BLAISE PASCAL PT 2020-2021
DM 6 – à rendre lundi 2 novembre
Traitement électronique du signal
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec vos cours et TD ouverts est chaudement recommandé : un DM est un entraînement, pas une évaluation. En cas de besoin, n’hésitez pas à me poser des questions, à la fin d’un cours ou sur le serveur de la classe.
Flasher ce code pour accéder au corrigé L L LAttention !Cet exercice étant adapté d’un sujet de concours récent, vous n’aurez aucun mal à en trouver une correction sur internet. Toutefois, vous n’ignorez pas que je sais moi aussi utiliser un moteur de recherche, et que je suis au courant de ce que nous avons fait (ou pas) en cours : ne recopiez pas des raisonnements tombés du ciel et que vous ne comprenez pas ... mais posez-moi des questions si vous avez besoin d’aide.
Lévitation du Transrapid
. adapté Centrale PSI 2018 .
Le Transrapid est un train à sustentation magnétique, c’est-à- dire qu’il lévite au dessus de la voie grâce à des aimants et n’est donc pas en contact avec les rails, contrairement aux trains clas- siques. Ce faisant, les frottements sont grandement réduits, ce qui lui permet d’atteindre la vitesse de 430 km·h−1. La seule réalisation commerciale du Transrapid est à l’heure actuelle la ligne de 30 km qui fonctionne depuis 2004 entre Shanghai et son aéroport interna- tional de Pudong. Le trajet s’effectue en moins de 8 minutes, à la vitesse moyenne de 245 km·h−1.
A - Nécessité d’un asservissement en position verticale
Le système de sustentation, schématisé figure 1, est composé d’une portion de rail (1) et d’une portion (2) solidaire de la rame, sur laquelle sont bobinés plusieurs électroaimants, sources de champ magnétique. Les deux portions sont séparées d’une distancez variable. La lévitation du Transrapid est due à une force magnétique dérivant de l’énergie potentielle
Epm=−α
z avec α= 180 J·m.
1 -En allant revoir vos cours de PTSI si nécessaire, rappeler comment identifier une position d’équilibre d’un système mécanique en mouvement conservatif unidimensionnel le long d’un axe (Oz) à partir de son énergie potentielle totaleEp,tot(z) et comment analyser sa stabilité.
2 -Reproduire la figure 2 sur votre copie en identifiant les trois courbes : énergie potentielle magnétiqueEpm, énergie potentielle de pesanteurEppet énergie potentielle totaleEp,tot. En déduire qualitativement l’existence d’une position d’équilibre enz=z0à indiquer sur la courbe pour la rame du Transrapid. S’agit-il d’une position stable ou instable ? 3 - Déterminer z0 par le calcul et retrouver sa stabilité. Calculer sa valeur numérique (masse de la rame m = 180 tonnes).
4 -Pourquoi est-il nécessaire de mettre en place un système d’asservissement de la position verticale de la rame du Transrapid ?
1/3 Étienne Thibierge, 6 octobre 2020,www.etienne- thibierge.fr
DM 6 : Traitement électronique du signal Blaise Pascal, PT 2020-2021
Rail (a) Vue de face
Alimentation électroaimant Portion (1)
Portion (2)
z 0 z
(b) Système de sustentation (demi-coupe) Figure 1–Transrapid et son système de sustentation.
Ep
z
Figure 2– Énergies potentielles mises en jeu dans l’équilibre d’une rame de Transrapid.
B - Capteur de position
Cette partie étudie le fonctionnement du capteur de position de la rame, premier élément du système d’asservisse- ment, qui est un capteur à inductance variable inséré au sein d’un montage push-pull, schématisé figure 3. Le capteur comprend deux bobines de mesureB1etB2identiques, indépendantes des bobines permettant d’assurer la lévitation, enroulées autour de deux noyaux ferromagnétiques. Le rail étant lui aussi constitué d’un matériau ferromagnétique, l’inductance des deux bobines dépend de la distance entre le rail et la base des noyaux magnétiques :
L1=L0
1 + ∆z
δ
et L2=L0
1−∆z
δ
.
Les deux bobines de mesure sont montées en série avec une résistanceRet un générateur délivrant une tensione(t) = Ecos(ωt). La résistance interne des bobines est négligée.
Données :L0= 60 mH ;R= 75 Ω ;E= 6 V ;f =ω/2π= 4 kHz.
Rail
B1
B2
Rame δ δ
(a) Montage centré
δ−∆z δ+ ∆z
(b) Montage décentré
R L1 L2
e u1 u2
(c) Schéma électrique Figure 3–Capteur de position verticale à inductance variable.
5 -Déterminer les expressions des tensions électriques complexesu1 etu2en fonction deR,L1,L2,ω et e.
2/3 Étienne Thibierge, 6 octobre 2020,www.etienne- thibierge.fr
DM 6 : Traitement électronique du signal Blaise Pascal, PT 2020-2021
Les deux tensionsu1etu2sont envoyées en entrée du montage soustracteur représenté figure 4. L’ALI est supposé idéal, de gain infini, et fonctionnant en régime linéaire.
+
− . R2
R2
R1 R1
u2 u1 s
Figure 4 –Montage soustracteur.
6 -Montrer ques=u1−u2.
7 -Établir l’expression de la fonction de transfert complexeT(jω) du montage complet sous la forme T(jω) = s
e =T0
jx
1 + jx avec x= ω ω0, oùT0et ω0 sont des constantes à exprimer en fonction deL0,R,δet ∆z.
8 - Tracer l’allure du diagramme de Bode en gain deT(jω) en fonction de logx. Légender le diagramme en faisant notamment apparaîtreT0.
9 -On souhaite queT(jω) soit indépendant deωet proportionnel au déplacement ∆zde la rame. Pourquoi ce choix est-il judicieux ? Justifier numériquement que la fréquence de travail choisie convient.
10 -Donner le signal de sortie sous la forme
s(t) =∆z
δ Ecos(ωt+ϕ). Que vaut la constanteϕ? Comment accéder au signe du déplacement ∆z?
C - Conditionnement du signal
L’étage suivant du dispositif d’asservissement nécessite d’être commandé par une tension constante, image de la position ∆zde la rame. Le signal de sortie du soustracteur nécessite donc un traitement supplémentaire, utilisant un multiplieur analogique de gainµ= 0,50 V−1, où il est mixé à la tension d’entrée du capteure(t), comme représenté figure 5.
e(t) s(t) sm(t) =µ e(t)s(t)
Figure 5– Multiplieur analogique. La tension de sortie du multiplieur est le produit des deux tensions d’entrée et d’un gainµ.
11 -On cherche à exprimer la tension de sortie du multiplieursm(t). Comparer les expressions de p1(t) =µ×Re(e)×Re(s) et p2(t) = Re (µ×e×s).
Lequel des deux calculs du produit p1 ou p2 donne effectivement sm(t) ? Pourquoi les représentations complexes sont-elles inutilisables pour calculer la tension de sortie du multiplieur ?
12 -Donner la décomposition de Fourier du signalsm(t) et représenter son spectre.
13 - Proposer un montage à placer en sortie du multiplieur qui permette d’isoler une tension continueSm propor- tionnelle à ∆z. Proposer des valeurs numériques à donner aux composants en justifiant.
14 - En raison du bruit électronique au sein du montage, le capteur permet de mesurer la tension de sortie avec une précision de 10 mV. En déduire le plus petit écart relatif à la position d’équilibre (∆z/δ)min susceptible d’être détecté.
3/3 Étienne Thibierge, 6 octobre 2020,www.etienne- thibierge.fr
