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ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

JEAN-LOUPWALDSPURGER

Caractères de représentations de niveau0

Tome XXVII, n^o5 (2018), p. 925-984.

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pp. 925-984

Caractères de représentations de niveau 0

Jean-Loup Waldspurger⁽¹⁾

RÉSUMÉ. — En utilisant les résultats de Meyer et Solleveld sur les résolutions de Schneider et Stuhler, on calcule le caractère de toute représentation lisse, de longueur finie et de niveau 0 d’un groupe réductifp-adique. On prouve que, en tout élément semi-simple fortement régulier, ce caractère est combinaison linéaire de certaines intégrales orbitales pondérées.

ABSTRACT. — Using the results of Meyer and Solleveld on the resolutions of Schneider and Stuhler, we compute the character of every smooth representation of finite length and of depht 0 of a p-adic reductive group. We prove that, in every strongly regular semi-simple point, the character is equal to some linear combination of weighted orbital integrals.

Introduction

Soient F un corps local non-archimédien etG un groupe algébrique ré- ductif et connexe défini surF. NotonsGADle groupe adjoint. Bruhat et Tits ont défini l’immeuble Imm(GAD) de ce groupe. Il est muni d’une décompo- sition en facettes et d’une action deG(F) qui respecte cette décomposition.

A toute facetteF sont associés plusieurs sous-groupes ouverts de G(F) : le groupeK_F^† des éléments deG(F) qui conserventF; le sous-groupe paraho- riqueK_F⁰ défini par Bruhat et Tits, qui est un sous-groupe ouvert compact deK_F^† ; le radical pro-p-unipotentK_F⁺deK_F⁰ qui est distingué dansK_F^†. Le quotientN(F) =K_F^†/K_F⁰ est abélien et l’application de Kottwitz l’identifie à un sous-groupe d’un certain groupe abélien N indépendant de F. Pour ν ∈ N(F), notonsK_F^ν l’image réciproque de ν dansK_F. L’action sur l’im- meuble d’un élémentk∈K_F⁰ conserveF point par point. Siν 6= 0, l’action sur l’immeuble d’un élémentk ∈K_F^ν conserve F mais pas point par point

(*)Reçu le 13 avril 2016, accepté le 17 février 2017.

(1) CNRS-Institut de Mathématiques de Jussieu, 4 place Jussieu, 75005 Paris, France —jean-loup.waldspurger@imj-prg.fr

Article proposé par Laurent Clozel.

en général. On sait queF s’identifie à un ouvert d’un espace vectoriel réel euclidien et qu’il existe une isométrie σ_F,ν de cet espace, conservant F et telle que tout élément k∈ K_F^ν agisse dans F par cette isométrie. On note F^ν le sous-ensemble des points fixes deσ_F,ν dans F. On note Fac^∗_max(G) l’ensemble des couples (F, ν) formés d’une facetteF de Imm(G_AD) et d’un élémentν∈ N(F), tels queF^ν est réduit à un point.

Soitπune représentation lisse de longueur finie deG(F) dans un espace complexeV. Pour toute facetteF, notonsV^K+F le sous-espace des invariants parK_F⁺. Il est de dimension finie. On dit queπest de niveau 0 si V est en- gendré par les sous-espacesV^K+F quandF décrit les facettes de l’immeuble.

Supposonsπde niveau 0. Pour toute facetteF, le groupeK_F^† conserveV^KF+ et cette action se quotiente en une représentationπ_F de dimension finie du groupe K_F^†/K_F⁺. Notons traceπ_F le caractère de cette représentation. On sait qu’il existe un groupe réductif G_F sur Fq (le corps résiduel de F) tel queK_F⁰/K_F⁺ 'G_F(Fq). Pourν ∈ N(F), il existe un « espace tordu » G^ν_F sousG_F de sorte que G^ν_F(F^q)'K_F^ν/K_F⁺. En utilisant la théorie des repré- sentations des espaces tordus, on définit pour toutν la projection cuspidale φ_π,F,ν,cusp de la restriction du caractère traceπ_F àK_F^ν/K_F⁺. On peut consi- dérer que c’est une fonction surG(F), à support dans K_F^ν et biinvariante parK_F⁺. Elle est invariante par conjugaison par K_F^†. Fixons une mesure de Haar surG(F). Pour toute fonctionf ∈C_c^∞(G(F)), on pose

Θ^G_π,cusp(f) = X

(F,ν)∈Fac^∗_max(G)

Z

G(F)

f(g)φ_π,F,ν,cusp(g) dg.

Cette définition a un sens car on montre qu’il n’y a qu’un nombre fini de (F, ν)∈Fac^∗_max(G) tels que l’intégrale ci-dessus ne soit pas nulle. Cela définit une distribution Θ^G_π,cusp sur G(F), qui est invariante par conjugaison. Pour tout sous-groupe de Levi M de G (défini surF), notons L(M) l’ensemble des sous-groupes de Levi deGcontenantM. Fixons un sous-groupe de Levi minimal M_min de G et, pour tout M ∈ L(M_min), notons W^M le groupe de Weyl de M relatif à Mmin. Fixons un sous-groupe parabolique P de composante de LeviM et des mesures de Haar surM(F) et surUP(F), où UP est le radical unipotent deP. On définit la représentationπP deM(F) dans le module de Jacquet deπrelatif àP. Elle est de niveau 0. On définit la distribution Θ^M_πP,cusp surM(F). On l’induit àG(F) de la façon habituelle.

