Master RMM : Transport Quantique L’effet Aharonov-Bohm et le transport adiabatique

Master RMM : Transport Quantique

L’effet Aharonov-Bohm et le transport adiabatique

David Viennot

21 octobre 2011

Table des matières

1 Théorie de jauge en électromagnétisme et cohomologie 5

1.1 Épistémologie de l’électromagnétisme . . . 5

1.2 Rappels sur les équations de Maxwell . . . 6

1.2.1 Parité, pseudovecteurs et pseudoscalaires . . . 6

1.2.2 Formulation locale/différentielle vs globale/intégrale . . . 8

1.2.3 Champs et excitations . . . 9

1.2.4 Les équations de Maxwell . . . 10

1.2.5 Invariance de jauge . . . 10

1.3 Formalisme de la géométrie différentielle . . . 11

1.3.1 Les formes différentielles . . . 11

1.3.2 La différentielle extérieure . . . 12

1.4 Les différentes théories de jauge . . . 15

1.4.1 Théorie de jauge de degré 1 . . . 15

1.4.2 Théorie de jauge de degré 2 . . . 17

1.4.3 Le cas général . . . 18

2 L’effet Aharonov-Bohm et homotopie 21 2.1 Transport d’une particule dans un champ électromagnétique . . . 21

2.1.1 Principe d’invariance de jauge de Weyl . . . 21

2.1.2 Transport d’une particule . . . 22

2.2 L’effet Aharonov-Bohm . . . 23

2.2.1 L’effet Aharonov-Bohm . . . 23

2.2.2 Retour sur l’épistémologie du magnétisme . . . 24

2.3 La notion d’homotopie . . . 25

2.3.1 Le groupe d’homotopie et l’effet Aharonov-Bohm . . . 25

2.3.2 Sur les groupes d’homotopie . . . 27

3 Le transport adiabatique et holonomie 29 3.1 Contrôle quantique . . . 29

3.1.1 Problèmes de contrôle quantique . . . 29

3.1.2 L’approximation adiabatique . . . 29

3.2 Le transport adiabatique et la phase géométrique . . . 30

3.2.1 Fonction d’onde dans l’approximation adiabatique . . . 30

3.2.2 La phase géométrique . . . 31

3.3 La théorie de jauge adiabatique . . . 31

3.3.1 L’exemple du spin dans un champ magnétique . . . 31

3.3.2 Cas général . . . 32

3

Chapitre 1

Théorie de jauge en électromagnétisme et cohomologie

1.1 Épistémologie de l’électromagnétisme

La notion de force a mis longtemps à être conceptualisée en physique. Elle était utilisée implicitement dès l’antiquité (avec par exemple la notion de poids chez Archimède), mais sans être clairement définie. Cette notion doit sa définition à Isaac Newton, dansPhilosophiæNaturalis Principia Mathematica (Principes ma- thématiques de la philosophie naturelle) : la force est une action mécanique capable de créer une accélération.

Ainsi les forces sont l’originede la mise¹ en mouvement. Cette notion ne pose pas de problèmes majeurs pour les forces de contact (réaction de support solide, force de frottement, ...). Deux corps en contact agissent et réagissent l’un sur l’autre par l’intermédiaire de forces. Mais dans le même ouvrage, Newton introduisit la loi de gravitation universelle faisant intervenir la force :

F~1→2=−Gm1m2

r² ~u1→2

Suivant cette loi, les corps semblent agir "à distance" l’un sur l’autre. Ainsi, la théorie de la gravitation de Newton semble non-locale : un objet non-présent en un lieu géographique donné a une influence sur ce qui se passe en ce lieu. Cette non-localité de l’interprétation de la théorie de la gravitation était un problème majeur dans la compréhension physique du phénomène. Elle fut même à l’origine d’un profond rejet de sa théorie à l’époque de la publication des Principia, en particulier de la part de Christian Huygens. La physique de l’époque était en effet encore influencée par les théories aristotéliciennes considérant l’origine de mouvement comme un état transitoire permettant aux choses de revenir vers leur “état naturel”, mais surtout par la philosophie de Renée Descartes et sa conception mécaniste de la nature. Dans cette conception, la matière est inerte et le mouvement est régi par les lois simples (et locales) des chocs et de la pression. Beaucoup ont alors considéré la loi de l’attraction universelle comme une résurgence de l’occultisme, ce qui n’est pas tout à fait faux. En effet, Newton pratiquait en secret l’alchimie, et son concept d’interaction à distance n’est pas sans rappeler la notion “d’affinité” que l’on trouve en alchimie. Par la suite, l’étude de l’électricité et du magnétisme, introduisit les autres forces agissant à distance que sont la force de Lorentz (électrique) et la force de Laplace (magnétique). Une interprétation moins problématique fût proposée par Michael Faraday, qui introduisit les "lignes de force". L’idée est que les objets chargés électriquement, sont "reliés" par des

"lignes invisibles" qui transmettent la force. On pourrait faire l’analogie avec la tension d’un fil. Lorsqu’on tire sur un fil attaché à une masse, on agit directement sur le bout du fil (par une force de contact), le bout du fil agit sur le "petit morceau" de fil qui lui est contigu, ce petit morceau agit sur le petit morceau à côté, et ainsi de proche en proche, la force est transmiselocalementjusqu’à la masse. Les lignes de forces sont sensées agir de façon analogues, en transmettant de proche en proche l’interaction. Cette idée fût bien sûr renforcée par la visualisation expérimentale de ces lignes (en utilisant de la limaille de fer et un aimant, par exemple). Les lignes de force donnent une interprétation locale des forces "agissant à distance" mais par l’intermédiaire d’objets non-locaux (une ligne n’est pas un objet local car n’est pas déterminée en un point par ce seul point). La solution est de revenir "au découpage" de la ligne en "petits morceaux infiniment petits" agissant les uns sur les autres de proche en proche. Mathématiquement formulé, ceci introduit de

1. et non directement du mouvement, cf. principe d’inertie de Galilée

5

nouvelles entités, les champs de vecteurs (champs électrique, magnétique, gravitationnel,...). Le champ, qui peut être naïvement défini en un point comme la force que resentirait un objet de "charge unité" placé en ce point, est en fait une entité physique non-matérielle, emplissant l’espace, et qui transmet de proche en proche les interactions. Le concept de champ donne ainsi une interprétation locale, par un objet local (déterminé en chaque point), des interactions "à distance". Champs et lignes de force (lignes de champ) sont des concepts duaux, les champs sont l’ensemble des vecteurs tangents aux lignes de forces et réciproquement. A cette dualité, il en existe une seconde avec l’intervention de la notion de potentiel. Le potentiel est à l’énergie ce qu’est le champ à la force. C’est l’entité qui permet d’interpréter localement les échanges d’énergie (via les forces agissant à distance) entre objets distants, c’est à dire le travail des forces, les échanges allant dans

“le sens” des différences de potentiels. Les potentiels peuvent être analysés à travers les objets géométriques étendus que sont les surfaces équipotentielles. Pour résumer, les interactions à distance sont caractérisées par la double dualité force/énergie + ponctuel/étendu :

champs ↔ lignes de champs

l l

potentiels ↔ surfaces équipotentielles

L’analyse mathématique montre que les potentiels ne sont pas univoquement définis, ainsi ces entités ne sont pas considérées comme physiques mais comme de simples intermédiaires de calcul (on verra que l’on peut discuter ce point). La substance physique (l’essence) - au sens d’Aristote - est décrite par le champ, parfaitement défini, et pas par le potentiel qui peut être changé (en suivant une certaine règle mathéma- tique) sans changer les effets expérimentaux attendus. Cette invariance des propriétés physiques sous ces changements - appelée invariance de jauge - était considérée comme un "accident" en électromagnétisme.

