Formules de Matsushima, de Garland et propriété (T) pour des groupes agissant sur des espaces symétriques ou des immeubles

B ULLETIN DE LA S. M. F.

P IERRE P ANSU

Formules de Matsushima, de Garland et propriété (T) pour des groupes agissant sur des espaces symétriques ou des immeubles

Bulletin de la S. M. F., tome 126, n^o1 (1998), p. 107-139

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126, 1998, p. 107-139.

FORMULES DE MATSUSHIMA, DE GARLAND ET PROPRIÉTÉ (T) POUR DES GROUPES AGISSANT

SUR DES ESPACES SYMÉTRIQUES OU DES IMMEUBLES

PAR PIERRE PANSU (*)

RÉSUMÉ. — On explique l'origine géométrique de deux théorèmes d'annulation, l'un dû à Y. Matsushima concerne les variétés riemanniennes localement symétri- ques, l'autre, dû à H. Garland, concerne les immeubles. On montre que ces formules entraînent la propriété (T) de Kazhdan.

ABSTRACT. — MATSUSHIMA'S AND GARLAND'S FORMULAS. A géométrie explana- tion of two classical vanishing theorems is given. Thèse are Y. Matsushima's formula (concerning locally symmetric spaces) and its analogue for buildings discovered by H. Garland. Both formulae are shown to imply Kazhdan's property (T).

1. Introduction

En 1962, en s'inspirant de travaux d'André Weil, Y. Matsushima a découvert une variante de la formule de Bochner, spécifique aux variétés riemanniennes compactes localement symétriques M. Dans le cas où le rang de M (z.e., la dimension maximale d'une sous-variété plate totalement géodésique) est au moins égal à 2, cette formule implique que le premier nombre de Betti de M est nul. Elle s'applique sans changement à la cohomologie à valeurs dans un système local unitaire de coefficients.

Depuis, cette formule a été étendue aux formes différentielles de degré supérieur.

En 1972, H. Garland a découvert un analogue combinatoire de la formule de Matsushima, qui permet d'étendre le théorème d'annulation

(*) Texte reçu le 16 janvier 1996, révisé le 7 août 1997, accepté le 21 janvier 1998.

P. PANSU, URA D 1169 du CNRS, Mathématiques, Bât. 425, Université Paris-Sud, 91405 Orsay (France). Email : pierre.pansu@math.u-psud.fr.

Mots clés : théorème d'annulation, espace symétrique, immeuble, groupe de Kazhdan.

Classification AMS : 22D10, 22E40, 51E24.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/1998/107/$ 5.00

aux réseaux des groupes algébriques p-adiques (avec certaines restrictions sur p qui ont été levées dans [BW]).

Dans cette note, on montre comment déduire les deux formules de l'invariance de la mesure de Liouville sur fibre des 2-plats par l'action naturelle de M2 (resp. Z2) sur cet espace. Ce point de vue a été inspiré par l'article [MSY] où N. Mok, Y.T. Siu et S.K. Yeung donnent une preuve nouvelle de certains résultats de superrigidité dûs à G.A. Margulis.

Les formules de Matsushima et de Garland permettent de démontrer rapidement que les groupes discrets cocompacts d'isométries de certains espaces symétriques et de certains immeubles euclidiens possèdent la propriété (T) de Kazhdan, [P], [Mo], [KS], [Z]. En effet, la propriété (T) équivaut à l'annulation de H1^,?) pour toute représentation unitaire p de F. Les formules entraînent de plus que, sous les mêmes hypothèse,

^(r,/?) = 0 est séparé, (corollaires 6 et 20).

Même en l'absence de groupe d'isométrie (ce qui est le cas pour la plupart des immeubles triangulaires par exemple, [R], [RT], [T2], [S]), on peut tirer une conséquence géométrique des formules : l'annulation de l'espace L2!!1^) de cohomologie L2 et le fait que l'espace L^H^^X) est séparé.

Enfin, notre approche de la formule de Garland conduit à une formule nouvelle pour les immeubles carrés, î.e., les produits d'arbres. Un groupe discret cocompact F d'automorphismes d'un tel immeuble n'a jamais la propriété (T), voir [BS], [NR]. Toutefois, si les projections de F sur les facteurs sont suffisamment transitives, tout quotient de F possède la propriété (T). C'est une étape dans la preuve par M. Burger et S. Mozes du fait qu'un tel quotient est nécessairement fini. Nous en donnons une preuve géométrique au paragraphe 10.

Je remercie chaleureusement Etienne Ghys, qui a attiré mon attention sur les travaux de H. Garland, Alain Valette, dont la lecture critique de [P]

est à l'origine de cette note, Jacques Tits et Frédéric Haglund pour les références sur les immeubles. Je dois beaucoup à Andrzej Zuk : c'est lui qui m'a expliqué que la version discrète de la formule de Matsushima coïn- cide avec la formule de Garland. Je remercie M. Burger et S. Mozes pour leurs explications sur les groupes agissant sur des produits d'arbres.

2. Formules de Matsushima

Voici comment N. Mok, Y.T. Siu et S.K. Yeung énoncent la formule de Matsushima.

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Un tenseur de courbure sur E est un tenseur de E* 0 E* (g) £'* (g) E qui possède les mêmes

symétries que le tenseur de courbure d'une variété riemannienne. Un tel tenseur Q détermine une forme quadratique Q sur les 2-tenseurs.

PROPOSITION 1 (formule de Matsushima). — Soit M une variété rie- mannienne compacte. Soit Q un champ de tenseurs de courbure parallèle sur M. On note Q la forme quadratique définie par Q sur les 2-tenseurs.

Soit a une 1-forme différentielle sur M, Da sa dérivée covariante. Alors

( Q ( D a ) =¹ ( (Q(a)^(a)).

J M z J M

En particulier^ si M est localement symétrique et localement irréductible^

alors

{ Ç ( P a ) - ( Q ^ ) / H2.

JM L JM

II y a un tenseur de courbure canonique, noté J, sur tout espace vectoriel euclidien, dont la courbure sectionnelle est constante et vaut 1. La forme quadratique 1 qui lui correspond est la suivante : si

T=A+S+{tïT)g- n

est la décomposition du 2-tenseur T en partie antisymétrique A, partie symétrique à trace nulle 5' et composante colinéaire au produit scalaire, alors

ï(T)=\T\

-\A\

~{^T)

.

Toute variété riemannienne porte au moins un champ de tenseurs de courbure parallèle, le champ de tenseurs canonique I . Si on choisit Q = J, on obtient la formule de Bochner

( \Da\2 - |da|2 - {Sa)2 =- f Ric(a) J M J M où 6 est la codifférentielle et Rie la courbure de Ricci.

Sur une variété riemannienne, il y a autant de formules de Matsushima que de tenseurs de courbure invariants par holonomie. Noter que l'applica- tion Q i—> Q\S^T* es^ mjective. Par conséquent, la dimension de l'espace des tenseurs de courbure invariants par holonomie est au plus égale au nombre de composantes irréductibles d(M) dans la décomposition sous l'holonomie de l'espace S^T^M.

Génériquement, 1 est le seul choix possible, mais sur les variétés localement symétriques, le tenseur de courbure de Riemann R lui-même

est parallèle. Dans [M], Y. Matsushima prend pour Q la projection du tenseur canonique 1 sur Phyperplan orthogonal au tenseur de courbure R, Pour une variété localement symétrique, le nombre d{M) de compo- santes est au plus égal à 4, et vaut 2 le plus souvent (voir [WZ]).

2.1. Généralisation.

Pour les applications, il est utile de se placer sous des hypothèses plus générales. On supposera que F est un groupe discret d'isométries d'une variété riemannienne X (éventuellement F a des points fixes et F \ X est non compact). On se donne une représentation unitaire p de F, éventuelle- ment de dimension infinie. On considère alors des formes différentielles L2

tordues par p . Une forme tordue par la représentation p sur F \ X est une forme a sur X à valeurs dans l'espace de Hilbert 1-ip telle que, pour 7 G F, 7*0 = p(^)a. La norme \a\2 devient une fonction sur X invariante par F, dont l'intégrale sur F\X est appelée norme L2 de a. On dit que Da e L2

si les dérivées partielles de a au sens des distributions sont localement des fonctions L2, et si \Da ç L2^ \ X).