C’est-à-dire, pour toutef ∈C_c^∞(G(F)) et toutg∈G(F), notons (^gf)_[P] la fonctionm7→δ_P(m)^1/2R

UP(F)f(g⁻¹mug) dusurM(F), oùδ_Pest le module usuel. Des mesures fixées se déduit une (pseudo-)mesure surP(F)\G(F) (pseudo car elle ne s’applique pas à des fonctions sur ce quotient mais à des

sections d’un certain fibré). On pose ind^G_M(Θ^M_π

P,cusp)(f) = Z

P(F)\G(F)

Θ^M_π

P,cusp((^gf)_[P]) dg.

Les distributions Θ^M_πP,cusp et ind^G_M(Θ^M_πP,cusp) dépendent du choix du sous- groupe parabolique P. Mais disons qu’un élément g ∈ G(F) est compact modulo Z(G) si l’image de g dans G_AD(F) appartient à un sous-groupe compact de ce groupe. Alors la restriction de Θ^M_π

P,cuspaux fonctions dont le support est formé d’éléments deM(F) compacts modulo Z(G) ne dépend pas de P. La restriction de ind^G_M(Θ^M_πP,cusp) aux fonctions dont le support est formé d’éléments deG(F) compacts moduloZ(G) n’en dépend pas non plus.

On définit le caractère-distribution Θπpar Θπ(f) = traceπ(f) pour toute f ∈C_c^∞(G(F)). Notre résultat principal est le suivant.

Théorème. — Soitπune représentation lisse deG(F)de longueur finie et de niveau0. Soitf ∈C_c^∞(G(F)), supposons que le support def est formé d’éléments deG(F) qui sont compacts moduloZ(G). Alors on a l’égalité

Θπ(f) = X

M∈L(Mmin)

|W^M||W^G|⁻¹ind^G_M(Θ^M_π

P(M),cusp)(f),

où, pour toutM, on a fixé un sous-groupe paraboliqueP(M)de composante de LeviM.

Pour expliciter ce résultat, on suppose queF est de caractéristique nulle.

Pourπcomme ci-dessus, on sait grâce à Harish–Chandra que Θπest une dis- tribution localement intégrable, associée à une fonction localement intégrable θ_π sur G(F), localement constante sur les éléments semi-simples fortement réguliers. SoitM ∈ L(Mmin), notonsM(F)_ell,G−regle sous-ensemble des élé- ments deM(F) qui sont semi-simples, fortement réguliers dansG(F) et el- liptiques dansM(F). On noteA_M le plus grand sous-tore du centre deM qui soit déployé surF. Pour (F, ν)∈Fac^∗_max(G) etm∈M(F)_ell,G−reg, on définit en suivant Arthur l’intégrale orbitale pondérée J_M^G(m, φπ,F,ν,cusp), modulo certains choix de mesures. Fixons un ensemble de représentants Fac^∗_max(G) des classes de conjugaison parG(F) dans Fac^∗_max(G). Le théorème ci-dessus se traduit plus concrètement par l’énoncé suivant, oùD^G est l’habituel dis- criminant de Weyl.

Théorème. — Soitπune représentation lisse deG(F)de longueur finie et de niveau0. SoitM ∈ L(Mmin)et soitm∈M(F)_ell,G−reg. Supposons que

msoit compact moduloZ(G). Alors on a l’égalité θπ(m) =D^G(m)^−1/2 X

L∈L(M)

(−1)^{dim(AM)−dim(AL)} X

(FL,ν)∈Fac^∗_max(L)

mes(A_L(F)\K_F^†

L)⁻¹J_M^L(m, φ_{πP(L),FL,ν,cusp}), où, pour toutL, on a fixé un sous-groupe paraboliqueP(L) de composante de LeviL.

En utilisant un résultat bien connu de Casselman, on obtient une expres- sion plus générale pour θπ(m) pour tout m ∈ M(F)_ell,G−reg (c’est-à-dire sans supposer de condition de compacité moduloZ(G)). Cf. paragraphe19 pour l’énoncé précis.

Si on se limite aux éléments deG(F)_ell,G−reg, le résultat ci-dessus coïn- cide avec le théorème III.4.16 de [15]. Dans le cas oùπest une représentation cuspidale, Arthur a montré que le caractère-fonctionθπ était égal à l’inté- grale orbitale pondérée d’un certain coefficient deπ, cf. [1]. Il a obtenu une expression qui vaut plus généralement pourπde la série discrète (ou même elliptique en son sens), cf. [3, Thm. 5.1]. Mais il utilise alors non pas des intégrales orbitales pondérées mais leurs versions invariantes, qui sont beau- coup plus difficilement calculables. Ici, on ne suppose pas que π est de la série discrète mais on impose une condition assez sévère :πest de niveau 0.

