ ²



¹



^ ¹^ ² ¹ ^{ } ² ^ ¹^ ²



¹



^{ } ⁰

2

k k k k k

X U ^ k XU ^ k U kXU ^ k k U

         

 

Après rangement on obtient bien :



^X²^¹



^U^k^^k^²^^²^XU^k^^k^¹^^^{k k}

^

^¹

^

^U^k^{ }^k ^⁰

Par ailleurs cette relation reste vraie pour k 0 (les trois termes du membre de gauche sont nuls) et on a bien le résultat voulu pour tout kN.

Q13 – Or U_k^{ }^k 2^kk L! _k, donc la relation ci-dessus s’écrit en la divisant par 2^kk! :



^X²^¹



^L^k^{'' 2}^ ^XL^k^'^^{k k}

^

^¹

^

^L^k ^⁰

Ainsi n

 

Lk k k



¹



Lk. Comme L_k n’est pas nul, on vient de montrer que L_k est vecteur propre de _n associé à la valeur propre ^{k k}



^¹



^.

Q14 – Soit  une valeur propre de  et P un vecteur propre associé. Soit ⁿ^^deg

 

^P ^{; ainsi}

nN car P0 et   P

 

P  n

 

P . Or d’après la question Q10, les valeurs propres de _n sont les ^{k k}



^¹



pour k décrivant

 

^0,ⁿ ^{, donc}^Sp

 

^{ }



^{k k}



^^{1 ,}



^k^N



.

Réciproquement, soit  un réel de la forme ^{ }^{n n}



^¹



^avecⁿ^N ; on sait que  est alors valeur propre de _n et donc de  : on vient de montrer que ^Sp

 

^{ }



^{n n}



^^{1 ,}



ⁿ^N



.

Toujours pour ^{ }^{n n}



^¹



, soit P un vecteur propre associé, et ^N ^^max



ⁿ^{, deg}

 

^P



^{. Alors}

 

_{ }

 

ker 1 Id

N N X

P  n n _R et on a vu à la question Q10 que ^ker



 N n n



^{1 Id}



_RN_{ }X



est

(4)

4

une droite, qui contient L_n d’après Q13. Donc P^Vect

 

Ln la réciproque étant immédiate.

Donc le sous-espace propre associé à ^{n n}



^¹



^est^Vect

 

Ln .

Partie III : Distance au sous-espace vectoriel R

ⁿ

[X]

Q15 – Soient P Q R^{, ,} Rn

 

X et  R.

On a clairement : P Q R  P R   Q R , P Q  Q P et P P 0. De plus, si P P 0, alors ¹ ²

 

1P x dx 0

 



^{, et}^P² est une fonction positive et continue sur



^^1,1



^{. Donc}^{  }^x



^{1,1 ,}



^P²

 

^x ^⁰ et le polynôme P s’annule une infinité de fois. Donc P0 Il résulte de tous ces points que



^{P Q}^,



^ ^{P Q} est un produit scalaire sur Rn

 

X .

Q16 – Partons du membre de gauche et réalisons une intégration par parties :

  ^{   }   ^{   }  ^{ }   ^{ }  ^{ }

    

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1 1

1 ' ' d 1 ' 2 ' 1 '' d

d

t P t Q t t t P t Q t tP t t P t Q t t

P t Q t t

  



 

       

 

 

 



En d’autres termes : ^

 

^{P Q} ^{ }

_

_¹₁



^t²^¹



^{P t Q t}^'

^{   }

^' ^d^t^.

En échangeant les rôles de P et de Q on a également : ^

 

^{Q P} ^{ }

_

_¹₁



^t²^¹



^{Q t P t}^'

^{   }

^' ^d^t^et

par commutativité du produit : ^

 

^{P Q} ^{ }

 

^{Q P} ^.

Q17 - Soit n et m deux entiers naturels distincts. Alors :



¹



n m

 

n m n



m

 

¹



n m

n n L L   L L  L  L m m L L Or ^{n n}



^¹



^^{m m}



^¹



^donc L Ln m ⁰. La famille

 

^L_{n n}__N est bien orthogonale.