La proposition suivante se démontre comme dans [MSY].

PROPOSITION 2. — Soient X une variété riemannienne^ F un groupe discret d'isométries de X , p une représentation unitaire de T. Soit Q un champ de tenseurs de courbure parallèle sur X . Soit a une 1-forme différentielle surT\X tordue par p, Da sa dérivée covariante. On suppose que a et Da <E L2^ \ X). Alors

f Q(Da)+i(Q(a)^R(a))=0.

Jr\x z

Au paragraphe suivant, nous allons donner une nouvelle preuve de cette formule, pour des choix particuliers de Q.

3. Formule de Matsushima et espace des plats

On va faire apparaître une formule de Matsushima comme une moyenne de la formule de Bochner sur les sous-espaces plats d'un espace localement symétrique.

3.1. La formule de Bochner sur un tore plat.

Dans le tore plat riemannien T = S1 x S1, la formule de Bochner est simplement une double intégration par parties. Soit a = a^dx-^ + a^dx^

une 1-forme. Alors Da est le 2-tenseur

2

Da = ^ Oij dxi (g) dxj

Î , J = 1

où aij = Qai/Qxj. Aussi, 6a = a^i + 02 2, da = (ai 2 - (^2 i)da;i A dx^

d'où

|Da|² = (6a)² + |da|² + 2Ç(a)

OÙ Q{a) = Oi^û^l — O^iû^-

La formule de Bochner s'écrit

/ Q(a) = 0 JT

et se démontre comme suit

/ û^iQ^ = — / û^i^û^ = — / û/l,2lû/2 = / O^l^û^l.

^r JT JT JT

Autrement dit, on a écrit la fonction Q(a) comme combinaison de dérivées partielles de fonctions périodiques, Q(a) = v-^ — u^ où

u = o^o^i et v = Oi^a\^,

et utilisé le fait que les champs de vecteurs 9 / Q x i engendrent sur le tore quotient une action de R2 qui préserve le volume.

3.2. Nouvelle preuve d'une formule de Matsushima.

Une lecture attentive de [MSY] suggère qu'on peut trouver une formule de Matsushima pour une variété riemannienne localement symétrique compacte M = F \ G / K en choisissant un 2-plat marqué / de X = G / K , en écrivant la formule de Bochner sur / et sur ses translatés parallèles, et en faisant la moyenne.

Décrivons d'abord l'espace des plats marqués de X = G/K en termes algébriques. Soit G = NAK une décomposition d'Iwasawa. Dans le groupe abélien A de rang r = rang^(G), choisissons un sous groupe A' isomorphe à ReM. Soit K ' le centralisateur de A' dans K, et F = G / K ' . Le groupe A' agit par translations à droite sur F^ en préservant la mesure de Haar [i. La projection F —> G/K est une fibration, et la mesure ^ se désintègre en la mesure riemannienne dx sur X et une mesure ^-invariante // sur K / K ' ' . Voici une construction plus géométrique de l'espace des plats marqués.

Fixons un plan euclidien TT, une origine 0 ç TT et un repère orthonormé (ei, 62). Un plat marqué dans M = F \ X est une immersion isométrique et totalement géodésique / de TT dans M. On dit qu'un plat marqué /' est obtenu par transport parallèle à partir de / s'il existe un chemin de /(O) à /'(O) tel que le transport parallèle r le long de ce chemin satisfasse f^ = r o f^.

Fixons un plat marqué /o- Soit F l'ensemble des plats marqués dans M obtenus par transport parallèle à partir de /o- Sur F on a une action du groupe des translations de TT, par précomposition. Cette action préserve bien F^ car le transport parallèle le long des géodésiques d'un plat / coïncide avec la précomposition par les translations. Alors F (muni l'action des translations de 7r) n'est autre que le quotient de F par l'action à gauche de r.

A chaque plat marqué / t e l que fÇO)=xçM correspond une forme quadratique Qf^ sur l'espace des formes bilinéaires T sur Ta;M, définie par

Qf(T) = T(/*ei, /.e2)r(/,e2, /*ei) - T(/*ei, /,ei)r(/,e2, f^).

À un champ T de formes bilinéaires sur M correspond donc une fonction Q(T) sur l'espace F des plats marqués. Cette construction s'étend aux formes bilinéaires à valeurs dans un espace de Hilbert Hp comme suit

Qf(T) = (r(/,ei,/,62),r(/,e2,/*ei)) - <T(/^ f^\T{f^ f^)).

Soient a une 1-forme sur M (éventuellement tordue), et Da sa dérivée covariante. Supposons que a et Da sont L². Pour chaque plat / marqué en x ç M, on pose

uf(a) = {oi(f^2),Da(f^,f^ei)}, Vf (a) = {a(f^),Da{f^,f^e2)}.

Alors u(o) et v(a) sont des fonctions L1 sur l'espace F des plats. Notant r\

et ï2 les champs de vecteurs sur F qui engendrent l'action naturelle de M2, on a, au sens des distributions,

Q(Da) = r-iv(a) - T2^(a), ce qui entraîne

( Qf(Da)d^f)=0.

J F J F

Posons, pour x ç M, T une forme bilinéaire sur Ta; M, W= 1 Çj(T)d//(/).

Q.

Jîf\f(0}=x\

J{f\f{0)=x}

On obtient, pour toute 1-forme différentielle a sur M\

/ Ç,(Pa)d^=0.

J M J M

Ceci est bien une formule de Matsushima. En effet, pour chaque point x du revêtement universel M, Qs est invariant sous le groupe d'isotropie K, qui coïncide avec le groupe d'holonomie, donc Q est parallèle. D'autre part, comme le tenseur de courbure restreint à un plat / est nul, chaque Qf est orthogonale au tenseur de courbure, et il en est de même de Q^. Enfin, le produit scalaire de Qf avec le tenseur canonique 1 vaut (Qf,I) = 4 donc (Qx,I) 7^e 0. En particulier, Q n'est pas nul.

QUESTION. — En faisant varier le 2-plat de référence, combien de tenseurs Q différents obtient-on ? Obtient-on toujours au moins un tenseur qui satisfait aux conclusions de la proposition 3 ? D'après [MSY], les seules exceptions potentielles sont les duaux non compacts des grassmanniennes.

4. Cas des espaces localement symétriques de rang 1 4.1. La formule de Hodge pour le plan hyperbolique complexe.

Soit M une variété kàhlérienne, a une 1-forme sur M. On définit un opérateur différentiel du premier ordre P par

Pa(u,v) = Dua(v) + Djua(Jv).

Si de plus M est compacte, alors on a la formule de Hodge I \Pa\2-\àa\2-\6a\2=Q.

J M

Cette formule entraîne que toute 1-forme harmonique réelle sur M est la partie réelle d'une 1-forme holomorphe.

Si M est un quotient compact du plan hyperbolique complexe, la formule de Hodge coïncide avec la formule de Matsushima classique, i.e.

celle obtenue lorsque Q est la projection de 1 sur l'orthogonal du tenseur de courbure.

4.2. Formule de Corlette-Matsushima et espace des plans hyperboliques complexes.

Soit X un espace symétrique de rang 1 à courbure sectionnelle non constante. Alors il existe des plongements isométriques totalement géodé- siques du plan hyperbolique complexe pointé (CH'2,xo) dans X. L'en- semble de ces plongements est un fibre P —^ X homogène sous le groupe des isométries de X. Il possède donc une mesure invariante fi. Le groupe Isom(CJ:f2) agit sur P par précomposition. Ses orbites sont des copies de CH2 qui feuillettent P.