Mais la recherche d’une description des interactions nucléaires, a montrée qu’en réalité, il s’agit du concept fondamental de la théorie.

1.2 Rappels sur les équations de Maxwell

1.2.1 Parité, pseudovecteurs et pseudoscalaires

Les vecteurs peuvent être utilisés pour indiquer le sens d’une rotation (par la règle de la main droite).

Ainsi si dans le plan(x, y) on transforme un vecteur A~ en vecteurB~ par rotation, le vecteur C~ =A~∧B~ va indiquer le sens de celle-ci, droite (directe, sens inverse des aiguilles d’une montre) siC~ est dans le même sens que~ez, gauche (indirect, sens des aiguilles d’une montre) siC~ est dans le sens de −~ez (la base cartésienne (~ex, ~ey, ~ez)étant supposée directe). Ceci définit également une orientation sur une surface. Étant donnée une surfaceS, un vecteur normal à la surface va orienter celle-ci (c’est à dire définir le sens naturel de la rotation sur la surface). On se donne deux vecteurs tangents non-colinéaires àS,A~∧B~ définit une orientation (l’autre étant définie parB~ ∧A).~

On appelle parité, l’opérationP qui consiste à renverser les axes du système de coordonnées(~ex, ~ey, ~ez)→ (−~ex,−~ey,−~ez). Par définition P

A~

=−A. Or~

P(A)~ ∧ P(B) =~ −A~∧(−B) =~ A~∧B~ 6=−C~ on a donc

A~∧B~ = C~ P(A)~ ∧ P(B)~ 6= P(C)~

Les opérations ∧ et P ne commutent donc pas (le résultat dépend de l’ordre dans lequel elles sont effectuées). Le problème est queP(A)~ → P(B)~ est une rotation avec le même axe orienté queA~→B. Si on~ veut que les vecteurs de rotation et d’orientation soient bien définis indépendamment de la parité, on doit introduire un nouveau type de vecteurs qui ne changent pas de signe sousP.

Définition 1 (Pseudovecteurs). On appelle pseudovecteur (ou bivecteur) un vecteur géométrique rendu invariant sous parité.

1.2. RAPPELS SUR LES ÉQUATIONS DE MAXWELL 7

Bien que désuète, on utilisera par souci de clarté la notation x

A pour les pseudovecteurs (sachant que hormis leur comportement sous parité, un pseudovecteur se comporte comme un vecteur). On notera donc que le produit vectoriel, n’est plus à proprement parlé une loi de composition interne car il associe à deux vecteurs, un pseudovecteur :

A~∧B~ = x C

Pour la même raison, le rotationnel (qui est un produit vectoriel avec∇~) transforme un champ de vecteurs, en un champ de pseudovecteurs : x

rotA~= x D

On rappelle que le produit mixte associe à trois vecteurs, le scalaire :

|A, ~~ B, ~C|= (A~∧B~)·C~ On remarque donc que

|P(A),~ P(B),~ P(C)~ |=−|A, ~~ B, ~C|

Ainsi le produit mixte est un scalaire qui change de signe sous parité, on introduit alors le nouvelle définition Définition 2 (Pseudoscalaires). On appelle pseudoscalaire une quantité scalaire qui change de signe sous parité.

Ainsi le produit mixte de trois champs de vecteurs est un champ pseudoscalaire.

Remarque : le “produit scalaire” entre un pseudovecteur et un vecteur est un pseudoscalaire, or comme tout pseudovecteur peut s’écrire comme une somme de produits vectorielles, un produit scalaire d’un vecteur et d’un pseudovecteur est toujours une somme de produit mixte. En réalité, il s’agit là de la bonne définition du produit mixte, à savoir une loi qui associe à un pseudovecteur et à un vecteur un pseudoscalaire. Pour résumer :

– Produit scalaire :

V×V → S (A, ~~ B) 7→ A~·B~ PV×PV → S

( x A ,

x B) 7→

x A ·

x B – Produit vectoriel :

V×V → PV (A, ~~ B) 7→ A~∧B~ =

x C – Produit mixte :

PV×V → PS (

x

A , ~B) 7→

x A·B~

Pour des raisons qui deviendront plus claires par la suite, la divergence est restreinte aux pseudovecteurs, c’est donc le produit mixte de∇~ et d’un pseudovecteur, ce qui en fait donc un pseudoscalaire. Pour résumer, on a la chaîne suivante : (les champs sont supposés de classeC²)

0→S

−−→grad

−−−→V x

−−→rot PV−−→^div PS→0 avec la propriété que l’action de deux opérateurs successifs est nulle :

x

rot−−→gradf = x

0 div x

rotA~= 0

Les pseudovecteurs étant des vecteurs que l’on considère “artificiellement” comme invariants sous parité, il peut être utile de pouvoir associer à un vecteurA, un pseudovecteur de mêmes composantes mais supposé~ invariant sousP. On notera ce pseudovecteur ∗A~ ≡

x

A. Réciproquement, on notera∗ x

A ≡A, et de même~ pour les scalaires et les pseudoscalaires.∗est appelé star-opérateur de Hodge,∗A~ est appelé dual de Hodge deA.~

1.2.2 Formulation locale/différentielle vs globale/intégrale

Les différents objets introduits dans le paragraphe précèdent, champs de (pseudo)scalaires/(pseudo)vecteurs, sont associés à des objets géométriques et à des quantités physiques différentes.

– En un point (x, y, z), un champ scalairef définit un scalaire (un nombre) f(x, y, z) (invariant sous parité). Les champs scalaires sont donc associés aux points (dimension géométrique 0), et on s’attend à ce qu’un champ scalaire physique soit dimensionné enL⁰.

– Considérons un champ de vecteursA. Sa circulation sur un chemin orienté~ C Z

C

A~·d~ℓ

donne une quantité physique correctement définie, car A~ ·d~ℓest invariant par parité. Par contre le flux d’un champ de vecteurs ne donne pas une quantité physique. Les champs de vecteurs sont donc associés aux courbes orientées (dimension géométrique 1), et on s’attend à ce qu’un champ de vecteurs physique soit dimensionné en L⁻¹ pour compenser la dimension du vecteur de longueur infinitésimal d~ℓ.