Q18 – Pour n1, on a vu à la question Q3 que



L0,...,L_n_1



est une base de Rn_1

 

X or il résulte de la question Q17 que L_n est orthogonal à chacun des vecteurs de cette base. Donc L_n est orthogonal à Rn_1

 

X et :  P R_n_1

 

X , P L_n 0.

Q19 – On a _n ⁿ

n

Q L

 L et la famille

 

^L_{n n}__N est orthogonale, donc

 

^Q_{n n}__N est une famille orthonormale.

Q20 – Rn

 

X étant un sous-espace vectoriel de dimension finie de R

 

^X , le projeté orthogonal Tn de P sur Rn

 

X est bien défini et est l’unique vecteur de Rn

 

X vérifiant

     

d P,R_n X d P T, _n .

(5)

5

En outre, comme



Q0,...,Q_n



est une base orthonormale de Rn

 

X , on a

 

0 n

n k k

k

T c P Q





^et

   

²

2 0 n

n k

k

T c P





^{. Enfin}^Tⁿ^et ^{P T}^ ⁿ sont orthogonaux et d’après notre ami Pythagore,

2 2 2

n n

T  P T  P et en recollant tous les bouts on obtient bien :

   

² ²

 ^{ } 

²

0

d ,

n

n k

k

P X P c P



 



R

Q21 – Par suite on a pour tout n :

   

² ²

0 n

k k

c P P





 . Donc la série à termes positifs



n

  

²

n



c P a ses sommes partielles majorées par P ². Donc elle converge et on a la majoration (parfois appelée inégalité de Bessel) :

   

² ²

0 n n

c P P







 ^.

Partie IV : Fonction génératrice

Q22 – Soit ^x^{ }



^1,1



, fixé. On appelle HR_n la propriété : L xn

 

rⁿ.

● On a 0L x0

 

 1 r car r 1 2, donc HR₀ est vraie.

● On a L x1

 

 x  1 r donc HR₁ est vraie.

● Soit nN* tel que HR_n et HR_n_₁ soient vraies. On sait que

     

1 1

2 1

1 1

n n n

n n

L x xL x L x

n n

 

  

  et donc L_n_1

 

x 2L x_n

 

 L_n_1

 

x , puis avec l’hypothèse de récurrence : L_n_1

 

x 2rⁿrⁿ^¹ rⁿ^¹



2r1



. Or on sait que r²2r 1 0 donc 2r 1 r et 1

 

¹

n

Ln_ x r ^ et HR_n_₁ est vraie.

On vient de démontrer par récurrence avec deux prédécesseurs que :  n N^, Ln

 

x rⁿ. Q23 – Soit t un réel vérifiant 1

t r. Alors pour tout entier n : L x tn

 

ⁿ  rtⁿ ; or rt 1 donc la série géométrique ⁿ

n



rt converge et par suite la série n

 

ⁿ

n

L x t



converge pour tout réel t vérifiant 1

t  r . Ceci montre que ^{R x}

 

¹

r . Q24 – Pour ^t ^^{R x}

 

et a fortiori pour 1

t  r on a :

(6)

6

  ^{  } ^{  }

  ^{ } ^ ^ ^{ }

         

   

         

     

2

2 1

1 0

1 1

0 1 2

1

1 0

1 1

2

0

1 2 1

1 2 '

1 2

1 2 1

2 2

x x

n n

n n n

n n

n

n n n

n

tx t S t t x S t

tx t nL x t t x L x t

n L x t x nL x t n L x t

L x t x L x t

n L x n xL x nL x t

L x L x xL x L

 



 

  

 

  

 



 



 



   

    

    

 

      

   

 

  

 





     

 

0 0 1

2 2 2

3 1 2 1

x xL x xL x

x x x x x

 

      

Et finalement on a bien pour tout ^t^{ }^_ ^{R x R x}

 

^,

 

^_ et a fortiori pour 1 1 , t r r

 

  

 

:



^{1 2}^ ^{tx t}^ ²



^S^x^'

