Session 1999_Grenoble_secteur 3
120 mm O = 90 mm
O = 40 mm
A B
C O1
O2
α α
1) Calculer la distance O1O2, au mm près.
0,5 Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle O1CO2 :
O11O22² == O11C² ++ O22C²
Or O1C = O1A – AC avec AC = ∅∅ ((4040 mm)) 22 O1O2² = ( 9090
22 - 4040
22 )² + 120² O1O2² = 15025
O1O2 ≈≈ 123 mm
2) Calculer l’angle α au dixième de degré le plus proche. On prendra O1C = 25 mm.
0,5 Dans le triangle rectangle O1CO2 , on a :
tan αα == O11C O22C D’où tan αα = 2525
120 αα ≈≈ 12° 120 3) Quelle est la pente de O1O2 ?
0,5 Pente
La pente est la tangente de l’angle α. tan α = AB
AC = c b La pente de O1O2 est 55
24
24 soit 0,2 RAPPEL
B.E.P session 2002_secteur 4
1 - A titre d’essai, un flipper a été installé dans la salle de jeux. Ce flipper est incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale.
Calculer la longueur AC.
1-
Dans le triangle rectangle ABC rectangle en B, appliquaons le théorème de
Pythagore :
AC² == AB² ++ BC² soit AC² = 33² + 125²
AC² = 16714 soit AC = 129,3
/0,5 Calculer la tangente de l’angle α.
2-
tan αα == AB BC d’où tan αα = 3333
125 125
soit tan αα = 0,264 /1
3- En déduire la mesure, en degré, de l’angle α. (arrondir au degré)
On en déduit alpha : αα == 1414° /0,5
Session 1997_Bordeaux_secteur 3
On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 10 cm , AC = 7,5 cm. Construire ce triangle en laissant les traits de construction apparents.
1) Vérifier par le calcul que BC = 12,5 cm.
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A :
α
BC² == AB² ++ AC² BC² = 10² + 7,5² BC² = 156,25 BC = 12,5
La mesure du segment [BC] est bien 12,5 cm.
2) Calculer l’aire de ce triangle ABC.
A
A((ABC)) == AC ×× AB 22 A
A((ABC)) = 1010 ××77,55 22 A
A((ABC)) =37,5
L’aire du triangle ABC est 37,5 cm².
3) Construire à la règle et au compas la médiatrice du segment [AC] (laisser les traits de construction apparents).
4) Cette médiatrice coupe le segment [AC] en N et le segment [BC] en M.
Démontrer que les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
(MN) est la médiatrice de [AC] donc (MN) ⊥⊥ (AC). De plus, (AC) // (AB).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite elles sont parallèles entre elles.
Par conséquent : (MN) // (AB) 5) Calculer la longueur MN.
(MN) passe par la milieu du côté d’un triangle, parallèlement à un autre côté. Par conséquent, en appliquant le théorème des milieux :
MN = 11 22 AB MN = 5
La mesure du segment [MN] est 5 cm.
6) Quelle est la nature du quadrilatère ANMB. Calculer son aire puis l’aire du triangle CNM.
Le quadrilatère AMNB ayant deux côtés parallèles est un trapèze.
De plus 6
BAM = 90°, le quadrilatère AMNB est donc un trapèze rectangle.
7) Retrouver l’aire du triangle ABC.
A
A(ABC) = AA( AMNB ) + AA(CMN)
A
A(( AMNB )) == pb ++ Gb
22 ×× h AA((CMN)) == b ×× h
22 A
A( AMNB ) = MN ++ AB
22 ×× AM AA(CMN) = CM ×× MN 22 A
A( AMNB ) = 55 ++ 1010 22 ×× 77,55
22 AA(CMN) = 77,55
22 ×× 55 22 A
A( AMNB ) =28,125 AA(CMN) = 9,375
D’où AA(ABC) = 28,125 + 9,375 = 37,5 On retrouve bien le résultat précédent.
8) Calculer la mesure de l’angle 6 ACB. Dans le triangle rectangle ABC :
tan 6
ACB == AB AC tan
6 ACB = 1010
77,55 6
6ACB = 53,13° à 10-2 près soit 66
ACB ≈≈ 53°
B.E.P_groupement est_2003_secteur 2
La figure ci-dessous
représente une terrasse couverte.
La figure ci-dessous représente la charpente de la couverture de la terrasse :
La figure n’est pas à l’échelle.
Données :
• HP = 250 cm
• TH = 300 cm
• TD = 1 3 TH
• (DM) //(HP)
T
poteau dalle en béton couverture de la terrasse mur de
la
maison H P
D M
1.1 Calculer, en cm, la longueur TP. Arrondir le résultat à l'unité.
1 Dans le triangle rectangle THP, rectangle en H, le Théorème de Pythagore permet
d’écrire :
TP² == HP² ++ TH² TP² = 250² + 300² TP² = 152 500 TP = 115522 550000 TP = 391 cm
1.2 Calculer, en cm, les longueurs TM et DM. Arrondir le résultat à l'unité.
1
• D ∈∈ ( TH )
• M ∈∈ ( TP )
• (DM) // (HP)
Dans le triangle TDM, d’une part et THP d’autre part, le théorème de Thallès permet d’écrire :
TD
TH == TM
TP == DM HP 1133 TH
TH = TM
339911 = DM 225500 1133 = TM
339911 soit TM = 339911
33 = 130,33… = 131 cm 1133 = DM
225500 soit DM = 225500
33 = 83,33… = 83 cm 1.3 Calculer, en degré, la mesure des angles 6
TPH et 6
HTP . Arrondir les résultats à l'unité. 1,5 Dans le triangle TPH, rectangle en H :
tan
6TPH == TH HP tan
6
TPH = 330000 225500 tan
6
TPH = 1,2 soit 6
TPH = 50°
Dans le triangle http, rectangle en H, les angles 6
TPH et 6
HTP sont complémentaires : 6
TPH + 6
HTP = 90° soit 6
HTP = 40°
