Par Tendayi CHIHAKA Mécanique

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Par Tendayi CHIHAKA

African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana

Mécanique

^Mécanique

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Note

Ce document est publié sous une licence Creative Commons.

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http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.

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Université Virtuelle Africaine

Table des maTières

I. La mécanique _____________________________________________ 3 II. Cours ou connaissances préalables ____________________________ 3 III. Durée du cours ____________________________________________ 3 IV. Supports pédagogiques _____________________________________ 3 V. Raison d’être du module _____________________________________ 3 VI. Contenu__________________________________________________ 4 6.1 Aperçu _______________________________________________ 4 6.2 Plan de cours __________________________________________ 4 6.3 Organisation graphique du module _________________________ 6 VII. Objectifs généraux d’apprentissage _____________________________ 7 VIII. Objectifs spécifiques d’apprentissage ___________________________ 7 IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage ______________________ 8 X. Activités d’apprentissage ___________________________________ 14 XI. Glossaire des mots-clés ___________________________________ 138 XII. Lectures obligatoires ______________________________________ 145 XIII. Liste compilée des ressources multimédias (optionnelles) _________ 146 XIV. Liste compilée des liens utiles _______________________________ 147 XV. Synthèse du module ______________________________________ 149 XVI. Évaluation sommative _____________________________________ 150 XVII. Références _____________________________________________ 161 XVIII. Auteur principal du module ________________________________ 162

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i. la mécanique

Par M. Tendayi Chihaka

ii. Cours ou connaissances préalables

L’algèbre linéaire et le Calcul différentiel et intégral 3 sont les pré-requis.

iii. durée du cours

La durée de ce module est de 120 heures.

iV. supports pédagogiques

Les étudiants doivent avoir accès aux lectures de référence énumérées plus loin. De plus, ils devront avoir accès à un ordinateur pour pouvoir pleinement profiter des liens menant aux lectures de référence et aux autres liens spécifiés dans ce module.

V. raison d’être du module

La mécanique est ici traitée comme étant un sous-domaine des mathématiques qui tente d’expliquer notre environnement physique à l’aide de modèles mathématiques.

C’est aussi le domaine qui fait le pont entre les sciences naturelles et les mathé- matiques. Ce module concerne particulièrement l’étude des concepts de base de la cinématique, de la cinétique, de la dynamique et de la statique à l’aide des mathé- matiques modernes et traditionnelles. La cinématique est l’étude du mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement des particules. La cinétique est l’action des forces sur les particules et les corps en mouvement et des mouvements qui en résultent. La dynamique est l’étude des causes générales du mouvement et la statique concerne la mécanique de l’équilibre des corps stationnaires.

Des exemples pratiques et leurs implications ont été suggérés tout au long de ce module, afin de fournir au futur professeur des outils pratiques menant à l’apprentissage de la connaissance de la mécanique.

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Vi. Contenu

6.1 Aperçu

Ce module est un cours de premier cycle en Mécanique. Le module commence par un traitement des vecteurs et du calcul différentiel et intégral des vecteurs tout en tentant d’expliquer sous cet angle les autres sujets relevant de la mécanique. Nous espérons que les étudiants qui suivent ce cours se familiariseront d’eux-mêmes avec les concepts de la force et de ses applications. Nous traiterons ici de quatre champs de la mécanique : la statique, la dynamique, la cinétique et la cinématique des particules et des corps solides.

L’étudiant est fortement encouragé à consulter les sources de référence en Physique de la mécanique touchant les concepts étudiés dans ce module pour obtenir des exemples pratiques modélisés mathématiquement.

6.2 Plan de cours

Section 1 : La force, l’énergie et le mouvement

Niveau 1. Priorité A. Algèbre linéaire 1 et Calcul différentiel et intégral 3 sont des cours pré-requis. (Remarque : peut aussi chevaucher l’analyse vectorielle).

Vecteurs, Vélocité et Accélération : produit scalaire, produit scalaire triple. Dérivée des vecteurs, Intégral des vecteurs. Vélocité et Accélération relatives. Accélération tangente et normale, mouvement circulaire. Gradient, divergence et boucle. Segments intégraux et indépendance de trajectoire.

Lois du mouvement de Newton – Force, Énergie et Moment cinétique : Force, énergie et énergie cinétique. Champ de force restrictive, potentiel, conservation de l’énergie.

Impulsion, force et moment cinétique, conservation cinétique.

Mouvement dans un champ de force uniforme, Corps en chute libre et projectiles.

Potentiel et énergie potentielle dans un champ de force uniforme. Projectiles, mouvement dans un milieu résistant. Mouvement contraint. Friction. En raison de la taille de cette section, nous avons cru bon de la diviser en deux parties : 1a) et 1b).

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Section 2 : Les oscillations

Niveau 1. Priorité A. La mécanique 1 est un pré-requis.

L’oscillateur harmonique simple et le Pendule simple : l’énergie d’un oscillateur harmonique simple. Mouvement amorti, sur amorti, sous amorti. Pendule simple.

L’oscillateur harmonique à double et triple dimensions.

Section 3 : La dynamique

Niveau 2. Priorité B. La mécanique est un pré-requis.

Les forces centrales et le mouvement des planètes : équations d’une particule dans un champ central; énergie potentielle d’une particule dans un champ central; conservation de l’énergie. Les lois du mouvement des planètes de Kepler.

Systèmes de coordonnées en mouvement; systèmes des coordonnées en rotation;

opérations dérivées, Vélocité et accélération dans un système en mouvement. Accé- lération de Coriolis et accélération centripète (et force). Mouvement d’une particule en relation avec la Terre. Systèmes de particules : conservation du mouvement, mouvement angulaire, force externe. Énergie cinétique, force, énergie potentielle.

Principe des travaux virtuels; Principe de D’Alembert.

Missiles et collisions : problèmes de changement de masse. Missiles et collisions (directs et obliques).

Section 4 : Les corps solides et l’énergie

Niveau 3. Priorité C. Mécanique 3 est un préalable.

Mouvement de plan des corps solides : le théorème d’Euler. Le théorème de Chasles.

Moment d’inertie. Rayon de giration. Le théorème de l’axe parallèle. Le théorème de l’axe perpendiculaire. Couples. L’énergie cinétique et le mouvement angulaire d’un axe fixe. Principe du mouvement angulaire. Principe de la conservation d’énergie.

Principe des travaux virtuels et Principe de D’Alembert. Principe de l’énergie potentielle minimale.