Soit a une 1-forme sur X. Relevons a dans P. En chaque point p € P passe une feuille f(p). Notons

Qp(a) = |P(a|,r(p))|2 - |d(a|jr(p))|2 - \6(a\y^)\2

évalué au point p. En intégrant sur la fibre, on obtient une expression quadratique par rapport aux dérivées premières de a, notée Q^(Da).

La forme quadratique Qx sur l'espace des 2-tenseurs de l'espace tan- gent TX est invariante par le stabilisateur K de x. Elle est donc parallèle.

Les produits scalaires (Qp,R} et ( Q p ^ I ) sont des constantes universelles, qu'on évalue sur un quotient compact de CH2. On trouve, en comparant les formules de Hodge et de Matsushima, que (Çp, R) = 0 et (Çp, I ) ^ 0.

Par conséquent (Q^^R) = 0 mais Qp ^ 0. Comme le nombre d(M) de composantes irréductibles dans la décomposition sous K de l'espace des 2-tenseurs symétriques sur l'espace tangent vaut 2 pour les espaces considérés, on conclut que Qx est un multiple non nul de la projection de 1 sur l'orthogonal de R. Autrement dit, la formule de Matsushima n'est autre que

I Çp(a)dp=0, Jr\p

c'est-à-dire la formule de Hodge moyennée sur les plans hyperboliques complexes de F \ X.

Pour l'espace hyperbolique quaternionnien ou le plan hyperbolique sur les octaves de Cayley, la formule de Matsushima a été trouvée par K.Corlette [C].

5. Applications de la formule de Matsushima

On donne les détails de l'argument évoqué dans [P, p. 89]. Les applica- tions découlent de la propriété de positivité suivante.

PROPOSITION 3. — Soit X un espace symétrique irréductible distinct de U espace hyperbolique réel ou complexe. Il existe sur X un tenseur de courbure parallèle tel que (Q^R} = 0 et tel que la forme quadratique Q^

restreinte aux formes bilinéaires symétriques à trace nulle^ soit définie positive.

La preuve de cette proposition repose en bonne part sur un examen cas par cas de la classification des espaces symétriques. Elle est due à de nombreux auteurs, depuis E. Calabi, E. Vesentini et A. Borel en 1960 jusqu'à N. Mok, Y.T. Siu et S.K. Yeung en 1993, voir [MSY].

On tire d'abord de la formule une inégalité.

LEMME 4. — Soit X un espace symétrique irréductible distinct de l'espace hyperbolique réel ou complexe^ F un groupe discret d'isométries de X, p une représentation unitaire de r. Soit a une 1-forme différentielle sur r \ X tordue par p, Da sa dérivée covariante. On suppose que a, da et 6a sont dans L2^ \ X). Alors il existe une constante C indépendante de la représentation p telle que

(^ l l a f + l l ^ a f ^ C d I t o f + U d a l l²)

Preuve.—Soit X un espace symétrique irréductible de rang > 1. Soit Q un champ de tenseurs de courbure parallèle sur X tel que (Ç, R) = 0. La forme quadratique (Q(Ç),R(^)} sur l'espace cotangent est ^-invariante, donc proportionnelle à la métrique. Si (Q, R) = 0, elle est identiquement nulle, donc (Q(Q, -H(O) = 0 pour tout f, C T*X.

D'après 3, on peut choisir un champ de tenseurs de courbure parallèle Q tel que (Q, R) = 0 et que la forme quadratique Q restreinte aux formes bilinéaires symétriques à trace nulle soit définie positive. Il existe alors des constantes C ' et C" telles que, pour toute forme bilinéaire T sur TX^

(r,r) < c'{\A(T)\

+ |trr|

) +c7

Q(^),

où A(T)(u,v) = T(u^v) — T(v^u). La même inégalité, avec les mêmes constantes, est vraie pour des formes bilinéaires à valeurs dans un espace de Hilbert H p .

Soit a une 1-forme différentielle sur F \ X tordue par p. Comme da = A{Da) et 6a = tr£)a, il vient

(*) \Da\2 ^ C'{\àa\2 + \8a\2} + C^QÇDa).

Lorsque a et Da sont dans L2, la formule de Matsushima s'écrit f Q(Da) = 0, d'où en intégrant l'inégalité (*),

paf^C'dIdaf+IM2).

Toujours sous l'hypothèse a, Da ç Z/2, la formule de Bochner donne p a f - l l f o l p - l l d Q l l ^ ^ R i ^ l l a l l2

où —Rie est une constante strictement positive. Il existe donc une constante C telle que

(*') Hlii,2 '= M2 + \\Da\\2 ^ G(||da||2 + ||^||2).

II reste à montrer que a, da, 6 a e L2 entraîne Da e L2. En vertu de l'inégalité (*'), il suffit de montrer que a est limite au sens des distributions de formes aj telles que ||da^|| et \\6aj\\ restent bornés.

Comme Porbifold F\X est complète, en multipliant a par des fonctions de la distance à un point, on approche a par des formes à support compact.

On peut alors supposer que le support de a est arbitrairement petit, i.e.

que a est à valeurs dans un espace de Hilbert fixe H p . Fixant une base hilbertienne de Hp, on approche chaque composante de a par des formes différentielles scalaires à coefficients de classe C¹. Cela donne la densité cherchée. []

COROLLAIRE 5. — Sous les mêmes hypothèses, on obtient des consé- quences sur la cohomologie L2 de F \ X tordue par p :

• l'espace L2!!1^ \ X,p) est nul et

• l'espace L2!!2^ \ X,p) est séparé.

Preuve. — II convient de préciser ce qu'on entend par cohomologie L2. Soit M une variété riemannienne. Soit L2Qk{M) l'espace des Â;-formes a ç L^M) dont la différentielle extérieure do, en tant que distribution, coïncide avec une k + 1-forme L2. Muni de la norme ||a||^2 + ||da||^2, L2^k{M) est un espace de Hilbert et d : L^ÇM) -» L^W+^M) est un opérateur borné. Par définition, la cohomologie L2 de M est la coho- mologie du complexe (L^^At^d).

Notons :

• Ho l'espace des 1-formes fermées L² tordues par p;

• Hi l'espace des 1-formes fermées L2 tordues par p dont la dérivée covariante est L2, muni de la norme L112 ;

• J l'espace des 0-formes L² tordues par p.

De l'inégalité (tQ, on tire d'abord que l'opérateur 6 : U^ -^ J a une image fermée, notée Z. Ensuite, que 6 est un isomorphisme de H-^ sur Z.

Son inverse 6~1 est a fortiori borné de 1 dans Ho, donc a un adjoint L2

partout défini (^-1)* : Ho -^ î-

Si a est une 1-forme fermée L2 tordue par p, i.e., a ç HQ, la 0-forme (3 = (^-l)*a e Z satisfait, pour tout /3' e TYi,

{6f3\(3)^=((3^a}^.

Par conséquent, au sens des distributions, d/3 = a, donc (3 ç L2^0. On a donc montré l'annulation du premier espace de cohomologie L² de F \ X tordue par la représentation p.

D'autre part, l'inégalité (t]) entraîne que l'image de la différentielle exté- rieure d : L2^1 -^ L2^2 est fermée. En effet, soit Oj e L2^1 des 1-formes

telles que f3j = daj converge vers f3 dans L²^². En choisissant Oj de norme minimum parmi les primitives de f3j (c'est un sous-espace affine fermé), on peut supposer que 6aj = 0. L'inégalité {\\) donne une borne a priori sur la norme L² de aj. On peut donc supposer que aj converge faiblement vers a e L²^¹. Alors daj converge au sens des distributions vers da, donc (3 = da est dans l'image de d. On conclut que le second espace de cohomologie L2 de F \ X tordue par la représentation p est séparé. []

COROLLAIRE 6. — Soient X est un espace symétrique irréductible distinct de l'espace hyperbolique réel ou complexe^ F un groupe discret cocompact d'isométries de -X, p une représentation unitaire de T. Alors

^(F, p) = 0 et H2 {Y, p) est séparé.

En particulier^ F possède la propriété (T) de Kazhdan et est « big » au sens de J. Lott^ voir [Lo, section 5.1].