Notre résultat s’inspire beaucoup de l’article de Courtès [8]. Disons qu’une fonctionf ∈C_c^∞(G(F)) est de niveau 0 si elle est combinaison linéaire de fonctionsf⁰ pour lesquelles il existe une facetteF⁰ de sorte quef⁰ soit biin- variante par K_F⁺0. Courtès a établi un théorème similaire à notre premier théorème ci-dessus pour des distributions à support dans les éléments com- pacts modulo Z(G), que l’on restreint à des fonctions de niveau 0. En un sens, notre résultat est dual de celui de Courtès : ce sont les distributions que l’on suppose « de niveau 0 » et on les restreint à des fonctions à support compact moduloZ(G). Si on travaillait sur l’algèbre de Lie et non pas sur le groupe, il est probable que notre résultat se déduirait de celui de Courtès par transformation de Fourier. En fait, nos preuves reprennent assez souvent celles de Courtès. On ajoute de plus un ingrédient essentiel : la résolution de πintroduite par Schneider et Stuhler, cf. [15], dans une version améliorée par Meyer et Solleveld, cf. [13]. Elle permet d’exprimer Θπ à l’aide des fonctions traceπ_F. Le reste de la preuve n’est rien d’autre qu’un calcul combinatoire.

Je remercie beaucoup B. Lemaire pour diverses explications et références concernant la théorie des immeubles. Je remercie également J.-F. Dat pour m’avoir indiqué une réference très utile, ainsi que G. Henniart pour un com- mentaire judicieux.

1. Notations

SoitGun groupe réductif connexe défini sur un corpsk. Tous les sous- groupes algébriques deGque nous considérerons sont supposés définis sur k. On noteZ(G) le centre deGet AG le plus grand sous-tore de Z(G) qui est déployé surk. On appelle sous-groupe de Levi deGune composante de Levi d’un sous-groupe parabolique deG. Pour un tel sous-groupeM, on note L(M), resp. P(M), F(M), l’ensemble des sous-groupes de Levi contenant M, resp. celui des sous-groupes paraboliques de G de composante de Levi M, resp. celui des sous-groupes paraboliques deG contenant M. Pour un sous-groupe paraboliqueP deG, on noteU_P son radical unipotent. On note G_AD le groupe adjoint deG.

Les objets ci-dessus, ainsi que d’autres définis plus loin, dépendent du groupeG. Le cas échéant, on ajoutera unGdans leur notation pour préciser ce groupe « ambiant » :L^G(M) au lieu deL(M). Les objets analogues relatifs à un autre groupeHseront alors notés en remplaçant la lettreGparH : par exemple, siL est un sous-groupe de Levi deGet M est un sous-groupe de Levi deL,L^L(M) est l’ensemble des sous-groupes de Levi deLcontenantM. Un espace tordu sous G est une variété algébrique G^ν sur k munie de deux actions deGà gauche et à droite telles que, pour chacune des actions, G^ν soit un espace principal homogène. On impose que G^ν(k) 6= ∅. Pour tout x ∈ G^ν, il existe un unique automorphisme adx de G échangeant les actions de G à gauche et à droite, c’est-à-dire tel que adx(g)x= xg pour toutg ∈G. La restriction de ad_x à Z(G) ne dépend pas dexet on impose que cet automorphisme de Z(G) soit d’ordre fini. Soit P un sous-groupe parabolique de G de composante de Levi M. On note P^ν l’ensemble des x ∈ G^ν tels que ad_x conserve P et M^ν l’ensemble des x ∈ P^ν tels que ad_x(M) =M. Les quatre conditions suivantes sont équivalentes : P^ν 6=∅; P^ν(k)6=∅; M^ν 6=∅; M^ν(k) 6=∅. Si elles sont vérifiées, on dit que P^ν est un sous-espace parabolique de P^ν et que M^ν est un sous-espace de Levi.

Remarquons que M^ν n’est pas déterminé par M, il dépend aussi de P. Par contre, M^ν détermine M : M est l’ensemble des g ∈ G tels que la multiplication parg, à droite ou à gauche, conserveM^ν. Dans le cas oùP est un sous-groupe parabolique minimal et M est un sous-groupe de Levi minimal, les conditions précédentes sont toujours vérifiées. On généralise à ces espaces les notations introduites plus haut :L(M^ν),P(M^ν) etF(M^ν).

Si A est un tore défini et déployé sur k, on note X_∗(A) le groupe des homomorphismes algébriques deGL(1) dans Aet X^∗(A) le groupe des ho- momorphismes algébriques deA dansGL(1). En particulier, on dispose du groupe X_∗(AG). On poseAG = X_∗(AG)⊗_ZR. La définition de X^∗(A) se

généralise au cas oùAest un sous-groupe fermé pas forcément connexe d’un tore comme ci-dessus.

2. Fonctions sur les groupes finis

SoientGun groupe réductif défini sur un corps finiFq etG^ν un espace tordu sous G. On note C^inv(G^ν) l’espace des fonctions de G^ν(Fq) dansC qui sont invariantes par conjugaison parG(Fq). SoitM^ν un sous-espace de Levi deG^ν. On définit les homomorphismes

res^G_M^νν :C^inv(G^ν)→C^inv(M^ν) ind^G_M^νν :C^inv(M^ν)→C^inv(G^ν)

de la façon suivante. On fixe un sous-espace paraboliqueP^ν ∈ P(M^ν). Pour f ∈C^inv(G^ν) etm∈M^ν(Fq), on pose

res^G_M^νν(f)(m) =|U_P(Fq)|⁻¹ X

u∈U_P(Fq)

f(mu).

Pour f ∈ C^inv(M^ν), on définit d’abord une fonction f[P^ν] sur G^ν(Fq).

Elle est à support dans P^ν(F^q). Pour m ∈ M^ν(F^q) et u ∈ UP(F^q), on a f[P^ν](mu) =f(m). Pour g∈G^ν(Fq), on pose

ind^G_M^νν(f)(g) =|P(Fq)|⁻¹ X

x∈G(Fq)

f[P^ν](x⁻¹gx).