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6.3 Organisation graphique du module

DYNAMIQ UE

ALG ÈB RE VE CTORIE LLE

PLAN ET MOU VE ME NT

CURVILIG NE

OSCI LLATIO NS CORPS

SOLIDES

LOIS D U MOU VE ME NT

DE N EWTON

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Vii. Objectifs d’apprentissage généraux

Au terme de ce module, l’étudiant devrait être en mesure de :

• Faire la relation entre les concepts mathématiques et les grandeurs physiques, tels que la force et le mouvement.

• Faire le modèle mathématique de quelques phénomènes physiques tel que requis pour l’enseignement efficace de la mécanique dans une école secon- daire.

• Faire la relation entre les opérations mécaniques traditionnelles au calcul différentiel et intégral des vecteurs et inversement.

Viii. Objectifs spécifiques d’apprentissage

À la fin de ce module :

1. Vous aurez les outils nécessaires, comme étudiant et comme professeur, pour effectuer des opérations vectorielles.

2. Vous aurez une compréhension des concepts de base pour effectuer des analyses concernant les grandeurs vectorielles.

3. Vous pourrez appliquer les concepts de base de l’analyse à différents types de mouvements, par exemple le mouvement harmonique simple.

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iX. activités d’enseignement et d’apprentissage

Évaluation anticipée – Test sur les concepts algébriques de base

But : Vérifier si l’étudiant connaît certains concepts utilisés dans ce module.

Questions

1. La vélocité est :

a. le taux de changement d’un déplacement b. le taux de changement de la vitesse;

c. le taux de changement de la distance;

d. le taux de changement du temps.

2. Lequel de ces énoncés est un groupe de vecteurs?

a. la vitesse, l’accélération et le temps;

b. le déplacement, la vélocité et l’accélération;

c. la direction, le déplacement et la vélocité;

d. la force, la vélocité et le temps.

3. La résultante des vélocités 8ms^-1 et 6ms^-1 à angle droit est : a. 12ms^-1

b. 10ms^-1 c. 7ms^-1 d. 9ms^-1

4. Le moment du mouvement d’un corps est : a. la masse de ce corps multipliée par sa vitesse;

b. le poids de ce corps multiplié par sa vélocité;

c. la masse de ce corps multipliée par sa vélocité;

d. le poids de ce corps multiplié par sa vitesse.

5. La première loi de Newton sur le mouvement énonce que :

a. Si un corps est immobile, il reste immobile et un corps qui se déplace continue de le faire jusqu’à ce qu’il s’arrête.

b. Si un corps est immobile, il reste immobile ou s’il est en mouvement, il demeure en mouvement jusqu’à ce qu’une force le touche.

c. Si un corps est immobile, il demeure immobile et s’il est en mouvement, il reste en mouvement à une vélocité uniforme jusqu’à ce qu’il soit touché par une force.

d. Si un corps est immobile, il demeure immobile.

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6. La masse d’une automobile

1.0 × 10

³

kg

qui se déplace à 72 km h^-1 sur une route horizontale est immobilisée sur une distance de 40 m par l’action des freins et des forces de friction. Trouvez la force d’arrêt moyenne

_.

7. Une grandeur scalaire a : a. une direction seulement;

b. une magnitude seulement;

c. une direction et une magnitude;

d. aucune de ces réponses.

8. Un train qui se déplace à une accélération uniforme prend 20 s et 30 s pour par- courir 400 mètres successivement. Si l’accélération demeure uniforme, combien de mètres seront nécessaires pour que le train s’arrête?

a. 163.3 m;

b. 963.3 m;

c. 800 m;

d. 663.3 m.

9. L’énoncé suivant n’est pas une équation de mouvement en ligne droite : a. v u at

= +

b. x ut= +¹₂at² c. v² =u²+2ax d. v u at= + ² 10. La puissance est :

a. une aptitude à avoir une énergie;

b. une aptitude à se mouvoir;

c. une aptitude à avoir une vitesse;

d. une aptitude à effectuer un travail.

(11)

Université Virtuelle Africaine 0

11. Une masse 5 kg se déplace sur un plan horizontal uni à une vitesse de 8 m/s, tout en étant attaché à un point fixe sur un plan avec une ficelle de 4 m. Trouvez la tension de la ficelle.

a. 16 N;

b. 40 N;

c. 80 N;

d. 20 N.

12. L’impulsion est définie comme étant : a. le produit de la force et de la distance;

b. le produit de la force et de la masse;

c. le produit de la force et du temps;

d. le produit de la force et de la vélocité.

13. La vélocité angulaire d’une particule est :

a. le rayon d’un cercle sur la vitesse de la particule;

b. le rayon d’un cercle sur la vélocité de la particule;

c. la vitesse de la particule sur le rayon d’un cercle;

d. la vélocité de la particule sur le rayon d’un cercle.

14. La force qui doit être exercée sur les rails vers le centre d’un cercle est : a. le moment de cet axe sur les forces internes qui interfèrent avec le corps;

b. le moment de cet axe sur les forces externes qui interfèrent avec le corps;

c. le moment de cet axe sur la vitesse du corps;

d. le moment de cet axe de l’accélération du corps.

15. Une particule de 3 kg de masse immobile sur une table plane et attachée à un point fixe sur la table par une corde mesurant 1,2 m fait 300 rév./min. Trouver la vélocité angulaire de la particule.

a. v u at

= +

b. x ut= +¹₂at² c. v² =u²+2ax d. v u at= + ²

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16. Une locomotive de masse 80 tm se déplace sur un arc de cercle ayant un radiant de 240 m à une vitesse de 48 km/h. La force qui doit être exercée par les rails vers le centre du cercle est de :

a. 0.59×10⁵ N b. 0.59×10⁴ N c. 0.59×10³ N d. 0.59×10² N

17. Une particule se déplace avec un mouvement harmonique simple si :

a. la particule se déplace vers un point fixe de la trajectoire et son accélération est inversement proportionnelle à sa distance par rapport à un point fixe;

b. la particule se déplace vers un point fixe de la trajectoire et son accélération est proportionnelle à sa distance par rapport à un point fixe.

c. la particule se déplace vers un point et sa vitesse est proportionnelle par rapport à un point fixe.

d. la particule se déplace vers un point fixe de la trajectoire et son accélération est proportionnelle à sa vélocité par rapport à un point fixe.

