Ondes Son et Lumière

Ondes Son et Lumière

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Ondes sismiques

Types d'ondes

x

δy = δy(x,t) y

€

δx = δx(x,t)

x Exemples: son dans l'air: onde longitudinale.

lumière: transverse.

Ondes périodiques

t δ

période T

Exemple:

ondes sinusoïdales

δ T

t

Exemple: le son

On peut enclencher une onde de pression dans un gaz par la vibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci se

comporte comme un piston. Les molécules d'une couche transmettent le mouvement à la couche suivante etc.

Pression externe = P₀ P₀+ΔP P₀-ΔP

P(t) = P₀ + ΔP sinωt

Exemple: ondes e.m. transverses

B x E

y

Onde électromagnétique polarisée horizontalement E_x = E sin ωt

Ondes dans le temps

Considérons des ondes d'eau que l'on génère en jetant une pierre (on néglige l'atténuation au cours du temps).

On peut fixer un point, à distance r du point d'impact et observer l'hauteur de l'onde au cours du temps:

h(t) = H sin(ωt + φ)

H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(φ) est l'hauteur à t = 0.

H t

h

ω = 2π/T T

Ondes dans l'espace

On peut aussi prendre une photo au temps t et observer l'hauteur de l'onde en fonction de la distance r du centre:

h(r) = H sin(κr + γ)

H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(γ) est l'hauteur en r = 0.

r H

h

κ = 2π/λ λ

Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. à un instant E(r) = E₀ sin(κr)

Vitesse des ondes

δ(x,t) = A sin(κx + ωt + φ) Une onde sinusoïdale est en général donnée par:

On peut extraire la vitesse de cette onde. On fixe un point de l'onde au temps t, on attend une période t → t + T, et on repère la distance parcourue.

Par définition elle sera une longueur d'onde λ plus loin.

La vitesse de propagation est donc v = λ/T

t

t+T

Si ν est la fréquence = 1/T v = λν

Vitesse des ondes .2

On parle d'onde progressive quand la vitesse n'est pas nulle et il y a donc transport d'énergie. Exemples:

La vitesse de la lumière dans le vide est c = 2.998 10⁸ m/s.

Le son dans l'air voyage à 344 m/s, dans le fer à 5120 m/s.

On peut relier la vitesse de propagation d'une onde à des caractéristiques physiques. P. ex., la vitesse dans une corde est donnée par

€

v = Tension

masse /longueur

Ex. 21.3: transmission d'une impulsion le long d'une corde de piano Tension=1098 N, masse par

unité de longueur = 0.065 kg/m ⇒ v = 130 m/s

Par contre: la vibration d'une corde de piano à la résonance constitue une onde stationnaire, v = 0.

v

Interférences

Des ondes peuvent s'additionner et former des figures complexes.

a(t) = A₁ sin(ω₁t + φ₁) + A₂ sin(ω₂t + φ₂) P. ex.:

Les ondes d'eau

peuvent se croiser sans se détruire.

* Ce principe de superposition est valable si le phénomène est

"linéaire".

Si par contre on a, p. ex., un phénomène de saturation, l'amplitude totale peut être plus petite que

l'addition linéaire.

Interférences .2

interférence destructive interférence constructive

les ondes sont en contre-phase les ondes sont en phase

Additionnons deux ondes de même amplitude et fréquence.

On a deux cas particuliers:

somme = onde avec le double d'amplitude

€

Asin(ωt) − Asin(ωt) = 0

€

Asin(ωt) + Asin(ωt) = 2Asin(ωt)

Ex.: considérer un cas intermédiaire.

Interférences .3

L'addition de deux ondes de fréquence différente, génère des battements.

Ex.: 2 sinusoïdes, même amplitude. Fréquences écartées de δ/2π

€

A(t) = sin

( )

(

)

= 2cos δ 2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ×sin t(2ω + δ) 2

≈ 2cos δ 2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ × sin

( )

Donc, approximativement, on a une onde de même fréquence que l'onde initiale, mais modulée par le cosinus avec une

fréquence qui est égale à la moitié de la différence entre

14

Ondes stationnaires et résonance .1

Dans plusieurs systèmes, on peut entretenir des ondes stationnaires, si les conditions "au bord" sont respectées. Par exemple, une corde tendue entre deux points, peut être sollicitée à vibrer selon des

"modes" de longueur d'onde qui dépendent de la longueur de la corde.

