TD de syst`emes asservis n
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Corrig´e du TD not´e 23 Novembre 2005
1 Hypoth` eses et donn´ ees
Equations diff´erentielles :
θ˙+τm.θ¨=r.Km.U
¨
x=Kb.θ
2 Repr´ esentation d’´ etat du syst` eme
1. Repr´esentation d’´etat du syst`eme en BO
X˙ =
˙ x
¨ x θ˙ θ¨
=
0 1 0 0
0 0 Kb 0
0 0 0 1
0 0 0 −τ1
m
.X+
0 0 0
r.Km
τm
.U
Y =h 1 0 0 0 i.X
2. En posant x3 = Kb.θ et x4 = Kb.θ, on obtient une repr´˙ esentation d’´etat sous forme compagne
X˙ =
˙ x
¨ x Kb.θ˙ Kb.θ¨
=
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 −τ1
m
.X+
0 0 0
r.Km.Kb
τm
.U
Y =h 1 0 0 0 i.X
1
3 Commande par retour d’´ etat
1. Lors du TD9, un double retour a ´et´e mis en place : un asservissement sur l’angle d’une part et un asservissement de la position de la bille d’autre part. Il correspond `a un retour sur deux variables d’´etat : la position de la bille (x1) et l’angle du rail (x3).
2. La fonction de transfert que l’on souhaite obtenir en BF est (num´erateur d´evelopp´e)
H(p) = numerateur
p4+ 2,28p3+ 1,6p2+ 0,22p+ 0,04 On en d´eduit la matrice
ABF =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−0,04 −0,22 −1,6 −2,28
=
ABO−B.G =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−g1r.Kτm.Kb
m −g2r.Kτm.Kb
m −g3r.Kτm.Kb
m −τ1
m −g4r.Kτm.Kb
m
On en d´eduit le correcteur : G= 108
63
h 0,04 0,22 1,6 2,28− 0,061 i
3. Voir figures ci-dessous
2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
3