– Soit un champ de pseudovecteurs x

A. Sa circulation n’est pas bien définie, par contre son flux à travers une surface orientéeS, l’est parfaitement

Z Z

S

x A·d

x S

Les champs de pseudovecteurs sont associés aux surfaces (dimension géométriques 2), et on s’attend à ce qu’un champ de pseudovecteurs physique soit dimensionné enL⁻²pour compenser la dimension du pseudovecteur de surface infinitésimaled

x S.

– Enfin, un champ pseudoscalairef ne définit pas en point une quantité invariante par parité. Par contre, l’intégration def sur un volume orientéV est invariant :

Z Z Z

V

f dτ

en effet, l’élément de volume infinitésimaldτ est défini (en coordonnées cartésiennes) comme le volume d’un cube élémentaire dont les côtés sont infinitésimaux, soit

dτ =|d~x, d~y, d~z|= (d~x∧d~y)·d~z

dτ est donc un pseudoscalaire. Les champs pseudoscalaires sont donc associés aux volumes (dimension géométrique 3), et s’attend à ce qu’un champ de pseudoscalaires physique soit dimensionné enL⁻³. Théorème 1 (Théorèmes de Stokes). • Soit un champ scalaire f de classe C¹ et un chemin orientéC,

d’extrémité initiale(x0, y0, z0) et d’extrémité finale(x1, y1, z1). Alors Z

C

−−→gradf ·d~ℓ=f(x1, y1, z1)−f(x0, y0, z0)

• Soit un champ de vecteurs A~ de classe C¹ et une surface orientée S ayant pour bord la courbe fermée

orientéeC. Alors Z Z

S

x rotA~·d

x S =

I

C

A~·d~ℓ

• Soit un champ de pseudovecteurs x

A de classe C¹ et un volume orienté V ayant pour bord la surface fermée orientée S. Alors

Z Z Z

V

div x

A dτ = ZZ

S

x A·d

x S

C’est donc le passage des formes locales (différentielles) aux formes globales (intégrales) qui relie les différents champs aux objets géométriques :

0 −−−−→ scalaires

−−→grad

−−−−→ vecteurs x

−−−−→rot pseudovecteurs −−−−→^div pseudoscalaires −−−−→ 0 x





R

x





RR

x





RRR

x





0 ←−−−− points ←−−−−^∂ chemins ←−−−−^∂ surfaces ←−−−−^∂ volumes ←−−−− 0 le symbole∂signifiant ici “bord”.

1.2. RAPPELS SUR LES ÉQUATIONS DE MAXWELL 9

1.2.3 Champs et excitations

Les propriétés électromagnétiques sont décrites par une série de champs qui ont déjà été rencontrés dans les cours antérieurs :

– La densité de charge électriqueρ: champ pseudoscalaire décrivant la densité volumique de charges électriques (C.m⁻³).

– La densité de courant électrique x

j : champ de pseudovecteurs décrivant la densité surfacique d’intensité électrique (A.m⁻²).

– Le potentiel scalaire électriqueV : champ scalaire décrivant le potentiel de l’interaction électrique (V).

– Le potentiel vecteur magnétique A~ : champ de vecteurs décrivant le potentiel de l’interaction magnétique (W b.m⁻¹).

– Le champ électriqueE~ : champ de vecteurs décrivant l’interaction électrique (V.m⁻¹).

– Le champ magnétique x

B : champ de pseudovecteurs décrivant l’interaction magnétique (W b.m⁻²).

– L’excitation électrique x

D : champ de pseudovecteurs dual deE~ (C.m⁻²).

– L’excitation magnétiqueH~ : champ de vecteurs dual deB~ (A.m⁻¹).

Petit rappel sur les unités électromagnétiques :

– le Coulomb (C) est l’unité de charge électrique, la charge électrique étant la mesure du couplage de la matière avec le champ électrique, cf. force électrostatiqueF~e=q ~E.

– l’Ampère (A) est l’unité d’intensité du courant électrique, c’est la quantité de charges transportées par unité de temps. La charge transportée par unité de temps par la distance parcourue (A.m) mesure le couplage de la matière avec le champ magnétique, cf. force magnétiqueF~m=q~v∧

x B.

– le Volt (V) est l’unité de tension électrique et de force électromotrice. La force électromotrice d’un générateur mesure la propension de celui-ci à mettre en mouvement des électrons. La tension appliquée aux bornes d’une branche de circuit, induit un courant dans la branche dont l’intensité est limité par la résistance de la branche suivant la loi d’OhmU =Ri.

– le Weber (W b) est l’unité de flux magnétique et d’induction magnétique. L’induction magnétique mesure la propension d’un aimant en mouvement à créer du courant électrique dans un circuit, la force électromotrice de création du courant étant reliée au flux par e = −^dφdt. Le flux magnétique à travers une maille de circuit électrique, induit un courant dans la maille dont l’intensité est limité par le coefficient d’auto-induction suivant la loiφ=Li.

Électrique magnétique

densité ρ

x j

potentiel V A~

champ E~

x B excitation

x

D H~

Champs et excitations sont reliés par les équations consitutives : x

D =ǫ0∗E~ + x P H~ = 1

µ0 ∗ x B −M~

oùǫ0et µ0sont respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétiques du vide.

– Le champ de polarisation x

P : champ pseudovectoriel décrivant la réponse électrique du milieu à un champ électrique externe (C.m⁻²).

– Le champ d’aimantation M~ : champ vectoriel décrivant la réponse magnétique du milieu à un champ magnétique externe (A.m⁻¹).

Dans les matériaux linéaires, homogènes et isotropes on a x

P =ǫ0χ∗E~ etM~ =κ ~H oùχ etκsont appelés susceptibilités électrique et magnétique du milieu. Dans ce cas les équations consitutives prennent la forme :

x

D =ǫ∗E~

H~ = 1 µ∗

x B

avecǫ= (1 +χ)ǫ0 etµ= (1 +κ)µ0 la permittivité électrique et la perméabilité magnétique du milieu.

1.2.4 Les équations de Maxwell

Les champs et les excitations sont solutions des équations fondamentales de l’électromagnétisme, dites équations de Maxwell :

Principe 1(Équations de Maxwell).

• Équations topologiques :

◦ équation de Faraday :

x

rotE~ =−∂ x B

∂t

◦ conservativité du champ magnétique :

div x B = 0

• Équations métriques :

◦ équation de Gauss :

div x D =ρ

◦ équation de Maxwell-Ampère :

x rotH~ =

x j +∂

x D

∂t Les champs dérivent des potentiels par les équations structurelles :

E~ =−−−→gradV −∂ ~A

∂t x

B = x rotA~

1.2.5 Invariance de jauge

Soitχ:R⁴→Run champ scalaire de l’espace-temps. Soient les transformations suivantes : V^′=V −∂χ

∂t A~^′ =A~+−−→gradχ On a alors

E~^′=−−−→gradV^′−∂ ~A^′

∂t =−−−→gradV +−−→grad∂tχ−∂tA~−∂t−−→gradχ=−−−→gradV −∂tA~ =E~ x

B

′

= x rotA~^′=

x rotA~+

x

rot−−→gradχ= x rotA~=

x B Le champ électromagnétique(E,~

x

B)est donc invariant sous cette transformation de jauge sur les potentiels (V, ~A). Les deux postulats fondamentaux de l’électromagnétisme sont d’une part la symétrie de jauge (qui est structurellement plus fondamentale que les équations de Maxwell topologiques), d’autre part les loi de Gauss et de Maxwell-Ampère.