€

λ = 2L /n

1

2

3 La fréquence dépend de la tension de

la corde:

€

ν = v

λ = n 2L

Tension masse /L

n = 0,1,2,3,...

On peut s'imaginer qu'il s'agit de 2 ondes progressives, de vitesse v, qui rebondissent aux bords et interfèrent continuellement.

(pas d'oscillation)

Ondes stationnaires et résonance .2

Il est possible d'exciter une corde de façon efficace seulement quand on tombe sur les fréquences propres du système, les harmoniques.

Sinon l'énergie est rapidement dispersée.

€

λ = 2L /n

antinodes

= ventres

Ondes stationnaires et résonance .3

tuyau ouvert: les ventres (antinodes) sont sur les extrémités

La fondamentale λ = 2L ν = v/2L

Harmonique λ = L ν = v/L

Ondes stationnaires et résonance .4

tuyau fermé: un ventre est sur l'ouverture, un noeud

sur le côté fermé. Fondamentale

λ = 4L ν = v/4L

Harmonique

λ = 4/3 L ν = 3v/4L

a) Source sonore stationnaire et b) en mouvement par rapport au milieu (p. ex. l'air). La longueur d'onde est modifiée, à cause du mouvement. La personne qui écoute le son, va enregistrer un son plus aigu ou plus bas suivant qu'elle voit la source s'approcher (position A) ou s'éloigner (B).

Si ν est la fréquence d'émission, dans a) on a λ = v/ν. v est la vitesse de propagation de l'onde, une constante.

Au point B on aura λ' = (v-V)/ ν, où V<v est la vitesse de la source.

La fréquence du son à l'oreille de B sera

L'effet Doppler

ν' = v/ λ' = v ν /(v-V) ν' = v/ λ' = v ν /(v+V)

et pour A:

et source en mouvement v v

a) b)

A B

v

v

v

La personne qui écoute le son, va enregistrer un son plus aigu ou plus bas suivant qu' elle se rapproche de la source (dans la figure, se serait pour V<0) ou elle s'en éloigne (V>0).

Si ν est la fréquence d'émission, au repos (V=0) on a λ = v/ν.

La vitesse du son d'après l'observateur vaut v' = v - V.

Donc la fréquence est modifiée par

Effet Doppler

ν' = v'/ λ = (v-V)ν/v et observateur en mouvement

V

Donc ν' > ν quand V > 0 ν' < ν quand V < 0

Ondes de choc

Quand la vitesse de la source est égale à celle de l'onde, V = v, une onde de choc se forme sur le front avant.

Si V>v, l'onde de choc suit la source. C'est l'origine du bang sonique.

région de haute pression

L'équivalent du bang sonique dans le cas électromagnétique est l'effet Cherenkov.

Transducteurs son ⇔ électricité

Haut-parleur

Transducteur piézoélectrique

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Intensité du son

La puissance sonore par unité de surface du son, ou intensité I, est proportionnelle à l'amplitude de l'onde de pression

au carré

€

I = ΔE

ΔSΔt = ΔP² 2ρv Ex.:

haut-parleur 1 W, S=0.05 m², I à la surface =1/0.05 = 20W/m² à R=1 m, l'onde est répartie sur une demi-sphère S=2πR²

R

€

I = (1 W) /(2 π × 1

m

) ≈ 1/6 Wm

€

Δ P = 2I ρ v ≈ 2

1.2 × 344 ≈ 12

N/m²

Le décibel

Le décibel

€

β =10log I I₀

est une grandeur qui exprime la sensibilité "logarithmique"

de l'oreille.

Par convention, on utilise pour I₀ = 10^-12 W/m².

ce qui correspond à environ 0 dB pour le seuil d'audition à 1000 Hz.