^{  }

^t ^ ^t^^{x S t}

^{  }

^x ^⁰

Q25 – Cette équation différentielle s’écrit : ' ₂ 1 2

y x t y

tx t

 

  . Notons que le discriminant du dénominateur est ⁴



^x²^¹



, et donc soit le dénominateur ne s’annule pas, soit il s’annule en 1 lorsque x1, soit il s’annule en 1 lorsque x 1. Dans tous les cas, il ne s’annule pas sur

1 1, r r

 

 

  et la solution générale de l’équation sur cet intervalle est :



²



exp 1ln 1 2

y A  2 tx x 

    

  , AR, ce qui peut aussi s’écrire :

1 2 2

y A

tx x



  . Comme S_x est solution de l’équation sur 1 1

r r,

 

 

 

et vérifie en outre S_x

 

0 L x0

 

1 on a :



^{1,1 ,}



^{1 1}^,

 

¹ ₂

x 1 2

x t S t

r r tx x

 

       

   

Q26 – Il ne s’agit pas ici de mener à bout le calcul mais juste d’indiquer une méthode.

D’après les formules de Taylor MacLaurin et de Taylor-Young, le développement limité à l’ordre 2 de S_x est : ^{S t}^x

 

^^{L t}⁰

 

^^{tL t}¹

 

^^{t L t}² ²

 

^^{o t}

 

² . Il suffit alors de réaliser le développement limité à l’ordre 2 de

2

1 1 2 t

tx x

 

 et d’identifier ces deux expressions d’après l’unicité du DL à l’ordre 2.

Partie V : Expression intégrale des polynômes de Legendre

Q27 – Tout d’abord il convient de voir que la variable de la fonction est u et que t et  sont des paramètres fixés. On a pour ^u^{  }



^,



^:

(7)

7

         

   

 

2 2 2 2

2 2 2

1

cos sin cos

cos sin

n n

n

n n

v u t u

t u



   

  



On a donc la majoration indépendante de u : v un

 

 tⁿet la série géométrique ⁿ

n



t ^est convergente car t 1. Donc la série de fonctions _n

n



v converge normalement sur



^{ }^,



^.

Q28 – On remarque que pour t 1 :

 

¹

 

^d

2

n

n n

w t v u u





 





 . Or on vient de voir que la série de fonctions _n

n



v converge normalement sur



^{ }^,



et il en va de même pour 1

2 ⁿ

n

v



. Donc la série numérique n

 

ⁿ

n

w  t



converge, de somme :

   

0 0

1 d

2

n

n n

w t v u u

  

  

 











Reste à calculer la somme de la série qui est en fait une série géométrique :

         

0

1

1 cos i cos sin

n n

v u t u





    



Et on obtient bien :

   

     

 

0 0

d

1 cos i cos sin

n

n n

w t v u u

t u

  

   

  

   





 

Q29 – Avec le changement de variable proposé :

 

0

2 2 2 2 2 2

0 0

cos d cos d cos d

1 cos 1 cos 1 cos

u u v v v v

a u a v a v

 



    

  

  

  

  



Et on en déduit :

 

2 2

 

0

cos d 1 cos 0

u u

a u



 





.

Q30 – La fonction ^v^^arctan

 

^v est de classe C¹ et bijective et strictement croissante de



^0,^



^dans ^0,

2

 

 

 , donc :

 

   

2 2

2 2 2 2 2 2

2 0 0

0 2 0 2

d d d d

1 cos 1

1 1 1

1 tan 1

u u v v

a u a a v a

u v v

 





  

    

      

 

   

   

  

On continue alors le calcul :

(8)

8

 

2

2 2 2 2 2 2

0 0

0 2

d 1 d 1

arctan

1 cos 1 1 1

1 1

u v v

a u a v a a

a

  

  

    

        

  

  

 

 

 



Et on obtient bien :

 

2

2 2 2

0

d

1 cos 2 1

u

a u a



 

 



 Q31 – On a :

     

 

     

    ^{ } ^{ }

     

       

2 2 2 2

1 cos i cos sin

d d

1 cos i cos sin 1 cos cos sin

1 cos i cos sin

d

1 cos cos sin

t t u

u u

t u t t u

t t u

u

t t u

 