V ≍V −^∂χ∂t

A~≍A~+−−→gradχ )

=⇒

( E~ =−−−→gradVx −^{∂ ~}∂t^A

B = x rotA~

)

=⇒ ( x

rotE~ =−^∂ x

B

divB= 0∂t

( divD=ρ x

rotH~ = x j +^∂

x

D

∂t

1.3. FORMALISME DE LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE 11

Le fait que les potentiels soient définis à un changement de jauge près, conduit à penser que dans la dua- lité de description potentiels/champs, ce sont les champs qui sont porteurs du sens physique (de l’essence de l’électromagnétisme), les potentiels n’étant que des intermédiaires de calcul. Cette posture, adoptée d’ailleurs par la très grande majorité des physiciens, se tient puisque épistémologiquement parlant, il est plus satis- faisant que les entités physiques à caractère ontologique soient parfaitement et univoquement définies. Une entité qui dépend d’un choix arbitraire du physicien ne semble pas pouvoir donner une description objective et réaliste²de la nature. Mais comme on l’a vu, ce choix arbitraire est structurellement plus fondamental que les équations des champs. Vu que les transformations de jauge ne sont pas à proprement parlé des objets³, on peut adopter la posture consistant à considérer que les objets sur lesquels ils portent, les potentiels, sont les porteurs du sens physique. On verra que l’effet Aharonov-Bohm apporte des arguments en faveur de cette posture⁴.

Remarquons qu’il est possible de construire à partir deV (en statique) etA~ des quantités qui sont définies de manière univoque. La différence de potentiel entre deux points outension (mesurée enV) :

U((x1, y1, z1); (x2, y2, z2)) =V(x2, y2, z2)−V(x1, y1, z1)

et la circulation du potentiel sur un chemin fermé ouboucle de Wilson (mesurée enW b) : w(C;t) =

I

C

A~·d~ℓ

Ces deux entités sont invariantes sous changement de jauge :

U^′((x1, y1, z1); (x2, y2, z2);t) = (V(x2, y2, z2) +k)−(V(x1, y1, z1) +k) =U((x1, y1, z1); (x2, y2, z2)) w^′(C;t) =

I

C

A~·d~ℓ+ I

C

−−→gradχ·d~ℓ=w(C;t)

mais ces quantités sont non-locales (car définies sur plusieurs points). Remarque : pour des raisons qui apparaîtront plus claires dans la suite, on définit généralement la boucle de Wilson par

W(C;t) =e^{−ı~−1eHCA·d~~ ℓ} (~étant la constante de Planck etela charge électrique élémentaire).

1.3 Formalisme de la géométrie différentielle

1.3.1 Les formes différentielles

Puisque un champ de vecteurs ~ω attend naturellement son intégration dans une circulation, on peut le représenter par une 1-forme différentielle :

ω=ω~ ·d~ℓ=ωxdx+ωydy+ωzdz De la même façon, on souhaiterait représenter les champs de pseudovecteurs x

ω, qui attendent leur intégration dans un flux, par un objet de la forme

x ω ·d

x

S =ωxd~y∧d~z+ωyd~z∧d~x+ωzd~x∧d~y

oùd~x=dx~ex. Les éléments de la forme d~x∧d~y =dxdy∗~ez constituent une base de l’espace vectoriel des éléments infinitésimaux de surface orientée. On les note simplement dx∧dy (avec la propriété dy∧dx =

2. ces deux termes étant utilisés ici dans leur sens philosophique, le réalisme objectiviste consistant en la croyance en l’existence d’une réalité en soi, accessible et composée d’objets

3. dans le cadre duréalisme pythagoricien, la réalité en soi n’est pas constituée d’objets, seules les structures sont réelles.

Une interprétation physique faite dans ce cadre induirait immédiatement que la symétrie de jauge est en elle-même la seule réalité physique. Ce point de vu est peu populaire, la grande majorité des physiciens sont des réalistes objectivistes.

4. remarque : l’argument naïf souvent invoqué pour justifier que les champs sont physiques et pas les potentiels, à savoir qu’ils seraient mesurables expérimentalement, est faux. Aucun dispositif expérimental ne mesure directement un champ, la seule et unique quantité qui soit directement mesurable est la force. Les dispositifs mesurant le champ électrique mesurent en réalité la force électrique s’appliquant à une charge connue. À partir de cette mesure primaire, on obtient le champ par une reconstruction mathématiqueE~ =F /q, on peut faire de même pour le potentiel même si la reconstruction est plus compliquée~

−dx∧dy). Par abstraction, le lien avec la géométrie vectorielle peut être oublié, et l’opération ∧entre 1- formes différentielles peut être définie par ses propriétés algébriques (elle porte le nom de produit extérieur).

Les pseudovecteurs peuvent donc être représenter par ce que l’on appelle des 2-formes différentielles : ω=ωxydx∧dy+ωyzdy∧dz+ωzxdz∧dx

avecωxy≡ωz (et permutations circulaires de(xyz)).

De la même façon, les champs pseudoscalaires qui attendent d’être intégrés dans un volume, ωdτ =ω(d~x∧d~y)·d~z=ω|d~x, d~y, d~z|

peuvent être représentés par des 3-formes différentielles : ω=ωxyzdx∧dy∧dz

où dx∧dy∧dz est une abstraction de |d~x, d~y, d~z| dans laquelle on considère simplement les propriétés algébriques du produit extérieur (linéaire, anticommutatif et associatif).

Le produit extérieur et les formes différentielles peuvent être définis dans n’importe quel espaceRⁿet même sur n’importe quelle variété (objet géométrique)M. On noteΩⁿM l’ensemble desn-formes différentielles de M :

ΩⁿM ={ωµ1...µndx^µ1∧...∧dx^µn}

où lesωµ1...µnsont des fonctions deM (antisymétrique par échange des indices) et où{x¹, ..., xⁿ}constituent un système de coordonnées deM (on adopte la convention d’Einstein sur la répétition des indices).