18. Un pendule simple :

a. est constitué d’une particule lourde attachée à un point fixe par une corde lourde et qui se balance sur un plan vertical.

b. est constitué d’une particule lourde attachée à un point fixe par une corde sans masse et qui se balance dans toutes les directions.

c. est constitué d’une particule lourde attachée à un point fixe par une corde lourde et qui se balance dans toutes les directions.

d. est constitué d’une particule lourde attachée à un point fixe par une corde sans masse et qui se balance sur un plan vertical.

19. Lequel des énoncés suivants n’est pas normalement un vecteur:

(a) -5 (b) (1, 2, 3) (c) A (d)

4 8

−3

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

20. Un sous-espace d’un espace vectoriel :

⎥

(a) est aussi un espace vectoriel;

(b) n’est pas un espace vectoriel;

(c) n’est pas un espace linéaire;

(d) est la moitié d’un espace vectoriel.

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Solutions

1. a . ((b), (c), (d) ont des grandeurs scalaires de vitesse, de distance et de temps respectivement. Donc, puisque la vélocité est une grandeur vectorielle, a est la réponse correcte).

2. b (puisque (a) la vitesse et le temps ne sont pas des vecteurs, (c) la direction n’est pas un vecteur et d) le temps n’est pas un vecteur.

3. b (en utilisant le théorème de Pythagore, prenez 8ms^-1 pour être le côté opposé et 6ms^-1 pour être le côté adjacent, alors le côté résultant est 10ms^-1).

4. c (le moment du mouvement est le produit de la masse par la vélocité puisque la particule se déplace dans une direction particulière. Donc, (a), (b) et (d) sont des énoncés faux).

5. c ((c) est la bonne réponse puisque le corps se déplace dans une direction parti- culière et s’arrête seulement lorsqu’une force, la friction, intervient).

6. b (La vélocité initiale est de 72 km h^-1 ou 20 m/s et la vélocité finale est de 0 m/s. Donc, l’accélération est de 5 ms^-2 et la force est égale à la masse multipliée par l’accélération, ce qui donne la réponse b)).

7. b (la grandeur vectorielle est celle qui a une magnitude et une direction, la réponse correcte est b).

8. a)

9. d ((d) n’est pas une équation linéaire en raison de la présence du terme t^2.Toutes les autres équations sont correctes).

10. d (la puissance est égale à la force multipliée par la vélocité ou le ratio du travail accompli, donc d) est correcte.

11. c (ici, il s’agit d’un mouvement dans un cercle, donc l’accélération vers un point fixe est égale à (vélocité)²/radius=64/4=16 ms^-2. Par conséquent, la tension est la masse multipliée par l’accélération = 5×16= 80 N)

12. c 13. d 14. b

(14)

15 b (le mouvement est effectué dans un cercle, donc nous multiplions le nombre de révolutions par seconde par 2π puisque chaque révolution équivaut à 2π).

16. a (48 km/h= 40/3 ms^-1 et la force exercée est mv²/r= 80 000×(40/3)²/240.

17. b 18. d

19. a ((c) démontre normalement un vecteur ou une matrice, (b) et (d) démontrent des vecteurs).

20. a

Commentaire pédagogique pour l’étudiant

Ce test a été conçu de manière à introduire l’étudiant aux notions de base de la ci- nétique et de la cinématique. Il couvre les concepts d’identification des équations de mouvement sur une ligne droite et des notions de base touchant les procédés algébriques. Un résultat de 50 % ou moins devrait être considéré comme alarmant et l’étudiant devrait revoir ses travaux « O » concernant l’algèbre et ses procédés.

Il est essentiel que l’étudiant lise de manière extensive sur les sujets pour lesquels il n’est pas familiarisé, puisqu’il est très important de bien comprendre ces notions avant d’entreprendre les sections qui suivent.

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X. activités d’apprentissage

Section 1a

Les vecteurs, le calcul vectoriel, la vélocité et l’accélération

Objectifs spécifiques d’apprentissage

Lorsque l’étudiant aura complété ces activités, il devrait être en mesure de :

• Définir les vecteurs et exécuter les opérations vectorielles.

• Dériver et intégrer les fonctions vectorielles.

• Définir la vélocité et l’accélération en termes de vecteurs et de décrire leurs relations.

• Dans des situations données, définir et calculer les vélocités relatives et les accélérations des corps en mouvement.

• Décrire le mouvement circulaire et calculer l’accélération tangente et normale des particules se déplaçant dans un mouvement de cercle.

• Définir et appliquer les concepts de radiant, de la divergence et des boucles.

• Définir et évaluer les intégraux linéaires et l’indépendance de trajectoire.

Sommaire de l’activité d’apprentissage

Durant cette activité, l’étudiant sera amené à se familiariser avec le calcul élémentaire des vecteurs et de son application dans les mouvements à deux et trois dimensions.

Lecture obligatoire

Fitzpatrick, R. (2001). Classical Mechanics: An Introductory Course. Austin, Texas.

UTP

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Liens utiles et ressources Vecteurs

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial) Fonctions vectorielles

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function Accélération

http://en.wikipedia.org/wiki/Acceleration Vélocité

http://en.wikipedia.org/wiki/Velocity Divergence

http://en.wikipedia.org/wiki/DIVERGENCE Boucle

http://en.wikipedia.org/wiki/CURL Gradient

http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/gradi.html

Mots-clés (voir la définition au Glossaire)

• Scalaire

• Vecteur

• Vélocité

• Accélération

• Fonction Faire un pont

Un sergent de l’armée donne l’ordre suivant à un groupe composé de nouvelles recrues à un mouvement d’unités.

“Marchez pendant cinq heures.”

À un autre groupe, il ordonne : “Courez pendant cinq kilomètres »

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À un troisième groupe, il ordonne :

“Au pas de gymnastique à dix kilomètres/heure! »

Comme vous le savez sans doute, les recrues ne peuvent discuter les ordres d’un supérieur.

Décrivez la situation du mouvement de troupes suivant immédiatement ces ordres et les questions possibles que peut se poser chaque recrue. Que serait-il arrivé si le sergent avait donné des instructions similaires à un groupe de pilotes avec la termi- nologie et les données appropriées?

Description détaillée des activités

Au cours de cette activité, nous revenons sur les concepts des vecteurs et des fonctions vectorielles avec l’intention d’explorer plus avant le calcul vectoriel. Nous utiliserons ensuite les résultats de ces calculs pour définir la force de l’accélération vélocité et à l’activité 2, nous aborderons finalement le mouvement des particules et à l’activité 3, celui des corps. Vous aurez la chance d’examiner différents problèmes et des situations de solutions pour ensuite résoudre des problèmes similaires par vous-mêmes.