En effet, comme X est contractile, J:T(F,p) = H*(T\X,p). C'est clair lorsque F agit librement, et cela reste vrai en général car les groupes d'iso- tropie sont finis et les coefficients sont pris dans un espace vectoriel sur un corps. Si T\X est compact, la condition L² ne change pas la cohomologie, eiHl(r^p)=L2Hl(^\X^).

D'après A. Guichardet, [Gu, p. 288], la propriété (T) pour un groupe F résulte de l'annulation de ^(F,?) pour toute représentation unitaire p, et lui est en fait équivalente, [DV, p. 48]. Un groupe infini discret qui a la propriété (T) est non moyennable

Sur les 1-formes cofermées, l'inégalité (*') s'écrit

\\a\\²<C(a^a).

Autrement dit, A est inversible sur les 1-formes cofermées tordues par p.

En particulier, KerA = 0 et A est inversible sur LW mod Kerd.

Lorsque p est la représentation régulière -^(F), ce résultat se traduit en termes de cohomologie L2 du groupe F, et exprime qu'il est «big» au sens de J. Lott. Q

REMARQUE 7. — Un groupe est «big» au sens de J. Lott si et seule- ment si, pour un (et donc tout) complexe qui calcule L² H* (F, £² (F)), la différentielle en degrés 0 et 1 admet un inverse borné.

REMARQUE 8. — Le corollaire 6 s'étend à certains sous-groupes dis- crets F de covolume fini, cf. [GR].

Voici une condition suffisante qui ne dépend que de l'espace symétri- que X. Soit M = F \ X. D'après [BoS], il existe une rétraction TT de M sur une sous-variété à coins compacte N de M. Si on peut choisir TT de sorte que dn ç L^M), alors toute classe c e H^-ÇM,?) est représentée par une 1-forme L². En effet, c provient de N, donc est représentée par une 1-forme de la forme a = TT*/?, {3 est bornée et a e L². La nullité de

^(F, p) = Tf^M, p) résulte alors de celle de L^^M, p).

Le bord de N est constitué de morceaux d'horosphères. À distance r, la norme de la différentielle de la projection orthogonale sur Phorosphère orthogonale à un vecteur v d'une chambre de Weyl W est le plus grand des nombres e^W où A décrit les racines positives relatives à W. En revanche, à un terme polynômial près, le volume croît comme e~r^x^ où IJL est la demi-somme des racines positives. Un examen des racines conduit donc à une condition suffisante.

Cette condition suffisante est satisfaite pour tous les espaces symétri- ques de rang un à l'exception de 'RH2, RH3 et CH2. Elle est satisfaite aussi pour l'espace symétrique de Sl(n, R) dès que n ^ 4.

REMARQUE 9. — La méthode donne en principe, pour chaque système générateur fini S de F, une estimation de la constante de Kazhdan indépendante de la représentation unitaire p, cf. [Bu], [KT].

La constante de Kazhdan de p pour le système générateur S est le plus grand e tel que, pour tout vecteur ^ € 7^,

max|p(7)^-^6|$|.

760

Sur l'espace Z ^ t ^ T ^ p ) des 1-cocycles sur F à valeurs dans p, utilisons la norme

N^EK^I

^s

et sur l'espace C°(r,p) = "Hp la norme donnée. Supposons que p n'a pas de vecteurs invariants non nuls. L'annulation de H¹ (F,?) signifie que

6:c

{^^)-^z

(^^)^ ^^c(7)=p(^-^

est inversible, et estimer e, c'est estimer la norme de l'inverse 6~1. De telles bornes se transportent lorsqu'on remplace un complexe par un autre complexe qui lui est homotope (avec homotopies bornées). C'est le cas lorsqu'on passe de la résolution standard ci-dessus au complexe de de Rham sur F \ X, voir [Brj. Les constantes dépendent de la géométrie de F \ X de façon compliquée.

6. Formule de Garland dans le cas des immeubles triangulaires 6.1. Complexes simpliciaux.

Soit X un complexe simplicial. Une cochaîne simpliciale de degré k sur X est une fonction antisymétrique sur l'ensemble S (A:) des Â;-simplexes orientés de X. L'espace C^k(X) des A;-cochaînes est muni de la norme £²

1 , 9 1 V-^ | / < |2

II = è E W El^

o-es(fc)

Si a est un Â;-simplexe orienté et r un (Â;—l)-simplexe orienté, le coefficient d'incidence [o- : r] vaut 1 (resp. —1) si r est une face de a munie de l'orientation induite (resp. opposée) par a, et 0 sinon. La différentielle d : C^X) -^ C^ÇX) est définie par

dr^Ça) = ^ [a : r}^r).

TÇS(A;)

Son adjoint 6 pour la norme i2 est donné par la formule W= ^ [r:a]rî(r).

re£;(fc+l)

La cohomologie (resp. L²) du complexe des cochaînes simpliciales (resp. L²) coïncide avec la cohomologie (resp. L²) de l'espace topologi- que X. Plus généralement, étant donné un système local de coefficients (i.e. une représentation unitaire p de 7Ti(X)), la cohomologie (resp. L²) à coefficients dans p est calculée par le complexe des cochaînes simpli- ciales tordues par p. Une cochaîne tordue par p est une cochaîne sur le revêtement universel X à valeurs dans 7-1 p , équivariante sous 7Ti(X). Plus généralement, si r est un groupe discret d'automorphismes de X, on appe- lera cochaîne tordue par p sur F \ X une cochaîne F-équi variante sur X.

La norme L2 s'obtient en sommant sur F \ ïi(k).

Soit s un sommet de X. L'étoile de s est la réunion des simplexes qui contiennent s. Le link de X en s est la réunion des simplexes de l'étoile qui ne contiennent pas s. Autrement dit, un (k — l)-simplexe a = (^i, • • • , s/c) est dans £k(s) si et seulement si le cônes (cr) = (5, 5i, • • • , s/e) est un k- simplexe de X. Étant donné une cochaîne rj sur X et un sommet s de X, la formule

cônes (r]) (a) = r] (cônes (a))

définit une cochaîne sur le link £k(s). Cette opération ne commute pas avec la différentielle, si bien qu'on note Drj(s) le couple (cônes(7;),cônes(d77)).

Par exemple, si X est de dimension 2 et 77 est une 1-cochaîne, Dr](s) = (u,v)

où u est la fonction sur l'ensemble des sommets du link £k(s) définie par u(y) = 77(5, y) et v la fonction sur l'ensemble des arêtes orientées du link définie par v(y, z) = drj(s, y , z) = rj(s, y) + r](y, z) + rj(z, s).

6.2 Cas particulier des graphes.

Si L est un graphe fini, alors C°(L) est l'espace des fonctions sur l'ensemble des sommets et ^(L) l'espace des fonctions v sur les couples de points voisins qui satisfont v ( y ^ z ) = —vÇz^y). Pour u G C°(L),

du(y,z) = u(z) - u(y).

Étant donné un sommet y de L, on note V(y) l'ensemble de ses voisins.

Pour v C ^(L),

ov(y) = - ^ v(y,z).

zçV(y)

6.3. Immeubles triangulaires.

Soit P un plan projectif fini. On note ç+1 le nombre de droites passant par un point donné de P. On appelle q l'ordre du plan P. Le graphe d'incidence de V a pour sommets les points et les droites de V (soit 2q2 + 2q + 2 sommets) et une arête pour chaque paire {p, £} où p est un point de la droite £.

Un graphe fini L est le graphe d'incidence d'un plan projectif si et seulement si :

• tout cycle de L est de longueur au moins égale à 6 ;

• deux arêtes de L sont contenues dans un même cycle de longueur 6.

DÉFINITION 10. — Un immeuble triangulaire est un complexe simplicial simplement connexe de dimension deux dont chaque link est le graphe d'incidence d'un plan projectif fini. Tous les links ont même ordre, qu'on appelle l'ordre de l'immeuble.