Le seuil de la douleur est à 120 dB

Lumière

La vitesse de la lumière

La vitesse de la lumière dans le vide est c=299 792 458 m/s

exactement, car le mètre est défini comme la longueur parcourue par la lumière en 1/ 299 792 458 de seconde.

Q.: quelles sont les expériences qui ont permis de mesurer c ?

Dans un milieu matériel, la vitesse v de la lumière est

v = c /n

avec n > 1, l'indice de réfraction .

n dépend faiblement de la longueur d'onde.

C'est la dispersion. Cela permet de séparer les composantes d'un rayon de lumière par un

prisme.

n

Air 1.00029 Eau 1.333 Verre 1.5 - 1.6 Diamant 2.417

Propagation dans un milieu

L'oscillation est caractérisée par une fréquence ν déterminée.

Dans un milieu d'indice n, on observe donc un changement de longueur d'onde

€

λ = v

ν = c n

1 ν

Lors du passage entre deux milieux d'indice n₁, n₂, le rapport des longueurs d'onde est:

€

λ

λ

= n

n

Le spectre

La trichromie

addition RGB

soustraction à la lumière blanche par des filtres

Réflexion .1

Diffusion

Réflexion spéculaire (miroir).

φ φ

L'angle d'incidence et de réflexion sont identiques.

Quand la lumière traverse l'interface entre deux milieux

transparents, une partie de la lumière est absorbée, une partie réfléchie, et le reste est transmis…

30

Réflexion .2

Pour des rayons à incidence normale (ou presque) sur

l'interface entre deux milieux d'indice n₁, n₂, l'intensité réfléchie I_r est donnée par

€

I_r = I₀ n₂ − n₁ n₂ + n₁

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

I₀

I_r I_t

Ex. 23.2

Portion de la lumière réfléchie sur une lentille de verre n=1.5

€

I_r

I₀ = 1.5 −1 1.5 +1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 0.04

n₁ n₂

On perd environ 4% d'intensité à chaque interface air-verre.

Réfraction .1

Loi de Snell φ₁ φ₁

φ₂ n₁

n₂

rayon réfracté rayon

incident rayon

réfléchi n₁ sinφ₁ = n₂ sinφ₂

air n=1

H₂O n=4/3

30°

22° Ex.: air-eau

Réfraction .2

Double interface. Ex.: lame de verre, faces parallèles

air

verre air

φ₁

φ₂ φ₁ = φ₂

Réflexion totale

La loi de Snell, n₁ sinφ₁ = n₂ sinφ₂ , prédit que l'angle de réfraction "rasant" φ₂=90° est atteint quand l'angle incident vaut l'angle critique φ_c:

€

n₁sinφ_c = n₂ sin90° = n₂ sinφ_c = n₂/n₁

n₁ n₂

Interférence .1

Les fentes de Young

On illumine une plaque avec deux fentes avec de la lumière monochromatique. Si la lumière avait un comportement

"géométrique", on s'attendrait à observer deux spots lumineux sur l'écran.

Ce n'est pas le cas: on observe une structure complexe de figures d'interférence.

point de vue géométrique ! fronts

d'onde

écran

Interférence .2

Les fentes de Young

On observe une structure complexe de figures d'interférence que l'on peut interpréter par le principe de Huyghens: les deux trous sont

sources d’ondelettes qui partent en phase.

point de vue ondulatoire fronts

d'onde

intensité

Interférence .4 Les fentes de Young

Pour arriver au point x de l'écran, les deux rayons parcourent une distance qui diffère de

d/2

D d

x

0 δ

r θ

€

δ ≈ dsin θ

Pour avoir interférence constructive (les maxima), la différence de

chemin doit différer d'un multiple entier de la longueur d'onde:

€

δ = mλ m = 0,±1,±2,...

x = rδ

d = r

d mλ ≈ D

d mλ

La position des maxima permet donc de déterminer la longueur d'onde de l'onde incidente.

On utilise des grilles fines ou réseaux de diffraction pour

séparer la lumière dans ses composantes, comme avec un prisme.

C'est le phénomène d'interférence produit par une source étendue.