1a.1 Les vecteurs et les scalaires http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial)

1a.1.1 Exemples de grandeurs scalaires

Les vecteurs sont des grandeurs qui nécessitent une magnitude, mais aussi une direction afin de bien les circonscrire. Illustrons ce concept en citant quelques exemples de grandeurs qui ne sont pas des vecteurs. Le nombre de litres de pétrole dans le réservoir de votre automobile est un exemple d’une grandeur qui peut être définie par un seul nombre – il n’est pas logique de parler de « direction » en association avec le pétrole d’un réservoir. De telles grandeurs, qui peuvent être données avec un seul nombre (avec le nombre approprié d’unités), sont appelées des scalaires. D’autres exemples de grandeurs scalaires comprennent la température, votre poids ou la population d’un pays. Ils sont scalaires parce qu’ils peuvent être complètement définis à l’aide d’un seul nombre (avec le nombre approprié d’unités).

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1a.1.2 Exemples de grandeurs vectorielles

v =

(

^{x x x}¹

^{, ,}

² ³

)

Définition : La longueur d’un vecteur v est définie par

v = x +₁² x₂² (deux dimensions)

v =

∑

= 3

1 2 i

x (trois dimensions)i

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Définition : Si v est un vecteur non nul dans l’espace à 2-d ou à 3-d, alors le vec- teur

u = v

v v

v

1 =

a une longueur de 1 dans la direction de v.

en 3-d sont i = (1, 0) et j = (0, 1) et

i =

( ¹ ^, ⁰ ^, ⁰ )

^{, j =}

( ⁰ ^, ¹ ^, ⁰ )

^{et k =}

( ⁰ ^, ⁰ ^, ¹ )

Nous supposons que vous avez déjà effectué des problèmes sur les additions vectorielles et les multiplications scalaires. En conséquence, nous parlerons ici seulement des produits scalaires et vectoriels. Votre manuel de référence, cependant, comprend des sections qui traitent de ces opérations.

Fitzpatrick, R. (2001). Classical Mechanics: An Introductory Course. Austin, Texas.

UTP pp 34-38.

N.B. Vous aurez remarqué que l’addition vectorielle décrite est l’addition des com- posantes avec laquelle vous vous êtes déjà familiarisé.

Magnitude vectorielle p. 35

Le théorème de Pythagore (3.6) p. 35

N.B. Prenez note que la magnitude vectorielle est aussi appelée les modules d’un vecteur.

Équation (3.6) et (3.7)

La multiplication scalaire p. 35

Multiplication scalaire des composantes 3.8 p. 36 Les diagonales d’un parallélogramme pp. 36 – 38 N.B. Équations 3.9 – 3.13

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Astuce

₃

v

₃

)

N.B.

v • v = v

²

Théorème : Si

θ

est l’angle entre deux vecteurs non nuls u et v, alors

cos

θ = u • v u v

Définition : Le travail accompli, W, par une force agissant sur la ligne de mouve- ment d’un objet est donné par

W= Force x distance =

F PQ

UTP p. 40

N.B. La figure géométrique 15 explique très bien cette opération vectorielle.

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1a.1.5 Le produit vectoriel

)k )

Une façon plus élégante de l’écrire :

u × v =

3 2 1

v v v

u u u

k j i

qui se trouve être le déterminant d’une matrice 3 X 3. Référez au module sur l’algèbre linéaire pour vous rafraîchir la mémoire sur les propriétés des déterminants.

Activité

Vérifier si ces deux définitions sont effectivement la même.

N.B. Le produit vectoriel n’est pas défini pour les vecteurs en 2-d.

Théorème : Les propriétés algébriques d’un produit vectoriel Si u et v sont des vecteurs et c est un scalaire :

1. u x v = v x u

2. u x (v + w) = (u x v) + (u x w) 3. c(u x v)= cu x v= u x cv 4. u x 0 = 0 x u = 0 5. u x u =0

6. u

• (v + w) = (u × v)• w

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Théorème : Les propriétés géométriques d’un produit vectoriel Si u et v sont des vecteurs non nuls et θ est un angle entre eux.

1. u x v est orthogonal pour u et v.

2.

u × v = u v sinθ

3. u x v = 0 si et seulement si un des termes est un multiple scalaire de l’autre 4.

u × v =

est une aire du parallélogramme ayant les côtés u et v

N.B. Le produit vectoriel peut être utilisé pour le moment de rotation – le moment M de la force F à un point P.

Exemple : Si le point d’application de la force est Q, le moment de F sur P est M=PQ × F

La magnitude du moment F mesure la tendance du vecteur PQ à faire des rotations dans le sens contraire des aiguilles d’une montre sur un axe dirigé le long du vecteur M.

Activité

Exercice : Prouvez que u x v =

u v sinθ

, où u et v sont des vecteurs, θ est l’angle entre eux et x est le produit vectoriel.

(Solution) : Astuce. Rappelez-vous que

1a.1.6 Le produit scalaire triple

Définition : Le produit scalaire tripe est le produit scalaire de u et v + w u •(v + w)

w

₂

w

₃

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Activité

Prouvez le théorème.

1a.1.7 Fonctions vectorielles

Définition : Une fonction vectorielle est une fonction où le domaine est un sous-en- semble de nombres réels et l’étendue est un vecteur. En d’autres mots, les fonctions vectorielles assignent un vecteur à un nombre.

De façon plus spécifique, En 2-d

r(t) = x(t)i + y(t)j or r(t) = (x(t) , y(t)), ou En 3-d

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k or r(t) = (x(t) ,y(t) ,z(t))

Vous remarquerez une forte ressemblance avec les équations paramétriques. En fait, il y a une équivalence entre les fonctions vectorielles et les équations paramétriques.

Exemple

Dessinez le graphe de r(t) = (t - 1)i + t² j Solution (caché)

Nous avons dessiné des vecteurs pour plusieurs valeurs de t et les avons reliés. Re- marquez que le graphe est le même que

y = (x + 1)²

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1a.1.8 Calcul des fonctions vectorielles

La définition formelle de la dérivée d’une fonction vectorielle est très similaire à la définition de la dérivée d’une fonction avec valeurs réelles.

1a.1.9 La dérivée d’une fonction vectorielle

Si r(t) est une fonction vectorielle, alors

= x’(t)i + y’(t)j

Puisque la dérivée d’une somme est la somme de la dérivée, nous pouvons trouver la dérivée de chaque élément d’une fonction vectorielle pour trouver sa dérivée.