PROPOSITION 11 (formule de Garland).—Soit X un immeuble triangu- laire d'ordre q. Soit F un groupe discret d'automorphismes de X. Soit p une représentation unitaire de F. Soit T] une 1-cochaîne L2 sur F \ X tordue par p. Si Drj(s) = (u,^), on note, pour chaque sommet s de X,

Qs{Drj) = (du, du) - (g + l)(u,u)

- ^-M + ——{ov.ôv) + .^g - 4)îz + 6du,6v).

àq 12q bq

Alors

^ Q,(Drî)=0.

ser\x

7. Nouvelle preuve de la formule de Garland 7.1. Formule de Bochner simpliciale.

Soit TT un complexe simplicial isométrique au plan euclidien, z.e., un plan euclidien pavé par des triangles équilatéraux. On choisit deux translations r et r ' par des vecteurs unitaires parallèles aux côtés des simplexes, et faisant entre eux un angle de 120°.

On va démontrer un analogue combinatoire de la formule de Bochner pour le quotient de TT par un réseau de translations simpliciales F.

Si T] est une 1-cochaîne de TT, on définit une fonction Q(rj) sur les sommets s de TT par la formule

(1) Q, (77) = (77(^5, r'rs) - 77(5, rs)) (77^5, rr's) - 77(5, r's)) (2) - (^(^ rs) - 77(T-1^ s)) (77(5, r'5) - ^r-^s^ s)}.

Vérifions que, si 77 est r-périodique, la somme des valeurs de Q(rj) sur les sommets d'une maille est nulle. Posons

(3) U{s) = (77(5, TS) - 77(T-15, 5))77(5, T'5),

(4) v(s) = (r](r's, r'rs) - 77(5, rs))rî(s, r's).

Par construction, Q(rj) =u-uor^t-v-\-vor. Comme r et r ' commutent à F, elles définissent des bijections du quotient, donc

y^ u o r1 — u = 0

s sommet de r\7r

et idem pour v. []

REMARQUE 12. — L'expression Qs(r)) ne dépend que de la restriction de 77 à l'hexagone formé par les six voisins de 5. Pour vérifier que sa somme est nulle (sur un quotient), on n'a eu besoin que de deux translations r et r ' qui passent au quotient et préservent la mesure de comptage.

7.2. Vers la formule de Garland.

Lorsque le tore est remplacé par un immeuble triangulaire X, l'expres- sion Qs(r]) est définie comme suit. A chaque plat / marqué en 5 correspond

une expression Qf(ï])^ on en fait la moyenne par rapport à une mesure ^s.

Comme Qf{r]) ne dépend que de la trace de / dans rétoile de 5, Qs(^) ne dépend que de la restriction de rj à l'étoile de s.

L'invariance de la mesure ^ = /j.s (^ ds par l'action naturelle de Z © Z sur l'espace des plats marqués entraîne que la somme des valeurs de Q{rf) sur tout quotient est nulle.

Bien sûr, la preuve donnée par H. Garland est beaucoup plus courte, voir [G].

7.3. Plats marqués.

On fixe un plan euclidien triangulé TTQ . On fixe une origine 0 et on note

?/1, ' • - ,î/6 les six sommets voisins de 0 qui forment le link -^-0(0)5 pris dans l'un des deux ordres circulaires possibles. On note TO la translation de vecteur unitaire Oy\ et TQ la translation de vecteur unitaire Oys.

DÉFINITION 13.—On appellera plat marqué un plongement isométrique f : TTC) —> X. On note F l'ensemble des plats marqués.

Sur F, on a une action de Z © Z, z.e., deux bijections r et r ' définies comme suit. Si / : 71-0 —^ X, alors r{f) = f o 7-0 et r'Çf) = f o 7-0.

Il faut voir cette action comme une sorte de flot géodésique.

On note Fs l'ensemble des plats marqués tels que f(0) = s.

Étant donné un 6-cycle marqué ^ == (î/i, • • • ^ y o ) du link £k(s), on dit qu'un plat marqué / : 71-0 —> X contient ^ si /(O) = s et fÇy'1) = yi. On note ^ l'ensemble des plats marqués en s et contenant ^.

PROPOSITION 14. — II existe une mesure fJi sur F ayant les propriétés suivantes.

(i) le nombre /^(^) est indépendant du 6-cycle marqué ^ (on le normalise de sorte que p^(^Fs) = 1) ;

(ii) il est invariante par Inaction naturelle de Z (B Z ;

(iii) /x est invariante par tout automorphisme de l'immeuble X.

Noter qu'un polyèdre à courbure négative ou nulle possède toujours un flot géodésique. Dans [BB], W. Ballmann et M. Brin ont construit une mesure de Liouville, invariante par ce flot. Ici, nous considérons un cas particulier, les polyèdres formés de triangles euclidiens, nous étudions essentiellement la même mesure et utilisons son invariance par une action qui n'existe pas dans le cas général. La preuve de la proposition 14 sera donnée au paragraphe 8.

7.4. Intégration par parties.

Soit X un immeuble triangulaire. Soit F un groupe discret d'automor- phismes de X. Soit p une représentation unitaire de F.

L'espace des plats marqués F possède une structure de complexe simplicial (non localement fini) définie comme suit. Deux (resp. trois) points de F sont les sommets d'un même simplexe de F si et seulement si ils se trouvent dans une même orbite de Z © Z et leurs projections dans X sont les sommets d'un simplexe de X ,

Soit T) une 1-cochaîne L² sur F \ X tordue par p. On la relève en une cochaîne rj sur l'espace des plats marqués F comme suit : si \ se projette sur ^, alors 7/(^) = T]{\).

On définit des fonctions u et v sur F par les formules u(f) = {rf(f^rf) -^T-VJ),^^)), v{f) = {^{r'f^rf) -77(/,T/),77(/,T7)>.

et on pose

Qf{r]) = (u — uor' — v -\-v o r)(f)

= Wf^ r'rf) - TÎ^ T/), ^(r/, rr1' f) - r)(/, r'/)}

- W rf) - ^(r-1/, /), f7(/, r'/) - ^(r'-1/, /)).

Comme r et r ' commutent à F, ces trois fonctions sont r-invariantes.

Aussi, comme l'action de F est proprement discontinue, r et r ' définissent des bijections du quotient qui préservent la mesure ^ induite sur F \ F.

Comme les fonctions u et v sont dans L^l(^\F^fl)^ il vient / (u-uorf)(f)d^f)=^

Jr\F

I (vor-v)(f)d^f)=^

Jr\F d'où

f QfWd^f)=0.

Jr\FJr\F

7.5. Réduction à une somme finie.

Il reste à vérifier que, pour tout sommet s de X, l'intégrale / QfWW)

JTs

est proportionnelle à l'expression Qs(Dr]) qui figure dans la formule de Garland. On ramène d'abord cette intégrale à une somme finie.

Pour chaque / e F, l'expression Qf(r]} ne fait intervenir que les six voisins du point base s dans le plat /(Tî-o), autrement dit, un 6-cycle marqué ^ du link £k(s). Il vient

/ QfWd^f)= ^ ^)Ç^),

J^S C ^ . - 1 _ _ - ,

6-cycles en s OU

Q^} = (^0/3^2) -^0>,î/i), Tî(y^y^ -77(5,2/3)) - (^ yi) + y?(5, 2/4), rj(s, 7/3) + 77(5, î/e)).

Comme la mesure /^(J^) ne dépend pas de ^, et comme /^(J^) = 1, l'intégrale est simplement la moyenne arithmétique des Q^(r]). On trouve

/ QfWW)=-^Q,(^

où N , le nombre de 6-cycles marqués, vaut N = 2ç3(g 4- l)(ç2 + q + l).

7.6. Sommation sur les 6-cycles.

On écrit maintenant la contribution d'un 6-cycle ^ = {2/1, • . • ,^) en fonction de DT] = (u, v). Par définition,

u(y) =r](s,y),

v(y, z) = dr](s, y , z) = u(y) + rj(y, z) - u(z).

