Chapitre 1

1.1 Introduction

Le présent chapitre a pour objectif d’introduire cette classe de systèmes et est divisé en deux parties. La première est destinée à l’introduction des éléments fondamentaux associés à la théorie systèmes dynamiques et on donne une aperçue sur le chaos en tant que comportement spécifique des systèmes dynamiques. La deuxième partie est pour présenter le circuit du Chua ainsi que la méthodologie pour construire une résistance non-linéaire

1.2 Systèmes dynamiques

L'étude théorique approfondie des systèmes dynamiques est loin d'être l'objectif de notre travail.

D’un point de vue mathématique la notation générale d’un système dynamique est défini par l’ensemble de variables qui forment le vecteur d'état X=

{

}

L'état d'un système désigne l'ensemble des variables qui étant connus à l’instant initial, permettent de décrire l'évolution de ce système au cours du temps. L'ensemble de tous les états pouvant être pris par le système s'appelle l'espace des phases. Conjointement, un système dynamique est défini par une loi d'évolution, généralement, désignée par dynamique pour décrire l’évolution du système d’un état initial à un état final[1].

1.2.1 Représentation mathématiques des systèmes dynamiques

Un système dynamique est une structure qui évolue au cours du temps de façon à la fois :

-Causale c'est-à-dire que son avenir ne dépend que de son passé ou de son présent.

-Déterministe c'est-à-dire qu'il serait possible de connaitre l'avenir et le passé à partir de simple présent.

Les systèmes dynamiques sont classés en deux catégories[18] :

-Système dynamique à temps discret.

-Système dynamique à temps continu.

-Un système à temps continu

Un système à temps continu est décrit par un système d'équations différentielles :

´x(t)=F(^{x(t), t}) ^(1.1)

où et +¿→ Rⁿ

F:Rⁿ× R^¿ définit la dynamique du système en temps continu. A chaque couple choisi

(

)

-Un système à temps discret

Un système à temps discret est représenté par l’équation d'état suivant :

x(k+1)=G(^{x(k), k}) ^(1.2)

où +¿→ Rⁿ

G:Rⁿ× R^¿ est une fonction au moins continue ou continue par morceaux qui définie la dynamique du système en temps discret. De la même manière si nous associons à cette dynamique un état initial

x₀=x(0) nous pourrons avoir une solution unique de G .

1.2.2 Comportement des systèmes dynamiques

A partir d’un état initial ^x0 et après un régime transitoire, la trajectoire d’un système dynamique atteint une région limitée de l’espace de phase. Ce comportement asymptotique obtenu pour t , k → ∞ est une des caractéristiques les plus importantes à étudier pour tout système dynamique. Si dans le cas d’un système linéaire, la solution asymptotique est unique et indépendante de la condition initiale. En présence de non- linéarités, il existe une variété de régimes permanents, tel que point d'équilibre, solution périodique, solution quasi-périodique ou chaos[24].

Point d'équilibre (Fig.1.1a) : un point d'équilibre x^¿ est un point qui vérifie, en temps continu

f(x^¿)=0 (1.3) et en temps discret

f(x^¿)=x^¿ (1.4)

Pour un système non linéaire il y a une infinité de points d'équilibres. De plus ces points peuvent être stables ou instables suivant que les trajectoires voisines convergent ou divergent entre-elles (sensibilité aux conditions initiales).

Solution périodique (Fig.1.1b) : Le régime asymptotique permanent périodique correspond à une trajectoire dont les répliques d’une portion élémentaire sont espacées à des intervalles +¿

n T , nϵN^¿ et T la période de la solution. Dans l’espace de phase, l’ensemble limite correspondant à cette solution est une courbe fermée.

Solution chaotique (Fig.1.1c) : le régime chaotique est par définition tout régime permanent qui n’appartient à aucune des classes présentées antérieurement. Une telle solution a une trajectoire asymptotique bornée avec une extrême sensibilité aux conditions initiales. Ainsi deux trajectoires générées à partir de conditions initiales très proches, vont diverger l’une par rapport à l’autre.