Suivez ce lien : http://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function

Exemples

d/dt (3i + sintj) = costj

d/dt (3t² i + cos(4t) j + te^t k) = 6t i -4sin(t)j + (e^t + te^t) k

1a.1.10 Les propriétés de différentiation des fonctions vectorielles

Toutes les propriétés de différentiation tiennent aussi pour les fonctions vectorielles.

Plus encore, en raison des nombreuses façons de définir ce qu’est la multiplication, il y a une abondance de règles de multiplication.

Supposons que v(t) et w(t) sont des fonctions vectorielles, f(t) est une fonction sca- laire, et que c est un nombre réel, alors :

1. d/dt(v(t) + w(t)) = d/dt(v(t)) + d/dt(w(t)) 2. d/dt(cv(t)) = c d/dt(v(t))

3. d/dt(f(t) v(t)) = f ‘(t) v(t) + f(t) v’(t) 4. (v(t) ^.w(t))’ = v’(t) ^.w(t)+ v(t) ^.w’(t) 5. (v(t) x w(t))’ = v’(t) x w(t)+ v(t) x w’(t) 6. d/dt(v(f(t))) = v’(f(t)) f ‘(t)

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1a.1.11 L’intégrale des fonctions vectorielles

Définition : Nous définissons l’intégrale d’une fonction vectorielle comme étant l’intégrale de chaque élément. Cette définition tient pour les intégrales indéfinies et les intégrales finies.

Si r(t) = x(t)i +y(t)j, où x et y sont continus sur [a , b] alors

r (t)dt = x(t)dt ^⎡ ⎣ ∫ ⎤

⎦i + ^⎡ ⎣ ∫ y (t)dt ⎤

⎦ ⎥

^j

2. Si r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, et x, y, t z sont continus sur [a , b] alors

r (t) = x(t)dt ^⎡ ⎣ ∫ ⎤

⎦i + ^⎡ ⎣ ∫ y (t)dt ⎤

⎦ j + ^⎡ ⎣ ∫ z (t)dt ⎤

∫ ⎦ k

Exemple Évaluez :

∫(sin t)i + 2t j - 8t³k dt Solution

Trouvez l’intégrale de chaque élément (∫ (sin t)dt i) + ( ∫2t dt j) - ( ∫8t³ dt k) = (-cost + c₁)i + (t² + c₂)j + (2t⁴ + c₃)k

Remarquez que nous avons introduit trois différentes constantes, une pour chaque élément et que les trois constantes scalaires produisent un vecteur constant.

(26)

Activité 1a.2 La vélocité et l’accélération

• Définissez la vélocité et l’accélération en termes de vecteurs et décrivez les relations entre la vélocité et l’accélération.

• En fonction de situations appropriées, définissez et calculez les vélocités relatives et les accélérations des corps en mouvement.

1a.2.1 Vélocité

Suivez ce lien : http://en.wikipedia.org/wiki/Velocity

Définition : La vélocité et la vitesse

Dans le calcul à une seule variable, la vélocité est définie comme étant la dérivée de la fonction positive. Dans le calcul vectoriel, nous utilisons la même définition pour les espaces en 2-d et 3-d.

Si r(t) est une fonction ayant un vecteur dérivable comme valeur et qui représente un vecteur positif d’une particule à un temps t, alors le vecteur de vélocité est la dérivée du vecteur de position. Dans un espace 2-d :

^t

⁾ ]

²

Exemple

Trouvez la vélocité du v(t) si le vecteur de position est : r(t) = 3ti + 2t²j - sin t k

Nous prenons seulement la dérivée : v(t) = 3i + 4tj + cos t k

N.B. Lorsque l’on pense à la vitesse, nous pensons à comment nous nous déplaçons rapidement. La vitesse ne doit pas être négative. Dans un calcul à une variable, la vitesse est la valeur absolue de la vélocité. Dans un calcul vectoriel, il s’agit de la magnitude de la vélocité.

(27)

1a.2.2 Mouvement dans une dimension Lecture obligatoire

UTP pp18-31

Cette section introduit les concepts de déplacement, de vélocité et d’accélération et le mouvement d’une particule ayant des vélocités variées telles que constante, uniforme et autres.

Vous devriez être en mesure de faire le lien entre le vecteur de position et l’important concept de déplacement.

Discussion : Est-ce que les deux concepts de déplacement et de vecteur de position sont identiques ?

1a. 2.3 Mouvement dans trois dimensions Lecture obligatoire

UTP pp. 33-52

N.B. Portez attention à l’introduction du plan cartésien en trois dimensions qui vous procurera un cadre de référence pour décrire le mouvement en trois dimensions. Pour des exemples pratiques, vous pouvez prendre l’exemple d’un avion qui décolle d’un aéroport. À quelque moment que ce soit, sa position par rapport à l’aéroport peut être décrite en répondant aux questions suivantes :

Quelle est sa position au nord de l’aéroport?

Quelle est sa position à l’est de l’aéroport?

1a.2.4 Accélération

Suivez le lien : http://en.wikipedia.org/wiki/Acceleration

Dans un calcul à une variable, nous avons défini l’accélération d’une particule comme étant une seconde dérivée de la fonction de position. C’est la même chose pour un calcul vectoriel.

1a.2.5 Définition de l’accélération

Si r(t) est une fonction à deux vecteurs différentiables d’une fonction vectorielle qui représente le vecteur de position d’une particule à un moment t, alors le vecteur d’accélération est la seconde dérivée du vecteur de position.

.

(28)

En 2-d, r(t) = x(t)i + y(t)j et l’accélération = a(t) = r’’(t) = x’’(t) En 3- d, r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

Et l’accélération = a(t) = r’’(t) = x’’(t)i + y’’(t)j + z’’(t)k Exemple

Trouvez la vélocité et l’accélération de la fonction de position : r(t) = 4t i + t² j

alors que t = -1. Dessiner les vecteurs.

Solution

Le vecteur de vélocité est : v(t) = r’(t) = 4 i + 2t j Si -1 est égal à t, alors v(-1) = 4 i - 2j

Prenez une autre dérivée pour trouver l’accélération a(t) = v’(t) = 2j

Voici une représentation des vecteurs:

(29)

Exercice

Tracez la trajectoire du mouvement d’un objet dont la fonction de position est : r(t) =

(t

²

− 4)i + j

Exercice

Un objet immobile se déplace de P(1, 2, 0) et a une accélération de : a(t) = j + 2k

où a

(t )

est mesuré en m

s

⁻². Trouvez la position de l’objet après deux secondes.