Il vient

Q^rj) = (vÇys.y^) + u{y^) - u(y^) - u{y^),

v(yi,y2) + u{yï) - u(y^ - u(y^)) - {u(y^) + u(y^), uÇys) + u(ye)).

Deux termes de cette expression qui diffèrent par une permutation circu- laire de {1, • • - , 6} donnent la même valeur après sommation sur tous les cycles. Or chacun des 20 termes de l'expression ci-dessus coïncide après permutation circulaire avec l'un des 6 suivants

A = (^(^1^2)^(2/3^2)), B=(v(y^y^,u(y^)}, C = {u{y^,v{y^ 1/3)), D = (u(y^,u(y^)}, E = {u(yi), ^(2/2)), F = {u{y^),u(y^)}.

Par conséquent,

^ Ç , ( ^ ) = ^ A - 4 ^ B + 2 ^ C + 3 ^ D - 6 ^ £ ; + O ^ F .

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 7.7. Calcul des sommes partielles.

Soit L le link en s. On note E(0) (resp. S(l)) l'ensemble des sommets (resp. des couples de points voisins) dans L. Etant donné y € L, on note V(y) l'ensemble de ses voisins. On rappelle que, comme L est un plan projectif, tout chemin de longueur 4 dans L se prolonge uniquement en un 6-cycle de L.

Calcul de ^ ^ A. — Etant donné un sommet y de L et deux sommets distincts x et z voisins de y^ il existe autant de 6-cycles ^ tels que x = ^/i, y = 7/2 ? z = y^ que de choix d'un quatrième point y4 parmi les voisins de z distincts de y . Il y a donc q choix. Il vient :

^ A = q Y^ (v(x,y), ^-v(y,z)^

^ (;r,7/)eE(l) zeV{y) z^x

=(

! ^ {

(

^y^~

(

^y)^ è^(^))

(^)es(i)

=-ç(^)+ç]>^ (è^Q/)^ v(x,y)^

^es(o) rrey(î/)

= -ç(v,î;)+ ^q(6v,6v}.

Calcul de ^^ J9. — Etant donné un couple de voisins (x,y), il y a q2

manières de construire un 6-cycle tel que y\ = x et y^ = y . Par conséquent,

Y,B=q² ^ (u{x\ ^ ^,./))

^ ^eE(O) yçV(x)

=q2 ^ <^),-^^))

rreE(O)

=-^q²{u^v).

Calcul de ^^ (7. — De nouveau, il y a q manières de refermer un 3-

chemin en un 6-cycle, donc :

E^^ E (^ E ^

))

$ (a;,2/)(EE(l) ^eVQ/)

2:7^3;

= (? E ^(^-Q^O/)-^^)) (^,2/)e^(i)

= g ^ <^)^(^î/))-çE OW. E ^))

(a;,î/)GS(i) ?/e^(o) ^ev(^)

= —^q{u-\- Mu^ 6v),

où on a noté Mu(y) = ^ u(x). D'autre part, pour tout sommet x de L, xev(y)

6du(x) = -2 Y^ u(y) - u(x) = -2Mu(x) + 2(ç + l)u(x).

yev{x) Donc M = - j ^ d + g + 1 et

^C=-^q(q+2)(u^v)+^q{6du^v).

^

Clairement,

^D=q\q+l)(u^u)

^ et

^E=q2(^Mu}

=-^q2(u^du)+q\q-^l)(u,u)

= - j g^dn, dn) + q2^ + l)(n, n).

Il vient

E^(^) = -9^^) + iQ{^,6v)-^-q(q-2){u,6v)

^

+ jç^dn,^) - 3q²{q + l)(^,n) + 3g² (du, du).

Ceci achève la preuve de la proposition 11. Q

8. La mesure de Liouville sur l'espace des plats inarqués 8.1. Préliminaires sur les immeubles triangulaires.

Rappelons les propriétés fondamentales des immeubles triangulaires.

THÉORÈME 1 (J. Tits, voir [Tl]). — Soit X un complexe simplicial de dimension 2, simplement connexe, dont les links sont des plans projec- tifs finis. Alors X est à courbure négative ou nulle au sens d'Alexandrov.

Décidons d'appeler appartements les sous-complexes isométriques au plan euclidien. Alors X muni de cette famille d'appartements est un immeuble, en particulier, deux simplexes de X sont contenus dans un même appar- tement.

Il résulte de la propriété de courbure négative ou nulle que X est contractile, et que deux points de X sont reliés par un unique segment géodésique.

Dans un polyèdre localement fini à courbure négative ou nulle, les gé- odésiques ont une caractérisation locale, i.e., qui se lit dans les links. On munit chaque link de sa métrique sphérique, de sorte que, si y et y ' e £k(s) sont contenus dans un même simplexe, leur distance sph-dist(^/,î/) est l'angle en s entre les segments sy et sy¹'.

LEMME 15 (caractérisation des géodésiques, voir [BH]). — Une courbe dans X est une géodésique si et seulement si

(a) dans chaque simplexe, c'est un segment de droite',

(b) lorsqu'elle passe d'un simplexe à un autre en un point x intérieur à une arête de X , l'angle d'incidence est égal à l'angle de sortie',

(c) lorsqu'elle passe d'un simplexe à un autre en un sommet s, ses directions d'incidence et de sortie sont des points du link £k(s) situés à distance sphérique > TT.

Enfin, nous aurons besoin d'un peu de combinatoire. On appelle k- chemin dans un graphe une suite x\,..., Xk de sommets distincts tels que (xi.Xi^) soit une arête. Si de plus {xk,x\} est une arête, on parle de k-cycle marqué. Un k-cycle est le sous-complexe sous-jacent à un k-cyde marqué.

LEMME 16. — Soit L le graphe d'incidence d'un plan projectif fini d'ordre q. Le nombre d'arêtes dans L est A = (q + l)(ç2 + q + 1), le nombre de 6- cycles contenant une arête donnée est a = q3, le nombre de 6-cycles contenant un 3-chemin donné est f3 = q.

On compte d'abord les points de P. Ayant fixé un point po, les q + 1 droites passant par PQ forment une partition de P\ {po} en ensembles de q

éléments, d'où #P = q²-\-q-\-l. Ensuite, A est le nombre de drapeaux (p, t) où p est un point de la droite £, donc A = (q + l)(ç2 + q + 1).

Enfin, tout 4-chemin se prolonge en un unique 6-cycle marqué. Par conséquent, le nombre de 6-cycles contenant une arête est égal au nombre de 4-chemins possibles issus d'une arête orientée, d'où a = q³. On a de même f3 = q.

8.2. Preuve de la proposition 14.

La preuve de la proposition 14 occupe le reste de ce paragraphe.

8.3. Bissecteurs et losanges.

On appelle bissecteur de taille n un segment géodésique reliant deux sommets de X et qui partage en deux parties égales les simplexes qu'il traverse. La taille n est la moitié du nombre de simplexes traversés, donc la longueur est n\/3. L'enveloppe convexe d'un bissecteur est l'image d'un plongement isométrique d'un losange du plan euclidien, elle est partagée en deux par 6. Une orientation de ce losange est le choix d'une des deux moitiés, qu'on appelera moitié droite de b.

Un bissecteur orienté b a une origine 0(6), une extrémité e(b). Si sa taille est paire, il a un milieu m(b). Si sa taille n •= 2k — 1 est impaire, on appelle abusivement milieu de b et on note m(b) le point de b situé à distance A:\/3 de e(b).

Soit b un bissecteur orienté de taille au moins 2. Le link en m(b) de son enveloppe convexe est un 6-cycle, qu'on peut orienter de deux façons.

Un bissecteur marqué est la donnée d'un bissecteur orienté b et d'une orientation du link en m (b) de son enveloppe convexe. Une fois cette orientation choisie, il y a une seule manière de numéroter ^ / i , . . . ,^/e les points du link de sorte que la direction de sortie de b en m (b) soit le milieu de l'arête (?/g, î/i). Par conséquent, se donner un bissecteur marqué, c'est se donner un bissecteur orienté et un 6-cycle marqué, le link de son enveloppe convexe. On doit penser à un bissecteur marqué comme à un germe de plat marqué.