L’espace de phases est une représentation graphique qui permet une évaluation qualitative de la solution obtenue. D’autre part, la théorie des équations différentielles linéaires à coefficients constants montre que la nature de la solution est en fonction des valeurs propres du système linéarisé. Donc il est nécessaire d’en développer, à la limite, pour qualifier si la réponse non linéaire du système est chaotique ou non. De ce point de vue vient la nécessité d’utiliser le concept de l’exposant de Lyapunov.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 -1

-0.5 0 0.5

1 a

v1

v2

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-1 -0.5 0 0.5

1 b

v1

v2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1 -0.5 0 0.5

1 c

v1

v2

Fig.1.1 –Quelques comportements d’un système dynamique : a) point fixe, b) orbite périodique, c) chaos.

1.2.3 Exposants de Lyapunov

L’exposant de Lyapunov sert à mesurer le degré de stabilité d’un système[35]. Un système sensible à de très petites variations des conditions initiales aura un exposant positif (système chaotique). En revanche, l’exposant est négatif si le système n’est pas sensible aux petites variations des conditions initiales, les trajectoires, donc, se rapprochent et l’effet de la perturbation initiale s’annule.

1.2.3.1 Calcul des exposants de Lyapunov

Soit le système dynamique discret (1.2) . On considère d'abord que ce système est de dimension n=1 , soit deux conditions initiales très

proches x₀ et x`<sub>0</sub> . La trajectoire issu de la condition initial x<sub>0</sub> est xk=f<sup>k</sup>(x0) , est celle issue de la condition initial <sup>x`</sup>0 est x_k=¿f^k( `x₀)

¿` .

Si les trajectoires x_k et x`_k s'écartent a un rythme exponentiel après k itérations, alors:

|

|

|

|

λϵR correspond au taux de divergence des deux trajectoires. Il vient λ=1

kln

|

|

Si l'on considère que les deux conditions initiales sont très proches, leur différence ε=

|

|

λ_L=lim

k →∞

1 k lim

ε →0ln

|

|

Cette relation est équivalente à : λ_L=lim

k →∞

1 k lim

ε →0ln

|

x_k−2` −x<sub>k−2</sub>…x`₁−x₁

x`₀−x₀

|

Ce qui se réécrit aussi sous la forme : x

x

f(¿¿i)−f(¿¿i) x`_i−x_i

¿`

¿¿ ln¿

∑

¿ 1 k lim

ε →0

¿

λ_L=lim

k →∞

1 k lim

ε →0

∑

i=0 k−1

ln

|

|

(1.9)

Finalement, on obtient :

x df(¿ ¿i)

d x_i

¿¿ ln¿ 1 k

∑

i=0 k−1

¿ λ_L=lim

k →∞

¿

(1.10)

Le terme ^λL est appelé exposant de Lyapunov de la trajectoire x_k=f^k(x₀) et le système est chaotique si λ_L>0 .

1.2.4 Théorème de bifurcation

Un système est dit structurellement stable sur une portion de l'espace de paramètres si une petite perturbation du système ne modifie pas son comportement global sur cette portion. A la valeur particulière du paramètre où la solution change subitement de nature, le système est dit structurellement instable ce qui autorise un brusque changement au niveau de la nature de la solution. Ce phénomène est appelé bifurcation et les points où il se produit sont les points de bifurcation.

1.2.4.1 Diagramme de bifurcation

Le diagramme de bifurcation est un outil efficace pour évaluer rapidement l’ensemble des solutions possibles d’un système en fonction des variations de l’un de ses paramètres. Il permet de repérer les valeurs particulières du paramètre qui induisent des bifurcations. C’est un diagramme qui porte les valeurs du paramètre en abscisse et les valeurs particulières d’une des variables d’état en ordonnée lorsque le régime permanent est atteint.

1.2.5 Scénario de transition vers le chaos

Pour illustrer les comportements d’un système dynamique prenons comme exemple la carte logistique[1] définie par l’expression suivante :

x_k+1=f

(

)

(

)

Pour construire le diagramme de bifurcation de la figure 1.2 on a choisi pour chaque valeur de rϵ[0,4] une séquence de 500 échantillons avec

une période de transition de 50 échantillons. Suivant la valeur de r (paramètre de bifurcation) et la valeur initial de ^x0 de la suite ^xk , celle-ci présente des comportements très différents :

-pour r=2,7 et ^x0=0.15 l'évolution de suite ^xk converge rapidement vers un point fixe et stable du plan

(

)

-pour r=3,2 nous remarquons que la suit converge vers une solution périodique. Dans ce cas, la trajectoire converge vers un cycle d'ordre 2.