Ne regardez pas la solution avant d’avoir terminé!

(30)

Donc la vélocité, à tous les temps t, est égale à : v(t) = tj + 2tk

⎞

⎠⎟ j + t

²

k

Fitzpatrick, R. (2001). Classical Mechanics : An Introductory Course. Austin, Texas.

UTP

• Mouvement avec une vélocité constante, p23

• Mouvement avec une accélération constante, p24

• Équations du mouvement en ligne droite, p26

(31)

1a.2.6 Mouvement des corps en chute libre

La physique d’Aristote nous indique que la vitesse d’un corps en chute libre dépend en totalité de son poids, donc une pierre qui pèse un kilogramme tombera plus rapidement qu’une pierre d’un demi-kilo. Galilée a réfuté cet énoncé, faisant valoir que tout le monde tombait à la même vitesse et la même accélération. Par exemple, si vous avez une pierre à la main, et que vous cessez abruptement de la tenir, elle tombera au sol à la vitesse V. Vous tenez à la main une feuille de papier et vous la lancer au sol, elle tombera à la vitesse v (une plus petite vitesse), mais si vous en faite une boule de papier, sa vitesse sera de V (la même vitesse que celle de la pierre). À partir de ce constat, il postula que la vitesse ne dépendant pas du poids, à chaque fois que l’accélération est la même, mais dans le cas de la feuille de papier, l’air a plus de résistance ce qui entraîne une vitesse plus petite. Cette expérience a été faite par Galilée du haut de la Tour de Pise.

1a.2.7 Expérience But

Dans cette expérience, vous serez en mesure de constater l’accélération de différents objets et de les comparer entre eux comme l’a fait Galilée (un précurseur d’Eins- tein).

Matériel

• Une balle de tennis

• Une balle de football

• Un cahier

• Une feuille de papier Procédure

1. Prenez chacune des balles.

2. Tenez-les au même niveau, le plus haut possible (au niveau des épaules, de la tête, etc.).

3. Laissez-les tomber au sol en même temps.

4. Les balles touchent le sol en même temps.

5. Est-ce que vous croyez que ceci est le cas seulement parce qu’elles ont la même forme? Maintenant, faites la même expérience en utilisant la balle de tennis et le cahier.

6. Les deux objets touchent le sol en même temps!

7. Maintenant, essayez avec le cahier et la feuille de papier. Qu’est-ce qui arrive?

Pourquoi croyez-vous que cela est arrivé?

8. Faites une boule de papier avec la feuille et recommencez l’expérience.

9. Les objets devraient toucher le sol en même temps. Pourquoi?

(32)

UTP

La chute libre et la gravité, pp. 26-28 Exemples pp. 28-31

Exercice

Une fillette se penche à la fenêtre d’un édifice qui est situé à dix mètres du sol. Elle lance une balle verticalement vers le haut avec une vélocité de 12 m/s. Quelle est la hauteur maximale qu’atteindra la balle à partir du sol et le temps qu’il lui faudra pour toucher le sol.

Réponse : Vous devriez obtenir ces résultats :

Hauteur maximale = 17,4 m et temps total écoulé = 3,11 s.

1a.2.8 Le mouvement d’un projectile

N.B. Cette section devrait être lue en conjonction avec la section des Lois de New- ton, de l’activité 2.

Comme mentionné plus tôt, nous ne tenons compte que de la force de gravité est la seule force agissant sur le projectile après son lancement. Donc, le mouvement s’ef- fectue dans un plan vertical. Pour un projectile ayant une masse m, la force relative de la gravité est

F = -mg.

Comparez ce qui suit :

F = ma (selon la deuxième loi de Newton sur le mouvement), nous avons : a = -gj, qui se trouve être le vecteur d’accélération

₀

+ r

₀

Si nous faisons la substitution, nous obtenons :

⎣⎢

⎤

⎦⎥ j

Exercice

Une catapulte lance une pierre située à 3m du sol à un angle de 45 degrés de l’horizontale à 100 mètres par seconde. Trouver la hauteur maximale de la pierre. Est-ce que la pierre passe par-dessus un mur de 10 mètres, situé à 300 mètres du point de projection?

Ne regardez pas la solution avant d’avoir terminé!

(35)

Réponse

Nous avonsh=3,

v

₀

= 100,andθ = 45

⁰

= π

4

. En utilisant g = 9.8 m

s

⁻² r(t) =

(100cos π

4 )ri + 3 + (100sin π

4 )t − 4.9t

²

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ j

=

(50 2t)i + (3 + 50 2t − 4.9t

²

)j

. La hauteur maximale lorsque la composante verticale de v est 0. Donc,

y '(t) = 50 2 − 9.8t = 0

ce qui veut diret=

25 2

4.9

^secondes.

La hauteur maximale est

y = 3 + 50 2(25 2

4.9 ) − 4.9 25 2 4.9

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

Pour le mur,

x (t) = 300 = 50 2t

Ce qui veut dire que

t = 3 2

et

y = 3 + 50 2(3 2) − 4.9(3 2)

²

= 3 + 300 -88.2 = 214.8

La pierre peut passer par-dessus le mur.

Exercice

Simplifier l’équation donnée plus haut et trouver la valeur actuelle de y Pour le mur, x(t) = 300 = 50 2t

Ce qui amène t = 3 √2 et

y = 3 + 50 √2(3√2) − 4.9(3√2)² = 3 + 300 -88.2 = 214.8

La pierre peut passer le mur.

(36)

UTP

Projectile motion pp. 41-44

1a.2.9 Le mouvement circulaire

En général, le mouvement circulaire est la rotation autour d’un cercle, une trajectoire circulaire ou une orbite circulaire. La rotation autour d’un axe fixe d’un corps à trois dimensions implique le mouvement circulaire de ses éléments. Nous pouvons parler d’un mouvement circulaire d’un objet même si nous ne connaissons pas sa taille, nous avons alors le mouvement d’une masse dans un plan.

Des exemples de mouvement circulaire : un satellite artificiel qui est en orbite autour de la Terre dans une orbite géostationnaire, une pierre qui est attachée à une corde et qui est tournée en cercle

(cf. lancer du marteau), une automobile de course qui tourne dans une courbe d’une piste de course, un électron qui se déplace de façon perpendiculaire à un champ ma- gnétique uniforme, etc. Un type spécial de mouvement circulaire est lorsqu’un objet tourne autour de sa masse centrique. Cela peut être appelé un mouvement rotatif et sera discuté un peu plus loin dans le module. Nous sommes certains que vous pouvez trouver des exemples de mouvement en cercle.