Un bissecteur marqué peut-être raccourci de deux façons. On note r(b) le bissecteur d'origine o(b) et d'extrémité le point de b situé à distance ^/3 de e(b). De même, on note r^b) le bissecteur d'origine le point de b situé à distance \/3 de o(b) et d'extrémité e(b). L'orientation des links de b induit une orientation des links de r(V) et de r'Çb).

Dans le plan triangulé de référence 71-0, on fixe pour tout n un bissecteur marqué bn. Sa taille est n, son milieu est (9, sa direction est celle de la translation To^o)"1? son nn^ es^ orienté par le choix de l'ordre ?/1, • • • , y6.

Soit / : 71-0 —> X un plat marqué et b un bissecteur marqué de taille n.

On dit que / contient b (et on note b C p ou bien p ç ^) si b = f(bn)^

et si / préserve l'orientation des segments et des links. Chaque plat marqué / contient donc un unique bissecteur marqué &(/, n) de taille n (la convention d'orientation est là pour cela). Lorsque n tend vers l'infini, les ensembles ^(/^n) forment un système fondamental de voisinages de / dans F.

8.4. Construction de la mesure p,.

Soient b et V deux bissecteurs marqués. On rappelle que F\) est l'ensemble des plats marqués contenant b. Les ensembles ^ et F^i se rencontrent seulement si l'un est contenu dans l'autre, et c'est le cas seulement si b C V ou V C b. Par conséquent, pour chaque point s de X, et pour chaque n, lorsque b décrit les bissecteurs marqués de longueur 2n et de milieu s, les ^ forment une partition de l'ensemble Ts des plats marqués en 5, partition de plus en plus fine. On note Bs^n le nombre de ces bissecteurs marqués. On définit une mesure de probabilité ^ sur les boréliens de 0-\ en décidant que /^(^) = 1/Bs^n'

8.5. Calcul de Bs,n'

On compte d'abord les bissecteurs marqués de longueur 2 et de milieu s.

Comptons d'abord les candidats possibles pour les directions d'entrée et de sortie en s. Il y a A = (q + l)(ç² + q + 1) choix pour la direction d'entrée (milieu d'une arête a), puis a = q³ choix pour la direction de sortie (exactement un point à distance sphérique TT dans chaque 6-cycle contenant a), soit Aa possibilités pour un segment symétrique [w,w⁷] de longueur \/3 centré en s.

Ensuite, on prolonge le segment [w,w'] au-delà de w et de w ' . Il y a, à chaque extrémité, autant de choix que de 2-simplexes partageant une face avec un 2-simplexe donné, soit ç. On trouve Aa q2 bissecteurs orientés.

Enfin, le link en s peut être orienté de deux façons. On trouve 2Aa q2 = 2(ç + l)(ç² + q + l)ç⁵ bissecteurs marqués de taille 2 de milieu s.

Ensuite, étant donné un bissecteur marqué b de milieu s, de longueur n, on compte le nombre de bissecteurs marqués b' de milieu s, de lon- gueur n + 1, qui le contiennent, z.e., tels que b = r(b') (si n est impair) et b == r ' ^ b ' } (si n est pair).

L'orientation de b et celle du link de b déterminent celles de V et du link de 6', donc on peut oublier les orientations. Si n est pair, il faut compter les prolongements de b au-delà de o(V). Or b détermine un point y du link en o(b) et il faut d'abord compter les points à distance sphérique TT de y . Il y en a exactement un dans chaque 6-cycle contenant î/, soit a au total.

Ceci compte les prolongements géodésiques sur une longueur ^ \^3. Il reste

à traverser un second simplexe, il y a g choix. On trouve le nombre aq.

Dans le cas où n est impair, il suffit de remplacer l'origine o(b) par l'extrémité e(6).

On trouve

B^n = 2Ag(ag)ⁿ-^l = 2{q + l)(ç² + q + l)^-³.

La mesure ^n de l'ensemble ^ (b de taille n), est l'inverse de ce nombre, qui ne dépend que de la taille. Par conséquent, la mesure fi est invariante par tout automorphisme de X.

8.6. Calcul de la mesure de ^.

Soit ^ = (?/i, • • • ,î/e) un 6-cycle marqué du link £k(s). On rappelle que F^ est l'ensemble des plats marqués en s qui contiennent ^. On décompose ^ en une réunion disjointe d'ensembles T^ où b décrit certains bissecteurs marqués de taille 2 et de milieu s.

Notons w (resp. w') le milieu de l'arête (1/3,^/4) (resp. (yi^ye))- Notons E l'ensemble des bissecteurs marqués b de taille 2 tels que

• b contient le segment géodésique [w,w'] (orientation comprise) ;

• l'orientation choisie du link de l'enveloppe convexe de b est celle de ç.

Soit / : TTQ —> X un plat marqué qui contient ç. Le plat / contient un unique bissecteur marqué &(/, 2) de taille 2 et de milieu s, et celui-ci contient le segment géodésique [w.w⁷] (orientation comprise). L'orienta- tion induite par b(f, 2) sur ç est la bonne, donc &(/, 2) G E. Inversement, si b e E, tout plat marqué contenant b contient ^ en déterminant la bonne orientation. Par conséquent

^ = U ^ .

bçE

II reste à compter les bissecteurs autorisés. Ils s'obtiennent en pro- longeant [w, w'} au-delà de chaque extrémité par la hauteur d'un sim- plexe. Il y a q choix à chaque extrémité, donc q² choix pour b. On conclut que /^(^) = ç²/-^ est indépendant du choix de ç.

8.7. Calcul de la mesure de r"¹^;,).

On vérifie l'invariance de ^ par l'action de Z (B Z. Il suffit de véri- fier que, pour tout bissecteur marqué b de taille impaire assez grande, /^(T"1^^)) == /^(^b). La vérification est identique pour r ' .

Soit b un bissecteur marqué de taille 2n — 1, où n > 2. On va décom- poser r~l(J^b) en une réunion disjointe d'ensembles de la forme Fy, où les V sont de taille 2n.

Soit &2n le bissecteur modèle du plan 71-0. Son enveloppe convexe est un losange. L'intersection de ce losange et de ro(^2n) est un bissecteur Tr(&2n) de taille 2n — 1, parallèle et de même orientation que b^n- Cette construc- tion s'étend à tout bissecteur marqué b' de taille 2n. Elle a la propriété sui- vante : pour tout plat marqué / contenant V, r(/)(r(&2n)) = ^~r(b'), milieu et orientation compris. En particulier, si / e F y , alors r(/) e ^rrÇb')' Inversement, si un plat marqué / satisfait r(/) G T^i alors /(Ti-o) contient un unique bissecteur marqué V de taille 2n tel que Tr(b') = b. Par conséquent, T"^^) est la réunion disjointe des J^y où b1 décrit les bis- secteurs marqués de taille 2n tels que Tr(b') = b. Il ne reste qu'à compter ces bissecteurs.

On remarque que, si Tr(b') = b, alors le bissecteur marqué b" = r ' r ( b ' ) de taille 2n-2 est contenu dans l'enveloppe convexe de &, et ne dépend que de b. En revanche, r(b') dépend de V ' . On compte d'abord les possibilités pour r(6'), z.e., les bissecteurs b ' " de taille 2n - 1 tels que r ' ( b ' " ) = b"

et dont l'enveloppe convexe contient r(b). Il s'agit de prolonger b" au- delà de o{b"), i.e., de choisir d'abord dans le link de o(b") un 6-cycle qui prolonge la trace du losange Conv(&) (c'est un 3-chemin c). D'après 16, il y a (3 = q choix. Chaque choix détermine un simplexe a dont une hauteur prolonge b" en une géodésique. Ensuite, il faut choisir un simplexe partageant un côté avec a, soit q choix. On trouve donc q² possibilités pour b ' " .

