Calcul approché de la série d’Iwasawa pour les corps quadratiques ($p=3$)

THEORIE D E S NOMBRES Années 1981-1982 BESANCON et 1982-1983

CALCUL A P P R O C H E DE LA S E R I E D'IWASAWA POUR L E S C O R P S QUADRATIQUES (p = 3)

Shinju KOBAYASHI

CALCUL APPROCHE D E LA S E R I E D' IWASAWA POUR L E S C O R P S QUADRATIQUES ( p = 3 )

par Shînju KOBAYASHI

1. S o i t p un nombre premier et x

u n

c a r a c t è r e de Dïrichlet p a i r . Nous supposons p împaïr puisqu'il s ' a g i r a d'un calcul pour p = 3 . On s a i t que la fonction L p-adîque L

p

( s , a une r e p r é s e n t a t i o n par une s é r i e formelle

0

Pour e x p l i c i t e r c e t t e r e p r é s e n t a t i o n , soit x de conducteur d p

J

a v e c p ^ d , j > 0 et s o i t x = 8 f s a décomposition en facteur de g e n r e 1 et de g e n r e 2 : Q e s t de conducteur divisant d p et t|r e s t de conducteur p

J

et d'ordre ( ty e s t non-trivial seulement si j ^ 2 ) . A l o r s II e x i s t e un élément f ( T ; 0 ) du c o r p s quotient de

A

=

[C" 0

1

" 1 1 ( O o 0 Q ~ l'anneau des e n t i e r s du c o r p s K engendré par les v a l e u r s de 0 sur Q tel que :

L

p

( s ,

X

) = f ( t | f ( l

+

% ) "

1

- 1 ; e ) , q

o

= d p . 2. Iwasawa a donné f ( T ; 0) comme la limite p r o j e c t î v e de l'I- mage par 0"' u) ( uu = le c a r a c t è r e de Teîchmuller ) des éléments de S t i c k e l b e r g e r

#

S o i e n t q = d p

n + 1

, K - q (

C

) , r

n

= G ( K

n

/ K

o

) ,

G ( K

^N

/ Q ) = AxT

n

la décomposition de G ( K

^N

/ Q ) telle que A ^ G ( K

^Q

/ Q ) ,

et enfin § : Z A et Y

ⁿ

• Z T

ⁿ

les applications d'Artin . 0 et & sont donc des c a r a c t è r e s de A et i|r e s t un c a r a c t è r e de T

n

( n + 1 ^ j ) . On définît a l o r s :

? ⁿ = - ^{q L} - ⁿ I aô(a)" ¹ Y^a)' ¹ 6<B [ A x r ⁿ ] ,

M

n 0 < a < q

K

( a , q o ) = i n

et on prend son image par 0 vo :

Ç

n

( 0 ) = 9"

1

c u ( §

n

) - - J p Z a e u f

1

(a) y

n

( a ) -

1

6 K

Q

[ r

n

3 . n 3

Dans le c a s 0 é 1 , on a Z ( 0 ) € [ T ] et la famille f P ( 0 ) } a une

'

7 D

n 0 n

L D

n

J

limite dans Hm O [ T

n

] ( définie par la projection T

m

T

n

pour m ^ n).

A l o r s f ( T ; 0) e s t la s é r i e qui c o r r e s p o n d à lim Ç

n

(ô) dans l ' I s o m o r - phisme lim £> [ r ] — > A défini par lim y ( 1 + q ) i—> 1 + T .

<— 0 n ' n o A noter que T

n

e s t un groupe cyclique d'ordre p

n

engendré par Y

n

(l

+C

l

0

)«

On a en p a r t i c u l i e r : n

f ( T ; 0 ) s - Z ( - } - Z . a 0 d ) -

1

( a ) ) ( l + T )

p n

-

î

ï-1 y

n

( a ) = Y

n

d + q

o

)

\P n

(mod ( 1 + T T - 1 ) • Pour plus de détails , voir L . Washington , Introduction to cyclotomic f î e l d s , S p r i n g e r - V e r l a g .

3 . D e g r é d Approximation . Dans le développement

n p

n

- 1

r

n . . n

( 1 + T ) - 1 = Z ( p . ) T + T

p

, on a ( V étant la valuatïon p -

i = 1

V

adique ) :

v [ ( p " ) ] = v [ p

n

( p

n

- 1 ) . . . ( p

n

- i + 1 ) / I ! "

= v [ p

n

. 1 . . . ( i - 1 ) / I ! ]

= n - v ( ï ) .

P a r conséquent , si f ( T ) = Z a^ T et g ( T ) = Z b k k

k

T sont deux é l é - n

ments de A et s i f = g ( mod ( 1 + T )

p

- 1 ) , on a , pour k < p

n

, a. = b. ( mod p

a

) , a = min ( n - v ( i )) .

k k

1 £1 <;k

Donc le calcul au niveau q

n

ne donne pas tous les c o e f f i c i e n t s de f ( T ; 0 ) modulo p

n

. T o u t e f o i s , on a toujours c c > 0 .