Dans la figure, une fente de

largeur d est illuminée et l’image est projetée sur un écran à

distance D>>d.

En appliquant le principe de Huygens, on peut déterminer la position des maxima:

d

d sin θ = mλ

Les maxima se trouvent approximativement pour m=0, ±3/2, ±5/2,..

les minima avec m = ±1, ±2, ±3,...

θ

D

Diffraction .1

Diffraction .2

Ouverture circulaire de diamètre d:

le premier minimum se trouve lorsque sin θ = 1.22 λ / d

premier minimum

Diffraction .3

Diffraction de rayons X (gauche) et d'électrons (droite) traversant une feuille mince d'Al. Les électrons se comportent donc comme des

Polarisation de la lumière .1

B x E

y

Onde électromagnétique polarisée horizontalement E_x = E sin ωt

Polarisation de la lumière .2

Si le champ électrique oscille toujours dans le même plan, on dit que l'onde est polarisée linéairement.

L'émission de lumière d'un atome est polarisée. L'émission d'un ensemble d'atomes est normalement une superposition aléatoire d'émissions individuelles avec plans de polarisation différents, ce qui donne une lumière globalement non polarisée.

On peut produire de la lumière polarisée par réflexion, absorption ou diffusion.

Polarisation de la lumière .3

On peut produire de la lumière polarisée par absorption sélective, par des filtres Polaroïd, p. ex. Ces filtres contiennent des chaînes

moléculaires allongées qui absorbent le champ électrique quand il est parallèle à la direction des chaînes.

faisceau

non polarisé faisceau

polarisé chaînes

moléculaires

Eau Air

φ_p

Par réflexion si l’angle d’incidence est l’angle de Brewster φ_p = atan n₂/n₁ . Pour l’eau atan(4/3 / 1) = 53°

Polarisation de la lumière .4

Système "polariseur - analyseur"

φ

I₀

L'intensité après l'analyseur vaut

I₁

I₁ = I₀ cos² φ

orientation du polariseur

Diffraction rayons X

Il est possible de rendre monochromatique un faisceau de rayons X par l'utilisation d'un réseau cristallin. Dans ce réseau, les atomes sont disposés de façon régulière, dans des plans à distance d, et on observe une réflexion quand l'angle satisfait

2d sin α = mλ m = 1,2,3,...

α

Ex 23.14 d = 0.2 nm α = 10°

λ = 2d sin α / m pour m = 1 λ = 0.07 nm

cette longueur d'onde est dans le domaine X d

(condition de Bragg)

Diagrammes de Laue et structure cristalline

rayons X

spectre continu

film

points qui satisfont la condition de Bragg cristal

Les rayons X

Ont été découverts en 1895 par W. K. Roentgen pendant qu'il étudiait les décharges électriques dans les gaz. Trois mois

plus tard, les rayons X sont utilisés à l'hôpital de Vienne lors de la préparation d'une opération.

filament chauffant

cathode anode cible

faisceau d'électrons

rayons X - kV +

spectre anode en Rhodium

Laser

La phase des émission des atomes est en général aléatoire.

On peut forcer un milieu à émettre de façon cohérente par la méthode du LASER:

light amplification by stimulated emission of radiation.

miroir 100%

miroir 99.9 % rubis

faisceau laser

lampes flash ex: laser à rubis

monochromatique cohérent

La Radio

On génère des ondes radio en faisant osciller un circuit électronique qui est couplé à une antenne:

Le dipôle de l'antenne oscille à une fréquence f, la polarité des bouts change continuellement et on mesure un champ E = E₀ sin(ω t) ω=2πf.

f est la fréquence de la "porteuse" (Ex: 100 MHz) La question est: comment transporter l'information ? La première version de la solution de ce problème a été

le code "Morse" des télégraphistes. Cela consiste à allumer et éteindre le circuit de façon à générer les lignes et les points:

E

t ... =S --- =O

Optique

Lentilles

biconvexe plan convexe ménisque convergent

biconcave plan concave ménisque divergent

symbole

φ₁ φ₂

n₂ n₁ n₂ n₁sin φ₁ = n₂sin φ₂ axe optique

Lentilles .3

F

distance focale f

F rayons parallèles

rayons convergents

rayons divergents

Lentilles .4

R₁

R₂

formule des opticiens:

lentilles sphériques de rayon de courbure R₁ et R₂, d'indice de réfraction n₁, dans milieu n₂:

€

1

f = n

n

− 1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 1

R

+ 1 R

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

N.B.: Les R_i peuvent être >0, <0, ou même infini pour une surface plane.

f<0 (f> 0) indique une lentille divergente (convergente).