 





   

        

   



   

 

 

 







Comme t 1 on a ¹^^t^cos

 

^{ }⁰ et en notant R et I les parties réelles et imaginaires de cette intégrale on a :

 

   

² ² ²

^{ }

1 cos d

1 cos

t u

R t a u





 

   



 , avec

 

   

2 2

2

sin 1 cos a t

t

 

 

Et par parité, on obtient avec le résultat de la question Q30 :

    _{ }

   

    ^{ }

2 2 2 2 2

2

1

1 cos 1 sin 1 cos sin

1 cos

R t t t t

t

 

 

       

 

Et finalement on obtient :

 

²

1 2 cos R

t t

 

  

On regarde maintenant la partie imaginaire :

 

   

 

2 2 2

 

sin cos d

1 cos

t u u

I t a u



 

 

  





, la valeur de a étant inchangée ; cette intégrale est alors nulle d’après la question Q29, et on obtient finalement :

     

  _{ }

²

d

1 cos i cos sin 1 2 cos

u

t u t t





 

      





Q32 – On reprend le résultat de la question25 en posant ^x^^cos

 

^ , ce qui est licite car

   

cos   1,1 :

   

 

0 2

1 1 1

, , cos

2 cos 1

n n

n

t L t

r r t t





 

   



     ; or en combinant cette égalité avec les résultats des questions Q21 et Q28 on obtient :

     

0 0

1 1, , _n cos ⁿ _n ⁿ

n n

t L t w t

r r

 

 

 

   



 



 Et par identification (formule de Taylor-MacLaurin) on obtient bien :

    ^{ }

, _n cos _n

n L w

 N   

(9)

9

Q33 – Soit ^x^{ }



^1,1



; on pose alors ^{ }^arccos

 

^x de sorte que ^x^^cos

 

^ ^{. Ainsi}

   

, _n _n

n L x w

 N   , et en appliquant successivement les résultats des questions Q28 et Q31 on obtient le résultat voulu.

Q34 – Ce dernier résultat montre que ^{R x}

 

^¹ puisque la série converge pour tout ^t^{ }



^1,1



^.

Posons alors pour z complexe tel que ^z ^^{R x}

 

^:

   

0

n n n

z L x z





 



^.

Par produit, la fonction ^z^



^{1 2}^ ^xz^^z²



^²

^{ }

^z est développable en série entière de rayon

 

R x

 ; soit



c z_n ⁿ son développement ; ainsi pour tout z complexe vérifiant ^z ^^{R x}

 

^on

a :



²



²

^{ }

0

1 2 _n ⁿ

n

xz z z c z





   



(égalité notée (*) pour la suite). Or le résultat de la question Q33 montre que

 

0

1,1 , _n ⁿ 1

n

t c t





  



 et ainsi par unicité du développement en série entière que c₀ 1 et que c_n 0 pour n1. En reportant dans l’égalité (*) on obtient que pour tout z complexe vérifiant ^z ^^{R x}

 

^{on a :}



^{1 2}^ ^xz^^z²



^²

^{ }

^z ^¹^.

Or le trinôme 1 2 xzz² s’annule en zxi 1x² , qui sont tous deux de module 1. Donc si ^{R x}

 

^¹, L’égalité



^{1 2}^ ^xz^^z²



^²

^{ }

^z ^¹ est donc valide pour zxi 1x² et fournit 01 ce qui est plutôt ennuyeux ! On a donc ^{R x}

 

^¹ et on avait montré ^{R x}

 

^¹. Finalement

 

¹

R x  .

Partie VI : Applications à l’approximation d’intégrales

Q35 – On montre en un premier temps de façon analogue à la question Q5 que si une application f de classe C¹ s’annule au moins k fois sur _Ravec k2, alors sa dérivée f ' s’annule au moins

1

k fois sur R.

Puis en un second temps on montre par récurrence finie en utilisant cette propriété pour l’hérédité que pour tout ^k^



^{0, 2}ⁿ^¹



^,^h^{ }^k ^s’annule²ⁿ^^k fois. La propriété au rang 2n1 fournit alors le résultat voulu.