Le bissecteur V" étant fixé, on compte les bissecteurs marqués V tels que r(b') = V et dont l'enveloppe convexe contient b. Il s'agit de prolonger b1" au-delà de e(b'"), i.e., de choisir d'abord dans le link de e(b'") un 6-cycle qui prolonge la trace du losange Conv(&) (c'est un 3-chemin c'). Il y a f3 = q choix. Chaque choix détermine un simplexe a ' dont une hauteur prolonge b"1 en une géodésique. Enfin, il reste à choisir un simplexe partageant un côté avec a', soit q choix. Le bissecteur b ' "

étant fixé, on trouve q² possibilités pour &'.

Il y a donc g4 bissecteurs marqués V tels que Tr(b') = b. On conclut que

/^(r""1^)) = q^fi2n = ^b),

donc la mesure /x est invariante par la transformation T. La preuve est la même pour r'. Ceci achève la preuve de la proposition 14.

9. Applications de la formule de Garland

Elles découlent de la propriété de positivité suivante, dont la preuve est simple.

PROPOSITION 17 (W.Feit, G.Higman, voir [FH]). — Lorsque L est

le graphe d'incidence d'un plan projectif d'ordre q, la forme quadratique QL{U) = {du, du) - (ç + l)(u,u) sur C°(L) a exactement une direction négative, celle des fonctions constantes.

LEMME 18. — Soit X un immeuble triangulaire, F un groupe discret d'automorphismes de X, p une représentation unitaire de T. Il existe une constante C indépendante de la représentation p telle que pour toute 1- cochaîne L2 sur F \ X tordue par p,

NI^CdIfof+Udall2)

Preuve. — Soit r] une 1-cochaîne scalaire sur X. Soit s un sommet de X.

Posons Dr] = (u, v) où u est une fonction sur les sommets du link L = £k(s) et v un 1-cocycle sur L. D'après la proposition 17, l'expression Qs(Drj) est une forme quadratique sur C°(L) C C^L) qui est définie positive sur le sous-espace des couples (u, v) tels que v = 0 et u soit orthogonal aux fonctions constantes. Autrement dit, si on note ru la somme des valeurs de u sur les sommets de L, il existe des constantes C' et C" ne dépendant que de l'ordre de X telles que

(u,u) ^ C'^ru}2 + (v,v)) + C^Q^DT)).

La même inégalité reste vraie, avec les mêmes constantes, pour une cochaîne à valeurs dans un espace de Hilbert H p . Supposons r] équivariante sous un groupe discret F et de carré intégrable module F. En sommant sur les sommets de F \ X, il vient, avec la formule de Garland,

2h||2<C7/(||fo||2+3||da||2). Q

COROLLAIRE 19.— Sous les mêmes hypothèses, on obtient des conséquen- ces sur la cohomologie L² de F \ X tordue par p. L'espace L²^ (T \ X , p) est nul et l'espace L2!!2^ \ X, p) est séparé.

COROLLAIRE 20. — Soit X un immeuble triangulaire, F un groupe discret cocompact d'isométries de X, p une représentation unitaire de T.

Alors H^r.p) = 0 et H2^,?) est séparé. En particulier, F possède la propriété (T) de Kazhdan et est « big}) au sens de J. Lott.

REMARQUE 21. — On trouvera dans [CMS] et [CMSZ] une approche directe de la propriété (T) pour certains groupes agissant sur des immeu- bles triangulaires. Cette approche fournit plus d'informations sur les représentations unitaires.

10. Cas des immeubles carrés

Un immeuble carré est un immeuble euclidien modelé sur Ai x Ai.

Autrement dit, les appartements sont des plans euclidiens pavés par des carrés. La méthode du paragraphe 7 va permettre d'obtenir une nouvelle formule, dont on donnera une application (propriété (T) pour les quotients de certains groupes discrets). La construction de la mesure invariante sur l'espace des plats marqués est facile, car un immeuble carré est le produit de deux arbres.

10.1. Formule a la Garland pour un produit d'arbres.

Soit T un arbre régulier de valence v. Une géodésique marquée dans T est une application simpliciale injective g : IR —> T où la droite réelle est pavée par des segments de longueur 1 aux points entiers. L'espace Q(T) des géodésiques marquées porte une action de Z (précomposition par les translations entières) et une mesure Z-invariante p, définie comme suit.

Pour chaque géodésique marquée </, l'ensemble des géodésiques marquées qui coïncident avec g sur l'intervalle [0,n] a pour mesure v^Çv - l)1"71. Pour chaque sommet s de r, la mesure du sous-ensemble des géodésiques marquées d'origine s vaut 1 et la mesure du sous-ensemble des géodésiques marquées telles que ^([0,1]) est une arête donnée vaut 1/v.

Soient T\ et Ï2 des arbres simpliciaux. Leur produit X = T\ x T^ est un complexe carré, et il est classique qu'on peut calculer la cohomologie sur un quotient de X au moyen de cochâmes carrées^ î.e., de fonctions sur l'ensemble des cellules orientées. Une 1-cochaîne carrée sur X est une fonction r] sur l'ensemble des arêtes de X. Sa différentielle drj est une fonction sur l'ensemble des carrés. Le bord d'un carré orientée a est la somme de 4 arêtes orientées ai, 02, o'i, 03 et

d^(cr) = 77(01) + 77(02) + rj(a[) + 77(02).

DÉFINITION 22. — Soit T] une 1-cochaîne sur X = Ti x T^ à valeurs dans un espace de Hilbert H. On note Dr] l'application qui à chaque carré orienté a de X d'arêtes orientées 01, 02, a'i, o^ (où ai et a[ sont parallèles au premier facteur) associe le vecteur

Drî(a) = 77(01) + 77(o'i) - 77(02) - 77(02).

On note

^(s)=Y^r](a^

où la somme est étendue aux arêtes parallèles au premier facteur, d'ori- gine s.

Un plat marqué dans l'immeuble X = T\ x T^ est simplement un couple f = (^1,^2) de géodésiques marquées Q\ de T\ et g^ de T^.

Ecrivons la formule de Bochner simpliciale dans un tel plat, pour un 1-cocycle carré rj à valeurs dans un espace de Hilbert H. Le terme quadratique au sommet s = (<7i(0),^2(0)) fait intervenir les 6 arêtes orientées. Quatre d'entre elles bordent un carré a. On les note

01 = (^i([0,l]),<72(0)), a[ = (^i([l,0]),(72(l)),

02 = (^(0),^(M])), ^ = ((7l(l)^2([0,l])).

Les deux autres sont notées

bi = ^i([0,-l]),^(0)), 62 = (^i(0),(72([0,-l]))

(attention, on a renversé leur orientation par rapport à la notation de 7.1).

Alors

QfW = Wi) + ^(01)^(02) + ^2)) + <^i) + î?(&i), ^(^2) + r](b^}

= -|^(a)|² + (^(ai) + 77(^1), ^(02) + ^2))

ne dépend que de a, &i et 62. On note Qs^) la moyenne de Qf(r]) sur le sous-ensemble des plats marqués d'origine s (c'est-à-dire tels que s = (<7i (0)^2(0))). Alors

QsW == / Çy(77)d/^i(^i)d^2(^2)

^=(<7i(0),<72(0))

= ^F¹^¹ (^^i^2|^(c7)|² + ]^(ai) + ^1)^(02) + ^(62))) où la première somme est étendue à tous les carrés orientés ayant s pour l'un de leur sommets et la seconde sur les quadruplets (01,02^1562) tels que ai 7^ a^ et 61 ^ 62- La seconde somme vaut

^vi(vi - 1)^2(^2 - l){^rî{s),6'2'n(s)}.

Supposons maintenant que rj est équivariant pour un groupe co- compact F d'automorphismes de X. Lorsqu'on intègre sur l'espace F des plats marqués (module F), il vient

/ Qf(rî)d^d^= V Qs{r]}

Jr\F .^r\xser\x

= 4||^||2 + \ (V, - 1)(2;2 - 1){S^ ^),

et cette intégrale est nulle, pour la même raison qu'en 7.4. Comme on a 6 = 6\ + ^2 î il vient