Le mouvement circulaire implique l’accélération d’un objet en mouvement par une force centripète qui tire l’objet vers le centre de son orbite circulaire. Sans cette ac- célération, l’objet se déplacerait de manière inerte sur une ligne droite, la tangente du cercle, selon la première loi de Newton sur le mouvement. Le mouvement circulaire est accéléré même si la vitesse est constante, puisque le vecteur de vélocité de l’objet change toujours de direction. Vous devriez en déduire que le vecteur d’accélération et le vecteur de vélocité sont orthogonaux.

UTP

• Introduction, p. 136

• Mouvement circulaire uniforme pp. 136 – 138

• N.B. Équations 7.1 – 7.11

• Accélération centripète pp. 138 – 141

• N.B. Équations 7.12 – 7.17

• Définition : Accélération centripète (7.15) p. 139

• Le pendule conique pp. 141 – 142

(37)

• N.B. Équations 7.18 – 7.25

• Le mouvement circulaire non uniforme pp. 143 – 147

• Explication : le vecteur d’unité radiale p. 143

• Le vecteur d’unité tangente P. 143

• La vélocité radiale et la vélocité tangentielle p. 144

• L’accélération radiale et l’accélération tangentielle p. 144

• N.B. Équations 7.26– 7.45

• Le pendule vertical pp. 148 – 150

• N.B. Équations 7.46 – 7.53

• Animation

• N.B. Équations 7.54 – 7.64

Prenez note des différentes approches qui ne sont pas basées sur l’algèbre vec- torielle et les équations traditionnelles qui sont utilisées dans votre manuel de référence.

Exemple

Trouvez le vecteur de vélocité, la vitesse, le vecteur d’accélération d’un cercle

t j t i

t

r 2cos2

sin2 2 )

( = +

Dessinez le cercle.

Solution

Le vecteur de vélocité est:

v (t) = r

^/

(t) = 2cos t

2 i − 2sin t 2 j

La vitesse en tout temps est de:

2 1 2 sin cos )

(

² ²

/

=

t

+

t

=

t r

Le vecteur d’accélération est :

a (t) = r

^{/ /}

(t) = − 1 2 sin t

2 i − 1 2 cos t

2 j

(38)

N.B. Les équations paramétriques pour la courbe sont :

cos2 2

sin2 2 y t

t et x

=

Exercice

Vérifier que l’équation rectangulaire du cercle est :

2

4

2

+ y =

x

Exercice

Une particule immobile part du point P(1,2,0) avec une accélération de k

j t

a( )= +2

pour les unités usuelles. Trouvez la position de la particule après deux secondes.

Ne tournez pas la page avant d’avoir terminé!

(39)

Solution

Vous avez pu déduire que

j i

k j i

k z j y i x r

et v

2 0 2 1

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (

0 ) 0 (

+

=

+ +

=

+ +

=

Pour trouver la fonction de position, vous devez intégrer deux fois et à chaque fois utiliser une des conditions initiales pour trouver les constantes d’intégration. Donc, v(t) = ∫a(t) dt = ∫(j+2t) dt = tj + 2tk+ C où C = C₁i + C₂j + C₃k

Quand t =0 et v(0) = 0, nous obtenons v(0) = C₁i + C₂j + C₃k = 0 ce qui implique C₁= C₂= C₃= 0

Alors la vélocité en tout temps t est v(t) = tj + 2tk Quand nous intégrons une fois encore, nous avons

r(t) =∫ v(t) dt = ∫ (tj + 2tk) dt = k + C où C = C₄i + C₅ j + C₆ k Quand t = 0 et r(0) = i + 2j, nous avons

r(0) = C₄i + C₅ j + C₆ k = i + 2j C₄=1, C₅= 2, C₆= 0

Alors le vecteur de position est r(t) = i + k

La position du particule après 2 secondes est

r(2) = i + 4j + 4k donnée par les coordonnées (1, 4, 4)

(40)

UTP pp. 136-160

Prenez note que dans le manuel de référence, nous introduisons les notions de vélocité angulaire, l’accélération centripète, etc. Cette section doit être lue en conjonction avec les sections sur le mouvement curviligne qui est une extension du mouvement séculaire.

1a.2.10 La vélocité relative

Nous avons été en mesure de décrire la position d’un corps et sa vélocité en référence avec l’origine d’un système de coordonnées donné. Habituellement, cette origine assumée fixe dans un autre corps peut être en mouvement relativement à un troisième corps et un quatrième, etc.

Par exemple, lorsque nous parlons de la vélocité d’une automobile, nous voulons dire la vélocité de l’automobile par rapport au sol…. Mais le sol est aussi en mouvement relativement au soleil, le soleil, par rapport à une autre étoile, etc.

Supposons qu’un long train se déplace le long d’un rail droit et qu’un athlète court dans le train vers la droite.

Diagramme d’un wagon de train avec un homme qui court sur le train Dans ce diagramme,

U_TE représente la vélocité du train T relativement à la Terre E.

U_AT représente la vélocité de l’athlète A relativement au train T.

La vélocité de l’athlète relativement à la terre, U_AE, est évidemment la somme de U_AT et U_TE.

N.B. La vélocité

u

_AEest la somme algébrique de lorsque l’on combine les vélocités relatives

• Écrire chaque vélocité avec un double indice inférieur dans le bon ordre, voulant dire “vélocité de (premier indice) relativement à (deuxième indice)

• Lorsque les vélocités sont ajoutées l’une à l’autre, la première lettre de n’importe quel indice doit être le même que la dernière lettre du deuxième indice.

• La première lettre de l’indice de la première vélocité dans la somme, et la deuxième lettre de l’indice de la dernière vélocité, sont les indices, dans cet ordre, de la vélocité relative représentée par la somme.

Ces trois longs et encombrants énoncés sont très importants lorsqu’on étudie les additions de vecteurs puisqu’ils représentent les vecteurs eux-mêmes.

(41)

UTP pp. 44-48 (Relative velocity) Exemples

UTP pp. 48

1a.2.11 Le mouvement curviligne

1a.2.12 Les vecteurs unitaires tangents et les vecteurs unitaires non tangents

Nous avons à la dernière section montré que le vecteur de vélocité pointait toujours dans une direction de mouvement. À cette section, nous utilisons cette observation pour étendre ce principe à un concept qui s’applique à n’importe quelle courbe ré- gulière et qui n’est pas nécessairement décrit en termes de temps.