On a donc pour les entités électromagnétiques, les formes différentielles de l’espace (dépendantes du temps) : ρ ∈ Ω³R³

j ∈ Ω²R³ V ∈ Ω⁰R³ A ∈ Ω¹R³ E ∈ Ω¹R³ B ∈ Ω²R³ D ∈ Ω²R³ H ∈ Ω¹R³

1.3.2 La différentielle extérieure

Soitdla différentielle de l’espace : pour toute fonctionf ∈Ω⁰R³ on a df= ∂f

∂xⁱdxⁱ

On étend sa définition à l’ensemble des formes différentielles :∀ω∈ΩⁿM : dω=∂ωµ1...µn

∂x^µ0 dx^µ0∧dx^µ1∧...∧dx^µn ∈Ωⁿ⁺¹M

Cette extension est alors appelée différentielle extérieure. On notera que du fait des propriétés d’antisymétrie du produit extérieur, on a la règle de Leibniz (graduée)

∀ω∈ΩⁿM,∀η∈Ω^pM, d(ω∧η) =dω∧η+ (−1)ⁿω∧dη On a dansR³les équivalences suivantes :

– f champ scalaire (0-forme)

−−→gradf·d~ℓ=df – ~ω champ vectoriel /ω∈Ω¹R³

x rotω·d

x

S =dω

1.3. FORMALISME DE LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE 13

– x

ω champ pseudovectoriel /ω∈Ω²R³

divωdτ =dω

La différentielle extérieure remplace donc tous les opérateurs vectoriels. Les équations de Maxwell prennent donc la forme suivante :

• Équations topologiques :

◦ équation de Faraday :

dE=−∂B

∂t

◦ conservativité du champ magnétique :

dB= 0

• Équations métriques :

◦ équation de Gauss :

dD=ρ

◦ équation de Maxwell-Ampère :

dH=j+∂D

∂t avec les équations structurelles :

E=−dV −∂A

∂t B=dA D

On notera qued²= 0, et que l’invariance de jauge s’écrit : V^′=V −∂χ

∂t A^′=A+dχ avecχ∈Ω⁰R⁴.

Le théorème de Stokes s’écrit alors d’une manière générale :

Théorème 2 (Théorème de Stokes). Soit ω∈ΩⁿM une n-forme différentielle etV une sous-variété deM (un objet géométrique dans M) de dimension n+ 1.

Z

V

dω= I

∂V

ω

où∂V est la sous-variété de dimension nbord deV.

Preuve : Démontrons le théorème dans le cas où n = 1 et donc où V est une surface. Supposons dans un premier temps qu’il existe un paramètrage deV(un système de coordonnées surV) tel que les coordonnées forment un pavé deR² :[u1, u2]×[v1, v2]∋(u, v)7→x(u, v)∈ V.

Z Z

V

dω = Z Z

V

∂ωµ

∂x^νdx^ν∧dx^µ

= 1 2

Z Z

V

„∂ωµ

∂x^ν −∂ων

∂x^µ

«

dx^ν∧dx^µ

= Z u2

u1

Z v2 v1

„∂ωµ

∂x^ν −∂ων

∂x^µ

«∂x^ν

∂u

∂x^µ

∂v dudv

= Z u2

u1

Z v2 v1

„∂ωµ

∂u

∂x^µ

∂v −∂ων

∂v

∂x^ν

∂u

« dudv

Par intégration par parties, on a Z u2

u1

∂ωµ

∂u

∂x^µ

∂v du=

» ωµ

∂x^µ

∂v –u2

u1

− Z u2

u1

ωµ

∂²x^µ

∂u∂vdu

d’où Z u2

u1

Z v2 v1

„∂ωµ

∂u

∂x^µ

∂v −∂ων

∂v

∂x^ν

∂u

«

dudv = Z v2

v1

» ωµ

∂x^µ

∂v –u2

u1

dv− Z v2

v1

Z u2 u1

ωµ

∂²x^µ

∂u∂vdudv

− Z u2

u1

» ωµ∂x^µ

∂u –v2

v1

du+ Z u2

u1

Z v2 v1

ωµ∂²x^µ

∂v∂udvdu

= Z v2

v1

» ωµ∂x^µ

∂v –u2

u1

dv− Z u2

u1

» ωµ∂x^µ

∂u –v2

v1

du

L’intégration deωsur le bord deVest donnée par I

∂V

ω = I

↓←−

−

→↑

ωµdx^µ

= Z

−

→

ωµ∂x^µ

∂u du+ Z

↑

ωµ∂x^µ

∂v dv+ Z

←−

ωµ∂x^µ

∂u du+ Z

↓

ωµ∂x^µ

∂v dv

= Z u2

u1

ωµ∂x^µ

∂u –

v1

du+ Z v2

v1

ωµ∂x^µ

∂v –

u2

dv− Z u2

u1

ωµ∂x^µ

∂u –

v2

du− Z v2

v1

ωµ∂x^µ

∂v –

u2

dv

où= [u1, u2]×[v1, v2]. En comparant les deux expressions, on a bien Z Z

V

dω= I

∂V

ω

SiV ne peut être munie d’un système coordonnées engendrant un pavé, on décomposeV en morceaux qui peuvent chancun être indépendamment paramétrés par un pavé. Le théorème de Stokes s’applique sur chaque morceau, et les contributions des bords des morceaux ne se trouvant pas sur∂Vs’annulent deux à deux :↓←−

−

→↑↓←−

−

→↑=↓←−

−

→

←−

−

→↑. Seules subistent donc les contributions de∂V, ce qui démontre le théorème pour toute surfaceV.

La démonstration du théorème est essentiellement la même en dimension quelconque (avec quelques sub- tilités techniques supplémentaires), on l’admettra pourn >1.

DansR³ on a donc

0 −−−−→ Ω⁰R³ −−−−→^d Ω¹R³ −−−−→^d Ω²R³ −−−−→^d Ω³R³ −−−−→ 0 x





R

x





RR

x





RRR

x





0 ←−−−− points ←−−−−^∂ chemins ←−−−−^∂ surfaces ←−−−−^∂ volumes ←−−−− 0

avecd²= 0et∂²= 0. Compte-tenu de la dualité entre la différentielle extérieuredet l’opérateur de bord∂, dest aussi quelque fois appelée opérateur de cobord. La ligne du bas du diagramme est appelée un complexe d’homologie, et celle du haut un complexe de cohomologie.

La dualité engendre également que les formes différentielles exactes : BⁿM ={dω;ω∈Ωⁿ⁻¹M} ⊂ΩⁿM

(ce que l’on appelle en thermodynamique dans un langage quelque peu archaïque, les différentielles totales exactes) sont aussi appelées des cobords. De plus les objets géométriques fermés n’ayant pas de bord, on dira qu’une forme différentielleωest fermée si dω= 0. Les formes différentielles fermées

ZⁿM ={ω∈ΩⁿM|dω= 0} ⊂ΩⁿM

porte également le nom de cocycles. On notra que puisqued²= 0, on aBⁿM ⊂ZⁿM.