Formation de l'image

Pour reconstruire l'image, on peut utiliser deux de ces trois rayons particuliers.

F F

s s'

f

L'image de la figure est réelle.

On peut la projeter sur un écran.

La formule des lentilles minces:

1

s + 1

s' = 1 f

objet

image

Formation de l'image .2

Pour reconstruire l'image, on peut utiliser deux de ces trois rayons particuliers.

F F

s s'

f

L'image de la figure est virtuelle.

image

L'oeil

rétine

cristallin+cornée θ

Punctum optimum pour l'observation de petits objets:

d = x_m ~ 25 cm.

On est capable de séparer des points distants d'environ h=0.1 mm ce qui correspond à θ = 0.1mm/25 cm = 0.1/250 = 4 10^-4 rad.

Une loupe, placée tout près de l'oeil est capable d'augmenter

d θ

h

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La loupe

image virtuelle à ~ l'infini

~f θ'

L'angle d'observation θ' vaut environ h/f h

Le grossissement est le rapport

€

G = θ'

θ = h /f

h /0.25m = 0.25m f loupe

cristallin+cornée

Puissance

La Puissance P = 1/f s'exprime en dioptries:

1 dioptrie = 1 m^-1

Pour des lentilles accolées, la distance focale résultante vaut

€

1

f = 1

f₁ + 1 f₂ En termes de Puissance: P = P₁ + P₂

Microscope

f₁

objectif oculaire oeil

image virtuelle L'objet est légèrement plus loin que le foyer de l'objectif s~f₁. Le grossissement

vaut g₁ = s'/s ~ s'/f₁ de l'ordre de 10-100.

L'image intermédiaire est légèrement au-delà du plan focal de

l'oculaire qui fonctionne comme une loupe pour produire une image virtuelle, g₂ ~0.25/f₂. On a donc g = g₁g₂ ~ 0.25s'/(f₁f₂)

s s'

f₂

Aberrations

Chromatiques

bleu vert rouge

correction par un doublet

Aberrations .2

sphérique:

Types: sphérique, coma, astigmatisme, courbure du champ, distorsion

coma: les rayons proches de l'axe forment une image plus petite que ceux de la périphérie

Aberrations .3

astigmatisme: un point sur l'axe x envoie ses rayons dans le plan horizontal vers une image plus

éloignée que celle des rayons dans le plan vertical.

x y

Résolution

Les phénomènes de diffraction limitent la capacité de l'appareillage de séparer deux points source.

La figure représente l'image produite par un objectif avec 3 résolutions différentes.

Pour une ouverture circulaire de diamètre d, on avait trouvé que la position du

premier minimum se trouve à un angle

€

sinθ=1.22 λ d

S' il s'agit d'une lentille de distance focale f, l'image d'un point sur le plan focal aura une taille r:

~f θ r

€

θ ≈ r

f ≈1.22 λ

d ⇒ r ≈1.22 λf d

Résolution .2

La résolution d'un système indique la capacité de "séparer" deux points.

On peut considérer que deux points sont "séparés" quand leur distance est plus grande que la distance de leur premier minimum:

θ > θ_min

Dans le cas de microscopes, p. ex, cette formule donne la distance d résolue avec une

lentille d'indice de réfraction n:

Donc le max de l'un va finir dans le min de l'autre:

θ_min

€

d = λ

2nsinφ = λ 2N φ est l'angle sous lequel l'objectif voit l'objet

sinφ ~ D/2f . D est le diamètre de l'objectif.

N = n sinφ est l'ouverture numérique

φ D

~f