-On augmentant la valeur de r la nouvelle suite converge vers une solution périodique avec doublement de période.

-Pour r ≥3,57 la suit x_k ne représente plus une structure ordonnée.

Donc le système devient chaotique.

On peut résumer la route vers le chaos à l'aide d’un diagramme de bifurcation donné par la Fig.1.2.

Fig.1.2 -Diagramme de bifurcation de la carte logistique

1.3 Chaos

Le chaos était synonyme de désordre et de confusion, s'opposait à l'ordre et à la méthode et devait être évité. Il existe plusieurs définitions possibles du chaos[2]. Ces définitions ne sont pas toutes équivalentes, mais elles convergent vers certains points communs caractérisant ainsi le chaos :

-Non-linéarité : si le système est linéaire il ne peut pas être chaotique.

r

-Déterminisme : un système chaotique a des règles fondamentales déterministes (plutôt que probabilistes).

-Sensibilité aux conditions initiales : de très petits changements sur l’état initial peuvent mener à un comportement radicalement imprévisible.

-Imprévisibilité : en raison de la sensibilité aux conditions initiales, la réponse est totalement imprévisible après un certain temps d’évolution.

-Irrégularité : ordre caché comprenant un nombre infini de modèles périodiques instables (ou mouvements). Cet ordre caché forme l’infrastructure des systèmes chaotiques.

1.3.1 Caractéristique du chaos

Nous présentons, dans ce qui suit, quelques caractéristiques qui permettent de comprendre qualitativement les points marquants d’un système chaotique :

1.3.1.1 Sensibilité aux conditions initiales

Les systèmes chaotiques sont extrêmement sensibles aux perturbations.

Ce concept est illustré par le fameux « effet papillon », énoncé et popularisé par le météorologue Edward Lorenz. L'évolution d'un système dynamique chaotique est imprédictible en ce sens qu'elle est sensible aux conditions initiales. Ainsi, deux trajectoires de phases initialement voisines s'écartent toujours l'une de l'autre. Nous illustrons ce phénomène par une simulation numérique de l'équation de logistique map[1] qui est étudié dans la prochaine section 1.2.5.

Dans ce cas

On considère les deux équations:

x_k+1=r x_k

(

)

y_k+1=r y_k

(

)

On affecte à un système chaotique deux conditions initiales très proches x₀=0.25 et ^y0=0.251 . Dans un premier temps, les deux systèmes

évoluent de la même manière, mais, très vite, leur comportement devient différent comme le montre la Fig.1.3.

0 10 20 30 40 50 60 70

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

n

xn-yn

x_n y_n

Fig.1.3 -L'évolution dans le temps pour deux conditions initiales très proches.

1.3.1.2 Attracteur étrange

Un attracteur est la zone de l'espace des phases qui attire les trajectoires d'un système dynamique. L'attracteur le plus simple est un point. Il existe deux type d'attracteurs, les attracteurs réguliers et les attracteurs étranges ou chaotiques. Dans le cas d'un système chaotique, la trajectoire converge vers une région particulière de l'espace appelée attracteur étrange qui est un signaleur du chaos.

1.3.1.3 Exposant de Lyapunov d’un système chaotique

Un attracteur étrange possédera toujours au moins un exposant de Lyapunov positif, autrement dit le plus grand exposant est positif pour un système chaotique et négative pour les autres systèmes.

1.3.2 Quelque exemples de systèmes chaotiques

Dans cette section, nous présentons quelques exemples de systèmes chaotiques les plus célèbres.

La carte logistique (une seule dimension)

La fonction logistique[1] très connu dans la théorie des systèmes non linéaire est illustré précédemment dans ce chapitre.

Système de Lorenz

En 1963, Edward Lorenz a proposé un système différentiel à comportement chaotique pour certaines valeurs de paramètres. Ce système est défini par les équations suivantes:

{

(1.13)

Ci-dessous l'attracteur de Lorenz pour les valeurs suivantes σ=10 , r=3

8 , b=28 .