Considérons le champ magnétique B ∈ Ω²R³ et le potentiel magnétique A ∈Ω¹R³. Du fait de l’équation structurelleB=dA, le champ magnétique est un cobordB∈B²R³. On sait qu’il est difficile de considérer Acomme le porteur du sens physique du magnétisme car celui-ci est défini à un cobord près :

A^′=A+dχ⇒dA^′=dA=B

Il dépend donc d’un choix arbitraire, et ne peut pas être considéré comme une essence. La boucle de Wilson w(C) =H

CAest définie de façon univoque, mais c’est une entité non-locale (c’est une fonction sur l’ensemble

1.4. LES DIFFÉRENTES THÉORIES DE JAUGE 15

des boucles).B semble donc être la seule entité satisfaisante pour être l’essence du magnétisme. Mais il en existe en fait une autre. On ne considère pasA mais la classe d’équivalence représentée parA :

[A]d ={A+dχ, χ∈Ω⁰R³}

[A]dest l’ensemble de tous les potentiels magnétiques possibles. Cet ensemble est défini de façon univoque (on considère dans la même entité tous les choix de jauge), et il est local (il ne dépend que du point considéré).

Le prix a payer est que l’entité n’est plus une forme différentielle mais un ensemble de formes différentielles.

Dans la même idée, si on considère un cocycleω ∈ZⁿM, on peut redéfinir celui-ci par l’ajout d’un cobord, ω^′=ω+dη(η∈Ωⁿ⁻¹M) avec toujoursdω^′ = 0. On peut considérer la classe[ω]d={ω+dη, η∈Ωⁿ⁻¹M}. L’ensemble de ces classes :

HⁿM =ZⁿM/BⁿM ={[ω]d, ω∈ZⁿM}

porte le nom de groupe de cohomologie. Son rôle en électromagnétisme sera abordé plus tard.

Les complexes de (co)homologie vus dans cette section sont dit de (co)homologie de de Rham.HⁿM porte donc le nom de groupe de cohomologie de de Rham de degrén.

Le concept de théorie de cohomologie n’est donc qu’une formalisation algébrique de principe physique d’in- variance de jauge.

1.4 Les différentes théories de jauge

1.4.1 Théorie de jauge de degré 1

Le champ électrostatique

Considérons un physicien qui fait une expérience d’électrostatique. Comme le potentiel est défini à une constante près, il fait dans son laboratoire un choix de jauge arbitraire. Notons U^α le voisinage de son laboratoire. Supposons qu’un autre physicien, fasse une autre expérience d’électrostatique, il fixe donc un choix de jauge dans son propre laboratoire. NotonsU^β la voisinage de ce second laboratoire. Il n’y a pas de raison que les deux choix arbitraires soient les mêmes, on doit donc considérer,V^αle choix de potentiel du premier physicien etV^β celui du second. Supposons que les deux voisinages aient une petite région commune U^α∩U^β. Alors∀x∈U^α∩U^β on a

E=−dV^α=−dV^β V^β−V^α=κ^αβ

où κ^αβ est une constante. Ces dernières équations sont un point important des théories de jauge (on dit qu’elles caractérisent une théorie de jauge de degré 1). Le potentiel électrostatique n’est défini que localement (pour des voisinages, encore appelés cartes locales deR³) alors que le champ électrostatique est bien défini globalement. Si on considère trois cartes, on voit que l’on doit avoir

κ^βγ−κ^αγ+κ^αβ= 0

dite condition de cocycle. On peut étendre une des définitions locales du potentiel aux deux autres cartes (grâce à la relation précédente). Finalement, en regroupant les cartes, il est possible de s’accorder sur la choix de jauge dans toutR³ (et ainsi définir un potentiel global). On dit que la théorie de jauge est triviale.

C’est pour cela qu’en général, on oublie toute référence aux cartes locales.

Notons quedE = 0et comme il existe un potentiel global tel que E =−dV, on a [E]d ={dV +dχ, χ∈ Ω⁰R³}= [0]d∈H¹R³. Le fait que la classe de cohomologie de de Rham du champ soit la classe nulle et une autre manifestation de la trivialité de la théorie.

L’électromagnétisme porte néanmoins une théorie de jauge de degré 1 non triviale.

L’excitation magnétique

On considère une boucleCfixe dans l’espace parcourue par un courantI. On ne peut pas définir simple- ment un potentiel scalaire magnétiqueΥtel queH =−dΥ, car alorsdH =−d²Υ6=j (j =IδC(x)∗ds où δC est la distribution de Dirac associée àC et s est une coordonnée curviligne deC). Néanmoins, de par la loi de Biot et Savart, on a

H~(~r) = I 4π

Z

C

d~ℓ^′∧(~r−~r^′) k~r−~r^′k³

Avec un peu de calculs on montre que Z

C

d~ℓ^′∧(~r−~r^′)

k~r−~r^′k³ = −−−→grad Z Z

S

d x S

′

·(~r−~r^′) k~r−~r^′k³

= −−−→gradΩ(~r)

oùΩ(~r)est l’angle solide sous lequel on voit la boucle de courant depuis le point~r(C=∂S). On peut donc écrire que

H=− I 4πdΩ

Mais il faut noter queΩ est une fonction multivaluée. Pour simplifier prenons l’exemple de l’angle β sous lequel on voit un segment dans le plan, en changeant le point de vue suivant deux chemins menant au même point.

Entre les deux chemins, on a un écart de2πsur la valeur de l’angle β. Avec un angle solide dans l’espace, on aurait un écart de4π. Pour introduire un potentiel scalaire magnétique, il faut donc considérer au moins quatre cartes locales autour de la boucle C. U^α comme un pseudocylindre au dessus de C, U^β comme le pseudocylindre en dessous de C et U^γ, U^δ comme des zones entourant le cylindre. On dédinit alorsΥ^α =

I

4πΩ|U^α (restreint à une carte, l’angle solide est une fonction monovaluée), avec H =−dΥ^α

et aux intersections

Υ^β−Υ^α=κ^αβ=I Υ^γ−Υ^α=κ^αγ = 0 Υ^γ−Υ^β=κ^βγ= 0 Cette fois on ne peut pas faire un choix de jauge qui annule lesκcar

κ^βγ−κ^αγ+κ^αβ=I6= 0

Néanmoins, la condition de cocycle est toujours vérifiée carU^α∩U^β∩U^γ=∅(il n’y a pas de point commun à ces trois cartes). La relation précédente n’a donc pas de sens géométrique et n’exprime que le fait que l’on ne peut pas étendre le choix de jauge à tout l’espace.

On a une théorie de jauge de degré 1 non triviale. La constante I est alors l’indice de non-trivialité de la théorie.

On notera que[H]d={H+dχ, χ∈Ω⁰R} ∈H¹(R³\ C)n’est pas la classe nulle, carH n’est pas globalement exacte (mais seulement localement, il n’y pas de fonctionΥdéfinie sur toutR³\ Ctelle queH =−dΥ).

On notera quedH =j au sens des distributions, mais qu’au sens des dérivées naturelles dH= 0et donc H est une forme fermée. La classe de cohomologie[H]d est aussi un indice de non-trivialité. En fait [H]d et I sont des informations redondantes (de par le théorème de de Rham que l’on ne discutera pas ici).