Il est connu que ces définitions ne dépendent pas du choix de P^ν. On dit qu’une fonctionf ∈C^inv(G^ν) est cuspidale si et seulement si res^G_M^νν(f) = 0 pour tout espace de Levi propreM^ν. On noteC_cusp^inv (G^ν) le sous-espace des fonctions cuspidales. Il est connu que cet espace est un supplémentaire dans C^inv(G^ν) de la somme (non directe) sur tous les espaces de Levi propres M^ν des images des homomorphismes ind^G_M^νν, cf. [8, Prop. 1.1]. Cela définit une projectionC^inv(G^ν)→C_cusp^inv (G^ν) que l’on appelle la projection cuspi- dale. Plus généralement, soitM^ν un espace de Levi. On note proj_cusp,Mν la composée de res^G_M^νν et de la projection cuspidale C^inv(M^ν) → C_cusp^inv (M^ν).

Si M^ν₁ et M^ν₂ sont deux espaces de Levi et si g ∈ G(Fq) conjugue M^ν₁ en M^ν₂, la conjugaison pargenvoie naturellementC_cusp^inv (M^ν₁) surC_cusp^inv (M^ν₂). Il est clair que la composée de proj_cusp,Mν

1 et de cet isomorphisme est égale à proj_cusp,Mν

2. Pour tout espace de LeviM^ν, notonsn^G(M^ν) le nombre d’élé- ments du quotient du groupe NormG(Fq)(M^ν)/M(Fq), où NormG(Fq)(M^ν) est le normalisateur de M^ν dans G(Fq). Fixons un ensemble de représen- tants Levi(G^ν) des classes de conjugaison parG(Fq) de sous-espaces de Levi

deG^ν. On vérifie que

∀f ∈C^inv(G^ν), f = X

M^ν∈Levi(G^ν)

n^G(M^ν)⁻¹ind^G_M^νν(proj_cusp,Mν(f)). (2.1)

Plus généralement, siL^ν est un sous-espace de Levi, on a

∀f ∈C^inv(G^ν),

res^G_Lν^ν(f) = X

M^ν∈Levi(L^ν)

n^L(M^ν)⁻¹ind^L_M^νν(proj_cusp,Mν(f)) (2.2)

On utilisera la formule suivante, qui est équivalente à (2.1). Notons Par(G^ν) l’ensemble des sous-espaces paraboliques de G^ν (et non pas un ensemble de représentants des classes de conjugaison). Pour tout espace parabolique P^ν, fixons un nombre z(P^ν) ∈ R de sorte que les conditions suivantes soient vérifiées :

(2.3) la fonctionP^ν 7→z(P^ν) est constante sur les classes de conjugaison parG(Fq) ;

(2.4) pour tout espace de Levi M^ν, on aP

P^ν∈P(M^ν)z(P^ν) = 1.

Alors

∀f ∈C^inv(G^ν), f = X

P^ν∈Par(G^ν)

z(P^ν)(proj_cusp,Mν

P(f))[P^ν], (2.5) où, pour chaqueP^ν, on a notéM^ν_P une de ses composantes de Levi.

Démonstration. —Considérons la formule (2.1). Pour chaque M^ν ∈ Levi(G^ν), soit Q^ν∈ P(M^ν). Par définition, on a

ind^G_M^νν(proj_cusp,Mν(f)) =X

P^ν

(proj_cusp,Mν

P(f))[P^ν],

où on somme sur lesP^ν ∈Par(G^ν) conjugués à Q^ν. En vertu de (2.4), on peut sommer le membre de droite surQ^ν∈ P(M^ν), à condition de multiplier chaque terme parz(Q^ν). Grâce à (2.3), on obtient

ind^G_M^νν(proj_cusp,Mν(f)) = X

P^ν∈Par(G^ν)

z(P^ν)c(P^ν,M^ν)(proj_cusp,Mν

P(f))[P^ν], oùc(P^ν,M^ν) est le nombre d’éléments Q^ν ∈ P(M^ν) qui sont conjugués à P^ν. Mais, pourP^ν fixé, il y a un uniqueM^ν∈Levi(G^ν) tel quec(P^ν,M^ν) soit non nul et, pour celui-ci, on a c(P^ν,M^ν) = n^G(M^ν). Alors (2.5) se

déduit de (2.1).

3. Le groupe et son immeuble

Pour la suite de l’article, on fixe un corps local non-archimédienF (on ne fait pas d’hypothèse sur sa caractéristique) et un groupe algébrique connexe Gdéfini surF. On noteFq le corps résiduel deF, avec la notation usuelle : qest le nombre d’éléments de ce corps. On note pla caractéristique deFq. Introduisons le centre Z( ˆG) du dual de Langlands ˆG de G. Ce sont des groupes complexes. Le groupe Z( ˆG) est muni d’une action du groupe de Galois Γ = Gal(F^sep/F), où F^sep est une clôture séparable de F. On note I⊂Γ le sous-groupe d’inertie etZ( ˆG)^I le sous-groupe des points fixes parI dansZ( ˆG). Le groupe Γ/I agit surX^∗(Z( ˆG)^I). On noteN =X^∗(Z( ˆG)^I)^Γ/I le sous-groupe des invariants et w_G : G(F) → N l’homomorphisme défini par Kottwitz. Cet homomorphisme est surjectif, cf. [11, 7.7]. Le sous-groupe de torsionN_tors est fini.