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

The Lorenz Attractor

x1

x2

Fig.1.4 Système chaotique de Lorenz

Le système de Chua est à la base un circuit électronique très simple, ce circuit est fera l’objet de l’étude en détail dans la prochaine section.

1.4 Circuit du Chua

Le circuit de Chua est un circuit électronique simple qui montre le comportement classique de théorie de chaos [8], [9], [10]. Il a été présenté en 1983 par Leon O. Chua, qui était un visiteur à l'université de Waseda au Japon à ce moment

.

1.4.1 Réalisation du circuit du Chua

Pour observer des comportements chaotiques à l'aide d'un circuit électronique, ce circuit doit posséder :

-Au moins un élément non linéaire -Au moins une résistance active

-Au moins trois éléments capable de stocker de l'énergie (capacité, inductance)

Nous pouvons considérer, d’un point de vue comportementale, le circuit du Chua comme augmentation du modèle de Van der Pôle voir Annexe A, par l’ajout d’un circuit de RC ou bien un résonateur parallèle et une résistance non-linéaire(Fig.1.5).

Il y a plusieurs exemples des résistances non linéaires utilisées dans ce circuit, mais elles ont toutes la même fonction courant tension (voir Fig.1.6). Bien que le terme f(V) est en fonction de la tension aux bornes de la résistance non-linéaire ^NR , ce terme est non-linéaire est donnée par la formule suivante :

|

|

|

|

f

(

)

2

(

)

(1.14)

Fig.1.5 -Circuit de Chua

L NR

R0 i3

C1

V1

V2

C2

f(V1

(

Gb

Ga

Bp

- Bp

Gb

R

Fig.1.6 –Caractéristique tension-coutant de la résistance non-linéaire Dans ce qui suit, nous allons aborder les différents points permettant de définir mathématiquement l'ensemble d'équations gouvernant du circuit Chua.

D’après la loi de Kirchoff : I_entreé=¿

∑

∑

(1.15)

Donc

{

(1.16)

Se sont les tensions aux bornes des deux condensateurs ^C1 et ^C2 ainsi que le courant de l’inductance L qui varie en fonction du temps. Donc, l’étude du comportement du circuit revient à étudier la variation de ces grandeurs et on obtient les relations suivantes :

{

Avec

{

La tension aux bornes de l’inductance est donnée par : V_L=−V_C2⟹Ld i_L

dt =V₂−R₀i_L (1.19)

Et les trois équations du système seront :

{

⁽

^{( (}

^{) (}

⁾

^{) )}

Afin de simplifier la notation on pose ^V1=x₁ , ^V2=x₂ et ⁱ3=x₃/R . Le circuit de Chua est donc représenté par l’ensemble d’équations différentielles suivantes :

{

⁽

^{( (}

⁽

⁾

^{) ) )}

^{

^{( (}

⁽

⁾

^{( )}

⁾

⁾

Lors de l’intégration du système, la variable temporelle est en fonction du paramètre ^C2 , ce qui mène à :

(1.22)

{

⁽

⁽

^{( )}

⁾

⁾

Les paramètres de ce circuit dépendent essentiellement des valeurs de la résistance, de l’inductance ainsi que celles des condensateurs. On pose :

α=C₂

C₁, β=R²C₂

L , m₀=G_a

G , m₁=G_b G

(1.23)

Avec G=1 R

D’où on obtient le système de Chua représenté par l’ensemble d’équations différentielles :

(1.24)

{

⁽

⁽

^{) )}

Avec

|

|

|

|

f

(

)

2

(

)

(1.25)

Qui représente l’élément non linéaire du circuit.

1.4.1.1 Réalisation de la résistance non-linéaire (diode de Chua)

Pour réaliser cette résistance négative, Chua a proposé un circuit actif particulièrement conçu à cette fin [14]. Il est à noter qu’à l’heure actuelle il existe plus qu’une méthode pour réaliser une résistance négative. A titre d’exemple, avec un amplificateur opérationnel, il est simple d'obtenir un effet de résistance négative[17] (voir Fig.1.7).

+ -

Fig.1.7 -Réalisation d’une résistance non-linéaire par amplificateur- opérationnelle.