Q36 – Soit



1,...,_n



Rⁿ tel que

1

0

n k k k

 



^ . Ainsi pour tout PRn_1

 

X on a

 

1

0

n

k k

k

P x



 



. Regardons en particulier pour le polynôme

 

1 n

i j

j j i

P X x









 . On a bien

 

1

i n

PR _ X et pour k i : P xk

 

i ⁰ ; on obtient ainsi : _

 

0 iP xi i 0



  et donc  _i 0 et ce pour tout ⁱ^

 

^1,ⁿ : la famille



1,...,_n



est donc libre.

(10)

10

Q37 – Ainsi



1,...,_n



est une famille libre de n vecteurs de L



Rⁿ^¹

 

^X ^,R



. Or

   



1

 

1

^{ } 

dim L R_n_ X ,R dim R_n_ X n. Donc



1,...,_n



est une base de L



Rⁿ^¹

 

^X ^,R



et

donc :



1

   ^

1

^

1

, , ! ,..., ,

n n

n n k k

k

 X



 ^L ^R ^R    ^R  



 ^ ^.

Q38 – On applique le résultat précédent à l’application

 

1 1

1

:

n X

P P



 

 





R R

 qui est bien linéaire de Rn_1

 

X dans R :



1



1

! ,..., ,

n n

n k k

k

   ^R  



 ^ , ce qui s’exprime aussi sous la forme :



1



1

 

¹1

 

1

! ,..., , ,

n n

n n k k

k

P _ X P P x

 

   ^R  ^R









Q39 – Soit PR2n_1

 

X . On appelle Q et R les quotients et restes respectifs de P par L_n. Comme ^deg

 

Ln n on a ^deg

 

^Q ^ⁿ^¹^et^deg

 

^R ^ⁿ^¹, ainsi que PQL_nR.

De là : ¹ ¹ ¹

1P 1QLn 1R

    

  

^{. Or} ¹₁QLn



Q Ln



 



. Or avec la question Q18 on a



Q Ln



⁰ et il reste avec la question Q38 : ¹ ¹

 

1 1

1 n

k k

k

P R R x

 



 





 

^{. Or pour}¹^^k^ⁿ^:

         

0

k n k k k k

P x L x Q x R x R x



  



Et l’égalité ¹

 

1 1

n

k k

k

P R x

 









^devient ¹1

^{ }

1 n

k k

k

P P x

 









^{. CQFD.}

Q40 – Soit  l’application linéaire proposée par l’énoncé, et soit ^P^^ker

 

^ ^{. Alors}

 

deg P 2n1 et pour tout ^k^

 

^1,ⁿ ^:P x

 

k P x^'

 

k ⁰. Donc chaque x_k est racine double de P et P a ainsi au moins2n racines comptées avec multiplicités alors que ^deg

 

^P ^²ⁿ^¹^.

Donc P0 : on vient de montrer que ^ker

   

^{ } ⁰ ^{. Or}^dim



R²ⁿ^¹

 

^X



^^dim



R²ⁿ



, donc  est bijective de R2n_1

 

X dans R²ⁿ. Par suite le 2n-uplet



f x

 

1 ,..., f x

 

_n , f '

 

x1 ,..., f'

 

x_n



a un unique antécédent H_n par , ce qui traduit le résultat voulu.

Q41 – Considérons pour KR fixé la fonction g définie par l’énoncé :

● Pour ^k^

 

^1,ⁿ ^, f x

 

n H x

 

n et A x

 

n ⁰ donc g x

 

n ⁰.

● Comme x est distinct des x_i, on a ^{A x}

 

^⁰ et il est possible de choisir pour K :

 

2

     

2 !

n n

K n f x H x

A x

 

Et ainsi on a aussi ^{g x}

 

^⁰^.

● x₁,...,x x_n, sont n1 nombres distincts de



^^1,1



. En les classant on obtient n1 nombres distincts de



^^1,1



^notésy1...y_n_1 qui tous annulent g.