On note Imm(GAD) l’immeuble deGAD surF. Cet ensemble se décom- pose en réunion disjointe de facettes, on note Fac(G) l’ensemble de ces fa- cettes. Le groupeG(F) agit sur Imm(GAD). PourF ∈Fac(G), notonsK_F^† le stabilisateur deF dansG(F).

Remarque 3.1. —Soulignons qu’un élément de ce groupe conserve la fa- cetteFmais ne fixe pas forcément tout point de cette facette. La littérature immobilière considère souvent des fixateurs plutôt que des stabilisateurs.

Par contre, elle considère des fixateurs de sous-ensembles compacts de l’im- meuble qui ne sont pas forcément des facettes. Notre groupe K_F^† est un tel fixateur. En effet, comme on le sait et comme on le rappellera au para- graphe4,Fs’identifie naturellement à un ouvert d’un espace affine réel muni d’une distance euclidienne. AlorsK_F^† est le fixateur du barycentre deF.

L’imageK_F^†/Z(G)(F) deK_F^† dansG_AD(F) est un sous-groupe compact deGAD(F). Pour tout ν ∈ N, on noteK_F^ν l’ensemble des x∈K_F^† tels que wG(x) = ν. On note N(F) le sous-groupe des ν ∈ N tels que K_F^ν 6= ∅.

Le plus grand sous-groupe compact deK_F^† est la réunion desK_F^ν pourν ∈ N(F)∩ Ntors. L’ensemble K_F⁰ est un groupe, c’est le groupe parahorique associé àF.

Remarque 3.2. —Cette description des groupes parahoriques est tirée de [12, 2.16] (malheureusement non publié) et de [9, Prop. 3 et Rem. 4].

Cette dernière référence s’applique en vertu de la remarque4.1.

NotonsK_F⁺ le radical pro-p-unipotent deK_F⁰. C’est un sous-groupe dis- tingué de K_F^†. Bruhat et Tits ont défini un groupe réductif connexe G_F surFq de sorte queK_F⁰/K_F⁺ soit isomorphe àG_F(Fq) (la définition deK_F⁺

par Bruhat et Tits est différente mais équivalente à celle ci-dessus, cf. [10, Prop. 3.7]). Pourν∈ N(F), il existe un espace torduG^ν_F sousG_F de sorte queK_F^ν/K_F⁺s’identifie àG^ν_F(Fq), cf. [12, Prop. 2.10.3]. Dans le cas oùν = 0, on aG⁰_F =G_F.

Le groupe K_F⁰ fixe tout point de F. Pour ν ∈ N(F), il existe une per- mutation σ_F,ν de F telle que tout élément de K_F^ν agisse sur F par cette permutation. Comme on l’a dit ci-dessus, F s’identifie naturellement à un ouvert d’un espace affine réel muni d’une distance euclidienne. La permuta- tionσ_F,ν est une isométrie. On noteF^ν le sous-ensemble des éléments deF qui sont fixés parσ_F,ν. C’est donc l’intersection deF avec un sous-espace affine. On note Fac^∗(G) l’ensemble des couples (F, ν) où F ∈ Fac(G) et ν∈ N(F).

On dit qu’un élément deg∈G(F) est compact moduloZ(G) si son image dansGAD(F) est contenue dans un sous-groupe compact de ce groupe. Cette condition est équivalente à ce qu’il existe (F, ν)∈Fac^∗(G) tel queg∈K_F^ν.

4. Les facettes d’un appartement

Fixons un sous-groupe de Levi minimalM_min de G. Posons A=A_Mmin et A=AMmin =X_∗(A)⊗_ZR. Notons Norm_G(F)(A) le normalisateur de A dansG(F). Le quotientW = Norm_G(F)(A)/M_min(F) est le groupe de Weyl W de G relatif à A. Le groupe W agit sur l’espace A. On munit celui-ci d’une norme euclidienne invariante par cette action. On note Σ l’ensemble des racinesréduites deA dansG. A toutα∈Σ est associé un sous-groupe radicielUα deG.

Au toreA est associé un appartement App(A)⊂Imm(GAD). C’est une réunion de facettes, on note Fac(G;A) l’ensemble des facettes contenues dans App(A) et Fac^∗(G;A) l’ensemble des (F, ν)∈Fac^∗(G) tels queFsoit conte- nue dans App(A). L’appartement App(A) s’identifie àA/AG.

Remarque 4.1. — Nous distinguons dans la notation App(A) et A/AG

car App(A) apparaît comme un espace affine sur l’espace vectoriel A/AG. Les actions naturelles sur App(A) sont affines tandis que celles sur A/AG

sont linéaires. Pour deux élémentsx, y∈App(A), nous considéreronsx−y comme un élément deA/A_G.

Remarque 4.2. — La théorie générale des immeubles fait intervenir toutes les racines deAdansG, pas seulement les racines réduites. C’est nécessaire pour décrire précisément les groupes K_F⁰. Mais nous n’aurons pas besoin d’un telle précision, la description des facettes nous suffit et, pour cela, les racines affines n’interviennent que par les hyperplans affines sur lesquels elles

s’annulent. Si le système de racines contient des racinesαtelles que 2αest encore une racine, on peut donc remplacer toute racine affine de la forme 2α+cpar la fonction affineα+c/2 : les hyperplans associés à ces fonctions sont les mêmes. Cela nous permet de ne considérer que les racines réduites, comme nous le faisons.