1.4. LES DIFFÉRENTES THÉORIES DE JAUGE 17

1.4.2 Théorie de jauge de degré 2

Le champ magnétique

La discussion sur les cartes locales peut être reprise ici. On aura donc B=dA^α

et à l’intersection de deux cartes

A^β−A^α=dχ^αβ

oùχ^αβ∈Ω⁰(U^α∩U^β). La condition de cohérence entre trois cartes impose seulement que χ^βγ−χ^αγ+χ^αβ=z^αβγ

avecz^αβγ une constante surU^α∩U^β∩U^γ (dz^αβγ = 0). Comme dans le cas du champ électrostatique, on peut choisir les conventions de jauge telles que z^αβγ = 0, et faire en sorte d’étendre l’une des conventions aux trois cartes, puis à tout l’espace. On a une théorie de jauge de degré 2 triviale. La classe de cohomogie de de Rham est à nouveau nulle,[B]d= [0]d∈H²R³, en accord avec la trivialité de la théorie de jauge.

L’excitation électrique

On considère une charge électriqueqponctuelle dans l’espace. On cherche un potentiel vecteur électrique dont dérive l’excitation électrique. Comme pour le cas de l’excitation magnétique, le potentiel ne sera pas defini globalement. Soit un système de coordonnées sphériques centrées sur la charge. On considère U^N une carte locale essentiellement dans la partie nord du système de coordonnées, et U^S une carte locale essentiellement dans la partie sud (les cartes s’intersectent dans un voisinage du plan équatorial). On introduit alors le potentiel vecteur électrique :

C^N = q

4π(1−cosθ)dϕ C^S =− q

4π(1 + cosθ)dϕ oùθ est la colatitude etϕla longitude. On a alors

D=dC^N =dC^S= q

4πsinθdθ∧dϕ En utilisant le fait qued~ℓ=dr~er+rdθ~eθ+rsinθdϕ~eϕ, on retrouve bien

x D = q

4π

∗~r r³ à l’intersection

C^S−C^N =− q

2πdϕ=dχ^{N S}

On aurait donc χ^{N S} =−2π^q ϕ, mais cette fonction est multivaluée, en effet les points xgw se trouvant dans le plan équatorial et dans le plan du méridien fondamental, ont deux longitudes ϕ= 0 ou ϕ= 2π. Ainsi on peut avoirχ^{N S}(xgw) = 0ouχ^{N S}(xgw) =−q. Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de scinder les cartes. On considèreU^α la carte locale essentiellement dans le quart nord est,U^β dans la quart nord ouest (U^α∪U^β = U^N), U^γ dans le quart sud est et U^δ dans le quart sud ouest (U^γ∪U^δ = U^S). On a alors χ^αγ =−2π^q ϕ|U^α∩U^γ etχ^αβ= 0avec

D=dC^α et aux intersections

C^β−C^α=dχ^αβ C^γ−C^α=dχ^αγ et

χ^βγ−χ^αγ+χ^αβ=−q

On notera que compte-tenu de la quantification des charges électriques,−q=z^αβγeavececharge élémentaire et z^αβγ ∈Z. L’entier z^αβγ est l’indice de non-trivialité de la théorie de jauge de degré 2. Remarque : pour une raison que l’on ne développera pas ici, les théories de jauge de degré 2 (et plus) ont toujours un indice de non-trivialité quantifié.

dD = qδ(x, y, z) au sens des distributions, mais au sens des dérivées naturelles D est une forme fermée dD= 0. Sa classe de cohomologie de de Rham[D]d ∈H²(R³\ {(0,0,0)})est une information redondante avecq(théorème de de Rham).

1.4.3 Le cas général

Théorie de jauge de degré 1

κ^αβ∈Z V^α∈Ω⁰U^α

E∈Ω¹M

κ^βγ−κ^αγ+κ^αβ= 0 V^β−V^α∝κ^αβ

E=−dV^α dE= 0 Théorie de jauge de degré 2

z^αβγ ∈Z χ^αβ∈Ω⁰(U^α∩U^β)

A^α∈Ω¹U^α F∈Ω²M

z^βγδ−z^αγδ+z^αβδ−z^αβγ= 0 χ^βγ−χ^αγ+χ^αβ∝z^αβγ

A^β−A^α=dχ^αβ F=dA^α

dF = 0 Théorie de jauge de degré 3

Par généralisation, on peut définir une théorie de jauge de degré 3

w^αβγδ∈Z

ξ^αβγ ∈Ω⁰(U^α∩U^β∩U^γ) A^αβ∈Ω¹(U^α∩U^β)

B^α∈Ω²U^α H ∈Ω³M

w^βγδζ−w^αγδζ+w^αβδζ−w^αβγζ+w^αβγδ= 0 ξ^βγδ−ξ^αγδ+ξ^αβδ−ξ^αβγ ∝w^αβγδ

A^βγ−A^αγ+A^αβ=−dξ^αβγ B^β−B^α=dA^αβ

H=dB^α dH = 0

Les théories de jauge de degré 3 se rencontrent en théorie (classique) des cordes pour décrire une cordre chargée dans un champ électromagnétique.

On peut encore généraliser est définir une théorie de jauge de degré quelconque.

La cohomologie de Deligne

L’invariance de jauge peut être exprimée comme suit :

– dans une théorie de jauge de degré 1,V^αet V˜^α=V^α+k (aveck∈R) définissent le même champE et le même indice de non trivialité associé àκ^αβ.

– dans une théorie de jauge de degré 2, les couples(χ^αβ, A^α)et( ˜χ^αβ,A˜^α) = (χ^αβ+ζ^β−ζ^α, A^α+dζ^α) (avecζ^α∈Ω⁰U^α) définissent les mêmesF etz^αβγ.

– dans une théorie de jauge de degré 3, les triplets(ξ^αβγ, A^αβ, B^α)et( ˜ξ^αβγ,A˜^αβ,B˜^α) = (ξ^αβγ+ζ^βγ− ζ^αγ+ζ^αβ, A^αβ−dζ^αβ+k^β−k^α, B^α+dk^α)(avecζ^αβ ∈Ω⁰(U^α∩U^β)etk^α∈Ω¹U^α) définissent les mêmesH etw^αβγδ.

Les classes d’équivalence

[V^α]D = {V^α+k, k∈R}

[χ^αβ, A^α]D = {(χ^αβ+ζ^β−ζ^α, A^α+dζ^α);ζ^α∈Ω⁰U^α}

[ξ^αβγ, A^αβ, B^α]D = {(ξ^αβγ+ζ^βγ−ζ^αγ+ζ^αβ, A^αβ−dζ^αβ+k^β−k^α, B^α+dk^α);ζ^αβ∈Ω⁰(U^α∩U^β), k^α∈Ω¹U^α} sont dites classes de cohomologie de Deligne.

On peut donc généraliser la discussion sur les essences de l’électromagnétisme, on a des entités définies de manière univoque, locales et intégrant tous les choix de jauge en considérant les classes de Deligne. Pour l’électrostatique :

[V]D∈H_D¹R³ [χ^αβ, C^α]D∈H_D²(R³\ {~0})

1.4. LES DIFFÉRENTES THÉORIES DE JAUGE 19

et pour le magnétisme

[0, A]D ∈H_D²R³ [Υ^α]D ∈H_D¹(R³\ C)

On remarquera que[A]d= [0, A]D n’est pas un élément du groupe de cohomologie de de Rham (An’est pas fermé) mais est en fait un élément du groupe de cohomogie de Deligne. C’est donc la théorie de cohomologie de Deligne qui est le formalisme complet de l’invariance de jauge.