4 . Le calcul e f f e c t u é . C ' e s t le c a s d e s c a r a c t è r e s quadra-

tiques r é e l s x = 8 et p = 3 , donc = Z

3

et A = Z

3

[ [ T ] ] . Dans c e

c a s , la s é r i e e s t à rapprocher plutôt du c o r p s Imaginaire c o r r e s p o n - dant au c a r a c t è r e miroir 0 au : le terme constant e s t égal à ( 1 - 9ou(3)) f o l s le nombre de c l a s s e s du c o r p s Imaginaire , le d e g r é de W e î e r - s t r a s s de la s é r i e e s t égal à l'invariant d'Iwasawa \ de c e corps ,

# # #

etc

#

C ' e s t pourquoi nous avons p a r a m é t r î s é la table par Q( m ) correspondant au Q au •

Nous avons e n v i s a g é principalement de déterminer le polygone de Newton du polynôme distingué a s s o c i é à f ( T ; Q) et donc nous S a - vons pas p o u s s é l'approximation plus loin . Rappelons que le polygone

m

k

de Newton d'un polynôme E a. T Ç Z [ T ] e s t l'enveloppe d'en

k = 0

k P

bas d e s points ( k , v ( a ^ ) ) , k = 0, m . Il donne la valuatîon des r a c i n e s du polynôme de la manière suivante :

s ' i l y a un côté de c o e f f i c i e n t d'Inclinaison - a et de longueur ( h o r i - z o n t a l e ) rrij , le polynôme p o s s è d e m

1

r a c i n e s de valuatîon p-adique ot#

A noter que si f ( T ; 9 ) = u P , où P e s t un polynôme dîstlnguz et u Ç A

X

, les polygones pour f ( T ; Q) et P coïncident dans l ' i n t e r v a l l e [0, deg P ]

#

Tous les c a l c u l s ont é t é faits s u r le mini-ordinateur OKITAC - 4300 C de notre laboratoire à Chîba

#

5

#

T a b l e 1 ( p

#

1 ^ 59 )

#

C ' e s t le r é s u l t a t du calcul au niveau q pour les m < 10000 pour l e s q u e l s le terme constant de la s é r i e = 0 ( mod 3 )

#

A c e niveau - là , on ne peut obtenir d'Information que sur les c o e f f i c i e n t s a . a o o

Q

de f ( T ; 9)

#

C ' e s t un hasard sî l'on a X = d e g r é de W e î e r s t r a s s ^ 8 pour tous les c a s étudiés

#

L e s c h i f f r e s sont , de gauche à droite :

m , la décomposition en composantes p r i m a i r e s de q

2

( quand m ^ 0

( mod 3 ) , nous avons mis 27 à la fin ) et les v a l e u r s a p p r o c h é e s de

- a a ( \ . e . les c o e f f i c i e n t s de - f ( T ; Q)) o o

#

Parmi c e s coef - f î c î e n t s on a a

Q

= ( 1 - 0ou(3)) x h ( Q( J - m )) . L o r s q u e 1 - 0uj ^ 0 , î

#

e . m 4

2

( 3 ) , nous avons noté q ^ , 3

#

3 . . . e t c . à côté de - a

Q

suivant que le 3 - g r o u p e des c l a s s e s e s t Isomorphe à z / q z >

Z / 3 Z X Z / 3 Z , ••• e t c .

Comme nous avons remarqué plus haut , le calcul au niveau q^

donne a , a et a o i Zt

0

modulo 3 j o

n

et a - , a modulo 3

n

~ ' . P a r exem - pie , pour m = 41 , on a - 2 ( - a

3

au niveau q ) ^ 19 ( - a^ au niveau

o

q^ ) ( mod 3 ) ( voir T a b l e 2 )

#

Pour la plupart d e s c a s , T a b l e 1 s u f - fît pour déterminer le polygone de Newton, même s

!

î ! r e s t e e n c o r e d e s c o e f f i c i e n t s marqués 0 » C ' e s t ainsi qu'on volt que le polynôme d i s t i n - gué a s s o c i é e s t Irréductible s i v (a

Q

) = 1 , qu'il e s t T - ( polynôme îr - réductible ) si m = 2 ( mod 3 ) et v (a ) = 1 , que le polygone e s t :

pour m = 8 7 4 6 ( x signifiant que le point ( I , v ( a. )) e s t au moins à la hauteur de la marque x ) , ••<> e t c .

6. T a b l e 2 ( p

#

60 ~ 6 4 ) . E l l e complète T a b l e 1 pour 280 c a s Indéterminés , en donnant le résultat du calcul j u s t e suffisamment a p - profondi pour déterminer le polygone correspondant .

L e s c h i f f r e s sont , de gauche à droite : m , n indiquant le niveau a v e c 3

n

et les v a l e u r s a p p r o c h é e s de - a , . - a . o o

Department of Mathematîcs Faculty of Education

U n î v e r s i t y of Chiba

Yayoicho , Chîba , Japon .

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