L’action sur l’immeuble du sous-groupe Norm_G(F)(A) deG(F) conserve App(A) (inversement, un élément de G(F) dont l’action sur l’immeuble conserve App(A) appartient à Norm_G(F)(A)). Cette action est compatible avec l’action linéaire de Norm_G(F)(A) sur A via son quotient W dans le sens suivant : soient n∈Norm_G(F)(A),x∈App(A) et e∈ A/AG; notons w l’image den dans W; alors n(x+e) = n(x) +w(e). A tout α ∈ Σ est associé un certain sous-ensemble Γα deQ. C’est l’image réciproque dansQ d’un sous-ensemble fini de Q/Z et on a Z ⊂ Γα. On a Γ_−α = −Γα. Pour c∈Γα, on notec⁺ le plus petit élément de Γα strictement supérieur àcet on notec⁻ le plus grand élément de Γα strictement inférieur à c. On note Hα,c l’hyperplan affine de App(A) défini par l’équation α(x) =c. Alors la décomposition en facettes de App(A) est définie par la famille d’hyperplans (H_α,c)α∈Σ,c∈Γα. Ainsi, à toute facette F ∈ Fac(G;A) est associé un sous- ensemble Σ_F ⊂Σ(A) et, pour toutσ∈Σ(A), un élémentc_α,F ∈Γ_αde sorte queF soit le sous-ensemble des élémentsx∈App(A) vérifiant les relations

∀α∈ΣF, α(x) =cα,F; (4.1)

∀α∈Σ−ΣF, cα,F< α(x)< c⁺_α,F. (4.2) Remarque 4.3. — Dans le cas oùGest quasi-déployé, Γ_α est un groupe dont la description est donnée en [12, 2.5] ou [6, 4.2.21]. On en déduit la description ci-dessus de Γ_α quand G n’est pas quasi-déployé par descente étale, cf. [6, 5.1.19].

Introduisons le sous-tore A_F ⊂A tel queX_∗(A_F) soit le sous-ensemble des éléments de X_∗(A) annulés par tous les éléments de Σ_F. Soit M_F le commutant deA_F dansG. C’est un sous-groupe de Levi deG. PuisqueA_F est contenu dansA, M_F contientMmin. Notons Σ^MF ⊂Σ le sous-ensemble des racines réduites deAdansMF autrement dit des éléments de Σ qui sont triviaux surAMF. On a

AF=AMF; ΣF⊂Σ^MF

et ces deux ensembles engendrent le même Q-sous-espace vectoriel de X_∗(A)⊗_ZQ.

Démonstration. —Pour α∈Σ_F,αs’annule surX_∗(A_F) donc le groupe radicielUαcommute àA_F et est inclus dansM_F. Cela démontre que Σ_F⊂ Σ^MF. Par définition deM_F,A_F est inclus dans le centre de ce groupe, donc

aussi dans son plus grand tore central déployéA_MF. Inversement,X_∗(A_MF) est le sous-ensemble des éléments deX_∗(A) annulés par tous les éléments de Σ^MF. Cet ensemble contenant Σ_F, on aX_∗(A_MF)⊂X_∗(A_F), d’où A_MF ⊂ A_F. Enfin, la dernière assertion résulte de ce que les deux ensembles ont le

même annulateur dansX_∗(A).

Remarque 4.4. — Par contre, Σ^MF n’est en général pas engendré sur Z par Σ_F.

PosonsAF =X∗(AF)⊗_ZR, autrement dit,AF=AMF avec la notation introduite dans le paragraphe1. Il résulte de (4.1) et (4.2) que AF/AG est le sous-espace deA/AG engendré par lesx−y pourx, y∈ F. Cela entraîne que, pourn∈K_F⁰∩NormG(F)(A), l’imagewdendansW conserveAF et y agit trivialement. Autrement dit,wappartient au sous-groupeW^MF qui est le groupe de Weyl deM_Frelatif àA. Une racineα∈Σ est constante surFsi et seulement si elle annule l’espace engendré par lesx−ypourx, y∈ F, c’est- à-dire AF. Donc Σ^MF est l’ensemble des éléments de Σ qui sont constants surF. Pourα∈Σ^MF, la valeur constante deαsurF appartient à Γαsi et seulement si α ∈ ΣF. La facetteF est un ouvert du sous-espace affine de App(A) défini par la relation (4.1), dont l’espace vectoriel associé estAF.

Les constructions de Bruhat–Tits associent à toutα∈Σ et à toutc∈Γα

un sous-groupe ouvert compactUα,cdeUα(F). Les propriétés suivantes sont bien connues (cf. [12, 2.5 et 2.13], [5, 6.4.9 et 7.4.4]) :

(4.3) l’application c7→ U_α,c est strictement croissante (si c < c⁰,U_α,c( U_α,c⁰) ;

(4.4) ∪_c∈ΓαUα,c=Uα(F) ;

(4.4) quelle que soit F ∈Fac(G;A), on aUα(F)∩K_F⁰ =Uα,c_α,F; (4.5) quelle que soit F ∈Fac(G;A), on a

(Uα(F)∩K_F⁺=U_α,c⁻

α,F siα∈ΣF;

Uα(F)∩K_F⁺=Uα(F)∩K_F⁰ =Uα,cα,F siα6∈ΣF.