1.4.1.2 Valeur théorique de la résistance négative

v 3

i

R3

vd

v0

R2

R1

1

0

2

On considère le montage de la Fig.1.8(a) qui utilise un amplificateur opérationnel parfait alimenté par +¿

v^¿ et −¿

v^¿ et dont la caractéristique de fonction de transfert est représenté en Fig.1.8 (b)

Fig.1.8- (a) alimentation de l'amplificateur opérationnelle, (b) caractéristique de l'amplificateur opérationnelle.

Dans les amplificateurs opérationnels la tension de sortie peut varier entre les valeurs extrêmes +E_sat et −E_sat (tension de saturation) qui sont légèrement inferieur à la tension d'alimentation. Le gain est très grand, la saturation d'amplificateur est obtenue pour des tensions d'entres très faible.

En utilisant la loi de Kirchhoff pour les courants à partir la Fig.1.8, on obtient:

(1.26) i= 1

R₃(v−v₀)

Avec i, v et v₀ les courant, tension d'entrée et tension de sortie respectivement. Du même circuit et pour les tensions son trouve :

(1.27) v=v_d+

(

)

Et la fonction de transfert est donnée, donc, par:

(1.28) v₀=A v_d

Avec A est gain d'amplificateur opérationnel.

De l'équation (1.27) et (1.28) on aura :

A +

- -

+v +

-v v0

vd

Esat+

Esat-

(1.29) v=

(

)

Ou d'une manière équivalente:

v₀=

(

)

On remplace ^v0 par son expression on obtient :

(1.31) R

R₃[¿¿2+(1+A)R₁] (1−A)R₂+R₁

¿ i=¿¿

Si A est suffisamment grande on peut accepter que :

i=

(

)

(1.32)

La valeur théorique de la résistance négative est:

R_N=i

v=−R₁R₃ R₂ (1.33)

Et c’est ainsi qu’on peut avoir l’effet de la résistance négative avec un amplificateur opérationnel.

1.4.1.3 Résistance non-linéaire à partir de deux résistances négatives

Nous pouvons obtenir une résistance non-linéaire avec deux résistances négatives reliées en parallèle ^NR1 et ^NR2 [18], comme le montre la Fig.1.9.

+

Fig.1.9-Deux résistances négatives en parallèle.

1.4.2 Comportements dynamiques du circuit Chua

En tenant compte de quelques considérations pratique la version finale du circuit de Chua est représentée par la Fig.1.10. Les paramètres du circuit Chua est donné par la table 1.1., et on prend R variable (potentiomètre) de 0K Ω à 5K Ω , alors il est suffisant de modifier la valeur d'un composant pour étudier les divers modes ou les différents comportement qu’il peut montrer le

circuit de Chua.

Fig.1.10- Version finale du circuit Chua.

- +

- +

--

- +

-

R

R1 R2

R3

R6

R4 R5

NR

R3

R2

R1

R5

R4

R6

C1

C2

L

Eléments Description Valeur Tolérance

A₁

A₂

Amp.-Op.( AD712, TL082, ou equivalent)

R₁ Résistance 1

4 ^W

2,2KΩ ±5 %

R₂

Résistance 1 4 ^W

220Ω ±5 %

R₃

Résistance 1 4 ^W

220Ω ±5 %

R₄

Résistance 1 4 ^W

3,3KΩ ±5 %

R₅

Résistance 1 4 ^W

22KΩ ±5 %

R₆

Résistance 1 4 ^W

22KΩ ±5 %

Table 1.1 -Paramètres du circuit Chua

1.5 Conclusion

Dans ce chapitre et après une introduction on a donné les notions de base de systèmes dynamiques, telles que : les différents types de ces systèmes continu et discret, l’espace de phases, les différents comportements d’un système dynamique et leur stabilité. On a clarifié un certain nombre de concepts tel que la variété en réponse d’un système dynamique et la bifurcation ou le passage du système d’un comportement à l’autre.

Nous avons étudié le système chaotique qui est caractérisé par la sensibilité aux conditions et ses attracteurs étranges. A la fin nous avons détaillé le circuit du Chua comme un exemple des systèmes chaotiques qui servira ensuite comme un élément générateur du chaos pour sécuriser la transmission des données.