D’un point de vue algébrique, l’opérateur de cobord de DeligneDest donné en théorie de jauge de dégrén par

Dω=

(δω+ (−1)^deg(ω)dω sideg(ω)≤n δω modZ sideg(ω) =n

oùδest l’opérateur “de dérivation discrète par rapport aux indices de cartes” :(δω)^αβ=ω^β−ω^α,(δω)^αβγ = ω^βγ−ω^αγ+ω^αβ,...

Il y a une troisième théorie de cohomologie en électromagnétisme, la cohomologie de Čech qui est associée à la combinatoire des cartes locales, et que l’on n’abordera pas ici. On dira simplement que les indices de non-trivialités que l’on a trouvés dans les sections précédentes sont en fait les classes de cohomologie de Čech. Le théorème de de Rham que l’on a évoqué énonce que les groupes de cohomologies de de Rham et de Čech sont isomorphes (à la limite où les cartes locales deviennent infinitésimales).

Chapitre 2

L’effet Aharonov-Bohm et homotopie

2.1 Transport d’une particule dans un champ électromagnétique

2.1.1 Principe d’invariance de jauge de Weyl

Soit une particule de chargeq et de massemsoumise à un champ électrique et magnétique. L’équation de Schrödinger de cette particule est (sans considérer le spin)

ı~∂ψ

∂t = 1 2m

−ı~~∇ −q ~A2

ψ+qV ψ

oùψ(x, y, z, t)est l’amplitude de probabilité de présence de la particule, c’est à dire que la probabilité de trouver la particule dans un portionΩ⊂R³ de l’espace est

PΩ(t) = Z Z Z

Ω|ψ(x, y, z, t)|²dxdydz

Si la source du champ est une particule chargée fixe, avec l’absence du champ magnétique, on retrouve l’équation de Schrödinger de l’atome d’hydrogène :

ı~∂ψ

∂t = −~²

2m∆ψ+qV ψ

Le problème est que l’équation de Schrödinger n’est pas invariante sous changement de jauge électroma- gnétique

V^′=V −∂χ

∂t A~^′=A~+−−→gradχ

ı~∂ψ

∂t = 1 2m

−ı~~∇ −q ~A^′2

ψ+qV^′ψ

= 1

2m

−ı~~∇ −q ~A−q−−→gradχ2

ψ+qV ψ−q∂χ

∂tψ

La probabilité de présence de la particule semble donc dépendre du choix de jauge, or ce choix est arbitraire. Pour résoudre le problème, il faut remarquer qu’il y aussi un degré de liberté dans le choix de la fonction d’onde. En effet, considérons la fonction d’onde

ψ^′(x, y, z, t) =eıϕ(x,y,z,t)ψ(x, y, z, t)

oùϕ:R⁴→Rest une fonction arbitraire. Sous cette transformation, dite de changement local de phase, la probabilité de présence est invariante :

P_Ω^′(t) = Z Z Z

Ω|eıϕ(x,y,z,t)ψ(x, y, z, t)|²dxdydz= Z Z Z

Ω|ψ(x, y, z, t)|²dxdydz=PΩ(t)

Afin de rendre compatible l’équation de Schrödinger avec l’invariance de jauge électromagnétique, il faut, lorsqu’on procède à un changement de jauge, faire un changement local de phase qui le compense.

21

Théorème 3 (Principe d’invariance de jauge de Weyl). L’équation de Schrödinger est invariante sous le changement de jauge et le changement local de phase :

V^′(x, y, z, t) =V(x, y, z, t)− ∂

∂tχ(x, y, z, t) A~^′(x, y, z, t) =A(x, y, z, t) +~ −−→gradχ(x, y, z, t)

ψ^′(x, y, z, t) =e^ı~−1qχ(x,y,z,t)ψ(x, y, z, t) oùχ:R⁴→R.

changement de jauge quantités invariantes équations invariantes Electrique V^′=V −^∂χ∂t E~ =−−−→gradV −^{∂ ~}∂t^A

x

rotE~ =−^∂ x

B

∂t

Magnétique A~^′=A~+−−→gradχ

x B =

x

rotA~ div

x B = 0 Quantique ψ^′ =e^ı~−1qχψ dP =|ψ|²dxdydz ı~∂tψ=^{(−ı~~∇−q ~A)}

2ψ

2m +qV ψ

2.1.2 Transport d’une particule

Propriété 1. Soit une particule de charge électriqueq, de fonction d’ondeψ(x, y, z), supposée être un paquet d’ondes localisé autour d’un point (x0, y0, z0) de l’espace. Un potentiel magnétique A~ règne dans l’espace.

On astreint la particule (ou plutôt le paquet d’ondes) à se déplacer suivant un chemin fermé C partant de (x0, y0, z0). Alors après avoir déplacé la particule, sa fonction d’onde est :

ψ^′(x, y, z) =e^ı~−1qHCAψ(x, y, z) avec A=A~·d~ℓ∈Ω¹R³.

Preuve : On suppose dans un premier temps que l’on translate le paquet d’ondes suivant un vecteur infinitésimal d~ℓ. Le paquet d’ondes n’étant pas déformé par l’opération, la fonction d’onde translatée s’identifie à la fonction d’onde initiale à une phase près que l’on peut supposer proportionnelle àd~ℓ:

ψ(x+dx, y+dy, z+dz) =e^ı~

−1q ~ϕ·d~ℓ

ψ(x, y, z) d’où

ψ(x+dx, y+dy, z+dz)−ψ(x, y, z) = (e^{ı~−1q ~ϕ·d~ℓ}−1)ψ(x, y, z) par un développement limité

−−→gradψ·d~ℓ=ı~⁻¹q ~ϕ·d~ℓψ

ı~−−→

gradψ=−q ~ϕψ On procède à un changement de jaugeψ^′=e^ı~

−1qχψ, on a alors

ı~−−→

gradψ^′=−q ~ϕ^′ψ^′

⇐⇒ ı~−−→

gradψ−q−−→

gradχψ=−q ~ϕ^′ψ

⇐⇒ ı~−−→

gradψ=−q(ϕ~^′−−−→

gradχ)ψ On en déduit que

~

ϕ^′=ϕ~+−−→

gradχ On peut donc identifierϕ~ àA. On a donc~

−−→gradψ·d~ℓ=ı~⁻¹q ~A·d~ℓψ

On note(x(s), y(s), z(s)la paramétrisation de la courbeC. Le long de cette courbe l’équation précédente s’écrit

dψ

ds =ı~⁻¹q ~A·d~ℓ dsψ(s) d’où

ψ(s) =e^{ı~−1qR0sA·~dsd~ℓds}ψ(0)