Soit F ∈ Fac(G;A). Il est bien connu que l’ensemble des sous-groupes paraboliques deGF est en bijection avec celui des facettesF⁰ telles queF soit contenue dans l’adhérenceF⁰ deF⁰. Précisément, pour une telle facette F⁰, on aK_F⁰0⊂K_F⁰ et le parabolique P_F⁰ associé àF⁰ est celui pour lequel l’image deK_F⁰0 dansG_F(Fq) est égale àP_F⁰(Fq). Il est utile de donner une interprétation plus algébrique de ces sous-groupes paraboliques. Le groupe G_F est la fibre spéciale d’un schéma en groupes sur l’anneau des entiers de F qui contient un modèle entier du toreA, cf. [12, 2.11]. La fibre spéciale de celui-ci est un sous-tore déployé maximalAdeG_F, qui vérifie les propriétés suivantes :

(4.6) X_∗(A)'X_∗(A) ;

(4.7) soitn∈Norm_G(F)(A)∩K_F^† ; la conjugaison adnparnconserveK_F⁰ et K_F⁺ donc se descend en un automorphisme ad_n,F de G_F(Fq) ; alors adn,F conserveAet les actions déduites de adn surX∗(A) et de adn,F surX∗(A) coïncident via l’isomorphisme (4.6).

SoitF⁰une facette de App(A) dont l’adhérence contientF. Via l’isomor- phisme (4.6), le sous-toreA_F⁰ deAcorrespond à un sous-toreA_F⁰ deA. Il est connu que le commutantM_F⁰ deA_F⁰ dansG_F est une composante de Levi du sous-groupe paraboliqueP_F⁰ et queA_F⁰ est le plus grand sous-tore déployé dans le centre deM_F⁰. Le sous-groupeP_F⁰ détermine une chambre ouverte dans l’espaceA_F⁰ (puisque cet espace s’identifie àX_∗(A_F⁰)⊗_ZR).

En utilisant (4.4) et (4.4) on voit que cette chambre est définie par les re- lations α(x) > 0 pour lesα ∈ Σ_F−Σ_F⁰ telles que c_α,F =c_α,F⁰. On voit aussi queMF⁰(Fq) s’identifie à GF⁰(Fq). On montre que cet isomorphisme est algébrique c’est-à-dire qu’il provient d’un isomorphismeMF⁰'GF⁰.

Les conditions (4.1) et (4.2) sont en général surabondantes pour décrire une facette. Donnons-en une autre description. DécomposonsGADen produit de composantes simplesG1,AD× · · · ×Gk,AD. L’imageAad deA dansGAD

se décompose conformément en produitA_ad,1× · · · ×A_ad,k. L’ensemble Σ se décompose de même en union disjointe de composantes irréductibles Σ₁t

· · · tΣ_k. Alors App(A) s’identifie au produit App(A_ad,1)× · · · ×App(A_ad,k) et toute facetteF se décompose en produit de facettesF₁× · · · × F_k. Cela nous ramène au cas où G_AD est simple, ce que nous supposons ci-après.

Considérons une facette ouverte F_min ∈ Fac(G;A). Alors Σ_Fmin = ∅. Il existe un sous-ensemble{α0, α1, . . . , αn}de Σ tel que :

(4.8) {α1, . . . , αn} est une base de Σ (au sens des systèmes de racines) ; (4.9) α0 est l’opposé de la racine réduite associée à la plus grande racine

relativement à cette base ;

(4.10) Fmin est l’ensemble desx∈App(A) tels quec_αi,Fmin < α_i(x) pour touti= 0, . . . , n.

D’après (4.8) et (4.9), il y a une relation P

i=0,...,nhiαi = 0 avec des entiers h_i > 0 et cette relation est, à homothétie près, la seule relation entre les α_i. Les sommets de l’adhérence de F_min sont les points s_i, i = 0, . . . , n définis par les relationsα_j(s_i) =c_αi,Fmin pour j 6=i. A tout sous- ensemble non videI ⊂ {0, . . . , n}, associons l’ensembleF_I desx∈App(A) tels que cα_i,Fmin(x) =αi(x) pour i 6∈ I et cα_i,Fmin(x)< αi(x) pour i ∈ I.

L’applicationI7→ FI est une bijection entre l’ensemble des sous-ensembles non vides de{0, . . . , n}et l’ensemble des facettes contenues dans l’adhérence deFmin. Les sommets de l’adhérence de la facetteFIsont lessipouri∈I. La facette est l’intérieur relatif de l’enveloppe convexe de ses sommets (intérieur

relatif au sens où l’on considère cette enveloppe convexe comme un sous- ensemble du plus petit sous-espace affine de App(A) qui la contient).

Pour toute facette F ∈ Fac(G;A), il existe g ∈ NormG(F)(A) tel que g(F) soit contenue dans l’adhérence de Fmin.