1a.2.13 Le vecteur unitaire tangent

La dérivée d’une fonction vectorielle donne une nouvelle fonction vectorielle qui est tangente par rapport à une courbe donnée. La direction d’une ligne tangente est analogue à la pente d’une ligne tangente. Puisqu’un vecteur comprend une magnitude et une direction, le vecteur de vélocité contient plus d’information que nous en ayons besoin. Nous pouvons enlever la magnitude d’un vecteur en divisant celui-ci par sa magnitude.

1a.2.14 Définition d’un vecteur unitaire tangent

Si r(t) est une fonction vectorielle et que v(t) = r’(t) est le vecteur de vélocité, alors, nous pouvons définir le vecteur unitaire tangent comme étant le vecteur unitaire du vecteur de direction. Nous définissons alors le vecteur unitaire tangent comme étant le vecteur unitaire dans la direction du vecteur de vélocité.

v(t)

T(t) = , v(t)

≠

0 ||v(t)||

Exemple

r(t) = t i + e^t j - 3t² k Trouvez T(t) et T(0).

(42)

Solution Nous avons :

v(t) = r’(t) = i + e^t j - 6t k et

Pour trouvez le vecteur unitaire tangent, nous divisons

Pour trouver T(0), nous mettons t = 0 pour obtenir :

Exercice

Montrez que le vecteur unitaire tangent de la courbe donnée par r(t) = t i + t²j quand

t = 1 est donnée par .

N.B. Dans cet exercice, la direction du vecteur unitaire tangent est déterminée par l’orientation de la courbe. Dessinez la courbe et vérifiez que le vecteur unitaire tangent à la

serait la même, mais pointerait dans la direction opposée.

Exercice

Trouver T(t) à la courbe donnée par

au point t = et montrer que les équations paramétriques pour la tangente sont : x = x₁+ as = √2 - √2 s

y = y₁+ bs = √2 + √2 s z = z₁+ cs =

en utilisant le point (x₁, y₁, z₁) = (√2, √2 , )

(43)

1a.2.15 Le vecteur unitaire principal normal

Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire. Pour un vecteur v dans l’espace, il y a un nombre infini de vecteurs perpendiculaires. Notre but est de choisir un vecteur spécial qui est normal à un vecteur unitaire tangent. De façon géométrique, pour une courbe non droite, ce vecteur est le seul vecteur qui pointe vers la courbe ou, en d’autres mots, celle qui pointe vers le côté concave de la courbe. De manière géométrique, nous pouvons calculer le vecteur en utilisant la définition suivante :

Définition : Si r(t) est une fonction vectorielle et si T(t) est le vecteur unitaire tan- gent, alors le vecteur unitaire principal normal N(t) est défini par :

T’(t) N(t) = ||T’(t)||

En comparant cet énoncé avec la formule pour le vecteur unitaire tangent, et si nous prenons le vecteur unitaire tangent comme étant la fonction vectorielle, alors le vecteur unitaire principal normal est le vecteur unitaire tangent de la fonction vectorielle unitaire tangente. Vous constaterez que de trouver le vecteur unitaire principal est presque toujours difficile. La règle du quotient de différenciation semble compliquer le processus!

Exemple

Trouvez le vecteur unitaire normal pour la fonction vectorielle r(t) = ti + t² j et

dessinez la courbe, le vecteur unitaire tangent et le vecteur unitaire principal normal lorsque t =1.

Solution

Premièrement, nous devons trouver le vecteur unitaire tangent :

Ensuite, utilisez la règle de quotient pour trouver T’(t)

Puisque le vecteur unitaire dans la direction d’un vecteur donné est le même après avoir multiplié le vecteur par un scalaire positif, nous pouvons simplifier en multi- pliant par le facteur :

(44)

Le premier facteur nous débarrasse du dénominateur et le second facteur nous dé- barrasse de la puissance fractionnelle. Nous avons donc :

Par la suite, nous divisons par la magnitude (après avoir divisé par 2) pour obtenir:

Nous mettons 1 pour le vecteur unitaire tangent pour obtenir :

Voici le graphe et les deux vecteurs :

Exercice (avec un collègue) Soit la courbe :

r(t) = ti + t² j Trouvez N(t ).

Quelle est la valeur de N(t ) si t = 1

Ne tournez pas la page avant d’avoir terminé!

(45)

Solution

Remplaçant t par 1, .

1a.2.16 Les composantes tangente et normale de l’accélération

Imaginez-vous descendant en automobile une colline vers une route en courbe et que vos freins lâchent. Tout en roulant, vous expérimenterez deux forces (autres que la peur) qui modifieront la vélocité. La force de gravité fera augmenter la vitesse de la voiture. Le deuxième changement à la vélocité sera causé par le fait que la voiture prendra la courbe. La première composante de l’accélération est appelée la com- posante tangentielle de l’accélération et la deuxième, la composante normale de l’accélération. Comme vous pouvez l’imaginer, la composante tangentielle de l’ac- célération est dans la direction du vecteur unitaire tangent et la composante normale de l’accélération est dans la direction du vecteur unitaire principal normal. Une fois que nous avons T et N, il est assez simple de trouver ces deux composantes.

Définition : La composante tangentielle de l’accélération est :

a

_T

= a • T = v • a v

et la composante normale de l’accélération est :

a

_N

= a × N = v × a v

et

a = a_NN + a_TT

N.B. La composante normale de l’accélération est aussi appelée la composante cen- tripète de l’accélération

(46)

Exemple

Prouvez que le vecteur d’accélération a(t) est dans le plan qui contient T(t) et N(t) Preuve

Notons tout d’abord que : v = ||v|| T et T’ = ||T’|| N

(N.B. Nous avons simplifié la notation ici et avons utilisé, par exemple, T pour T (t), etc.)

Prendre la dérivée de chaque côté donne :

a = v’ = ||v||’ T + ||v|| T’ = ||v||’ T + ||v|| ||T’ || N

Ceci nous indique que le vecteur d’accélération est dans le plan qui contient le vecteur unitaire tangent et le vecteur unitaire normal.

Exemple

Trouvez les composantes tangentielle et normale de l’accélération de l’exemple précédent.

r(t) = ti + t² j Solution

À l’aide des deux dérivées, nous avons a(t) = r’’(t) = 2j

Nous marquons le vecteur d’accélération avec le vecteur unitaire tangent et le vecteur unitaire normal pour obtenir :

Exercice : Démontrez que

Par Tendayi CHIHAKA Mécanique