5. Description des ensembles F^ν

Soit (F, ν)∈Fac^∗(G;A). La facette F est définie par les relations (4.1) et (4.2). On sait (cf. [5, 7.4.4], [12, 2.13]) que

K_F^ν est engendré parK_F⁰

et un élément quelconque deK_F^ν ∩Norm_G(F)(A). (5.1) Fixons un élémentnde cette intersection, notonswson image dansW. La permutationσ_F,ν(cf. paragraphe3) est la restriction àFde l’action densur App(A). Celle-ci est une action affine et sa composante linéaire est l’action dewsurA/AG. De plus, l’action denfixe le barycentre deF. Cela entraîne quewconserve l’ensemble ΣF, qu’il normaliseW^MF et que l’action linéaire dewsurAconserveAF. NotonsA^ν_Fle sous-espace des points fixes. On peut aussi bien définir un toreA^ν_F comme la composante neutre de l’ensemble des points fixes par w dans A_F et alors A^ν_F = X_∗(A^ν_F)⊗_ZR. Comme on le sait, parmi les sous-groupes de Levi L de G, contenant M_F et tels que w appartienne àW^L, il en existe un unique qui soit minimal. On le noteM_F,ν. Il est caractérisé par l’égalité A_MF,ν =A^ν_F. On voit que A^ν_F/A_G est aussi l’espace engendré par lesx−y pourx, y∈ F^ν. L’ensemble de racines Σ^MF,ν étant celui des éléments de Σ qui annulentA^ν_F, c’est aussi celui des éléments de Σ qui sont constants surF^ν. Une conséquence de ce qui précède, on a l’inclusion

Norm_G(F)(A)∩K_F^ν ⊂Norm_MF,ν(F)(A) (5.2) L’ensemble F^ν est un polysimplexe. En effet, on peut supposer que F est contenue dans l’adhérence d’une facetteFmin comme au paragraphe 4.

Puisque la permutation σF,ν provient de l’action d’un élément de NormG(F)(A), on se ramène facilement au cas oùG_ADest simple, ce que l’on suppose ci-après. Il existe un unique sous-ensemble non videI⊂ {0, . . . , n}

de sorte queF=FI. L’adhérence ¯Fde la facette Fest l’enveloppe convexe des pointssi pouri∈I. Fixons un points∈ F^ν. AlorsF est l’ensemble des x∈App(A) pour lesquels il existe une famille (ai)_i∈I de réels telle que







∀i∈I, a_i>0;

P

i∈Iai= 1;

x−s=P

i∈Ia_i(s_i−s).

L’espace affine engendré par less_ipouri∈Iest de dimension|I| −1. On vérifie que cela entraîne que la famille (a_i)_i∈I ci-dessus est unique. Puisque la permutationσ_F,ν conserveF, elle permute les sommets de ¯F et définit une permutation deI. NotonsI^ν l’ensemble des orbites. Un pointxécrit comme ci-dessus est fixé parσF,ν si et seulement si, pour toute orbitei^ν, la fonction i7→aiest constante suri^ν. On noteai^ν cette valeur constante multipliée par

|i^ν| et on note si^ν le point défini par l’égalitési^ν −s=|i^ν|⁻¹P

i∈i^νsi−s.

AlorsP

i^ν∈I^νa_iν = 1 et

x−s= X

i^ν∈I^ν

a_iν(s_iν −s).

Autrement dit,x appartient à l’intérieur relatif de l’enveloppe convexe des pointss_iν. La réciproque est immédiate, doncF^νest égale à l’intérieur relatif de cette enveloppe convexe. On vérifie que l’espace affine engendré par les s_iν pouri^ν∈I^ν est de dimension|I^ν| −1. Donc cette enveloppe convexe est un simplexe. Cette description montre de plus que les facettes de l’adhérence F¯^ν du simplexeF^ν sont lesFJ∩F¯^ν pour les ensembles non videsJ ⊂I qui sont invariants parσ_F,ν.

On a

(5.3) pourF1∈Fac(G;A), les conditions suivantes sont équivalentes : (a) ν ∈ N(F₁) et F₁⊂F¯;

(b) F1∩F¯^ν 6=∅;

(c) ν ∈ N(F1) et F₁^ν =F1∩F¯^ν;

(5.4) l’applicationF17→ F1∩F¯^ν est une bijection entre l’ensemble des fa- cettes de App(A) vérifiant les conditions de (5.3) et celui des facettes de l’adhérence du polysimplexeF^ν.

Démonstration de(5.3). — Modifions un instant nos hypothèses : on ne suppose plus queν∈ F mais on suppose queF est une facette ouverte. Soit F1 vérifiant(a). Fixonsn1∈Norm_G(F)(A)∩K_F^ν

1. L’action den1 envoie F sur une facette ouverteF⁰dont l’adhérence contient encoreF₁. Il correspond aux facettesF etF⁰ des sous-groupes de BorelB_F etB_F⁰ deG_F1. On sait qu’il existe un élément de G_F1(Fq) qui conjugue B_F⁰ en B_F. En relevant cet élément en un élément k ∈K_F⁰

1, cet élément k envoie F⁰ sur F. Alors g=kn₁ est un élément deK_F^ν

1 qui conserveF. Cela entraîne queν∈ N(F) et que g ∈ K_F^ν

1 ∩K_F^ν. Alors F₁^ν, resp. F^ν, est l’intersection de F₁, resp.

F, avec l’ensemble des points fixes de g. Ce dernier ensemble est convexe.

Fixons y ∈ F^ν. Pour x∈ F₁^ν, le segment [x, y] joignant x à y est contenu dans cet ensemble de points fixes. Mais le segment ]x, y] ouvert enxest aussi contenu dansF. Donc ]x, y] est inclus dansF^νetxappartient à l’adhérence de cet ensemble. Cela prouve(c).